LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quang Huy Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giỏ hoc v nghiờn cỳu H Nđi, ngy thỏng Tác giá Bùi Tháo Nhung năm 2012 LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Quang Huy Tác giá xin cam đoan rang so li¾u, ket q nghiên cúu thơng tin trích dan luắn l trung thnc H Nđi, ngy tháng Tác giá Bùi Tháo Nhung năm 2012 BÁNG KÝ HIfiU Rn không gian Euclid nchieu F : X ⇒ Y ánh xa đa tr% tù X vào Y domF t¾p xác đ%nh cna F gphF đo th% cna F Limsup giói han theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N (x¯; Ω) Nˆ (x¯; Ω) nón pháp tuyen Mordukhovich cna Ω tai x¯ ∂f (x) ∂∞ f (x) ∂ˆf (x) x Ω x−→ x¯f x −→ x¯ dưói vi phân Mordukhovich cna f tai x dưói vi phân suy bien cna f tai x nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯ dưói vi phân Fréchet cna f tai x → x¯, x ∈ Ω x → x¯, f (x) → f (x¯) Mnc lnc Má đau 1 Đoi đao hàm Fréchet cúa F Đoi đao hàm Mordukhovich cúa F 14 Úng dnng 21 Ket lu¾n 32 Tài li¾u tham kháo 32 Mé ĐAU Lý chon đe tài Xét t¾p loi đa di¾n có nhieu bói m®t ánh xa tuyen tính có dang Θ(w) := {x ∈ Rn | Cx ≤ Dw} ó C = (cij )m×n ∈ R m× n , D = (dij )mìp R mì l cỏc ma trắn cho p w = (w1, , wp) ∈ Rp vecto tham so Vói moi (x, w) ∈ Rn × Rp, nón pháp tuyen cna Θ(w) tai x theo nghĩa cna giái tích loi đưoc xác đ%nh bói ,x∗ ∈ Rn |   (x∗ N (x; Θ(w)) =    ∅ , u − x) ≤ , ∀u ∈ Θ(w) neu x ∈ Θ(w), neu x ƒ∈ Θ(w) Ánh xa đa tr% F : Rn × Rp → Rn có dang F (x, w) := N (x; Θ(w)) (0.1) đưoc goi ánh xa nón pháp cna t¾p loi đa di¾n phu thuđc tham so Dúi vi phõn bắc hai cna mđt hàm thnc suy r®ng qua m®t đoi đao hàm cna ánh xa dưói gradient đe xuat bói Mordukhovich đưoc nh¾n biet nh l mđt cụng cu huu hiắu e nghiờn cúu nhieu van đe quan trong toi ưu giái tích bien phân Đe có thêm thơng tin chi tiet nhung phát trien gan bình lu¾n ve dúi vi phõn bắc hai, đc giỏ cú the tham kháo [11] Quan tâm cna chúng tơi lu¾n văn liên quan tói vi¾c tính dưói vi phân b¾c hai cna hàm chí cna t¾p loi đa di¾n mà khói đau nghiên cúu bói Dontchev Rockafellar [2], áp dung đe kháo sát tính on đ%nh nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân có tham so Sn can thiet cna vi¾c tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna ánh xa nón pháp tuyen F vùa đưoc trình bày tháo lu¾n [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19] Trong trũng hop ma trắn D l mđt ma tr¾n đơn v%, Yen Yao [18, 19] lan au tiờn thiet lắp oc mđt vi ỏnh giỏ trờn ho¾c đánh giá dưói đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna ánh xa nón pháp tuyen F Sau ú dúi mđt ieu kiắn đc lắp tuyen tính liên quan đen ràng bu®c hoat, Nam [12] cho cơng thúc xác tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna F Gan ket [12] vùa đưoc phát trien nua bói Qui [14, 15, 16] Trang [17], ú ú ieu kiắn đc lắp tuyen tớnh oc thay búi ieu kiắn đc lắp tuyen tớnh dng Hn nua, Qui [15] trình bày m®t cơng thúc xác tính đoi đao hàm Fréchet cna F , sau m®t cơng thúc xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F đưoc thiet l¾p [6] mà khơng đòi hói bat kì m®t giá thuyet quy Chúng ta de dàng thay rang ket q [6, 15] khơng the áp dnng đe tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cúa F neu D khơng có ma tr¾n ngh%ch đáo vi¾c thiet l¾p đưoc cơng thúc xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F m®t khâu quan giúp đat đưoc đieu ki¾n can đú cho tính Lipschitz kieu Aubin cúa ánh xa nghi¾m cúa cúa tốn bat thúc bien phân có tham so: Tìm x ∈ Θ(ω) cho (f (x, ϑ), u − x) ≥ ∀u ∈ Θ(ω) (0.2) ó f : Rn × Rm → Rn hàm vi liên tuc Đe tài “Đoi đao hàm cúa ánh xa nón pháp cho t¾p loi đa di¾n có tham so Nng dnng” nham thiet l¾p cơng thúc xác tính đoi đao hàm cna ánh xa F xác đ%nh (0.1) đ¾c trưng can đn cho tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân có tham so (0.2) Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna đe tài nghiên cúu tìm cơng túc xác tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh (0.1) đieu ki¾n can đn đ¾c trưng tính Lipschitz kieu Aubin cho ánh xa nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân có tham so (0.2) Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve giái tích bien phân đao hàm suy r®ng, cu the lý thuyet đoi đao hàm cna Mordukhovich Thiet l¾p cơng thúc xác tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh (0.1) Đưa đ¾c trưng can đn cho tính Lipschitz kieu Aubin cho ánh xa nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân có tham so (0.2) Đoi tưang pham vi nghiên cNu Giái tích bien phân đao hàm suy r®ng, đai so tuyen tính, quy hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, toi ưu có tham so tính on đ%nh nghi¾m Phương pháp nghiên cNu Sú dung phương pháp nghiên cúu giái tích bien phân đao hàm suy r®ng, đai so tuyen tính, giái tích đa tr%, giái tích loi lý thuyet toi ưu Giá thiet khoa hoc (hay nhĐng đóng góp mái) Neu đưa đưoc cơng thúc xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh (0.1) se m®t đóng góp có ý nghĩa cho lý thuyet dưói vi phân b¾c hai Tù có the giúp thiet l¾p đưoc mđt ắc trng can v n cho tớnh Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân có tham so (0.2) Chương Đoi đao hàm Fréchet cúa F Trong chương trỡnh by mđt so khỏi niắm c bỏn cna giái tích bien phân đao hàm suy r®ng Đưa cơng thúc xác tính đoi đao hàm Fréchet cna ánh xa nón pháp cho t¾p loi đa diắn cú tham so 1.1 Mđt so kien thNc c bán ve đoi đao hàm Cho F : Rm ⇒ Rn l mđt ỏnh xa a tr% Ký hiắu Limsupx →x¯ F (x) giói han theo nghĩa Kuratowski-Painlevé cna F x → x¯ Lim sup F (x) := ,x∗ ∈ R.n ∃ xk → → x∗ vói k x∗ x¯ , x→x ¯ x k ∈ F (xk ) ∀ k = 1, 2, ∗ n Cho Ω ⊂ R , nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯ ∈ Ω đưoc xác đ%nh bói Nˆ (x¯; Ω) := ,x∗ ∈ Rn lim (x sup Ω x−→x¯ x− x¯) "x − x¯" x → x¯ có nghĩa x → x¯ vói x ∈ Ω − Ω 0,, ∗, ≤ Đang thúc cuoi dan tói KerKˆ = KerD∗ S(b¯, q¯, x¯) Suy M,q¯ S quy metric đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) neu chí neu KerKˆ ∗ ¯ M,q¯ = KerD S(b , q¯, x¯) = {0} Theo [10, Đ%nh nghĩa 4.10], ta nói rang S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) ∈ gphS neu ton tai l > lân c¾n U cna x¯, V cna r r r r (¯b, q¯) S(b, q) ∩ U ⊂ S(b , q ) + l "(b, q) − (b , q )" B¯Rn cho vói moi (b, q), (br, qr ) ∈ V , B¯Rn hình cau đơn v% Rn Giá sú S đóng đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) Thì Đ%nh lí 4.10 [10] khang đ%nh S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) neu chí neu D∗ S(¯b, q¯, x¯)(0) = {0} Đ%nh lý 3.3 Neu {a∗ |i ∈ I(x¯, ¯b)} h¾ vect đc lắp tuyen tớnh i dng, ta cú cỏc khang đ%nh sau: (i) Neu S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯), Kˆ M,q¯(0) = {0} (ii) Neu LM,q¯(0) = {0}, S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) NeuF˜ quy đo th% tai (x¯, ¯b, x¯∗ ), S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) neu Kˆ M,q¯(0) = {0} chs neu (iii) Chỳng minh (i) Dúi giỏ thuyet đc lắp tuyen tớnh dương cna {a∗i|i ∈ I(x¯, ¯b)}, tù chúng minh cna Đ%nh lí 3.2 suy S đóng đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) Bói S giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯), ta có D∗ S(¯b, q¯, x¯)(0) = {0} Tù đánh giá (3.7) suy Kˆ M,q¯(0) = {0} (ii) Tù Đ%nh lí 3.1 ta thu đưoc dánh giá (3.8) Do LM,q¯(0) = {0} dan tói D∗ S(¯b, q¯, x¯)(0) = {0}, túc S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) (iii) Neu F˜ quy đo th% tai (x¯, ¯b, x¯∗ ), ta có Kˆ r M,q¯(x ) = Dˆ ∗ S(¯b, q¯, x¯)(xr ) = D∗ S(¯b, q¯, x¯)(xr ) = KM,q¯(xr ), dan tói S có tính giá Lipschitz đ%a phương tai (¯b, q¯, x¯) neu chí neu Kˆ M,q¯(0) = D∗ S(¯b, q¯, x¯)(0) = {0} Xét m®t ví du cu the ve tính tốn đoi đao hàm cna F sau: Cho n = 2, m = 2, p = 2, T = {1, 2} C1 = (0, 1), C2 = (−1, 0), D1 = (1, 1), D2 = (2, 2) = (0, 0) ∈ R3 x¯ = (0, 0), ta có Vói ω¯ Θ(ω¯) = {x ∈ R2 | x2 ≤ ω1 + ω2 , −x1 ≤ 2ω1 + 2ω2 }, I(x¯, ω¯) = {i ∈ T | (C T , x¯) = (DT , ω¯)} = {1, 2}, i i F (x¯, ω¯) = N (x¯, Θ(ω¯)) = pos {C T , CT } = R ×R − + Lay ¯∗ ξ = (0, 2) ∈ F (x¯, ω¯) Khi (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) ∈ gph F Rõ ràng, {C1, C2} l hắ đc lắp tuyen tớnh, nhiờn, %nh lý 3.3 and Đ%nh lý 4.3 in [12] không the áp dung đe tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna F Hơn nua, ma tr¾n D := {D1, D2} khơng có ma tr¾n ngh%ch đáo Vì v¾y, khơng the áp dung Đ%nh lý 3.3 vào [15] đe tính đoi đao hàm Fréchet cna F Đ%nh lý 3.4 vào [6] đe tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F Ta có K = {1}, I1 = {2}, {ξ¯∗ }⊥ = {(0, 2)}⊥ = R × {0}, = R+ × R −, T (x¯; Θ(ω¯ )) = N (x¯,)) Θ(ω¯ ∗ BI,K = T (x¯; Θ(p¯)) ∩ {x¯∗ }⊥ = R+ × {0}, AI,K = T (x¯; Θ(p¯)) ∩ {x¯∗ }⊥ ∗ = R− × R, − D1 = (−1, −1), −D2 = (−2, −2) De thay (C1, −D1) (C2, −D2) h¾ đc lắp tuyen tớnh Tự %nh lý 1.1, ta cú Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯∗ ); gph F ) = ,(x∗ , ω ∗ , ξ) (x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(C1 , −D1 )}, , + pos {(C2, −D2)}; (x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K = ,(x∗, ω∗, ξ) x∗ = + λ2 CT , λ1 ∈ R, λ2 ≤ λ1 C T ω∗ = −λ1DT − λ2DT , (x∗, ξ) ∈ , (R− × R) × (R+ × {0}) = ,(x∗, ω∗, ξ) x∗ = (−λ2, λ1), λ1 ∈ R, λ2 ≤ 0, ω∗ = −(λ1 + 2λ2, λ1 + 2λ2), ξ ∈ R+ × {0 } , Tù Đ%nh lý 1.2,ta có ∗ , ξ) ,(x∗ , ω ∗ x     Dˆ ∗ F (x¯, ω¯, x¯∗ )(ξ) =      ∅ ω∗ = (−λ2 , λ1 ), , = −(λ1 + 2λ2, λ1 + 2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≤ neu ξ ∈ R− × {0}, lai Tiep theo se tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F Rõ ràng, Iˆ = {{1}, {1, 2}} Xét trưòng hop sau: Trưòng hop 1: P = {1} Khi M((x¯, ω¯, ξ¯∗ )|P ) = {1}, rP = 1, Γ1 = {P }, ∆1 = ∆ Q ∈ {{1}, {1, 2}} Trưòng hop 1a: Q = {1} Khi E (P ) = ∅ AQ,P × BQ,P = ({0} × R) × (R × {0}), ∗ ∗ T T span {(C , −D )} = (x , ω ) | x∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1, −λ1), λ1 ∈ R, 1 C1a := {(x∗, ω∗, ξ) | x∗ = (0, λ1), ω∗ = (−λ1, −λ1), λ1 ∈ R, ξ ∈ R × {0}} Trưòng hop 1b: Q = {1, 2} Khi E (P ) = {2} AQ,P × BQ,P = (R− × R) × (R+ × {0}), span {(CT , −DT )} + pos {(CT , −DT )} = (x∗, ω∗) | x∗ = (−λ2, λ1), 1 2 ω = (−λ1 − 2λ2, −λ1 − 2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≤ , ∗ C1b := {(x∗, ω ∗, ξ) | x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 − 2λ2, −λ1 − 2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≤ 0, ξ ∈ R+ × {0}} Trưòng hop 2: P = {1, 2} Khi M((x¯, p¯, x¯∗ )|P ) = {{1, 2}}, rP = 1, Γ1 = {{1, 2}}, ∆1 = ∆ Q ∈ {{1, 2}} Ta có E (P ) = ∅ AQ,P × BQ,P = (R × R) × ({0} × {0}), ∗ ∗ T T T T span {(C , −D ), (C , −D )} = (x , ω ) | x∗ = (−λ2, λ1), 1 2 ω∗ = (−λ1 − 2λ2, −λ1 − 2λ2), λ1, λ2 ∈ R , C2a := {(x∗, ω∗, ξ) | x∗ = (−λ2, λ1), ω∗ = (−λ1 − 2λ2, −λ1 − 2λ2), λ1, λ2 ∈ R, v = (0, 0)} Tù Đ%nh lý 2.1 ta thay N ((x¯, ω¯, ξ¯∗ );gph F ) = ,(x∗ , ω ∗ , ξ) | x∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), , λ1 ∈ R, ξ ∈ R− × {0 , ∪ (x∗, ω∗ , ξ) |x∗ = (−λ2, λ1), } ω∗ = (−λ1 − 2λ2, −λ1 − 2λ2), λ1 ∈ R, λ2 ≤ 0, , R+ ì {0} Vỡ vắy, tự Đ%nh lý 2.2, D∗ F (x¯, ω¯, ξ¯∗ )(ξ) , ,  (x∗ , ω ∗ ) | x∗ = (0, λ1 ), ω ∗ = (−λ1 , −λ1 ), λ1 ∈ R    neu ξ ∈ × {0}, R+  ∗ = ,(x∗, ω ∗) |x∗ = , ), ω = λ1 2λ2 −λ1 2λ2), λ1 (− (−λ2 − , −  ,  λ1 ∈ R, λ2 ≤ neu ξ ∈ R− × {0},     ∅ lai KET LU¾N Đe tài nghiên cúu nham tìm hieu ve giái tích bien phân đao hàm suy r®ng, cu the lý thuyet đoi đao hàm cna Mordukhovich, lý thuyet toi ưu Thiet l¾p cơng thúc xác tính đoi đao hàm Fréchet đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh bói (0.1) úng dung nghiên cúu tính on đ%nh nghi¾m cna tốn toi ưu có tham so a oc mđt ắc trng can v n cho tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân có tham so (0.2) Tài li¾u tham kháo [1] L Ban, B S Mordukhovich and W Song (2011), Lipschitzian stability of parametric variational inequalities over generalized polyhedra in Banach spaces, Nonlinear Anal 74, 441–461 [2] A L Dontchev and R.T Rockafellar (1996) Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM J Optim 6, 1087–1105 [3] R Henrion, B S Mordukhovich and N M Nam (2010), Secondorder analysis of polyhedral systems in finite and infinite dimensions with applications to robust stability of variational inequalities, SIAM J Optim 20, 2199–2227 [4] R Henrion and J Outrata (2008), On calculating the normal cone to a finite union of convex polyhedra, Optimization 57, 57–58 [5] R Henrion, J Outrata and T Surowiec (2009), On the co-derivative of normal cone mappings to inequality systems, Nonlinear Anal 71, 1213–1226 [6] N Q Huy and J.-C Yao (2012), Exact formulae for coderivatives of normal cone mappings to perturbed polyhedral convex sets, J Optim Theory Appl., accepted for publication [7] G M Lee and N D Yen (2011), Fréchet and normal coderivatives of implicit multifunctions, Applicable Analysis 90, 1011–1027 34 [8] S Lu, (2010), Variational conditions under the constant rank constraint qualification, Math Oper Res 35, 120–139 [9] S Lu and S M Robinson (2008) , Variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Math Oper Res 33, 689–711 [10] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer, Berlin [11] B S Mordukhovich and R T Rockafellar, Second-order subdifferen- tial calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J Optim, submitted [12] N M Nam (2010) Coderivatives of normal cone mappings and Lipschitzian stability of parametric variational inequalities, Nonlinear Anal 73, 2271–2282 [13] R T Rockafellar (1970), Convex analysis, Princeton Mathematical Series, No 28 Princeton University Press, N.J Princeton [14] N T Qui (2011), Linearly perturbed polyhedral normal cone mappings and applications, Nonlinear Anal 74, 1676–1689 [15] N T Qui (2011), New results on linearly perturbed polyhedral normal cone mappings, J Math Anal Appl 381, 352–364 [16] N T Qui, Nonlinear Perturbations of Polyhedral Normal Cone Mappings and Affine Variational Inequalities, J Optim Theory Appl, DOI: 10.1007/s10957-011-9937-9 [17] N T Q Trang (2011) Lipschitzian stability of parametric variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets, Optim Lett, DOI: 10.1007/s11590-011-0299-x [18] J.-C Yao and N D Yen (2009) Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality I Basic calculations, Acta Math Vietnam 34, 157–172 [19] J.-C Yao and N D Yen (2009) Coderivative calculation related to a parametric affine variational inequality II Applications, Pac J Optim 5, 493–506 i ... tuc Đe tài “Đoi đao hàm cúa ánh xa nón pháp cho t¾p loi đa di¾n có tham so Nng dnng” nham thiet l¾p cơng thúc xác tính đoi đao hàm cna ánh xa F xác đ%nh (0.1) đ¾c trưng can đn cho tính Lipschitz... Đoi đao hàm Fréchet cúa F Trong chương trỡnh by mđt so khỏi niắm c bỏn cna giỏi tích bien phân đao hàm suy r®ng Đưa cơng thúc xác tính đoi đao hàm Fréchet cna ánh xa nón pháp cho t¾p loi đa di¾n... 1.1 Chương Đoi đao hàm Mordukhovich cúa F Trong chương trình bày cơng thúc tính đoi đao Mordukhovich cna ánh xa nón pháp cna t¾p loi đa di¾n có tham so 2.1 Bo đe ve t¾p chí so Các khái ni¾m kí