B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I —————— x —————— ĐINH TH± HONG GAM ĐIEU KIfiN TOI ƯU CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN LUắN VN THAC SY TON HOC H Nđi-2012 Bđ GIO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I —————— x —————— ĐINH TH± HONG GAM ĐIEU KIfiN TOI ƯU CHO BÀI TOÁN BIEN PHÂN Chuyên ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Nng Tõm H Nđi-2012 LốI CM N Luắn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi luụn quan tõm, đng viờn v tắn tỡnh húng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giỏm hiắu trũng hoc s pham H Nđi 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Trong trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Mnc lnc Má đau vii N®i dung 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.2 Phép tính vi phân khơng gian Banach 1.2.1 Bien phân b¾c nhat đao hàm 1.2.2 Bien phân đao hàm b¾c cao 1.2.3 M®t so tính chat bán 1.2.4 Đ%nh lí Lyusternik 11 1.3 Hàm loi dưói vi phân .12 1.4 M®t so khơng gian hàm .16 1.5 Hàm Lipschitz dưói vi phân Clarke .18 1.5.1 Hàm Lipschitz 18 1.5.2 Dưói vi phân Clarke .20 1.6 Bài toán toi ưu hàm Lagrange 22 1.7 Khái ni¾m tốn bien phân 28 Đieu ki¾n can cho tốn bien phân 30 2.1 Phương trình Euler .30 2.2 Đieu ki¾n Weierstrass .33 2.3 Đieu ki¾n Legendre 35 2.4 Đieu ki¾n Jacobi 38 2.5 Bài toán chu .42 Đieu ki¾n đú cho tốn bien phân 46 3.1 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương yeu 49 3.2 Đieu ki¾n đn đe ton tai nghi¾m đ%a phương manh 50 3.3 Đieu kiắn ton tai nghiắm toi u mđt so khụng gian (Banach phán xa, Sobolev) .51 3.3.1 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu không gian Banach phán xa 51 3.3.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu không gian Sobolve W1n 55 Ket lu¾n 56 Tài li¾u tham kháo 57 vii Má đau Lí chon đe tài Sn hình thành cna Giái tích huu han chieu xuat phát tù vi¾c nghiên cúu đieu ki¾n can cho nhung tốn cnc tr% đơn gián, tốn bien phân m®t yeu to quan tác đ®ng đen sn hình thành cna Giái tích vơ han chieu Khơng gian vơ han chieu cna hàm liên tuc hàm vi liên tuc, vi¾c phân loai tơpơ, nhung dun có đau tiên cho Phép tính vi phân vơ han chieu, tat cá nhung đeu chào đòi chiec nơi cna Phép tính bien phân Vi¾c nghiên cúu nhung tốn bien phân thnc sn đóng vai trò quan trong thnc te lý thuyet (xem[2] nhung tài li¾u dan đó) Bài tốn tìm đưòng lăn nhanh nhat có dang: ¸ x1 , + y12(x) dx → inf ; , −2gy(x) x0 (1) y(x0) = 0, y(x1) = y1 toán đau tiên cna Giái tích vơ han chieu (khơng gian cna tat cá nhung quy đao noi hai điem cho trưóc có so chieu vơ han) m®t nhung tốn có ràng bu®c đau tiên Hai lòi giái đau tiên đưoc cơng bo năm 1697, phương pháp Johann Bernoulli đưa chí thích úng vói tốn cu the Ngưoc lai, anh trai ơng Jacob Bernoulli đe xuat m®t phương pháp có the tong quát hóa đưoc, mó ký nguyên cna Lý thuyet bien phân (co đien) Sau toỏn ny oc cụng bo, ó xuat hiắn mđt so tốn toi ưu khác có ràng bu®c tốn chu co đien : tìm đưòng cong khép kín có chu vi cho trưóc cho di¾n tích tao thành lón nhat Ket q đưoc Euler trình bày tài li¾u [3] (1744) cách xú lý tong quát đau tiên cho toán toi ưu có ràng bu®c Nhieu tác giá ngồi nưóc quan tâm nghiên cúu nhung khía canh khác cna toán bien phân (xem [3], [4] [5] nhung tài li¾u dan đó) Sau đưoc hoc nhung kien thúc ve Tốn giái tích, vói mong muon tìm hieu sâu ve nhung kien thúc hoc, moi quan h¾ cna chúng vói nhung kien thúc chưa biet úng dung cna chúng, chon đe tài nghiên cúu: "Đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân" Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve nhung đieu ki¾n can, đn toi ưu cho tốn bien phân thơng qua m®t so tốn như: phương trình Euler, đieu ki¾n Werierstrass, tốn chu Nhi¾m nghiên cNu Tong hop mđt cỏch hắ thong mđt so ket quỏ ve nhung đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân Đoi tưang pham vi nghiên cNu + Đoi tưong: Nhung toán bien phân + Pham vi: Nhung đieu kiắn toi u mđt so khụng gian hm Phương pháp nghiên cNu Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài, sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích hàm, lý thuyet toi ưu DN kien đóng góp mái + Nghiên cúu làm rõ đưoc nhung đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân + Tong hop, hắ thong mđt so ket quỏ ó oc nhà khoa hoc nghiên cúu công bo ve nhung đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân Chương Kien thNc chuan b% Trong chương này, đưa nhung kien thúc bán nham bo tro kien thúc cho chương sau nên ket q khơng chúng minh 1.1 Khơng gian Banach Dưói đ%nh nghĩa tính chat ve khơng gian Banach kien thúc có liên quan khụng gian %nh chuan, dóy hđi tu, hđi tu tuyắt đoi Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian đ%nh chuan) Cho X khơng gian tuyen tính trưòng K X đưoc goi m®t khơng gian đ%nh chuan trưòng K neu ton tai m®t chuan "." X, ∀u, v ∈ X α ∈ K, thóa mãn đieu ki¾n sau đây: (i) "u" “ (vói "u" m®t so thnc khơng âm) (ii) "u" = neu u = (iii) "αu" = |α| "u" (iv) "u + v" ™ "u" + "v" (bat thúc tam giác) M®t khơng gian đ%nh chuan trưòng K = R ho¾c K = C đưoc goi khơng gian đ%nh chuan thnc ho¾c phúc, tương úng Neu λ0 = = const Đieu ki¾n biên kéo theo x ≡ l = 2t0 x˙ Neu l > 2t0 có the đ¾t λ0 = λ1 = λ Giái phương trình ta có x + λ = C cosh t + D C t Do đieu ki¾n biên đoi xúng nên D = Đ® dài soi dây x = C cosh C ,t ™ t0 2C sinh t 0C Goi C0là nghi¾m cna phương trình C sinh Ct =2 l λ = C0 cosh t0 ta nh¾n đưoc dang cna soi dây C0 x (t) = C0 cosh t C0 + λ¯ Chương Đieu ki¾n đú cho tốn bien phân Trong chương này, ta se trình bày đieu ki¾n đn cho tốn bien phân Tù nghiên cúu sn ton tai nghi¾m đ%a phương yeu manh cna tốn sn ton tai nghi¾m khơng phán xa, khơng gian Sobolev é đây, ta xét toán tương tn ví du 2.4.2 T ¸ F (x) := x˙ (t) − x2 (t) dt → inf x (0) = x (T ) = 0, T > π Phương trình Euler cna tốn bien phân Lx − d d = −2x (t) − x˙ (t) = −2 (x (t) + x˙ (t)) = dx x∗ (t) ≡ Phương trình có nghiắm Neu T thỡ nú l mđt nghiắm toi ưu Nhưng T > π x∗ (·) khơng toi ưu khơng phái nghi¾m toi ưu đ%a phương yeu Th¾t v¾y, ta xét πt x (t, σ) := σ sin T Ta có T σ2 F (x (·, σ)) = T π2 − → −∞ σ → ∞ Tích phân F (x (·, σ)) < vói moi σ, x (·, σ) → x∗ (·) C1 ([0, T ]), σ → Suy x∗ (·) khơng the nghi¾m cnc tieu đ%a phương yeu Trong ví du này, hàm L (t, x, x˙ ) hàm loi ng¾t theo bien thú ba Lx˙ x˙ = > 0, t ∈ [t0, t1] Nhưng, đieu khơng đn đám báo rang nghi¾m cna phương trình Euler toi ưu Đe đat đưoc muc đích này, ta can thêm đieu ki¾n Jacobi ve điem liên hop Xét tốn ¸t1 F (x (·)) := L (t, x (t) , x˙ (t)) dt → inf; t0 x (t0) = x0, x (t1) = x1, x (·) : [t0, t1] → Rn, L : R × Rn × Rn → R (3.1) (3.2) Giá thiet rang x (·) ∈ Cn ([t , t ]) L vi hai lan V, ∗ ú V R ì Rn ì Rn l mđt t¾p mó mà (t, x∗ (t) , x˙ (t)) ∈ V vói moi ∗ t ∈ [t0, t1] Bo đe 3.0.1 Phiem hàm F (·) vi Fréchet hai lan mđt lõn cắn cỳa iem x (ã) không gian C1n ([t0, t ]) n F (x ∗ (·)) (x (·) x˙ (·)) = t1 ¸ [(A (t) x˙ (t)| x˙ (t)) + (B (t) x (t)| x (t)) + (C (t) x˙ (t)| x (t))] (3.3) t0 vói A (t) := Lx˙ x˙ (t, x∗ (t) , x˙ ∗ (t)) (3.4) B (t) := Lxx (t, x∗ (t) , x˙ ∗ (t)) C (t) := Lxx˙ (t, x∗ (t) , x˙ ∗ (t)) Ký hi¾u phan dư cúa xap xs b¾c hai r (x (·)) := F (x∗ (·) + x (·)) − F (x∗ (·)) − F r (x∗ (·)) x (·) − F rr (x∗ (·)) (x (·) , x (·)) Khi đó, vói moi ε > ton tai δ > cho |r (x (·))| ™ ε "x (·)"w neu (3.5) (3.6) n 1,2 x (·) ∈ L0 := {x (·) ∈ C n [t0, t1]| x (t0) = x (t1) = 0} "x (·)" n ™δ C1 Chúng minh (tiêng nga) Goi Φ (·, t0) nghi¾m cna phương trình Jacobi d − d Ax˙ + C T x + Cx˙ + Bx = 0, t vói đieu ki¾n ban đau Φ (t0 , t0 ) = 0, (t , t ) = I 0 ˙ Φ M®t điem τ > t0 đưoc goi điem liên hop cna t0, neu ma tr¾n Φ (τ, t0) suy bien Bo đe 3.0.2 Giá thiet rang đieu ki¾n Legendre ng¾t Lxx (t, x∗ , x˙ ∗ ) = A (t) > 0, [t0 , t1 ] (3.7) t∈ đieu ki¾n Jacob ng¾t khơng ton tai điem liên hop cúa t0 khống (t0, t1] đưoc thóa mãn Khi dang tồn phương ¸t1 χ (x (·)) = [( A (t) x˙ (t)| x˙ (t)) + (B (t) x (t)| x (t))+ t0 (3.8) + (C (t) x˙ (t)| x (t)) dt dương ng¾t khơng gian W n 1, ([t0, t1]) túc ton tai α > cho χ (x (·)) “ α "x (·)" n w1,2 ∀x (·) ∈ W n1, ([t0, t1]) Chúng minh Áp dung hai bo đe trên, ta se chúng minh đieu ki¾n đn sau cho nghi¾m toi ưu đ%a phương yeu nghi¾m toi ưu đ%a phương manh 3.1 Đieu ki¾n đú đe ton tai nghi¾m đ%a phương yeu Đ%nh lí 3.1.1 Cho x∗ (·) nghi¾m chap nh¾n đưoc cúa tốn 3.1 thóa mãn phương trình Euler = (3.9) − d Lx˙ + Lx d ∗ x t Neu thóa mãn đieu ki¾n Legendre ng¾t 3.7 đieu ki¾n Jacob ng¾t 3.8 x∗ (·) l mđt nghiắm toi u %a phng yeu cỳa bi tốn 3.1 Chúng minh Theo bo đe 3.2, ta có χ (x (·)) “ α "x (·) "w n 1,2 ∀x (·) ∈ W n 1, ([t0, t1]) cho m®t so α > Tù bo đe 3.1 suy có the chon δ > cho α |r (x (·))| ™ "x (·)" 1,2 wn neu "x (·)"Cn1 ™ δ M¾t khác, x∗ (·) thóa mãn phương trình Euler nên t1 F r (x (·)) ¸ x (t) + Lx˙ | = Lx| x ∗ x˙ (t) dt ∗ x t0 t1 ¸ Lx|x ∗ − = d t0 dt Lx˙ | x (t) dt x∗ =0 cho x (·) ∈ L0 Thay vào 3.5 ta có F rr (x∗ (·)) (x (·) x (·)) + r (x (·)) F (x∗ (·) + x (·)) − F (x∗ (·)) = “ x (·) ∈ L0 "x (·)"Cn ™ δ α "x (·)" α − “ w n 1,2 Vì v¾y, x∗ (·) nghi¾m cnc tieu đ%a phương yeu 3.2 Đieu ki¾n đú đe ton tai nghi¾m đ%a phương manh Đoi vói nghi¾m cnc tieu đ%a phương manh, ta có đieu ki¾n đn Weier- strass sau Đ%nh lí 3.2.1 Cho x (ã) l mđt nghiắm chap nhắn oc cúa tốn 3.1, thóa mãn phương trình Euler 3.9 đieu ki¾n Jacob ng¾t 3.8 Neu thêm vào đó, hàm L (t, x, ξ) loi ng¾t theo bien vói moi (t, x) mđt lõn cắn cỳa o th% cỳa x (ã) thỡ x (ã) l mđt nghiắm cnc tieu đ%a phương manh cúa toán 3.1 Chúng minh 3.3 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu m®t so khơng gian (Banach phán xa, Sobolev) Xét tốn bien phân sau ¸t1 F ((·)) := L (t, x (t) , x˙ (t)) dt → inf; t0 (3.10) x (t0) = x0, x (t1) = x1 n n n x (·) : [t0, t1] → R , L : R × R × R → R Ta xét vào nhung không gian cu the sau 3.3.1 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu khơng gian Banach phán xa Cho X m®t khơng gian Banach I : X → R ∪ {+∞} Neu (x∗, xi − x) → ∀x∗ ∈ X∗ ta nói xi h®i tu yeu tói x viet xi → x I đưoc goi núa liên tuc dưói yeu neu lim inf I (xi) “ I (x) moi xi → x i→∞ Đ%nh lí 3.3.1 Cho X m®t khơng gian Banach phán xa, I : X → R ∪ {+∞} núa liên tnc dưói yeu thóa mãn đieu ki¾n cưõng búc: ton tai α > 0, γ > β ∈ R cho I (x) “ α"x " + β ∀x ∈ X γ Neu có x˜ ∈ X vói I (x˜) < ∞ ton tai x∗ ∈ X cho I (x∗) = inf I (x) x∈X (3.11) Chúng minh Giá sú (xi) m®t dãy cnc tieu, ta có lim I (xi) = inf i→∞ I (x) x∈X Khơng làm mat tính tong qt, có the giá thiet rang I (xi) ™ I (x˜) 0, γ > β ∈ R cho γ β ™ α"x " + β ™ I (xi) ™ I (x˜) , "xi" ™ túc < ∞ I (x˜) − β α α Vì X khơng gian Banach phán xa nên ton tai m®t dãy (xi) h®i tu yeu tói x∗ ∈ X.Do I (·) núa liên tuc dưói yeu nên lim I (xi) “ I (x∗) “ I (x) inf i→∞ x∈X V¾y I (x∗) = inf I (x) x∈X V¾y đ%nh lí đưoc chúng minh Như v¾y, đieu ki¾n cưõng búc đưoc dùng đe đám báo tính giói n®i cna dãy cnc tieu (tương đương vói tính compact tng oi cna mđt mỳc dúi) Van e ó I (·)núa liên tuc dưói yeu không? Sú dung Bo đe Mazur (xem [7], tr 17) có the chúng minh đ%nh lí sau Đ%nh lí 3.3.2 Neu I (·) loi núa liên tnc dưói núa liên tnc dưói yeu Chúng minh [7], tr.49 Đe đưa đieu ki¾n ton tai nghi¾m cho tốn bien phân 3.10 trưòng hop tong quát (F (·) không loi), ta can đen khái niắm sau õy Hm f : [t0, t1] ì Rn × Rr → R ∪ {+∞} đưoc goi thóa mãn đieu ki¾n Carathéodory, neu liên tuc theo (x, u) vói moi t ∈ [t0 , t1 ] đo đưoc theo t vói moi (x, u) Đ%nh lí 3.3.3 Giá thiet rang L : R × Rn × Rn → R thóa mãn đieu ki¾n Carathéodory L (t, x, u) “ (a (t)| u) + b (t) (3.12) n n n vói hau het t vói moi (x, u) ∈ R × R , a (·) ∈ L , + = r r p p p b (·) ∈ L1 Neu L (t, x, ·) loi (vói moi t, x) phiem hàm t1 ¸ L (t, x (t) , x˙ (t)) dt F ((·)) = t0 núa liên tnc dưói yeu khơng gian W n1, p Chúng minh [7], tr.75 Các giá thiet nêu đ%nh lí gan toi ưu Đ¾c bi¾t, giá thiet L(t, x, ) loi khơng nhung thu®c vào đieu ki¾n đn mà đieu ki¾n can cho tính núa liên tuc dưói yeu khơng gian W n1, (xem [3], p nhung tài li¾u đó) Dna vào ket trên, ta có the chúng minh đieu ki¾n đn sau cho sn ton tai cna nghi¾m toi ưu khơng gian Banach phán xa n , p > W 1,p Đ%nh lí 3.3.4 Giá thiet rang L : R × Rn × Rn → R thóa mãn đieu ki¾n Carathéodory đieu ki¾n cưõng búc p L (t, x, u) “ a|u| + b (t) (3.13) vói hau het t vói moi (x, u) ∈ Rn × Rn , a > 0, p > b (·) ∈ L1 Neu L (t, x, ·) loi (vói moi t, x) ton tai x˜ (·) ∈ Wn 1, p , x˜ (t0 ) = x0 , x˜ (t1 ) = x1 vói (x˜ (·)) < ∞ n tốn bien phân 3.10 có nghi¾m cnc tieu khơng gian W 1, p Chúng minh Khơng làm mat tính tong quát, giá thiet rang x0 = x1 = Khi o n X = x (·) ∈ W1, ([t0, t1]) |x (t0) = x (t1) = 0= W p n 1, p ([t0, t1]) m®t khơng gian Banach phán xa (p > 1) 3.13 kéo theo 3.12 đưoc thóa mãn.V¾y theo đ%nh lí 3.3.3, phiem hàm F (·) núa liên tuc dưói yeu X Ta chúng minh rang phiem hàm F (·) thóa mãn đieu ki¾n cưõng búc 3.11 Th¾t v¾y, theo bat thúc Poincaré vói ™ p < ∞ ton tai K > cho ∀x (·) ∈ W n1,p "x (·)"Ln ™ K"x˙ (·)"Ln p p (xem [7],tr.26) Suy "x (·)" W = "x (·)" n 1,p + "x˙ (·)" ™ (K + 1)"x˙ (·)" p n Lnp Lp Ln M¾t khác, tù 3.13 ta có ¸t1 F (x (·)) “ a t0 t1 p |x˙ (t)| dt + ¸ b (t) dt t0 ¸t1 p b (t) dt = a "x˙ (·) "Lp + n “ a K+ t0 t1 ¸ "x (·)" W 1,p n b (t) dt + t0 túc đieu ki¾n 3.11 đưoc thóa mãn Tù đ%nh lí 3.3.1 ta có đieu phái chúng minh 3.3.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m toi ưu khơng gian Sobolve n W 1,1 n Do 1,1 không gian phán xa không loi dung đưoc tôpô yeu đám báo sn W ton tai cna dãy cnc tieu h®i tu Nham chúng minh tính compact cna t¾p múc dưói, (xem [3] v mđt so ti liắu ú) dựng mđt ieu ki¾n tăng trưóng đe đám báo tính liên tuc đong b¾c cna Nhò the có the áp dung đ%nh lớ sau %nh lớ 3.3.5 (ARZEL) Mđt A C n ([t0, t1]) compact tương đoi tôpô manh chs giói n®i liên tnc đong b¾c Cùng vói đieu ki¾n tăng trưóng đó, giá thiet L (t, x, ·) loi lai đưoc sú dung đe chí tính núa liên tuc dưói cna phiem hàm muc tiêu F (·) Ta khơng đe c¾p chi tiet ó đây, mà chí ý rang: (xem [3]) đưa nhung đieu ki¾n tong quát cho ton tai nghi¾m cna tốn đieu khien toi ưu Ket luắn e ti nghiờn cỳu ve nhung đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân se i trỡnh by mđt cỏch hắ thong cỏc khỏi niắm tính chat ve khơng gian Banach, phép tính vi phân, dưói vi phân Clarke, hàm Lipschitz, hàm Lagrange • Lu¾n văn se nghiên cúu trình bày ve đieu ki¾n can đieu ki¾n đn cho tốn bien phân tốn bien phân só, phương trình Euler, đieu ki¾n Weierstrass, Legendre,Jacobi, tốn chu, sn ton tai nghi¾m đ%a phương manh, yeu m®t so khơng gian hàm Vói lnc han che thòi gian có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói thieu sót Kính mong q thay ban hoc góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Đ¾u The Cap (2002), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Giáo duc [2] Hồng Tuy (1979), Giái tích hi¾n đai: 1, 2, 3, Nhà xuat bán Giáo duc [3] Hoàng Xuân Phú, Lý thuyet toán cnc tr%, Giáo trình cao hoc, Vi¾n Tốn hoc [B] Tài li¾u tieng Anh [4] F H Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, John Wiley and Sons, Inc., New York [5] A D Ioffe, V M Tikhomirov (1979), Theory of extremal problems, North-Holland, Amsterdam ... chưa biet úng dung cna chúng, chon đe tài nghiên cúu: "Đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân" Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu ve nhung đieu ki¾n can, đn toi ưu cho tốn bien phân thơng qua m®t so tốn như:... dưói vi phân .12 1.4 M®t so không gian hàm .16 1.5 Hàm Lipschitz dưói vi phân Clarke .18 1.5.1 Hàm Lipschitz 18 1.5.2 Dưói vi phân Clarke .20 1.6 Bài toán toi ưu hàm... toi ưu DN kien đóng góp mái + Nghiên cúu làm rõ đưoc nhung đieu ki¾n toi ưu cho tốn bien phân + Tong hop, hắ thong mđt so ket quỏ ó oc nhà khoa hoc nghiên cúu công bo ve nhung đieu ki¾n toi ưu cho