Lài cám ơn Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay cô giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p Nhân d%p tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p v hon thnh luắn H Nđi, thỏng 12 nm 2012 Tác giá Pham Th% Hong Hương Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn “Điem kỳ d% nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính” đưoc hồn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong q trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Pham Th% Hong Hương Mnc lnc Má đau .1 Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 M®t so kien thúc bán ve chuoi hàm .6 1.1.1 M®t so khái ni¾m .6 1.1.2 Sn h®i tu đeu cna chuoi hàm 1.1.3 Chuoi hm hđi tu tuyắt oi 1.1.4 Chuoi luy thùa .9 1.1.5 Khai trien hàm so thành chuoi lũy thùa .12 1.2 Tong quan ve phương trình vi phân tuyen tính 14 1.2.1 Mđt so khỏi niắm 14 1.2.2 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 15 1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so 15 1.3 Điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính sn phân loai 22 1.3.1 Khái ni¾m ví du 24 1.3.2 Phân loai điem kỳ d% 25 Chương Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưàng 28 2.1 Ý tưóng cna phương pháp .29 2.2 M®t so ví du 30 2.3 Mú rđng khỏi niắm ve iem thưòng 38 i 2.4 Van e bỏn kớnh hđi tu cna nghiắm chuoi 41 2.5 Phương trình Euler 44 2.5.1 Phương trình đ¾c trưng có hai nghi¾m thnc phân bi¾t 46 2.5.2 Phương trình đ¾c trưng có hai nghi¾m thnc bang 47 2.5.3 Phương trình đ¾c trưng có c¾p nghi¾m phúc liên hop .48 2.5.4 Đ%nh lý .51 Chương Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d% 53 3.1 Nghi¾m chuoi lân c¾n cna điem kỳ d% quy 53 3.1.1 Ý tưóng cna phương pháp 53 3.1.2 Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lõn cắn cna mđt iem k d% chớnh quy 60 3.2 Phương trình Bessel 71 3.2.1 Phương trình Bessel cap 71 3.2.2 Phương trình Bessel cap 76 3.2.3 Phương trình Bessel cap 79 Ket lu¾n 83 Tài li¾u tham kháo 84 i Má đau Lý chon đe tài Như ta biet vi¾c tìm nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính đưoc dna só xác đ%nh mđt hắ nghiắm c bỏn cna phng trỡnh vi phõn thuan nhat cựng vúi viắc tỡm mđt nghiắm riờng cna phương trình Nghi¾m tong qt cna phương trình can giái tong nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng Nhưng cho đen nay, ngưòi ta chí đưa đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so hm cna bien đc lắp, viắc tỡm nghiắm ú dang to hop cna hàm so sơ cap cna m®t so phương trình vi phân rat khó (neu khơng muon nói khơng the) Đieu xáy cá phương trình vi phân có dang rat đơn gián Chang han, phương trình dưói yrr − 2x.yr + y = Đây phương trình vi phân tuyen tính cap hai, mà ta khơng the tìm oc nghiắm riờng dúi dang mđt hm so s cap Tuy nhiên, vi¾c giái phương trình dang phương trình rat quan náy sinh tù van đe thnc tien liên quan đen nhieu tốn lĩnh vnc V¾t lý Chang han, liên quan đen phương trình Schrodinger hoc lưong tú Vì v¾y, can thiet phái xây dnng phương pháp nham tìm nghi¾m cho phương trình dang M®t phương pháp thơng dung tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang chuoi lũy thùa y(x) = ∞ a n x n = a0 + a x + a x2 + · · · + a n xn + · · · n=0 Cơ só Tốn hoc cna phương pháp thay the bieu thúc đao hàm cna vào phương trình vi phân can giái Tù đó, xác đ%nh giá tr% cna hang so a0, a1, a2, cho nghi¾m phương trình vi phân cho Sau đong nhat h¾ so h¾ thúc nh¾n đưoc, ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình Tuy nhiên, só cna phương pháp nói ó chí có giá tr% chuoi lũy thùa úng vói hắ so tỡm oc phỏi l chuoi hđi tu Chuoi lũy thùa có nhieu tính chat đep đe, đieu cho phép ngưòi ta có the thnc hi¾n nhieu quỏ trỡnh tớnh toỏn thuắn loi D nhiờn, mien hđi tu cna chuoi ly thựa thu oc l mđt hop khác rong neu chuoi lũy thùa có bán kính h®i tu R khống h®i tu cna chuoi (−R, R) Trong khống h®i tu ta có the lay đao hàm tích phân tùng so hang cna chuoi Chuoi mói nh¾n đưoc (sau lay đao hàm hoắc tớch phõn) cng cú bỏn kớnh hđi tu nh chuoi ban đau Đieu dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân dưói dang chuoi lũy thùa Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, tơi chon đe tài: “Điem kỳ d% nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính” đe hồn thành lu¾n văn đào tao Thac sĩ khoa hoc chuyên ngành Toán hoc Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tơi bo cuc lu¾n văn thành ba chương Chương é đây, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán ve phương trình vi phân, sâu lý thuyet chung đoi vói phương trình vi phân tuyen tính lý thuyet chuoi hàm é nhung kien thúc bán nhat liên quan đen vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Cũng đe thu¾n loi vi¾c trình bày phương pháp nghiên cúu van đe đ¾t ra, phan chỳng tụi cng trỡnh by mđt cỏch chi tiet viắc phân loai điem cna phương trình vi phân dưói góc đ® cna hàm giái tích Chương Chương oc ginh cho viắc trỡnh by mđt cỏch tớ mớ ve phương pháp ky thu¾t tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưòng Ngồi vi¾c phân tích tưòng minh ý tưóng cna van đe, ky thu¾t vi¾c tìm nghi¾m chuoi đưoc minh hoa qua ví du cu the Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% minh hoa áp dung cna phương pháp vi¾c giái phương trình Bessel 2.Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Cu the - Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưòng - Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trinh vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% quy 3.Nhi¾m nghiên cNu Trình bày sn phân loai loai điem kỳ d% phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính 4.Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Sn phân loai điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính - Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính 5.Phương pháp nghiên cNu Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan 6.DN kien đóng góp cúa đe tài Tìm phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Cu the sau - Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưòng - Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% quy Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 M®t so kien thNc bán ve chuoi hàm 1.1.1 Mđt so khỏi niắm Trong pham vi nghiờn cỳu cna lu¾n văn, chúng tơi chí đe c¾p đen khái ni¾m ket bán ve chuoi hàm so thnc Trúc het, ta giúi thiắu mđt so khái ni¾m bán ve dãy hàm Cho dãy hàm {un(x)}n= xác đ%nh t¾p X Điem x0 ∈ X goi điem h®i tu cna dãy hàm cho neu dóy so {un (x0)} hđi tu Tắp hop X0 = x ∈ X : {un(x)} h®i tu đưoc goi mien h®i tu cna dãy hàm Khi đó, vói moi x ∈ X0, đ¾t u(x) = lim u (x), n n→∞ ta đưoc m®t hàm u(x) xác đ%nh t¾p X0 dãy hàm {un(x)} đưoc goi h®i tu điem ve hàm u(x) X0 Phát bieu dưói dang khác: dãy hàm {un(x)} đưoc goi l hđi tu iem ve hm u(x) trờn X neu vói moi ε > cho trưóc vói moi x ∈ X ton tai so nguyên dương N = N (x, ε) cho vói moi n ≥ N ta có |un(x) − u(x)| < ε hop vói phương trình Bessel vói x lón, tính giái tích cao đưoc u cau Th¾t v¾y, ta có the chí rang J0 (x) ∼= cos x x → ∞ (3.43) π 1/2 − π x Y0 (x) ∼= 1/2 π x sin x π x → ∞ (3.44) − Sn xap xí ti¾m c¾n x → ∞, thnc sn rat tot Do đó, đe xap xí J0(x) mien ngun tù đen vơ cùng, ta có the sú dung hai ho¾c ba so hang cna chuoi (3.40) vói x ≥ sn xap xí ti¾m c¾n (3.43) vói s ≥ 1 3.2.2 Phương trình Bessel cap Ví du minh hoa cho trưòng hop nghi¾m cna phương trỡnh ắc trng sai khỏc mđt so nguyờn dng, khơng có so hang logarit nghi¾m thú hai Đ¾t v = phương trình (3.35) ta đưoc L y = ].x2 (3.45) xy r xy + − Neu thay chuoi cna y = φ(r, x) ó phan 3.2.1 đao hàm cna vào phương trình trên, ta nh¾n đưoc ∞ L[ φ] (r, x) = n = ∞ (r + n)(r + n − 1) + (r + n) =a0 x r2 + r 1) + − a1 xr+1 + + + xr+n = n=2 n) an (3.46) −2 a ∞ − (r an n=0 − − a n x r xr +n +n + +2 (r n 1 Các nghi¾m2cna phương trình đ¾c trưng r1 = r = ; nghi¾m sai khác mđt so nguyờn Hắ thỳc truy toỏn l = − (a n , n ≥ − − (3.47) ., hay đ¾t n = 2m, ta đưoc a 2m(2m + = − a2m−2 ; m = 1, 2, 3, Giái h¾ thúc truy tốn ta tìm đưoc n ) aa0 3! a n(n + ; n= 1) 2, 4, 6, r+1 + 1) − r 2m an = n , ta thay rang Vói h¾ so cna nghi¾m tù x r1 = (3.46) a1 = Do đó, thúc truy tốn (3.47), a3 = ··= phương trình tù h¾ a5 = · a2n+1 = · · · = Hơn nua, vói r = , an−2 −5! = , tong quát a2m = m (−1) a ; m = 1, 2, 3, (2m + 1)! Do đó, lay a0 = ta đưoc ∞ (−1) , x > (−1) m 2m y 1( ∞ = x m 2m x) (2m x x−1/2 + = + x1/2 1)! m m=0 = (2m + 1)! Chuoi lũy thùa phương trình chuoi Taylor cna sin x; ú mđt nghiắm cna phng l x1/2 sin x trình Bessel cap Hàm Bessel 1/2 loai mđt cna cap , ký hiắu l J1/2, đưoc xác đ%nh π J y Do sin x, x > .1/2 (3.48) πx Vói nghi¾m r2 = − , ta có the thay khó khăn vi¾c tính a1 N = r1 − r2 = Tuy nhiên, tù phương trình (3.46) vói r = − h¾ so cna xr xr+1 đeu bang khơng phu thu®c vi¾c chon a0 a1 Do đó, a0 logar it đe thu đưoc − nghi a1 ¾m có the chon thú tùy ý Tù hai h¾ thúc truy toỏn trũn (3.47) ta thu g oc mđt hop hop h¾ có Coi đ¾c trưng chan ỳng so bi vúi a0 v mđt cho hop h¾ ban so có đ¾c đoc trưng lé úng vói a1 Do đó, khơng can so hang đe chí rang, vói r = − na a( ( 1) − ; n = 1, 2, n (2n + 1)! =) D o đ ó n a , a n + = ( n )! ∞ y 2( (−1 n 2n+1 (−1) x n x) ∞ ) + (2n + 1)! = x a1 x− a n 1/2 n = cos x (2 n) n=0 ! sin x = a0 x1/2 + a1 x1/2 ,x> Hang so a1 đưa vào m®t b®i so cna y1(x) Nghiắm đc lắp tuyen tớnh thỳ 1/2 hai cna phương trình Bessel cap thưòng đưoc lay vói a0 π = a1 = Nó đưoc ký hi¾u J−1/2 Khi J−1/2(x) = cos x, x > (3.49) 1/2 πx Nghi¾m tong qt cna phương trình (3.45) y = c1J1/2(x) + c2J−1/2(x) Ket hop phương trình (3.48) (3.49) vói phương trình (3.43) π (3.44), thay rang trù đ® d%ch chuyen pha cna , hàm J−1/2 J1/2 tương úng giong J0 Y0 vói x lón 3.2.3 Phương trình Bessel cap Ví du minh hoa cho trưòng hop nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng sai khác mđt so nguyờn dng v nghiắm thỳ hai nõng lờn mđt so hang logarit v = phng trình (3.35) ta đưoc rr r L[y] = x y + xy + x − y = (3.50) Neu ta thay chuoi cna y = φ(r, x) ó phan 3.2.1 đao hàm cna vào phương trình rút gon so hang ó trưòng hop trưóc, thu đưoc L[φ](r, x) = a0(r2 − 1)xr + a1 (r + 1) − xr+1 ∞ + (r + n) − an + an−2 xr+n = n=2 , (3.51) Các nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng r1 = r2 = −1 H¾ thúc truy toán (r + n) − an(r) = 2(r), − n ≥ −an Vói nghi¾m r = 1, h¾ thúc truy tốn tró thành an−2 an = − ; n = 2, 3, 4, (n + Chúng ta thay 2)n tù h¾ so cna xr+1 phương trình (3.51) a1 = Do đó, tù h¾ thúc truy tốn ta có a3 = a5 = · · · = Vói giá tr% chan cna n = 2m, ta đưoc a2m−2 a 2m−2 a2m = − (2m + 2)2m =− 22(m + 1)m ; m = 1, 2, 3, Giái h¾ thúc truy tốn ta nh¾n đưoc m (−1) a0 a2m = ; m = 1, 2, 3, 22m(m + 1)!m! Hàm Bessel loai mđt cna cap 1, ký hiắu l J1, thu đưoc bang cách chon Do m a0 (−1) x2m = (3.52) x ∞ 22m(m + 1)!m! J1(x) = m= Chuoi h®i tu tuy¾t đoi vói moi x, v¾y hàm J1 giái tích khap nơi Đe xác đ%nh nghi¾m thú hai cna phương trình Bessel cap 1, se sú dung phương pháp thay the trnc tiep Vi¾c tính tốn so hang tong qt phương trình dưói phúc tap, m®t vài so hang đau có the tìm thay de dàng Theo Đ%nh lý 3.1, giá sú rang y2(x) = aJ1(x) ln x + ∞ , x > x−1 1+ cn x n n=1 Tính yr (x), yrr(x), thay vào phương trình (3.50) sú sung J1 nghi¾m 2 cna phương trình (3.50), ta nh¾n đưoc ∞ ∞ 2axJ1 r (x)+ [(n − 1)(n − 2)cn + (n − 1)cn − cn] xn−1 + cnxn+1 = 0, n=0 n=0 c0 = Thay J1(x) tù phương trình (3.52), d%ch chuyen chí so cna tong chuoi thú hai ó ve trái cna phương trình bien đoi m®t vài bưóc đai so, ta đưoc ∞ −c1 + [0 · c2+c0]x + 1)cn+1 + cn = −a x + m=1 (n − 2m+1 ∞ m n= −1 n x (−1) (2m + 1)x 22m(m + 1)!m! Tù phương trình trên, trưóc tiên ý rang c1 = a = −c0 = −1 Hơn nua, chí có so mũ lé cna x ó ve phái, nên h¾ so cna moi so mũ chan cna x ó ve trái phái bang Do đó, c1 = nên ta có c3 = c5 = · · · = Vói so mũ lé cna x, ta thu đưoc h¾ thúc truy tốn (đ¾t n = 2m + chuoi ó ve trái cna phương trình trên) (2m m + 1) − c2m+2 + c2m = (−1) (2m + 1) 22m(m + ; m = 1, 2, 3, 1)!m! (3.53) Khi đ¾t m = phương trình (3.53) ta thu đưoc (−1) · (32 − 1)c4 + c2 = 22 · 2! Chú ý rang, c2 có the đưoc chon tùy ý, phương trình xác đ%nh c4 Cũng ý rang phương trình vói h¾ so cna x, c2 nhân vói 0, phương trình đưoc dùng đe xác nhiên c2 tùy đ%nh a Hien ∞ c x ý, c2 h¾ so cna x bieu thúc x−1 Tù đó, c2 tao n + n= n thành m®t b®i so cna J1, y2 chí xác đ%nh m®t b®i so c®ng tính cna J1 Thơng thưòng thnc hành chon c2 Khi = nh¾n đưoc − c4 = 24 · −1 +1= 24 · 2! 1+ + (−1) = 24 · 2! (H2 + H1 ) Chúng ta có the chí rang nghi¾m cna h¾ thúc truy tốn (3.29) − ; m = 1, 2, 3, m+1 (Hm + Hm 2m c2m = (−1) m!(m − 1) 1)! vói H0 = Do y2(x) = −J1(x) ln x + ∞ m 1) (−1) (Hm + H−m x 1− m 22 m!(m − 1)! m= , x > m x Vi¾c tính y2(x) sú dung phương pháp thay the (xem phương trình (3.29) (3.30) ó phan 3.2.2), ta xác đ%nh đưoc cn(r2) de dàng Đ¾c bi¾t, bưóc cuoi cho ta công thúc tong quát cna c2m mà không can thiet giái h¾ thúc truy tốn (3.53) Nghi¾m thú hai cna phương trình (3.50), hàm Bessel loai hai cna cap1, ký hi¾u Y1, thưòng đưoc lay to hop tuyen tính biet cna J1 y2, đưoc xác đ%nh Y1(x) = [−y2(x) + (γ − ln 2)J1(x)] , π γ đưoc xác đ%nh tù phương trình γ = lim (Hn ln n) ∼= 0, − 5772 n→∞ Nghi¾m tong qt cna phương trình (3.50) vói x > y = c1J1(x) + c2Y1(x) Chú ý rang, J1 giái tích tai x = nghi¾m thú hai Y1 khơng b% ch¾n giong x → x Ket lu¾n Lu¾n văn giái quyet đưoc van đe sau Hắ thong mđt so kien thỳc c bỏn ve phng trình vi phân tuyen tính lý thuyet chuoi hàm ong thũi cng trỡnh by mđt cỏch chi tiet viắc phân loai loai điem cna phương trình vi phân tuyen tính vi¾c tìm nghi¾m chuoi Trình bày mđt cỏc cu the phng phỏp v ky thuắt tỡm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưòng Ngồi vi¾c phân tích tưòng minh ý tưóng cna van đe, ky thu¾t vi¾c tìm nghi¾m chuoi đưoc minh hoa qua ví du cu the Trình bày ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem thưòng, điem kỳ d% quy đưa mđt ỏp dung cna phng phỏp ny viắc giái phương trình Bessel Tài li¾u tham kháo [1] W E Boyce and R C Diprima (2000), Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc, Seventh edition [2] E A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, New York [3] Mohan C Joshi (1979), Ordinary Differential Equations, IIT Bombay [4] W Hundsdorfer (2009), Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen [5] E D Rainville (1964),Intermediate Differential Equations, (2nd ed), New York, Macmilan ... cna phương trình vi phân tuyen tính Cũng đe thu¾n loi vi c trình bày phương pháp nghiên cúu van đe đ¾t ra, phan chúng tơi trình bày m®t cách chi tiet vi c phân loai điem cna phương trình vi phân. .. tuyen tính 4.Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Sn phân loai điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính - Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính 5 .Phương pháp nghiên cNu... quan ve phương trình vi phân tuyen tính 14 1.2.1 Mđt so khỏi niắm 14 1.2.2 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 15 1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân