LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà Đúc Vưong, ngưòi thay ln quan tâm, đ®ng viên t¾n tình hưóng dan tơi q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban Giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p nghiên cúu Tơi xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tơi hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Lan Anh LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan lu¾n văn ket q nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna Tien Sĩ Hà Đúc Vưong Q trình nghiên cúu tơi sú dung ke thùa thành cna nhà Khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Lan Anh Mnc lnc Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric đay đn 1.3 Đ%nh lý điem bat đ®ng Banach 12 Chương Không gian metric mà 16 2.1 T¾p mò 16 2.2 Khơng gian metric mò .19 2.3 Không gian metric mò đay đn 25 Chương Điem bat đ®ng chung khơng gian metric mà 31 3.1 Ánh xa tương thích 31 3.2 Đ%nh lý điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò 35 Ket lu¾n 52 Tài li¾u tham kháo 53 Mé ĐAU Lý chon đe tài Nhieu toán khác cna khoa hoc ky thu¾t dan đen viắc nghiờn cỳu van e sau: Vúi M l mđt t¾p hop khác rong đó, ta xét ánh xa T : M → M Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx = x đưoc goi iem bat đng cna ỏnh xa T trờn M Vi¾c nghiên cúu van đe góp phan đac lnc cho vi¾c giái quyet tốn quan trong Tốn hoc nói riêng, Khoa hoc ky thu¾t nói chung Lĩnh vnc nghiên cúu thu hút nhieu nhà toán hoc quan tâm ket ve lĩnh vnc hình thành nên: "Lý thuyet điem bat đ®ng" Năm 1965, Zadeh đưa khái ni¾m "t¾p mò", ánh xa tù t¾p X vào đoan [0; 1] Sau rat nhieu nhà toán hoc quan tâm nghiên cúu van đe như: George, Rhoades, Deng, Erceg, Kaleva, Seikala, Tù khái ni¾m "khơng gian metric mò" đưoc hình thành ket ve điem bat đ®ng cna ánh xa lóp khơng gian đưoc nghiên cúu úng dung Năm 2009, Aage Salunke hai nhà tốn hoc An Đ®, cơng bo m®t so ket ve điem bat đ®ng điem bat đ®ng chung cho ánh xa khơng gian metric mò báo: "On Fixed Point Theorem in Fuzzy Metric Spaces" Vói mong muon tìm hieu sâu ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò, đưoc sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna TS Hà Đúc Vưong, manh dan chon đe tài nghiên cúu: "Điem bat đ®ng chung khơng gian metric mà" 2 Mnc đích nghiên cNu Tong hop ket ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Cơng trình nghiên cúu đưoc dna ket cna C T Aage J N Salunke báo "On Fixed Point Theorem in Fuzzy Metric Spaces " Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve: "Điem bat đ®ng chung không gian metric mà" Phương pháp nghiên cNu - D%ch, đoc nghiên cúu tài li¾u - Tong hop, phân tích, v¾n dung kien thúc cho muc đích nghiên cúu NhĐng đóng góp cúa đe tài Đây tong quan ve điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Qua đe tài giúp ngưòi đoc thay đưoc moi quan h¾ giua khơng gian metric khơng gian metric mò, ket q ve điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Chương Kien thNc chuan b % Trong chương chúng tơi trình bày khái ni¾m bán ve khơng gian metric, khơng gian metric đay đn, đ%nh lý điem bat đ®ng Banach ví du minh hoa 1.1 Khơng gian metric %nh ngha 1.1.1 [3] Khụng gian metric l mđt cắp (X, d) ú X l mđt hop khỏc rong, d m®t hàm so xác đ%nh X × X thóa mãn đieu ki¾n sau: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Ánh xa d đưoc goi metric X Các phan tú cúa X goi điem Khi ta có khơng gian metric (X, d) Đ%nh nghĩa 1.1.2 [1] Cho khụng gian metric (X, d) Mđt bat kỳ M ƒ= ∅ cúa t¾p X vói metric d lắp thnh mđt khụng gian metric Khụng gian metric (M, d) goi không gian metric cúa không gian metric cho Ví dn 1.1.1 Vói hai vectơ bat kỳ x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk) thu®c khơng gian vectơ thnc k chieu Rk (k so nguyên dương đó) Ta đ¾t: ‚ k , (xj, d(x, y) = yj ) (1.1) j=1 Ta có (Rk, d) m®t khơng gian metric Chúng minh Ta có ‚ k , (x , y )2 ≥ 0, vói moi x, y ∈ Rk j j j=1 Suy d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rk Ta lai có: ‚ k , (xj, yj )2 = d(x, y) = ⇔ j=1 k ⇔ (x , y )2 = j j j=1 ⇔ (xj, yj )2 = 0, ∀j = 1, 2, , k ⇔ xj = yj , ∀j = 1, 2, , k ⇔ x = y V¾y d(x, y) = ⇔ x = y Đe kiem tra h¾ thúc (1.1) thóa mãn tiên đe ve metric, trưóc het ta chúng minh bat thúc Cauchy-Bunhiacopski Vói 2k so thnc a j, bj (j = 1, 2,‚ , k) ta có: ‚ k k k a jb j ≤ (a ) (bj )2 j , j= , j= 1 Th¾t v¾y (1.2) j=1 k 0≤ i=1 k (aibj − ajbi)2 j=1 = k k k k k (ai) (bj ) − k a i b ia j b j + aj 2bi2 i=1 j= =2 k k aj Suy i=1 j= j= j=1 b j k k i=1 j=1 −2 a j=1 bj 2 ≥ ajb j j=1 j=1 k k − a jb j j=1 j Hay k ≤ ajb j k k bj j=1 aj j=1 ‚ ‚ j=1 k k k a jb j ≤ (a ) (bj )2 j , j= , j= j=1 1 Tù suy Bây giò ta xét ba vectơ bat kỳ x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk), z = (z1, z2, , zk) thu®c Rk, ta có: k d (x, y) = (xj − yj )2 j= = k [(xj − zj ) + (zj − yj )] j=1 k k j=1 j=1 k = (xj − zj )2 + (xj − zj )(zj − yj ) + (zj − yj )2 j=1 ‚ ‚ k k k k , ≤ (xj − zj ) + (xj − , (zj − yj + (zj − yj j=1 )2 zj ) j=1 j=1 )2 j=1 = d2(x, z) + 2d(x, z)d(z, y) + d2(z, y) = [d(x, z) + d(z, y)] Suy d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = Φ.M (Ax, By, t), M (Ax, Ax, t), M (By, By, t), M (Ax, By, t), M (By, Ax, t) = Φ M (Ax, By, t), 1, 1, M (Ax, By, t), M (Ax, By, t) > M (Ax, By, t) Suy M (Ax, By, kt) ≥ M (Ax, By, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 Ax = By, nghĩa Ax = Sx = By = T y Giá sú ngồi x có điem z1 thố mãn Az1 = Sz1 Theo (3.3) ta có Az1 = Sz1 = By = T y Do Ax = Az1 suy x = z1 V¾y ta có w = Ax = Sx điem trùng nhat cna A S Theo Đ%nh lý 3.1.2, w điem bat đ®ng chung nhat cna A S Giá sú ngồi y có điem z2 thoá mãn Bz2 = T z2 Theo (3.3) ta có Ax = Sx = Bz2 = T z2 Do By = Bz2 suy y = z2 V¾y ta có z = By = Ty điem trùng nhat cna B T Theo Đ%nh lý 3.1.2, z điem bat đ®ng chung nhat cna B T Ta chúng minh w = z Ta có M (w, z, kt) = M (Aw, By, kt) ≥ Φ M (Sw, T z, t), M (Sw, Aw, t), M (Bz, T z, t), M (Aw, T z, t), M (Bz, Sw, t) = Φ M (w, z, t), M (w, w, t), M (z, z, t), M (w, z, t), M (z, w, t) = Φ.M (w, z, t), 1, 1, M (w, z, t), M (w, z, t) > M (w, z, t) Suy M (w, z, kt) ≥ M (w, z, t) Do theo Đ%nh lý 3.1.1 Ta có w = z điem bat đ®ng chung nhat cna A, B, S T Vì vắy ton tai nhat mđt iem bat đng chung cna A, B, S T Đ %nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lý 3.2.4 [4] Cho (X, M, ∆) m®t khơng gian metric mò đay đú A, B, S T ánh xa X Các c¾p {A, S} {B, T} c¾p ánh xa tương thích yeu ngau nhiên Neu ton tai điem k ∈ (0; 1) vói ∀x, y ∈ X t > M (Ax, By, kt) ≥ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, ∆ t), M (Ax, T y, t) (3.4) ton tai nhat điem bat đ®ng chung cúa A, B, S T Chúng minh Goi {A, S} {B, T} c¾p ánh xa tương thích yeu ngau nhiên có điem x, y ∈ X thoá mãn Ax = Sx, By = T y Ta chúng minh Ax = By Th¾t v¾y, theo bat thúc (3.4) ta có M (Ax, By, kt) ≥ ∆ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, t), M (Ax, T y, t) = ∆.M (Ax, By, t), M (Ax, Ax, t), M (By, By, t), M (Ax, By, t) ≥ ∆.M (Ax, By, t), 1, 1, M (Ax, By, t) ≥ M (Ax, By, t) Suy M (Ax, By, kt) ≥ M (Ax, By, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 Ax = By, nghĩa Ax = Sx = By = T y Giá sú x có điem z1 thu®c X thố mãn Az1 = Sz1 Theo (3.4) ta có Az1 = Sz1 = By = T y Vì v¾y Ax = Az1 suy x = z1 Do w = Ax = Sx điem trùng nhat cna A S Theo Đ%nh lý 3.1.2, w điem bat đ®ng chung nhat cna A S Giá sú ngồi y có điem z2 thu®c X thố mãn Bz2 = T z2 Theo (3.4) ta có Ax = Sx = Bz2 = T z2 Vì v¾y By = Bz2 suy y = z2 Do z = By = Ty điem trùng nhat cna B T Theo Đ%nh lý 3.1.2, z điem bat đ®ng chung nhat cna B T Ta chúng minh w = z Ta có M (w, z, kt) = M (Aw, Bz, kt) ≥ ∆ M (Sw, T z, t), M (Aw, Sw, t), M (Bz, T z, t), M (Aw, T z, t) = ∆.M (w, z, t), M (w, w, t), M (z, z, t), M (w, z, t) ≥ ∆.M (w, z, t), 1, 1, M (w, z, t) ≥ M (w, z, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 w = z điem bat đ®ng chung nhat cna A, B, S T Vì v¾y ton tai nhat m®t điem bat đ®ng chung cna A, B, S T Đ%nh lý đưoc chúng minh H¾ 3.2.1 [4] Cho (X, M, ∆) m®t khơng gian metric mò đay đú A, B, S T ánh xa X Các c¾p {A, S} {B, T} ánh xa tương thích yeu ngau nhiên Neu ton tai điem k ∈ (0; 1) vói ∀x, y ∈X t > M (Ax, By, kt) ≥ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, t), ∆ M (By, Sx, 2t), M (Ax, T y, t) (3.5) ton tai nhat điem bat đ®ng chung cúa A, B, S T Chúng minh Goi {A, S} {B, T} c¾p ánh xa tương thích yeu ngau nhiên Ta có M (Ax, By, kt) ≥ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, t), ∆ M (By, Sx, 2t), M (Ax, T y, t) ≥ ∆ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, t), M (Sx, T y, t), M (T y, By, t), M (Ax, T y, t) ≥ ∆ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, t), M (Ax, T y, t) Do theo Đ%nh lý 3.2.4 A, B, S T có điem bat đng chung nhat Hắ quỏ oc chỳng minh Hắ quỏ 3.2.2 [4] Cho (X, M, ) l mđt khơng gian metric mò đay đú A, B, S T ánh xa X Các c¾p {A, S} {B, T} ánh xa tương thích yeu ngau nhiên Neu ton tai điem k ∈ (0; 1) vói ∀x, y ∈ X, t > M (Ax, By, kt) ≥ M (Sx, T y, t) (3.6) ton tai nhat điem bat đ®ng chung cúa A, B, S T Chúng minh Goi {A, S} {B, T} c¾p ánh xa tương thích yeu ngau nhiên có điem x, y ∈ X thoá mãn Ax = Sx, By = T y Ta chúng minh Ax = By Th¾t v¾y, theo bat thúc (3.15) ta có M (Ax, By, kt) ≥ M (Sx, T y, t) = M (Ax, By, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 Ax = By, nghĩa Ax = Sx = By = T y Giá sú ngồi x có điem z1 thu®c X thố mãn Az1 = Sz1 Theo (3.15) ta có Az1 = Sz1 = By = T y Vì v¾y Ax = Az1 suy x = z1 V¾y w = Ax = Sx điem trùng nhat cna A S Theo Đ%nh lý 3.1.2, w điem bat đ®ng chung nhat cna A S Giá sú ngồi y có điem z2 thu®c X thố mãn Bz2 = T z2 Theo (3.15) ta có Ax = Sx = Bz2 = T z2 Vì v¾y By = Bz2 suy y = z2 V¾y z = By = Ty điem trùng nhat cna B T Theo Đ%nh lý 3.1.2, z điem bat đ®ng chung nhat cna B T Ta chúng minh w = z Ta có M (w, z, kt) = M (Aw, Bz, kt) ≥ M (Sw, T z, t) = M (w, z, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 w = z điem bat đ®ng chung nhat cna A, B, S T H¾ đưoc chúng minh Đ%nh lý 3.2.5 [6] Cho (X, M, ∆) khơng gian metric mò đay đú A, B, S T ánh xa X, ánh xa S, T liên tnc AX ⊂ T X, BX ⊂ SX Các c¾p {A, S} {B, T} c¾p ánh xa tương thích yeu 3.Ton tai k ∈ (0; 1) cho vói ∀x, y ∈ X t > 0, M (Ax, By, kt) ≥ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (By, T y, t), M (Ax, T y, t) ∆ (3.7) Thì A, B, S T có nhat m®t điem bat đ®ng chung X Chúng minh Ta có AX ⊂ T X, BX ⊂ SX Cho x0 ∈ X bat kỳ Ton tai x1 ∈ X cho Ax0 = T x1 vói x1 ∈ X ton tai x2 ∈ X cho Bx1 = Sx2 Ta lay m®t dãy {yn} X vói n = 1, 2, cho: y2n−1 = T x2n−1 = Ax2n−2 y2n = Sx2n = Bx2n−1 Do tù ta có M (y2n+1, y2n+2, kt) = M (Ax2n, Bx2n+1, kt) ≥ ∆ M (Sx2n, T x2n+1, t), M (Ax2n, Sx2n, t), M (Bx2n+1, T x2n+1, t), M (Ax2n, T x2n+1 , t) = ∆.M (y2n, y2n+1, t), M (y2n+1, y2n, t), M (y2n+2, y2n+1, t), M (y2n+1, y2n+1, t) = ∆.M (y2n, y2n+1, t), M (y2n, y2n+1, t), M (y2n+1, y2n+2, t), ≥ ∆.M (y2n, y2n+1, t), M (y2n+1, y2n+2, t) Do ta có M (y2n+1, y2n+2, kt) ≥ M (y2n, y2n+1, t) (3.8) M (y2n+2, y2n+3, kt) ≥ M (y2n+1, y2n+2, t) (3.9) Tương tn, ta có Tù bat thúc (3.8) (3.9), ta có M (yn+1, yn+2, kt) ≥ M (yn, yn+1, t) Tù (3.10) ta có y M (yn, yn+1, t) ≥M ,y , t =M y,y n n−1 n , n−1 t (3.10) (3.11) k k t t = M ≥ M yn−1, yn−2, yn−2, yn−1, k k t ≥ ≥ y 1, y , M kn (3.12) (3.13) t Mà lim n→∞ M y , y 2, = kn Do M (yn, yn+1, t) → n → ∞ vói moi t > Vói ε > t > 0, ta chon n0 ∈ N cho M (yn, yn+1, t) > − ε, ∀n > n0 Vói m, n ∈ N, ta giá sú m ≥ n Khi ta có M (yn, ym, t) t t , ≥ y , y , yn, yn+1, n+1 n+2 m m M ∆.M −n −n > ∆ (1 − ε), , (1 − ε) s ≥− (1 − ε) (m¸¸n) x , ., ym−1, ym, M n t m− Do {yn} dãy Cauchy X Vì (X, M, ∆) khơng gian metric mò đay đn, {yn} h®i tu tói điem z ∈ X {Ax2n−2}, {Sx2n}, {Bx2n−1} {T x2n−1 } h®i tu tói z Theo Đ%nh nghĩa 3.1.3 ta có lim ASx2n = Sz (3.14) lim BT x2n−1 = T z (3.15) n→∞ n→∞ Tù ta có M (ASx2n, BT x2n−1 , kt) ≥ ∆ M (SSx2n, T T x2n−1 , t), M (ASx2n, SSx2n, t), M (BT x2n−1 , T T x2n−1 , t), M (ASx2n, T T x2n−1 , t) Cho qua giói han n → ∞, theo (3.14),(3.15) ta có M (Sz, T z, kt) ≥ ∆ M (Sz, T z, t), M (Sz, Sz, t), M (T z, T z, t), M (Sz, T z, t) ≥∆ ≥ ∆.M (Sz, T z, t), 1, 1, M (Sz, T z, t) .M (Sz, T z, t), M (Sz, T z, t) ≥ M (Sz, T z, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 ta có Sz = T z Tù ta có M (Az, BT x2n−1 , kt) ≥∆ M (Sz, T T x2n−1 , t), M (Az, Sz, t), (3.16) M (BT x2n−1 , T T x2n−1 , t), M (Az, T T x2n−1 , t) Cho qua giói han n → ∞, theo (3.15),(3.16) ta có M (Az, T z, kt) ≥ ∆ M (Sz, Sz, t), M (Az, Sz, t), M (Az, T z, t), M (Az, T z, t) ≥∆ ≥ ∆.M (Sz, Sz, t), M (Az, T z, t), M (Az, T z, t), M (Az, T z, ≥∆ t) .1 , M (Az, T z, t), M (Az, T z, t), M (Az, T z, t) .M (Az, T z, t), M (Az, T z, t), M (Az, T z, t) ≥ M (Az, T z, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 ta có Az = T z (3.17) Tù 3., (3.16) (3.17) ta có M (Az, Bz, kt) ≥ M (Sz, T z, t), M (Az, Sz, t), M (Bz, T z, t), M (Az, T z, t) ∆ = ∆.M (Az, Az, t), M (Az, Az, t), M (Bz, Az, t), M (Az, Az, t) ≥ ∆.1, 1, M (Az, Bz, t), ≥ M (Az, Bz, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 ta có Az = Bz (3.18) Tù (3.16), (3.17) (3.18) ta có Az = Bz = Sz = T z (3.19) Bây giò, ta chúng minh Bz = z Tù 3., ta có M (Ax2n, Bz, kt) ≥ M (Sx2n, T z, t), M (Ax2n, Sx2n, t), ∆ M (Bz, T z, t), M (Ax , T z, t) 2n Cho qua giói han n → ∞, theo (3.19) ta có M (z, T z, t), M (z, z, t), M (Bz, T z, t), M (z, M (z, Bz, kt) ≥ ∆ T z, t) ≥∆ M (z, Bz, t), M (z, z, t), M (Bz, Bz, t), M (z, Bz, t) = ∆.M (z, Bz, t), 1, 1, M (z, Bz, t) ≥ ∆.M (z, Bz, t), M (z, Bz, t) ≥ M (z, Bz, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 ta có Bz = z Như v¾y tù (3.19), z điem bat đ®ng chung cna A, S, B T Ta chúng minh điem bat đ®ng nhat Th¾t v¾y, ngồi z có điem w bat đ®ng chung khác cna A, S, B T Ta có M (z, w, kt) = M (Az, Bw, kt) ≥ ∆ M (Sz, T w, t), M (Az, Sz, t), M (Bw, T w, t), M (Az, T w, t) ≥ ∆.M (z, w, t), M (z, z, t), M (w, w, t), M (w, z, t) = ∆.M (z, w, t), 1, 1, M (w, z, t) ≥ ∆.M (z, w, t), M (w, z, t) ≥ M (z, w, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 ta có z = w điem bat đ®ng chung nhat cna A, S, B T V¾y A, S, B T có nhat m®t điem bat đ®ng chung X Đ%nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lý 3.2.6 [4] Cho (X, M, ∆) m®t khơng gian metric mò đay đú Khi ánh xa liên tnc S T X có điem bat đ®ng chung chs ton tai m®t ánh xa A tù khơng gian X vào nó, thóa mãn đieu ki¾n sau: AX ⊂ TX ∩ SX, Các c¾p {A, S} {A, T} c¾p ánh xa tương thích yeu, Ton tai k ∈ (0; 1) cho vói ∀x, y ∈ X t > 0, M (Ax, Ay, kt) ≥ M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (Ay, T y, t), M (Ay, T y, t) (3.20) ∆ Khi A, S T có điem bat đ®ng chung nhat Chúng minh Ta chúng minh đieu ki¾n can Giá sú Sz = z = T z, ∀z ∈ X Cho Ax = z, ∀z ∈ X Thì AX ⊂ TX ∩ SX đieu ki¾n thố mãn Vói moi x ∈ X, ASx = z = Sz = SAx AT x = z = Tz = T Ax SA = AS, AT = TA hien nhiên thoá mãn đieu ki¾n Vói moi k ∈ (0; 1), ta có M (Sx, T y, t), M (Ax, Sx, t), M (Ay, T y, t), M (Ax, M (Ax, Ay, kt) = T y, t) ≥∆ vói moi ∀x, y ∈ X t > Và hien nhiên thố mãn đieu ki¾n đinh lý Ta chúng minh đieu ki¾n đn Cho A = B Đ%nh lý 3.2.5 A, S T có điem bat đ®ng chung nhat Đ%nh lý đưoc chúng minh Đ%nh lý 3.2.7 [4] Cho (X, M, ∆) m®t khơng gian metric mò đay đú, A, S ánh xa X Cho A, S ánh xa tương thích yeu ngau nhiên Neu ton tai điem k ∈ (0; 1) vói ∀x, y ∈ X t > , M (Ax, Ay, t), M (Sx, Sy, kt) ≥αM (Ax, Ay, t) + β M (Sx, Ax, t), M (Sy, Ay, t), (3.21) Trong α, β > 0, α + β = A S có điem bat đ®ng chung nhat Chúng minh Goi {A, S} m®t tương thích yeu ngau nhiên, the có điem x ∈ X thoá mãn Ax = Sx Giá sú ton tai điem y khác x thu®c X mà Ay = Sy Ta chúng minh Sx = Sy Th¾t v¾y, theo bat thúc (3.21) ta có M (Sx, Sy, kt) ≥ αM (Ax, Ay, t) + β ,M t), (Ax, Ay, t), M (Sx, Ax, t), M (Sy, Ay, = αM (Sx, Sy, t) + β ,M (Sx, Sy, t), M (Sx, Sx, t), M (Sy, Sy, t), = αM (Sx, Sy, t) + β ,M (Sx, Sy, t), 1, 1, = αM (Sx, Sy, t) + βM (Sx, Sy, t) = (α + β)M (Sx, Sy, t) Vì α + β = ta có M (Sx, Sy, kt) ≥ M (Sx, Sy, t) Theo Đ%nh lý 3.1.1 Sx = Sy suy Ax = Ay V¾y w = Ax điem trùng nhat cna A S Theo Đ%nh lý 3.1.2 w điem bat đ®ng chung nhat cna A S Đ%nh lý đưoc chúng minh Trong chương chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán ve khơng gian metric mò, ánh xa tương thích, ánh xa tương thích yeu, ánh xa tương thích yeu ngau nhiên ket ve điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò KET LU¾N Lu¾n văn ó trỡnh by mđt cỏch ngan gon, hắ thong cỏc khái ni¾m ve khơng gian metric, khơng gian metric mò điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Luắn oc trỡnh by vúi chng nđi dung: Chương 1: Trình bày m®t so kien thúc cơng cu nghiên cúu n®i dung ó chương sau như: Khái ni¾m khơng gian metric, khơng gian metric đay đn, đ%nh lý điem bat đ®ng Banach Chương 2: Trình bày khái ni¾m t¾p mò, khơng gian metric mò, khơng gian metric mò đay đn đ%nh lý ánh xa co Banach khơng gian metric mò Chương 3: Trình bày ánh xa tương thích, đ%nh lý điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Sn mó r®ng khái ni¾m metric mò rat huu ích cho sn phát trien cna lý thuyet điem bat đ®ng Ngồi khái niắm ve iem bat đng oc trỡnh by luắn văn nhieu khái ni¾m nhieu van đe ve điem bat đ®ng đưoc mó r®ng phát trien Vói pham vi kien thúc thòi gian nhieu han che chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu xót Mong q thay ban đong nghi¾p góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2005), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc ky thuắt H Nđi [2] o Hong Tõn, Nguyen Th% Thanh Hà (2002), Các đ%nh lý điem bat đ®ng, NXB Đai hoc sư pham Hà N®i [3] Hồng Tuy (2003), Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] C T Aage, J N Salunke (2010), On Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Spaces, Int.J.Open Problems Compt.Math.Vol.3, No.2, 123-131 [5] C T Aage, J N Salunke (2009), Common Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Spaces, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 56(2), pp 155-164 [6] C T Aage, J N Salunke (2009), Some Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Spaces, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 56(3), pp 311-320 [7] P Balasubramaniam, S Muralisankar, R P Pant (2002), Common fixed points of four mappings in a fuzzy metric spaces, J Fuzzy Math 10(2), 379-384 [8] A George, P Veeramani (1994), On some results in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets and Systems, 64, 395-399 54 [9] M Grabiec (1988), Fixed points in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets and Systems, 27, 385-389 [10] Mohd Imdad and Javid Ali (2006), Some common fixed point theorems in fuzzy metric spaces, Mathematical Communications 11, 153-163 [11] O Kramosil and J Michalck (1975), Fuzzy metric and statistical metric spaces, Kybernetika, 11, 326-334 [12] S N Mishra (1991), Common fixed points of compatible mappings in PM spaces, Math Japon 36, 283-289 [13] R P Pant (1998), Common fixed points of mappings, Bull Cal Math Soc 90, 281-286 [14] R P Pant (1998), Common fixed point theorems for contractive maps, J Math Anal Appl 226, 251-258 [15] R P Pant, K Jha (2004), A remak on common fixed points of four mappings in a fuzzy metric space, J Fuzzy Math 12(2), 433-437 [16] B Schweizer and A Sklar (1960), Statistical metric spaces, Pacific J Math 10, 313-334 [17] R Vasuki (1999), Common fixed points for R-weakly commuting maps in fuzzy metric spaces, Indian J Pure Appl Math 30, 419423 [18] L A Zadeh (1965), Fuzzy sets, Inform and Control 8, 338-353 ... % Trong chương chúng tơi trình bày khái ni¾m bán ve không gian metric, không gian metric đay đn, đ%nh lý điem bat đ®ng Banach ví du minh hoa 1.1 Không gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1 [3] Không gian. .. ve điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Qua đe tài giúp ngưòi đoc thay đưoc moi quan h¾ giua khơng gian metric khơng gian metric mò, ket q ve điem bat đ®ng chung khơng gian metric mò Chương... khụng gian metric Không gian metric (M, d) goi không gian metric cúa khơng gian metric cho Ví dn 1.1.1 Vói hai vectơ bat kỳ x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk) thu®c không gian vectơ thnc k