LốI CM N LuÔn ny oc hon thnh tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói su hưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong Qua đây, cho phép tơi bày tó lòi cám ơn chân thành đen TS Hà Đnc Vưong – ngưòi giúp đõ, chí bỏo tÔn tỡnh e tụi hon thnh LuÔn ny Tơi bày tó lòng biet ơn đoi vói Ban giám hi¾u, Phòng sau Đai hoc thay giáo ó tÔn tỡnh quan tõm giỏng day suot quỏ trỡnh hoc tÔp tai trũng hoc S pham H N®i Hà N®i, tháng 10 năm 2012 Tác giá Lai Th% Thanh Hu¾ LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam oan LuÔn ny tụi tu lm dúi su hưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong Trong q trình nghiờn cnu v hon thnh LuÔn vn, tụi ó ke thna nhđng thành q cúa nhà khoa hoc vói su trân biet ơn Các ket trích dan luÔn l trung thuc v ó oc chí rõ nguon goc Hà N®i, tháng 10 năm 2012 Tác giá Lai Th% Thanh Hu¾ Mnc lnc M đau N®i dung Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric đay đú 1.3 Nguyên lý ánh xa co Banach 11 Không gian metric xác suat điem bat đ®ng 2.1 Khơng gian metric xác suat 17 21 22 2.2 Không gian metric xác suat Menger 31 2.3 Nguyên lý ánh xa co Banach không gian metric xác suat 37 Điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vái quan h¾ an khơng gian metric xác suat 41 3.1 Quan h¾ an 3.2 xa 41 co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat 44 3.3 Các h¾ q ví dn 50 Ket lu¾n 58 Tài li¾u tham kháo 59 Má đau Lí chon e ti Cho M l mđt tÔp hop bat kỡ, T m®t ánh xa tn M vào Điem x ∈ M thóa mãn phương trình T x = x đưoc goi điem bat đ®ng cúa ỏnh xa T trờn tÔp hop M Viắc nghiờn cnu ve điem bat đ®ng cúa m®t ánh xa thu hút nhieu nhà toán hoc quan tâm ket ve lĩnh vuc hình thành nên: “Lý thuyet điem bat đ®ng” Năm 1922, m®t ket kinh đien ve điem bat đ®ng đưoc cơng bo, nguyên lý ánh xa co Banach Năm 1942, Menger đưa khái ni¾m “metric xác suat” Đó su mú rđng xỏc suat cỳa khỏi niắm metric thụng thũng: thay cho vi¾c xét khống cách d (x, y), ngưòi ta xét hàm phân bo Fx,y (t) bieu dien xác suat đe cho d (x, y) < t, vói t l mđt so thuc no ú Khỏi niắm ny ó thu hút su quan tâm cúa nhieu nhà toán hoc, Ôc biắt l Schweizer v Sklar ó xõy dung thnh lý thuyet ve không gian metric xác suat viet thành sách chuyên kháo xuat bán năm 1983 Nguyên lý ánh xa co Banach đưoc mó r®ng sang lóp khơng gian Năm 1993, Singh giói thi¾u khái ni¾m ánh xa giao hốn yeu khơng gian metric xác suat qua báo “Fixed points of weakly commuting mappings on Menger spaces” Sn dnng khái ni¾m ánh xa R-giao hoán yeu tnng điem (pointwise R-weakly commuting) ánh xa liên tnc ngh%ch đáo (reciprocally continuous), Kumar Chugh cơng bo m®t so ket q ve điem bat đ®ng chung cho ánh xa khơng gian metric Năm 2005, Mihet có ket q mó r®ng ve điem bat đ®ng cho lóp ánh xa co xác suat, công bo báo: “A generalization of a contraction principle in probabilistic metric spaces, Part II” Năm 2010, m®t ket ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co xác suat vói quan hắ an cỳa cỏc tỏc giỏ thuđc trũng hoc Delhi cúa An Đ®: J K Kohli, Sachin Vashistha Durgesh Kumar đưoc công bo báo: “A Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contrac- tive Type Implicit Relations” Vói mong muon tìm hieu sâu ve van đe này, nhò su hưóng dan tÔn tỡnh cỳa TS H nc Vong, tụi manh dan chon đe tài nghiên cnu: “Điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vái quan h¾ an khụng gian metric xỏc suat LuÔn oc trỡnh bày vói chương n®i dung m®t danh mnc tài li¾u tham kháo Chương 1: trình bày ve không gian metric, không gian metric đay đú nguyên lý ánh xa co Banach Chương 2: trình bày ve không gian metric xác suat, không gian metric xác suat Menger su mó r®ng ngun lý ánh xa co Banach lóp khơng gian Chương 3: trình bày ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat, h¾ q ví dn Mnc đích nghiên cNu Mnc đích cúa đe tài nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Cơng trình nghiên cnu dua ket cúa J K Kohli, Sachin Vashistha Durgesh Kumar báo: “A Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contractive Type Implicit Relations”, đăng tap chí Int Journal of Math Analysis, năm 2010 Nhi¾m nghiên cNu H¾ thong ket đat đưoc ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Phương pháp nghiên cNu - D%ch, đoc, nghiên cnu ti liắu - Tong hop kien thnc, vÔn dnng cho mnc đích nghiên cnu DN kien đóng góp Đây se m®t tong quan ve điem bat đng chung cho sỏu ỏnh xa co vúi quan hắ an khơng gian metric xác suat Giúp ngưòi đoc hieu nhđng khái ni¾m tính chat bán ve khụng gian metric xỏc suat, Ôc biắt l iem bat đng chung cho sỏu ỏnh xa co vúi quan hắ an không gian metric xác suat Chương Kien thNc chuan b% Cho M l mđt tÔp hop bat kì, T m®t ánh xa tn M vào Điem x ∈ M thóa mãn phương trình T x = x đưoc goi điem bat đng cỳa ỏnh xa T trờn tÔp hop M Viắc tỡm iem bat đng cỳa mđt ỏnh xa ó góp phan đac luc cho vi¾c giái quyet hàng loat tốn quan trong Tốn hoc nói riêng, khoa hoc k thuÔt núi chung Trong chng ny chỳng tụi hắ thong lai mđt so kien thnc c bỏn ve không gian metric ket kinh đien ve điem bat đ®ng, ngun lý ánh xa co Banach 1.1 Không gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric l mđt tÔp hop X = cựng vúi mđt ỏnh xa d tn tớch Descartes X ì X vo tÔp hop so thuc R thúa cỏc tiên đe sau đây: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = ⇔ x = y 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X Ánh xa d goi metric X , so d (x, y) goi khống cách giđa hai phan tn x y Các phan tn cúa X goi điem Ví dn 1.1.1 Cho khơng gian Rn, vói moi x = (x1, x2 , xn), y = (y1, y2, , yn) thuđc Rn, ta Ôt: d (x, y) = max| xi yi 1≤i≤n | Ta có d m®t metric Rn Chúng minh Ta kiem tra tiên đe metric: Hien nhiên ta có |xi − yi| ≥ 0, ∀i = 1, 2, ., n Suy max |xi yi| i n VÔy d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn Neu max| x− i yi = ta | có: 1≤i≤n |xi − yi| = 0, ∀i = 1, 2, , n Suy xi = yi, ∀i = 1, 2, , n Hay x = y Do d (x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ Rn Hien nhiên ta có |xi − yi| = |yi − xi| , ∀i = 1, 2, , n Suy max |xi − yi| = max |yi − xi| 1≤i≤n 1≤i≤n 3.3 Các h¾ q ví dn H¾ 3.3.1 [4] Cho (X, F, ∆) khơng gian metric xác suat Menger đay đú, ∆ t-chuan liên tnc Hơn nua, cho (A, S) (B, T ) c¾p ánh xa R-giao hốn yeu tùng điem tù X vào X thóa mãn đieu ki¾n sau: A (X) ⊆ T (X) , B (X) ⊆ S (X) (3.6) φ (FAx,By (ht) , FSx,T y (t) , FAx,Sx (t) , FBy,T y (ht)) ≥ (3.7) φ (FAx,By (ht) , FSx,T y (t) , FAx,Sx (ht) , FBy,T y (t)) ≥ (3.8) ∀x, y ∈ X, t > 0, h ∈ (0, 1) v l mđt quan hắ an Neu mđt ánh xa cúa c¾p ánh xa tương thích (A, S) ho¾c (B, T ) liên tnc, A, B, T , S có m®t điem bat đ®ng chung nhat X Chúng minh Tương tu đ%nh lí 3.2.2, thay g = k = I, đong nhat ánh xa p = A, q = B, f = T h = S , ta có chnng minh sau: Cho x0 ∈ X Tn (3.6), ta xác đ%nh dãy {xn} {yn} X cho n = 0, 1, 2, y2n+1 = Ax2n = T x2n+1, y2n+2 = Bx2n+1 = Sx2n+2 Tn (3.7),ta có φ (FAx2n,Bx2n+1 (ht) , FSx2n ,T x2n+1 (t) , FAx2n,Sx2n (t) , FBx2n+1,T x2n+1 (ht)) ≥ Suy φ (Fy2n+1,y2n+2 (ht) , Fy2n,y2n+1 (t) , Fy2n+1,y2n (t) , Fy2n+2,y2n+1 (ht)) ≥ Tn (3.1), ta có Fy2n+1,y2n+2 (ht) ≥ Fy2n,y2n+1 (t) Tương tu, tn (3.8) (3.1), ta có Fy2n+2,y2n+3 (ht) ≥ Fy2n+1,y2n+2 (t) Do đó, vói moi n t, ta có Fyn,yn+1 (ht) ≥ Fyn−1,yn (t) Do tn ví dn 2.2.2, {xn} dãy bán X Vì X khơng gian đay đú nên {xn} h®i tn tói z thu®c X Các dãy cúa {Ax2n} , {Bx2n+1 } , {Sx2n} {T x2n+1} h®i tn tói z Bây giò giá sn (A, S) l cÔp ỏnh xa tng thớch v S l liờn tnc Thì tn đ%nh lý 3.2.1, A S liên tnc ngh%ch đáo, ASx2n → Az SAx2n → Sz Tn tính tương thích cúa A S ta có FASx2n,SAx2n (t) → 1, suy FAz,Sz (t) → n → ∞ Do Az = Sz Vì A (X) ⊆ T (X) nên ton tai p ∈ X cho Az = T p Tn (3.7) ta có φ (FAz,Bp (ht) , FSz,T p (t) , FAz,Sz (t) , FBp,T p (ht)) ≥ Suy φ (FAz,Bp (ht) , 1, 1, FBp,Az (ht)) ≥ Tn (3.1), ta có FAz,Bp (ht) ≥ 1, ∀t > 0, suy FAz,Bp (ht) = Do ú Az = Bp Nh vÔy Az = Sz = Bp = T p Vì A S l cÔp ỏnh xa R-giao hoỏn yeu tnng iem nờn ton tai R > cho FASz,SAz (t) ≥ FAz,Sz t = R Suy ASz = SAz AAz = ASz = SAz = SSz Tng tu, vỡ B v T l cÔp ỏnh xa R-giao hốn yeu tnng điem, ta có BBp = BT p = T Bp = T T p Thay vào (3.7), ta đưoc φ (FAAz,Bp (ht) , FSAz,T p (t) , FAAz,SAz (t) , FBp,T p (ht)) ≥ Suy φ (FAAz,Az (ht) , FAAz,Az (t) , FAAz,SAz (t) , FBp,T p (ht)) ≥ Vì φ hàm khơng giám đoi vói bien thn nhat, ta có φ (FAAz,Az (t) , FAAz,Az (t) , 1, 1) ≥ Tn (3.2), ta có FAAz,Az (t) ≥ 1, ∀t > Suy FAAz,Az (t) = ⇔ AAz = Az Az = AAz = SAz Do Az điem bat đ®ng chung cúa A S Tương tu, tn (3.7), ta có Bp điem bat đ®ng chung cúa B T Mà Bp = Az nên Az điem bat đ®ng chung cúa A, B, S T Cuoi cùng, giá sn Ap ƒ= Az m®t điem bat đ®ng chung khác cúa A, B, S T Khi tn (3.7) ta có φ (FAAz,BAp (ht) , FSAz,T Ap (t) , FAAz,SAz (t) , FBAp,T Ap(ht)) ≥ Suy φ (FAz,Ap (ht) , FAz,Ap (t) , 1, 1) ≥ Vì φ hàm khơng giám đoi vói bien thn nhat, ta có φ (FAz,Ap (t) , FAz,Ap (t) , 1, 1) ≥ Tn (3.2), ta có FAz,Ap (t) ≥ 1, ∀t > 0, suy FAz,Ap (t) = Do ú Az = Ap VÔy Az điem bat đ®ng chung nhat cúa A, B, S T H¾ đưoc chnng minh H¾ 3.3.2 [4] Cho (X, F, ∆) không gian metric xác suat Menger đay đú, ∆ t-chuan liên tnc Cho A B ánh xa tù X vào X thóa mãn: φ (FAx,By (ht) , Fx,y (t) , FAx,x (t) , FBy,y (ht)) ≥ φ (FAx,By (ht) , Fx,y (t) , FAx,x (ht) , FBy,y (t)) ≥ ∀x, y ∈ X, t > 0, h ∈ (0, 1) φ m®t quan h¾ an Neu A B ánh xa liên tnc ngh%ch đáo, A B có m®t điem bat đ®ng chung nhat X Chúng minh Tương tu h¾ 3.2.1, thay f = g = h = k = I, đong nhat ánh xa p = A q = B, ta có đieu phái chnng minh H¾ 3.3.3 [4] Cho (X, F, ∆) khơng gian Menger đay đú, ∆ t-chuan liên tnc Cho f ánh xa tù X vào X thóa mãn: φ (Ffx,fy (ht) , Fx,y (t) , Ffx,x (t) , Ffy,y (ht)) ≥ φ (Ffx,fy (ht) , Fx,y (t) , Ffx,x (ht) , Ffy,y (t)) ≥ ∀x, y ∈ X, t > 0, h (0, 1) v l mđt quan hắ an Neu f I c¾p ánh xa tương thích, f có m®t điem bat đ®ng nhat X Chúng minh Tương tu h¾ 3.2.1, thay f = g = h = k = I, đong nhat ánh xa p = q = f , ta có đieu phái chnng minh H¾ q 3.3.4 [4] Cho (X, F, ∆) không gian metric xác suat Menger đay đú, ∆ t-chuan liên tnc Hơn nua, cho (A, S) (B, T ) c¾p ánh xa R-giao hốn yeu tùng điem tù X vào X thóa mãn đieu ki¾n sau: A (X) ⊆ T (X) , B (X) ⊆ S (X) FAx,By (ht) ≥ FAx,Sx F (t) Sx,T y (t) max , , FAx,Sx (ht) FAx,By (ht) ≥ max FSx,T y (t) , FBx,T x (ht) FBx,T x (t) , ∀x, y ∈ X, t > 0, h ∈ (0, 1) φ mđt quan hắ an Neu mđt cỏc ỏnh xa c¾p ánh xa tương thích (A, S) ho¾c (B, T ) liên tnc, A, B, S T có m®t điem bat đ®ng chung nhat X Chúng minh Xét hàm φ : (R+) → R, xác đ%nh bói φ (x1, x2, x3, x4) = x1 − max Khi φ m®t quan h¾ an x2 x3 x , ,2 Tương tu h¾ 3.2.1, thay g = k = I, đong nhat ánh xa p = A, q = B, f = T h = S , ta có đieu phái chnng minh H¾ q 3.3.5 [4] Cho (X, F, ∆) không gian metric xác suat Menger đay đú, ∆ t-chuan liên tnc Hơn nua, cho (A, S) (B, T ) c¾p ánh xa R-giao hốn yeu tùng điem tù X vào X thóa mãn đieu ki¾n sau: A (X) ⊆ T (X) , B (X) ⊆ S (X) FAx,By (ht) ≥ FAx,Sx (t) + FBx,T x (ht) FSx,T y (t) max FAx,By (ht) , ≥ max FAx,Sx (ht) + FBx,T x (t) FSx,T y (t) , ∀x, y ∈ X, t > 0, h ∈ (0, 1) φ m®t quan hắ an Neu mđt cỏc ỏnh xa cắp ánh xa tương thích (A, S) ho¾c (B, T ) liên tnc, A, B, S T có m®t điem bat đ®ng chung nhat X Chúng minh Xét hàm φ : (R+) → R, xác đ%nh bói x +x φ (x , x , x , x ) = x − max x2 , Khi ú l mđt quan hắ an Tng tu h¾ 3.2.1, thay g = k = I, đong nhat ánh xa p = A, q = B, f = T h = S , ta có đieu phái chnng minh Sau ví dn minh hoa cho đ%nh lý Ví dn 3.3.1 Cho X = R, vói metric d xác đ%nh bói: d (x, y) = |x − y| Fx,y (t) = H (t − d (x, y)) , ∀x, y ∈ X, t > Cho f, g, h, k, p q ánh xa tn X vào X xác đ%nh sau: x+1 ; h (x) = 3x f (x) = 4x − 3; g − 2; (x) = 2x + k (x) ; p (x) = q (x) = 1, ∀x ∈ X = Khi sáu ánh xa f, g, h, k, p q có điem bat đ®ng chung nhat Chúng minh Theo ví dn 2.2.1 (X, F, min) khơng gian metric xác suat Menger Do (X, d) không gian metric đay đú nên (X, F, min) không gian metric xác suat Menger đay đú Ta lai có hkx = 2x = fgx VÔy p (X) = {1} ⊆ R = fg (X) q (X) = {1} ⊆ R = hk (X) Ta có Fphkx,hkpx (t) = 1, Fpx,hkx t t = H − |x − 1| R Do đó, ∀R > 0, p v hk l cÔp ỏnh xa R-giao hốn yeu tnng điem Tương tu ta có the chnng minh rang q v fg l cÔp ỏnh xa R- R giao hoán yeu tnng điem Cho hàm φ : (R+) → R, xác đ%nh bói φ (x1, x2, x3, x4) = x1 − x2 Thì φ m®t quan h¾ an Đieu ki¾n (3.4) (3.5) giá thiet cúa đ%nh lí 3.2.2 đưoc thóa mãn vói h ∈ (0, 1) Hơn nđa, k giao hốn vói p h, g giao hốn vói q f Vói dãy {xn} = + , n (p, hk) (q, fg) tương thích Do đó, tat cá đieu ki¾n cúa đ%nh lí 3.2.2 oc thúa VÔy sỏu ỏnh xa f, g, h, k, p q có điem bat đ®ng chung nhat Lai có f (1) = g (1) = h (1) = k (1) = p (1) = q (1) = VÔy l iem bat đng chung nhat cúa f, g, h, k, p q Nhieu nhà tốn hoc nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho hai ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Trong tài li¾u tham kháo [6], tác giá S Kumar B.D Pant nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho bon ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat, bang cách tách moi ánh xa hai ánh xa nói thành hai ánh xa ó oc hai cÔp ỏnh xa Cng bang cỏch tỏch nh vÔy v sn dnng quan hắ an cỏc tỏc giá thu®c trưòng Đai hoc Delhi cúa An Đ®: J K Kohli, Sachin Vashistha Durgesh Kumar nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Trong chương chúng tơi trình bày lai khái ni¾m quan h¾ an trình bày ket q ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Theo húng nghiờn cnu nh vÔy thỡ liắu cú the cú nhđng ket q nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho nhieu ánh xa co vói quan h¾ an không gian metric xác suat hay không? Đây l mđt cõu húi mú! Ket luắn LuÔn oc trình bày vói chương n®i dung sau: Chương 1: trình bày ve khơng gian metric, khơng gian metric đay đú nguyên lý ánh xa co Banach Chương 2: trình bày ve khơng gian metric xác suat, khơng gian metric xác suat Menger su mó r®ng ngun lý ánh xa co Banach lóp khơng gian Chương 3: trình bày ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat, h¾ q ví dn Vói luc han che thòi gian có han, chac chan luÔn khụng trỏnh khúi nhủng thieu sót Kính mong q thay ban hoc gúp ý e luÔn oc hon thiắn hn Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phn Hy (2006), Giỏi tớch hm, Nxb Khoa hoc v ky thuÔt [2] Hồng Tny (2005), Hàm thnc Giái tích hàm, Nxb hoc Quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [3] Đo Hong Tân (1998), “A classification of contractive mappings in probabilistic metric spaces”, Acta Mathematica Vietnamica, 23 (2), 295-302 [4] J K Kohli, Sachin Vashistha and Durgesh Kumar (2010), “A Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilis- tic Metric Spaces Satisfying Contractive Type Implicit Rela- tions”, Int Journal of Math Analysis, (2), 63-74 [5] S Kumar and R Chugh (2002), “Common fixed point theorems using minimal commutativily and reciprocal continuity condi- tions in metric spaces”, Sci Math Japan, 56, 269-275 [6] S Kumar and B.D Pant (2008), “A common fixed point theo- rem in probabilistic metric space using implicit relation”, Filo- mat, 22 (2), 43-52 [7] D Mihet (2005), “A generalization of a contraction principle in probabilistic metric spaces, Part II”, Int J Math Math Sci., 2005, 729-736 [8] S.N Mishra (1991), “Common fixed points of compatible map- pings in PM-spaces”, Math Japan, 36, 283-289 [9] V.M Sehgal and A.T Bharucha-Reid (1972), “Fixed points of contraction mapping on probabilistic metric spaces”, Math Systems Theory, 6, 92-102 [10] H Sherwood (1971), “Complete probabilistic metric spaces”, Z wahrscheinlichkeits theorie and verw Grebiete, 20, 117-128 [11] B Schweizer and A Sklar (1983), “Probabilistic Metric Spaces”, North Holland (Amsterdam) [12] S.L Singh and B.D Pant (1984), “Common fixed point theo- rems in probabilistic metric spaces and extension to uniform spaces”, Honam Math.J, 6, 1-12 [13] S.L Singh, B.D Pant and R Talwar (1993), “Fixed points of weakly commuting mappings on Menger spaces”, Jnanabha, 23, 115-122 ... đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an khơng gian metric xác suat... 2.2 Không gian metric xác suat Menger 31 2.3 Nguyên lý ánh xa co Banach không gian metric xác suat 37 Điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vái quan h¾ an khơng gian. .. 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric đay đú 1.3 Nguyên lý ánh xa co Banach 11 Khơng gian metric xác suat điem bat đ®ng 2.1 Không gian metric xác