LèI CÁM ƠN Nhân d%p lu¾n văn đưoc hồn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng sau đai hoc, thay giáo, giáo Khoa Tốn Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, ó đng viờn giỳp v tao ieu kiắn thuắn loi đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài nghiên cúu khoa hoc Tác giá xin trân thành cám ơn UBND tính Vĩnh Phúc, Só GD - ĐT tính Vĩnh Phúc, BGH trưòng THPT Bình Sơn huy¾n Sơng Lơ tính Vĩnh Phúc tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoc t¾p hồn thành lu¾n văn Do thòi gian kien thúc có han nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che thieu sót nhat đ%nh.Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban hoc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thành hiắn H Nđi, ngy 25 thỏng 05 nm 2012 Tác giá Hà Văn Th¾n LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Ho, luắn tot nghiắp Bien oi Laplace v mđt so Nng dnng” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá khơng trùng vói bat kỳ lu¾n văn khác Trong q trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2012 Tác giá Hà Văn Th¾n Mnc lnc Mé ĐAU 1 KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 So phúc m¾t phang phúc 1.1.1 So phúc 1.1.2 Bieu dien hình hoc cna so phúc, m¾t phang phúc 1.2 Hàm bien phúc 1.3 Hàm hình 1.3.1 Các khái ni¾m 1.3.2 M®t so đ%nh lý ve hàm hình 1.4 Tích phân phúc 11 1.4.1 1.5 1.6 1.7 Các tính chat bán cna tích phân phúc 12 Các cơng thúc tích phân Cauchy 14 1.5.1 Cơng thúc tích phân Cauchy .14 1.5.2 Tích phân loai Cauchy 15 Chuoi Taylor .20 1.6.1 Moi liên h¾ giua h¾ so tong cna chuoi lũy thùa 20 1.6.2 Đ%nh lý Taylor 20 Chuoi Laurentz 22 1.7.1 Đ%nh nghĩa mien h®i tu .22 1.7.2 Đ%nh lý Laurentz .24 ii MUC LUC 1.7.3 1.8 MUC LUC Các điem bat thưòng l¾p 26 Th¾ng dư cna hàm úng dung cna 26 1.8.1 Đ%nh nghĩa cách tính 26 1.8.2 Các đ%nh lý bán ve th¾ng dư 29 BIEN ĐOI LAPLACE 2.1 2.2 2.3 31 Bien đoi Laplace ví du 31 2.1.1 Bien đoi Laplace 31 2.1.2 Đòi hói tính liên tuc 33 2.1.3 Lóp L 34 2.1.4 Các tính chat bán cna bien đoi laplace 37 2.1.5 H®i tu đeu 39 Bien đoi Laplace ngưoc 40 2.2.1 Mđt so khỏi niắm 40 2.2.2 M®t so phương pháp tìm hàm goc 42 Các đ%nh lý bien đoi Laplace 45 M®T SO ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51 3.1 Tính giá tr% hàm Gama .51 3.2 Phương phương trình vi phân vói h¾ so hang so .53 3.2.1 Phương trình vi phân vói đieu ki¾n đau 54 3.2.2 Nghi¾m tong quát 58 3.2.3 Phương trình vi phân vói đieu ki¾n biên 59 3.3 Bài tốn tìm cưòng đ dũng iắn 60 3.4 Phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc 62 3.5 H¾ phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so .66 3.6 Tích ch¾p cna bien đoi Laplace úng dung 68 3.6.1 Đ%nh nghĩa tính chat .68 3.6.2 Ánh cna tích ch¾p qua bien đoi Laplace 70 MUC LUC MUC LUC KET LU¾N 73 TÀI LIfiU THAM KHÁO 74 Mé ĐAU Lý chon đe tài Bien đoi Laplace m®t bien đoi tích phân vói bien đoi Fourier hai bien đoi rat huu ích thưòng đưoc sú dung viêc giái tốn lĩnh vnc v¾t lý Qua bien đoi Laplace, phép tốn giái tích phúc tap đao hàm, tích phân đưoc đơn gián hóa thành phép tính đai so (giong cách mà hàm logarit chuyen m®t phép tốn nhân so thành phép cđng cỏc logarit cna chỳng) Vỡ vắy nú ắc biắt huu ích vi¾c giái phương trình vi phân thưòng, phương trình vi phân đao hàm riêng, phương trình tích phân, nhung phương trình thưòng xuat hi¾n tốn v¾t lý, phân tích mach iắn, xỳ lý so liắu, dao đng ieu hũa, cỏc h¾ hoc Bói qua bien đoi Laplace phương trình có the chuyen thành phương trình đai so đơn gián Giái nghi¾m hàm ánh không gian s, dùng bien đoi Laplace ngưoc đe có lai hàm goc khơng gian thnc t Ve l%ch sú cna phép bien đoi Laplace đưa ta tró lai cơng trình cna Leonard Euler (1763-1769), ơng xét chúng chn yeu dưói dang cna phép bien đoi ngưoc lòi giái cna phương trình vi phân tuyen tính thưòng b¾c hai Cùng thòi đó, Laplace gúi tói Euler cơng trình xuat bán năm 1812 “Théorie analytique des probabilités” giói thi¾u ve bien đoi tích phân Năm 1878, Spitzer ngưòi gan tên cna Laplace cho bieu dien b ¸ esxφ(s)ds y= a Sau đó, bieu dien đưoc Euler sú dung m®t so cơng trình nghiên cúu cna ơng,dưói dang bieu dien tró thành phương trình vi phân vói y hàm chưa biet cna x Trong the ký 19, bien đoi Laplace đưoc mó r®ng tói dang phúc bói Poincare Pincherle, đưoc Picard mó r®ng tói trưòng hop hàm hai bien Ta có the ke thêm nua nghiên cúu đưoc tien hành bói Abel nhieu nhà tốn hoc khác Năm 1910, áp dung trưóc tiên cna bien đoi Laplace đưoc xuat hi¾n cơng trình cna Bateman, ơng bien đoi phương trình ve sn phân dã phóng xa cna Rutherford bang cỏch dp = iP dt p(x) = e−xtP (t)dt thu đưoc m®t so phương trình bien đoi hat nhân Năm 1920, trong cơng trình nghiên cúu ve hàm theta, Bernstain sú dung bieu dien f (s) = ¸ ∞ e−suφ(u)du goi bien đoi Laplace Phương pháp hi¾n đai đưoc đưa tù sn thúc đay cna Doetch nhung năm 1920-1930, ông áp dung bien đoi Laplace tói phương trình vi phân, tích phân Khơng có sn giái thích hồn háo ve bien đoi Laplace neu khơng ke đen cơng trình cna Oliver Heaviside (chn yeu lĩnh vnc ky thu¾t đi¾n), ơng tao m®t van đe r®ng lón vói tên goi "phép tính toán tú" đưa nhieu van đe tương tn phương pháp cna Laplace Các tính tốn cna Heaviside chưa th¾t ch¾t che, mang lai nhieu huu ích cho lĩnh vnc ve ky thu¾t đi¾n Đe tiep c¾n vói lý thuyet bien đoi Laplace áp dung nhung lý thuyet đó, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan tơi chon đe tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE V MđT SO NG DUNG e thnc hiắn luắn văn khóa đào tao Thac sy Tốn hoc chun ngành giái tích Lu¾n văn đưoc cau trúc thành 03 chương Trong chương cna lu¾n văn, chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán nhat ve lý thuyet hàm bien phúc, can thiet cho muc đích nghiên cúu ve bien đoi Laplace Chương cna lu¾n văn đưoc ginh cho viắc trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve khái ni¾m bien đoi Laplace, tính chât bán m®t so phép tốn giái tích bán cna phép bien đoi Điem cot yeu muc đích cna lu¾n văn minh hoa tam quan cna bien đoi Laplace đưoc trình bày chương é đây, chúng tơi trình bày m®t so áp dung cna bien đoi Laplace qua vi¾c giái quyet toán lĩnh vnc toán hoc thuan túy như: Giái phương trình vi phân vói đieu ki¾n đau; giái phương trình vi phân vói đieu ki¾n biên; phương pháp xác đ%nh giá tr% hàm Gamma; úng dung ve tích ch¾p cna bien đoi Laplace, viắc giỏi quyet cỏc bi toỏn thuđc lnh vnc vắt lý nh: p dung viắc tớnh toỏn đ dòng đi¾n Mnc đích, đoi tưang pham vi nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu ve lý thuyet bien đoi Laplace m®t so úng dung cna như: Tính giá tr% hàm Gama, giái tốn phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp cúa đe tài Trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve phộp bien oi Laplace Cùng m®t so áp dung cna phép bien đoi Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 1.1.1 So phNc m¾t phang phNc So phNc Đ%nh nghĩa 1.1.1 So phúc so có dang z = x + iy; vói x, y ∈ R i đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x phan thnc y phan áo, ký hi¾u x = Rez, y = Imz T¾p hop tat cá so phúc đưoc ký hi¾u bói C T¾p hop so phúc đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng C → R2 z = x + iy ›→ (x, y) M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox truc thnc, Oy truc áo Phép c®ng phép nhân so phúc đưoc thnc hiắn mđt cỏch thụng thũng nh cỏc phộp toỏn t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) Điem t = m®t điem kỳ d% quy cna phương trình Ta se xác đ%nh nghi¾m cna phương trình thóa mãn đieu ki¾n y(0) = Bien đoi Laplace cá hai ve cna phương trình ta đưoc (−s2 F r (s) − 2sF (s) + 1) + (sF (s) − 1) + 2F (s) = hay −s2 F r (s) − sF (s) + 2F (s) = 0, Tù đó, ta đưoc F r(s) +1 − F (s) = 0; s > 0, s s2 Búi vỡ à(s) = e 12 s s ds = se2/s, nên ta nh¾n đưoc Tù đó, suy F (s)se2/s.r = F (s) = Ce−2/ s s Sú dung khai trien Taylor đoi vói hàm ex = đưoc F (s) = C Sú dung công thúc ∞ ∞ xn n= , tai x = n=0 n! (−1) n n 2 − s n!sn+1 ∞ f (t) = L−1(F (s)) = n=0 an Γ(n + ν + 1) tn+ν, t ≥ ta bien đoi Laplace ngưoc biet ta đưoc ∞ y(t) = C n=0 n n n (−1) t (n!) Tù đieu ki¾n đau y(0) = ta đưoc hang so C = cuoi nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình cho ∞ y(t) = Lưu ý rang y(t) = J0(2 n=0 n n n (−1) t (n!) √ at) vói a = tù ket cna bien đoi Laplace muc 2.2.2, ó J0 m®t hàm Bessel b¾c đưoc gió thi¾u Phương trình ny cú mđt nghiắm khụng b% chắn tai iem goc khơng the tìm đưoc nghi¾m cna theo phương pháp mà ta biet trưóc 3.5 H¾ phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so Phương pháp giái h¾ phương trình vi phân đưoc thnc hiắn tng tn nh giỏi mđt phng trỡnh vi phõn Ta xét vài ví du Ví dn 3.5.1 Giái h¾ phương trình vi phân xr + 3x + y = yr − x + y = thóa mãn đieu ki¾n x(0) = 1, y(0) = Đ¾t L(x(t)) = X(s), L(y(t)) = Y (s) Khi L(xr(t)) = sX(s) − 1, L(yr(t)) = sY (s) − Ta đưoc h¾ phương trình cna ánh (s + 3)X + Y = −X + (s + 1)Y = Giái h¾ ta đưoc:   X(s) = s (s + 2) s+4  (s + 2) −  X(s) = (s + 2) s+ ⇔  Y (s) = + (s + 2)  Y (s) = s+ x(t) = L−1(X(s)) ⇔ y(t) = L−1(Y V¾y nghi¾m cna h¾ là: ⇔ (s)) x(t) = e−2t − 2te−2t y(t) = e−2t + 2te−2t x = (1 − 2t)e−2t y = (1 + 2t)e−2t Ví dn 3.5.2 Tìm nghi¾m cna h¾ phương trình vi phân xr − 2y = yr + 2x = t, thóa mãn đieu ki¾n x(0) = y(0) = Đ¾t L(x(t)) = X(s), L(y(t)) = Y (s) Khi L(xr(t)) = sX(s), L(yr(t)) = sY (s), L(1) = Ta đưoc h¾ phương trình cna ánh:   sX − 2Y = 1s  sY + 2X =  s2 s2 +   X(s) = 2 s (s + 4) ⇔ −1  Y (s) = s(s2 + 4) 1 , L(t) = s s2 Tù đó, ta có x(t) = res X(s)est, + res X(s)est, 2i + res X(s)est, −2i −2it e2i − e t 8i = + i 1 = + sin 2t; st st y(t) = res Y (s)e , + res Y (s)e , 2i + res Y (s)est, −2i e2it + e−2it = − 8 + = − + cos2t V¾y nghi¾m cna h¾ là:  sin 2t  x= + 1  y = − + cos2t 4 3.6 Tích ch¾p cúa bien đoi Laplace Nng dnng Tích ch¾p cna hai hàm đóng vai trò quan trong m®t so áp dung 3.6.1 Đ%nh nghĩa tính chat Đ%nh nghĩa 3.6.1 Cho hai hàm f (t) g(t) hai hàm xác đ%nh t > Ta goi tích ch¾p cna chúng hàm (f ∗ g) (t) xác đ%nh bói cơng thúc ¸t f (τ )g(t − τ )dτ (f ∗ g) (t) = Tích ch¾p có tính chat bán sau (i) c(f ∗ g) = cf ∗ g = f ∗ cg; vói c hang so; (ii) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h; (iii) f ∗ (g + h) = f ∗ h + f ∗ h; Th¾t v¾y, tính chat (i) tính chat (iii) hien nhiên Tính chat (ii) đưoc chúng minh sau [f ∗ (g ∗ h)] (t) = ¸t f (τ ) (g ∗ h) (t − τ )dτ   t t−τ ¸ ¸ = f (τ ) g(χ)h(t − τ − χ)dχdτ  ¸t   ¸t f (τ )g(u − τ )h(t − u)du dτ ; (χ = u −τ) τ t u  ¸ ¸  f (τ )g(−τ )dτ h(t − u)du = =  0 = [(f ∗ g) ∗ h](t) Ví dn 3.6.1 Neu f (t) = et, g(t) = t, ¸t (f ∗ g)(t) = eτ (t − τ )dτ t t = teτ | − (τeτ − eτ )|0 = et − t − Ví dn 3.6.2 Neu f (t) = cos t, g(t) = sin t (f ∗ g)(t) = ¸t cos τ sin(t − τ )dτ t ¸ [sin t − sin(2τ − t)]dτ 20 cos(2τ − t) = sin t +2 = t = t sin t 3.6.2 Ánh cúa tích ch¾p qua bien đoi Laplace Đ%nh lí 3.6.1 Giá sú f (t) g(t) hàm liên tnc tùng khúc [0, +∞) có b¾c mũ α L (f (t)) = F (s), L (g(t)) = G(s) Khi ta có L {f ∗ g(t)} = F (s).G(s) Chúng minh Ta có L (f (t)) L (g(t)) =   ∞ ¸ −su  e−sτ f (τ )dτ   e g(u)du ¸∞  0   ¸∞ ¸∞ −s(τ +u) f (τ )g(u)dudτ  e = 0 Đ¾t t = u + τ coi τ tham so ta đưoc dt = du, có L (f (t)) L (g(t)) = ¸∞   ¸∞  e−stf (τ )g(t − τ )dtdτ (3.7) τ Neu g(t) = vói t < 0, g(t − τ ) = vói t < τ có the viet (3.7) L (f (t)) L (g(t)) = ¸∞ ¸∞ e−s(t)f (τ )g(t − τ )dtdτ Do ton tai L (f (t)) , L (g(t)) nên ¸∞ t e−s(t)f (τ )g(t − τ )dt = Vì v¾y ¸∞ ¸∞ e−s(t)f (τ )g(t − τ )dτ dt L (f (t)) L (g(t)) = ¸∞ = ¸∞ =   ¸t  e−stf (τ )g(t − τ )dτ dt t ¸ −st  e  0 f (τ )g(t − τ )dτ dt = L[(f ∗ g)(t)] □ M®t nhung úng dung quan cna tích ch¾p tìm bien đoi Laplace ngưoc, sau m®t so ví du minh hoa Ví dn 3.6.3 Tìm L Ta có −1 (s − a)(s − b) L(eat ∗ ebt) = (s − a)(s − b) Nên ta đưoc L −1 = eat ∗ ebt (s − a)(s − b) ¸ t eaτ eb(t−τ ) = at bt = e −e a−b vói a ƒ= b Ví dn 3.6.4 Tìm L Ta viet biet −1 − 1) s2(s = 1 , s2(s − s2 (s − 1) 1) 1 t L(t) = , L(e ) (s − 1) s2 = Theo công thúc bien đoi Laplace cna tích ch¾p, ta có 1 t t = L(t).L(e ) = L(t ∗ e ), s2 s − ta thu đưoc L−1 s2(s = t ∗ et − 1) = et − t − Ví dn 3.6.5 Ta có ω2 ω (s2 + ω2) ω (s2 + ω ) (s + ω2) = = (sin ωt ∗ sin ωt), V¾y nên ω2 L−1( (s + ω2) ) = (sin ωt ∗ sin ωt) ¸t = sin ωτ sin ω(t − τ )dτ = Hồn tồn tương tn ta có s −1 ( L = (s + ω2) ) (sin ωt − ωt cos ωt) 2ω ω cosωt∗ sin ωt t ¸ cosωτ sin ω(t − τ )dτ ω0 = t sin ωt 2ω = KET LU¾N Trong lu¾n văn chúng tơi giái quyet nhung van đe dưói Chương Giói thi¾u khái qt ve so phúc, m¾t phang phúc, hàm bien phúc, hàm hình, tích phân phúc, th¾n dư úng dung Chương Trong chương chúng tơi trình bày khái ni¾m bien đoi Laplace, ví du minh hoa, đieu ki¾n đe m®t hàm có bien đoi Laplace, bien đoi Laplace ngưoc đ%nh lí ve bien đoi Laplace Chương Chúng tơi trình bày m®t so áp dung cna bien đoi Laplace qua vi¾c giái quyet tốn lĩnh vnc toán hoc thuan túy như: Giái phương trình vi phân vói đieu ki¾n đau; giái phương trình vi phõn vúi ieu kiắn biờn; mđt phng phỏp xỏc đ%nh giá tr% hàm Gamma; úng dung ve tích ch¾p cna bien đoi Laplace; vi¾c giái quyet cỏc bi toỏn thuđc lnh vnc vắt lý nh: Tớnh đ dũng iắn Ti liắu tham khỏo [1] E A Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, inc, New York, 1989 [2] G Doetsch, Guide to the Appications of Laplace Transfroms, Van Nostrand Co, 1963 [3] G Doetsch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, 1974 [4] A C Grove, An Introduction to the Laplace Transfrom and the Z - Transfrom, Prentice Hall, 1991 [5] P B Guest, Laplace Transfroms and an Introduction to Distributions, Ellis Horwood, 1991 [6] Joel L Schiff, The Laplace Transfrom, Springer- Verlag, 1988 [7] W.E Boyce and R.C DiPrima, Elmentary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and Sons, Inc, New York, 2000 74 ... ĐOI LAPLACE 2.1 2.2 2.3 31 Bien đoi Laplace ví du 31 2.1.1 Bien đoi Laplace 31 2.1.2 Đòi hói tính liên tuc 33 2.1.3 Lóp L 34 2.1.4 Các tính chat bán cna bien đoi laplace. .. 39 Bien đoi Laplace ngưoc 40 2.2.1 Mđt so khỏi niắm 40 2.2.2 M®t so phương pháp tìm hàm goc 42 Các đ%nh lý bien đoi Laplace 45 M®T SO ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51... Laplace úng dung 68 3.6.1 Đ%nh nghĩa tính chat .68 3.6.2 Ánh cna tích ch¾p qua bien đoi Laplace 70 MUC LUC MUC LUC KET LU¾N 73 TÀI LIfiU THAM KHÁO 74 Mé ĐAU Lý chon đe tài Bien đoi Laplace