1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS.Khuất Văn Ninh Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc PGS.TS.Khuất Văn Ninh, người quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tơi q trình làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp Trường THPT Võ Thị Sáu động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Nguyễn Đăng Long LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS.Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Nguyễn Đăng Long MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC .3 BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị .9 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Khơng gian tuyến tính 12 1.1.3 Không gian định chuẩn 13 1.1.4 Không gian Hilbert 16 1.2 Phương trình tốn tử .17 1.2.1 Khái niệm 17 1.2.2 Một số khái niệm toán tử đơn điệu 17 1.2.3 Một số khái niệm toán tử liên tục .19 Chương Phương pháp thác triển theo tham số phương trình tốn tử loại hai với tốn tử đơn điệu liên tục Lipschitz 21 2.1 Phương trình tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert không gian định chuẩn .21 2.1.1 Trong không gian Hilbert .21 2.1.2 Trong không gian định chuẩn 24 2.2 Phương pháp thác triển theo tham số 25 2.2.1 Sự tồn nghiệm 25 2.2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ 31 Chương Ứng dụng giải phương trình tốn tử loại .35 3.1 Ví dụ giải xấp xỉ tốn biên phi tuyến 35 3.2 Ứng dụng giải số máy tính điện tử 43 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO .64 BẢNG KÝ HIỆU Tập số tự nhiên Ỉ Ỉ * Tập số tự nhiên khác không _ Tập số hữu tỷ \ Tập số thực Ø Tập số phức \ k L( X ,Y ) Không gian thực k chiều Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chuẩn  Tập hợp rỗng , Tích vơ hướng  Phần tử khơng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Rất nhiều vấn đề, nhiều toán khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật, sống dẫn đến việc nghiên cứu phương trình tốn tử Ax y (1) A toán tử từ tập X đến tập Y, x X , y Y Toán tử A tuyến tính phi tuyến, đơn trị đa trị (lúc y Ax ) A ký hiệu cho tốn tử xác định tốn biên cổ điển khơng cổ điển, với biên trơn khơng trơn Chính phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn Phạm vi ứng dụng rộng có hiệu lực thực tiễn trước phát triển nhanh chóng máy tính điện tử với phát triển mạnh mẽ cơng trình nghiên cứu xấp xỉ phương trình có dạng (1) Về phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình có dạng (1) phong phú, đa dạng Những phương pháp thường sử dụng cải biên, phát triển thêm phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp điều chỉnh, phương pháp thác triển theo tham số… Phương pháp thác triển theo tham số dùng để nghiên cứu phương trình tốn tử loại hai x Ax  f cơng trình J Schauder S N Bertein, nhiều cơng trình theo hướng hạn chế việc nghiên cứu toán tử phi tuyến khả vi, số khác V A Trenoghin, J L Gaponenko nghiên cứu tốn tử phi tuyến khơng khả vi, chẳng hạn toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz Với mong muốn tìm hiểu sâu giải xấp xỉ phương trình tốn tử hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình tốn tử loại hai” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp thạc sĩ ngành Tốn giải tích Ở chúng tơi trình bày phương pháp thác triển nói toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz tác dụng không gian Banach tùy ý Phương pháp trình lặp sử dụng số hữu hạn bước theo tham biến  bước thực nhờ phương pháp ánh xạ co Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu phương pháp thác triển tham số phương trình loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz - Nghiên cứu giải phương trình tốn tử loại hai máy tính điện tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày cụ thể phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình loại hai x Ax  f - Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình vi tích phân với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: nghiên cứu phương pháp toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz - Phạm vi nghiên cứu: Các giáo trình, tài liệu liên quan đến phương pháp thác triển theo tham số Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng số kỹ thuật giải xấp xỉ phương trình tốn tử: phương pháp lặp, đánh giá sai số - Thu thập nghiên cứu giáo trình, tài liệu liên quan - Phân tích, tổng hợp kiến thức Dự kiến đóng góp luận văn - Trình bày cách hệ thống ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình vi tích phân phi tuyến - Giải phương trình vi tích phân phi tuyến máy tính điện tử Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Cho X tập tùy ý khác rỗng Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X khác rỗng với ánh xạ d : X X \ tích X X vào tập số thực \ , thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) x, y X  , d x, y 0, d x, y 0 x y ; (tiên đề đồng nhất) 2) x, y X  , d x, y d y, x ; (tiên đề đối xứng) 3) x, y, z X  , d x, y d x, z d z, y ; (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X , số d x, gọi khoảng cách hai phần y tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiền đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm xn  , n 1, 2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a X lim d  a, xn 0 n Khi đó, ta kí hiệu lim xn a Tập hợp n hoặ xn a , n   c B  a, r x X :d x, a r r 0 gọi hình cầu mở tâm a, bán kính r khơng gian metric X Bước 3: Tính thay vào hệ Au b b i  ui  i Với m 1 tìm nghiệm 1, ,19  u3  ih:u3 ( u tìm trường hợp m 0 ) Bước 1: 1m i m Bước 2: Với u i ih tính ta tính b i h ih 200 ih1⎤ ⎡200.u u3 1m 0k ⎣ ⎦ Bước 3: Tính thay vào hệ Au tìm nghiệm b b i  ui  i 1, ,19  Quá trình lặp tương tự với m 2 Vớ k 1 i Tính u3 ih:u 1k ( ui tìm trường hợp m 2 , ứng với  ih  ,  i Với m 0 Bước 1: Tính u 1, ,19  m k 0 ) (sử dụng công thức (*) ) Bước 2: Với u3 ih tính ta tính b i h ih200.u3  ih1⎤  ⎡200.u 0m 1k ⎣ ⎦ Bước 3: Tính thay vào hệ Au tìm nghiệm b b i  ui  i m 1, ,19  Với m 1 Bước 1: u3 u tìm ih :u (   trường hợp m 0 ) 1m i m Bước 2: Với u i ih tính ta tính b i h2 ih200.u3  ih1⎤  ⎡200.u3 1m 1k ⎣ ⎦ Bước 3: Tính thay vào hệ Au tìm nghiệm b b i  ui  i 1, ,19  Quá trình lặp tương tự với m 2 Vớ k 2 i Tính u ih: ( u tìm trường hợp m 2 , ứng với k 1) u3 2k i i Với m 0 Bước 1: Tính u3 m  ih  ,  i (sử dụng công thức (*)) 1, ,19  Bước 2: Với u3 ih tính ta tính b i h ih 200 ih1⎤ ⎡200.u u3 0m 2k ⎣ ⎦ Bước 3: Tính thay vào hệ Au tìm nghiệm b b i  ui  i m Với m 1 1, ,19  u3  ih:u3 ( u tìm trường hợp m 0 ) Bước 1: 1m i m Bước 2: Với u i ih tính ta tính b i h2 ih 200 ih1⎤ ⎡200.u3 u3 1m 2k ⎣ ⎦ Bước 3: Tính thay vào hệ Au tìm nghiệm b b i  ui  i 1, ,19  Quá trình lặp tương tự với m 2 Cụ thể : Vớ k 0 i +) m 0 > h:=0.05: > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+1): > od: > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1482129883e-1 u[2] = -0.2715599414e-1 u[3] = -0.3708181445e-1 u[4] = -0.4476671874e-1 u[5] = -0.5046362304e-1 u[6] = -0.5448450194e-1 u[7] = -0.5716300585e-1 u[8] = -0.5881332811e-1 u[9] = -0.5969165038e-1 u[10] = -0.5996508788e-1 u[11] = -0.5969165038e-1 u[12] = -0.5881332811e-1 u[13] = -0.5716300585e-1 u[14] = -0.5448450194e-1 u[15] = -0.5046362304e-1 u[16] = -0.4476671874e-1 u[17] = -0.3708181445e-1 u[18] = -0.2715599414e-1 u[19] = -0.1482129883e-1 +) m 1 > for i from to 19 > u[1,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(u[1,i])^3+200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+1): > od: > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1870317065e-1 u[2] = -0.3491466744e-1 u[3] = -0.4868173980e-1 u[11] = -0.8772702225e-1 u[12] = -0.8557311036e-1 u[13] = -0.8188491635e-1 u[4] = -0.6010384903e-1 u[5] = -0.6932681584e-1 u[6] = -0.7652602470e-1 u[7] = -0.8188491635e-1 u[8] = -0.8557311036e-1 u[9] = -0.8772702225e-1 u[10] = -0.8843483521e-1 u[14] = -0.7652602470e-1 u[15] = -0.6932681584e-1 u[16] = -0.6010384903e-1 u[17] = -0.4868173980e-1 u[18] = -0.3491466744e-1 u[19] = -0.1870317065e-1 +) m 2 > for i from to 19 > u[2,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(u[2,i])^3+200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1760585158e-1 u[2] = -0.3272167267e-1 u[3] = -0.4540433734e-1 u[4] = -0.5577422972e-1 u[5] = -0.6400868386e-1 u[6] = -0.7032172483e-1 u[7] = -0.7493765539e-1 u[8] = -0.7806402003e-1 u[9] = -0.7986770022e-1 u[10] = -0.8045651295e-1 u[11] = -0.7986770022e-1 u[12] = -0.7806402003e-1 u[13] = -0.7493765539e-1 u[14] = -0.7032172483e-1 u[15] = -0.6400868386e-1 u[16] = -0.5577422972e-1 u[17] = -0.4540433734e-1 u[18] = -0.3272167267e-1 u[19] = -0.1760585158e-1 k 1 > for i from to 19 > u[1,k,i]:=subs(sols,u[i]): > od; +) m 0 > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+200*(u[1,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1799364177e-1 u[2] = -0.3349671039e-1 u[3] = -0.4656285918e-1 u[4] = -0.5730535171e-1 u[5] = -0.6589059450e-1 u[11] = -0.8265658337e-1 u[12] = -0.8072735805e-1 u[13] = -0.7739999346e-1 u[14] = -0.7251894995e-1 u[15] = -0.6589059450e-1 u[6] = -0.7251894995e-1 u[7] = -0.7739999346e-1 u[8] = -0.8072735805e-1 u[9] = -0.8265658337e-1 u[10] = -0.8328809833e-1 u[16] = -0.5730535171e-1 u[17] = -0.4656285918e-1 u[18] = -0.3349671039e-1 u[19] = -0.1799364177e-1 +) m 1 > for i from to 19 > u[1,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 >b[i]:=h^2*(200*(u[1,m,i])^3+200*(u[1,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.2103630678e-1 u[2] = -0.3957825508e-1 u[3] = -0.5565651321e-1 u[4] = -0.6933204955e-1 u[5] = -0.8068842875e-1 u[6] = -0.8981896765e-1 u[7] = -0.9681407062e-1 u[8] = -0.1017514278 [9] = -0.1046896921 u[10] = -0.1056650479 +) m 2 > for i from to 19 > od; u[11] = -.01046896921 u[12] = -0.1017514278 u[13] = -0.9681407062e-1 u[14] = -0.8981896765e-1 u[15] = -0.8068842875e-1 u[16] = -0.6933204955e-1 u[17] = -0.5565651321e-1 u[18] = -0.3957825508e-1 u[19] = -0.2103630678e-1 > u[2,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 >b[i]:=h^2*(200*(u[2,m,i])^3+200*(u[1,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1969544129e-1 u[2] = -0.3689826574e-1 u[3] = -0.5164960632e-1 u[4] = -0.6403395077e-1 u[5] = -0.7417168273e-1 u[6] = -0.8220320601e-1 u[7] = -0.8827090972e-1 u[8] = -0.9250274275e-1 u[9] = -0.9499917074e-1 u[10] = -0.9582402668e-1 k 2 > for i from to 19 > u[2,k,i]:=subs(sols,u[i]): > od; u[11] = -0.9499917074e-1 u[12] = -0.9250274275e-1 u[13] = -0.8827090972e-1 u[14] = -0.8220320601e-1 u[15] = -0.7417168273e-1 u[16] = -0.6403395077e-1 u[17] = -0.5164960632e-1 u[18] = -0.3689826574e-1 u[19] = -0.1969544129e-1 +) m 0 > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+200*(u[2,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1718647354e-1 u[2] = -0.3188346535e-1 u[3] = -0.4415113782e-1 u[4] = -0.5411724464e-1 u[5] = -0.6197063217e-1 u[6] = -0.6794003248e-1 u[7] = -0.7226598391e-1 u[8] = -0.7517173710e-1 u[9] = -0.7683725206e-1 u[10] = -0.7737900091e-1 u[11] = -0.7683725206e-1 u[12] = -0.7517173710e-1 u[13] = -0.7226598391e-1 u[14] = -0.6794003248e-1 u[15] = -0.6197063217e-1 u[16] = -0.5411724464e-1 u[17] = -0.4415113782e-1 u[18] = -0.3188346535e-1 u[19] = -0.1718647354e-1 +) m 1 > for i from to 19 > u[1,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(u[1,m,i])^3+200*(u[2,k,i])^3+1): 61 > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.2049026788e-1 u[2] = -0.3848689401e-1 u[3] = -0.5402484396e-1 u[4] = -0.6717471869e-1 u[5] = -0.7803512006e-1 u[6] = -0.8671854165e-1 u[7] = -0.9333650229e-1 u[8] = -0.9798705546e-1 u[9] = -0.1007457602 u[10] = -0.1016599635 u[11] = -01007457602 u[12] = -0.9798705546e-1 u[13] = -0.9333650229e-1 u[14] = -0.8671854165e-1 u[15] = -0.7803512006e-1 u[16] = -0.6717471869e-1 u[17] = -0.5402484396e-1 u[18] = -0.3848689401e-1 u[19] = -0.2049026788e-1 +) m 2 > for i from to 19 > u[2,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 >b[i]:=h^2*(200*(u[2,m,i])^3+200*(u[2,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; 62 u[1] = -0.1917305678e-1 u[2] = -0.3585423502e-1 u[3] = -0.5008903560e-1 u[4] = -0.6197156926e-1 u[5] = -0.7163694467e-1 u[6] = -0.7924394220e-1 u[7] = -0.8495474464e-1 u[8] = -0.8891599959e-1 u[9] = -0.9124342585e-1 u[10] = -0.9201079842e-1 u[11] = -0.9124342585e-1 u[12] = -0.8891599959e-1 u[13] = -0.8495474464e-1 u[14] = -0.7924394220e-1 u[15] = -0.7163694467e-1 u[16] = -0.6197156926e-1 u[17] = -0.5008903560e-1 u[18] = -0.3585423502e-1 u[19] = -0.1917305678e-1 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bản luận văn trình bày phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình tốn tử loại Cụ thể: Chương 1: Trình bày khái niệm, định lí, tính chất kiến thức sở Chương 2: Trình bày lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình tốn tử loại Chương 3: Ví dụ giải xấp xỉ tốn biên phi tuyến phương pháp lặp đơn phương pháp thác triển theo tham số Ứng dụng giải số máy tính điện tử ngơn ngữ lập trình Maple Với thời gian khả có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt Xin chân thành cảm ơn! 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2009), Giải tích số, Nhà xuất giáo dục [4] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, Lập trình giảng dạy tốn học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [7] H.Gajewski, K.Groger, K.Zacharias (1978), phương trình tốn tử phi tuyến phương trình tốn tử vi phân, Nhà xuất “Mir” Moskva [B] Tài liệu tiếng Anh [8] Yu L Gaponenko (1986), “The parameter-extension method for an equation of the second kind with a Lipschitz-continuous and monotonic operator”, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Volume 26, Issue 4, Pages 104-110 [9] Khuất Văn Ninh (2011), “A method of extending by parameter for approximate solutions of operator equations”, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No ... Những phương pháp thường sử dụng cải biên, phát triển thêm phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp điều chỉnh, phương pháp thác triển theo tham số Phương pháp thác triển theo tham số. .. 17 1.2.2 Một số khái niệm toán tử đơn điệu 17 1.2.3 Một số khái niệm toán tử liên tục .19 Chương Phương pháp thác triển theo tham số phương trình tốn tử loại hai với toán tử đơn điệu liên... toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz - Nghiên cứu giải phương trình tốn tử loại hai máy tính điện tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày cụ thể phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình loại