B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I Tran Th% Phương Lan PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON GIÁI Hfi PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: Giái tích Mã so: 60 46 01 Ngưài hưáng dan: TS Nguyen Văn Hựng H Nđi - 2010 LốI CM N Luắn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i Trưóc het, tác giá xin bày tó sn kính trong, lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS Nguyen Văn Hùng ln hưóng dan chí báo chu đáo, t¾n tình, nghiêm khac suot q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc, trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i tồn the thay giáo trưòng quan tâm dành cho tác giá nhung đieu ki¾n tot nhat thòi gian hoc t¾p nghiên cúu tai Tác giá xin chân thành cám ơn sn giúp đõ, tao đieu ki¾n cna Ban Giám Hi¾u Trưòng THPT Tam Đáo, THPT Phúc Yên Tác giá xin chân thành cám ơn ý kien đóng góp xác đáng cna thay giáo phán bi¾n đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi, đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hùng Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc nghiên cúu vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Sai so tuy¾t đoi, sai so tương đoi 1.3 Chu so chac 1.4 Sai so tính tốn 1.2 Sai so thu gon 1.5 Sai so phương pháp tính tốn 1.6 Xap xí ban đau .10 1.7 Ma tr¾n ngh%ch đáo .13 1.8 Các đ%nh lu¾t bán cna hóa hoc áp dung cho h¾ dung d%ch chat đi¾n li 16 1.8.1 Đ%nh lu¾t hop thúc 16 1.8.2 Đ%nh lu¾t báo tồn v¾t chat 18 1.8.3 Đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong 20 Chương Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen 23 2.1 Cơ só lí thuyet 23 2.1.1 Phương pháp l¾p Newton-Raphson 23 2.1.2 Cách giái h¾ phương trình phi tuyen bang phương pháp l¾p Newton - Raphson .24 2.2 Ví du áp dung 26 Chương Úng dnng cúa phương pháp Newton - Raphson 32 3.1 Giái h¾ phi tuyen an 32 3.2 Giái h¾ phi tuyen an 40 3.3 Tính cân bang h¾ oxi hóa- khú phúc tap .46 Ket lu¾n 57 Tài li¾u tham kháo 58 Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong khoa hoc cơng ngh¾ thưc te có rat nhieu tốn đưoc chuyen thành tốn giái h¾ phương trình fi(x1, x2, , xn) = (i = 1, 2, , n) (1) Tuy nhiên, chí m®t so trưòng hop đ¾c bi¾t ta mói có cách tìm nghi¾m cna h¾ phương trình đó, trưòng hop lai đeu phái tìm cách giái gan Neu h¾ phương trình xuat phát tù tốn thnc te bieu thúc fi(x1, x2, , xn)(i = 1, n) cna h¾ (1) thưòng chí biet gan Vì the vi¾c giái h¾ phương trình chang nhung khơng thnc hi¾n noi mà nhieu khơng có ý nghĩa Đoi vói lóp tốn thỡ viắc xỏc %nh sai so l mđt van e đáng quan tâm Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen phương pháp có lòi giái hay, có the áp dung cho moi h¾, đ¾c bi¾t nhung h¾ phúc tap phương pháp tó ưu vi¾t Hơn nua, neu lna chon xap xí ban đau tot phương pháp cho ket rat nhanh xác Qua nghiên cúu ve phương pháp thay hieu biet ve kien thúc giái tích ó thơng m®t cách rõ ràng, sâu sac trưóc rat nhieu Đong thòi thay oc mđt phan ỳng dung u viắt cna nú nghành hóa hoc phân tích tính cân bang h¾ oxi hóa - khú phúc tap Vì v¾y vói mong muon tìm hieu sâu sac nua phương pháp manh dan chon nghiên cúu đe tài: "Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen " Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu mđt cỏch cú hắ thong kien thỳc c bỏn cna phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen Sau ú vắn dung phng phỏp ny giỏi mđt so h¾ phương trình phi tuyen an, an, tính tốn cân bang h¾ oxi hóa khú phúc tap Nhi¾m nghiên cNu - Giái h¾ phi tuyen bang phương pháp Newton - Raphson - Tính tốn cân bang h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton Raphson Đoi tưang pham vi nghiờn cNu - Nghiờn cỳu mđt cỏch cú hắ thong kien thúc bán cna phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen - Tính cân bang h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphson Lu¾n văn đưoc chia làm chương ( ngồi phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo ) Chương 1: M®t so kien thúc bo tro Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen Chương 3: Úng dung cna phương pháp Newton - Raphson Phương pháp nghiên cNu - Phương pháp giái gan cna lý thuyet giái tích so - Phương pháp phân tích đ%nh tính đ%nh lưong cna hóa hoc NhĐng đóng góp mái cúa đe tài - Tính cân bang h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Sai so tuy¾t đoi, sai so tương đoi Trong tính tốn, ta thưòng phái làm vi¾c vói giá tr% gan cna đai lưong Ta nói a so gan cna a∗, neu a không sai khác a∗ nhieu Đai lưong ∆a = |a − a∗| goi sai so th¾t sn cna a Nói chung không biet a∗ nên ta không biet ∆a Tuy nhiên ta có the tìm đưoc ∆a ≥ 0, goi sai so tuy¾t đoi cna a, thóa mãn đieu ki¾n: |a − a∗| ≤ ∆a (1.1) hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a Đương nhiên ∆a thóa mãn đieu ki¾n ( 1.1) nhó tot Hai so gan có sai so tuyắt oi se cú mỳc đ chớnh xỏc khỏc neu đ® lón cna chúng khác nhau, so bé se có đ® xác Đe bieu dien xác đieu ngưòi ta dùng khái ni¾m sai so tương đoi, đưoc kí hi¾u δa xác đ%nh sau: ∆a δa |a| = Ví dn 1.1 Giá sú a∗ = π, a = 3, 14 Do 3, 14 ≤ a∗ ≤ 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có the lay ∆a = 0, 01 M¾t khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 có the coi ∆a = 0, 001 Ví dn 1.2 Đo đ® dài hai đoan thang AB, CD ta đưoc a = 10cm b = 1cm vói ∆a = ∆b = 0, 01 Khi ta có δa = 0,01 10 = 0, 1% δb = = 1% hay 0,01 δa = 10δb Hien nhiên rang phép đo a xác han phép đo b m¾c dự a = b Nh vắy đ chớnh xỏc cna m®t phép đo phán ánh qua sai so tương oi 1.2 Sai so thu gon Mđt so thắp phõn a có dang tong quát sau: a = ±(βp10p + βp−110p−1 + · · · + p− s 10p−s) β ≤ βi ≤ 9(i = p − 1, p − s); βp > nhung so nguyên Neu p − s ≥ a so nguyên; p − s = −m(m ≥ 0) a có phan th¾p phân gom m chu so Neu s = ∞, a so th¾p phân vơ han Thu gon m®t so a vút bó m®t so chu so bên phái a đe đưoc m®t so a ngan gon gan nhat vói a Quy tac thu gon: Giá sú a = βp10p + · · · + βj 10j + · · · + s10 − p−s ta giu lai đen so hang βp thú j Goi phan vút bó µ, ta đ¾t a = βp 10p + + βj+110j+1 + β˜j 10j β˜j = βj + neu 0, × 10j < µ < 10j neu ≤ µ < 0, × 10j βj Neu µ = 0, × 10j β˜ j = βj neu βj chan βj + neu βj lé Ví dn 1.3 π ≈ 3, 141592 ≈ 3, 14159 ≈ 3, 1416 ≈ 3, 142 ≈ 3, 14 ≈ 3, ≈ √ 10−4,44x = √ y 4+ K−1 ·∗ [Fe2 (OH) ] = −2,95 x = 10 y 22 [Fe2+]2 [H2S] Dna vo ieu kiắn Proton ta có: + + 2− 3+ [H ] = CH+ + [OH− ] + [FeOH ] + [HS− ] + 2[S ] − [Fe ] hay: −14 10 z z = z0 + 10−7y −5,92 + 10 x z z + + 2· 10 −19,92 y √ 10−20,1xz √ z2 y (3.3) p dung %nh luắt bỏo ton nong đ® ban đau ta có: 2+ + 3+ 2+ 4+ CFe2+ = [Fe ] + [FeOH ] + [Fe ] + [FeOH ] + 2[Fe22(OH) ] hay: 10−5,92 10−2,95x2 √ √ 10−20,1xz 10−4,44x y x + + + √ √ z y y x0 = x + Và CH2S = [H2S] + [HS−] + [S2 2+ ] − [Fe ] − [FeOH 2 √ √ 10−4,44x 10−20,1xz √ √ y y − hay: y0 = y + 3+ 10−7y z + 10−19,92y z2 − − (3.4) 4+ ] − [Fe2 (OH) ] 10−2,95x2 y (3.5) − Tù phương trình ( 3.3), ( 3.4), ( 3.5) ta thu đưoc h¾ phương trình an so:   z0 +    10−1 z + 10−5,92 x z 10−7y + z + · 10−19,92y z2 − √ 10−20,1xz       √ y x+ 10−5,92x z y+ 10−7y z + − √ z √ −20,1 xz 10−4,44x 10 √ √ + + y y =0 10 −2,95x2 10−19,92 y + z2 · − − x0 y 10−2,95x2 1 √ 10−4,44x √ 10−20,1xz √ · y − = √ y y − y0 = − Như v¾y vi¾c giái h¾ phương trình đưoc tien hành tính l¾p đong thòi vói an [Fe2+ ] = x, [ H2S] = y, [ H+] = z Lay nghi¾m xap xí ban đau (x0, y0, z0) = (0, 01; 0, 045; 0, 01) Ket quỏ tớnh lắp ong thũi an so cna h¾ đưoc ghi tóm tat báng sau: So lan tính x y z 0,009719 0,045140 0,010002 0,009719 0,045140 0,010002 Tù ket ta có: [Fe2+ ] = 0,009719 [ H2S] = 0,045140 [ H +] 2− Suy K1K2ra [H2[S S] = 0,010002 ]= 10 = [H+]2 Nên 2+ − 19,92 0, 045140 = 0, 542485 0, 0100022 10−17 · 2− [Fe ] · [S ] = 0, 009719 · 0, 542485 · 10−17 = 5, 272412 · 10−20 < KS (FeS) = 10−17,2 V¾y dn đốn ban đau đúng, khơng có ket tna FeS tao thành Bài tốn 2: Tính cân bang dung d%ch chúa Hg(NO3)2 0,01M tiep xúc vói thny ngân kim loai Giái • Cân bang oxi hóa khú: 2Hg - 2e = Hg2+ 2Hg2+ + 2e = 2+ Hg K1 = 10−26,62 K = 1031,08 2 Hg + 2Hg2+ = 2Hg2 2+ Hay Hg + Hg2+ = Hg2 K = 104,46 2+ K = 102,23 • Thành phan giói han: Thành phan giói han cna chat thành phan ban đau: 2+ Hg : 0, 01 H2O • Các cân bang xáy dung d%ch: Hg + 2Hg2+ = 2Hg 2+ lgK = 4, 46 Hg2+ +H2O = HgOH+H+ lg∗β11 = −3, 65 Hg + 2Hg2++2H2O = 2Hg2OH+ + 2H+ 12 · K) = −5, 54 lg(β2 Hg2++2H2O = Hg(OH)2 +2H+ lg∗β21 = −7, 79 H2O = H+ +OH− lgW = −14 Hg2++3H2O = Hg(OH)3 +3H+ lg∗β31 = −22, 57 − • Thiet l¾p h¾ phương trình tính: Chon múc khơng Hg2+, H2O Ta kí hi¾u: [Hg2+ ] = x, [ H+] = y; Áp dung đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong cho cân bang ( bó qua ánh hưóng cna lnc ion ) ta có: −14 [OH−] = W = 10 y [H+] + [HgOH ] = ∗ β11[Hg2+ 10−3,65 x ] = y [H+] β21[Hg2+ 10−7,79 x ] = − +] [Hg(OH) ] [H y2 = ∗ β31[Hg2+] 10−22,57 x = [H+]3 y3 √ 2+ 10−5,54 ∗ β12 · K[Hg ] + [Hg2OH ] = x [H+] = y √ 2+ 2+ 2,23 [Hg2 ] = K[Hg ] = 10 x [Hg(OH)2] = ∗ • Dna vào đieu ki¾n Proton ta có: + + + [H ] = [OH−] + [HgOH ] + 2[Hg(OH)2] + 3[Hg(OH)−] + [Hg2OH ] hay: −14 y = 10 y 10−3,65 x + y √ 10−22,57 x √ 10−5,54 −5,54 10 +3 + y3 x x +2 y y (3.6) p dung %nh luắt bỏo ton nong đ ban đau ta có: 2+ 2+ + + CHg2+ = [Hg ] + [Hg ] + [HgOH ] + [Hg2OH ] + [Hg(OH)2] + [Hg(OH)−] √ 10−5,54x hay: + −7,79 10−22,57 10−3,65 10 x y 2,23 + x x x0 = x + 10 x + y2 + y y3 (3.7) Tù phương trình ( 3.6), ( 3.7) ta thu đưoc h¾ phương trình an so: √ √ 5,54 x  −22,57 x −3,65 x 5,54 x 14 10 10 + + + = −y y + y y3 y 10− y 310 − − 10  √  −22,57 x  x + 102,23x + 10−3,65 x + 10−5,54 x + −7,79 x2 + − x0 = y y y y3 10 10 hay:   10 − y  10 14 + (10 − 3,65 + √ 10− x 5,54 ) y √ 10−5,54x + (1 + 102,23 )x + (10−3,65 + −22,57 x 10−22,57 x y3 √ + 10−5,54 ) x + y −y y 10 −7,79 y2 x y3 =0 + x − =0 Vi¾c giái h¾ phương trình đưoc tien hành tính l¾p đong thòi vói an [Hg2+ ] = x, [ H+] =y , Lay nghi¾m xap xí ban đau sau x0 = 0, 01; y0 = 10−3,65 · 0, 01 ; Ket quỏ tớnh lắp ong thũi an so cna h¾ đưoc ghi tóm tat báng sau: So lan tính x y 0,00004035 0,00134860 0,00004600 0,00012008 0,00004554 0,00020040 0,00004529 0,00027668 0,00004519 0,00030146 0,00004518 0,00030280 53 Tù ket ta có: [Hg2+ ] = 0,00004518 [ H+] = 0,00030280 Bài tốn 3: Tính cân bang h¾ Fe(ClO4 )2 0,05M, Fe(ClO4 )3 0,05 M, HClO4 0,01 M, O2 1, 4.10−3 M Giái • Cân bang oxi hóa khú: Fe2+ = Fe3+ + 1e K1 = 10−12,9 O2+ 4e + 4H+ =+ 2H2O C0 C 4Fe2+ + O2 + 0,05 1, 4.10−3 4, 44.10−2 - K2 = 1083 4H+ = 0,01 4, 40.10−3 4Fe3+ +2H2O 0,05 5, 56.10−2 K = 1031,4 • Thành phan giói han: Thành phan giói han cna chat là: 3+ Fe : 5, 56 · 10−2M 2+ Fe : 4, 44 · 10−2M + H : 4, 40 · 10−3M • Các cân bang xáy dung d%ch: Fe3+ + H2 O = FeOH2+ + H+ lg∗ β11 = −2, 17 2Fe3+ + H2 O = lg∗β12 = −2, 85 Fe2 (OH) 4+ +2H+ H2O = H+ +OH− lgW = −14 Fe2+ + H2 O = FeOH+ +H+ lg∗ β21 = −5, 92 54 4Fe3+ +2H2 O = 4Fe2+ +O2 +4H+ lgK−1 = −3, 14 54 • Thiet l¾p h¾ phương trình tính: Chon múc khơng Fe2+ , Fe3+ , H+ , H2 O Ta kí hi¾u: [Fe2+ ] = y, [ Fe3+] = x, [ H+] = z; Áp dung đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong cho cân bang ( bó qua ánh hưóng cna lnc ion ) ta có: −14 [OH−] = W = 10 z [H+] ∗ 2+ [FeOH ] = β11 [Fe3+ 10−2,17 x ] = z + [H ] 4+ ∗ [Fe2 (OH) ] = β12 [Fe3+] 10−2,85x2 = z2 [H+]2 + [FeOH ] = ∗ β21 [Fe2+ 10−5,92 y ] = z + [H ] [O2] = K−1 [Fe3+ ]4 [H+]4 [Fe2+ ]4 = 10−31,4x4 y4z • Dna vào đieu ki¾n Proton ta có: + 2+ 4+ + [H ] = z0 + [OH− ] + [FeOH ] + 2[Fe2 (OH) ] + [FeOH ] + 4[O2 ] hay: z = z0 + 10−14 z + 10 · 10−2,85 x2 −2,1 x z + z2 + 10−5,922y z 55 +4 10−31,4 x4 (3.8) y4z p dung %nh luắt bỏo ton nong đ® ban đau ta có: 3+ 2+ 4+ CFe3+ = [Fe ] + [FeOH ] + 2[Fe2 (OH) ] + 4[O2 ] hay: x0 = x + 10−2,17 10−2,85x2 10−31,4x4 + x + 2· z2 y4z z 2+ + 10−5,92y 10−31,4 x4 Và CFe2+ = [Fe ] + [FeOH ] − 4[O2 ] hay: y0 = y + − z (3.9) (3.10) (3.11) y4z Tù phương trình ( 3.8), ( 3.9), ( 3.11) ta thu đưoc h¾ phương trình an so:       z0 + 10−1 z + 10−2,17 x z + 10−2,85 x2 z2 √ 10−2,85x 10−31,4x4 + y 4z4 −z = 10−31,4x4 = − x0 10 y 4z  x+ z + z2   10−31,4x4  −5,92 y = − y0 10 y 4z4 y+ z − Như v¾y vi¾c giái h¾ phương trình đưoc tien hành tính l¾p đong thòi −2,17x + + 10−5,92 y z vói an [Fe3+ ] = x, [ Fe2+] = y, [ H+] = z Lay nghi¾m xap xí ban đau (x0, y0, z0) = (0, 0556; 0, 0444; 0, 0044) • Ket q tính l¾p đong thòi an so cna h¾ đưoc ghi tóm tat báng sau: So lan tính x y z 0,053400 0,044394 0,00606 0,050155 0,044396 0,009849 56 0,045705 0,044397 0,014298 0,040806 0,044398 0,019196 0,037763 0,044398 0,022239 0,037164 0,044398 0,022839 0,037148 0,044398 0,022855 Tù ket ta có: [Fe3+ ] =0,037148 [ Fe2+] =0,044398 [ H +] =0,022855 Nh vắy, mđt tốn hóa hoc qua m®t so bưóc bien đoi đơn gián, dna vào đ%nh lu¾t báo tồn Proton, %nh luắt bỏo ton nong đ ban au ta thu oc mđt hắ phng trỡnh phi tuyen, hắ ny giỏi bang phương pháp thơng thưòng het súc phúc tap Tuy nhiên giái h¾ bang thu¾t tốn Newton - Raphson ket q h®i tu rat nhanh Đieu tó tính ưu vi¾t cna phương pháp Newton - Raphson KET LU¾N Lu¾n văn trình bày phương pháp Newton - Raphson giái gan h¾ phương trình phi tuyen, a oc mđt so bi toỏn ve hắ phng trình phi tuyen an, h¾ phương trình phi tuyen an lòi giái cna tốn Ngồi ra, lu¾n văn trình bày úng dung cna phương pháp Newton Raphson đe tính thành phan cân bang mđt so hắ oxi húa - khỳ phỳc tap, chương trình tính h¾ đưoc viet theo ngơn ngu l¾p trình Pascal Trong khn kho thòi gian có han, vi¾c phát trien úng dung cna phương vào tốn lón b% han che can đưoc phát trien ó bưóc nghiên cúu tiep theo Tài li¾u tham kháo [1] Pham Kỳ Anh(1996), "Giái tích so", Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia, Hà N®i [2] Nguyen Thac Cát, Tù Vong Nghi, Đào Huu Vinh (1980), "Cơ só lí thuyet hóa hoc phân tích", Nhà xuat bán Đai hoc Trung hoc chuyên nghi¾p, Hà N®i [3] Pham Phú Chiêm, Nguyen Bưòng (2000), Giái tích so, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia, Hà N®i [4] Nguyen Minh Chương, Nguyen Văn Khái, Nguyen Văn Tuan, Nguyen Tưòng, Khuat Văn Ninh (2003), Giái tích so, Nhà xuat bán Giáo duc, Hà N®i [5] Nguyen Tinh Dung (1981), "Hóa hoc phân tích , phan Lí thuyet só ( cân bang ion )", Nhà xuat bán Giáo duc, Hà N®i [6] Nguyen Tinh Dung (2005), "Hóa hoc phân tích Cân bang ion dung d%ch", Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham, Hà N®i [7] Nguyen Tinh Dung (1982), "Bài t¾p hóa hoc phân tích ", Nhà xuat bán Giáo duc, Hà N®i [8] Phan Văn Hap, Hồng Đúc Ngun, Lê Đình Th%nh (1996), "Bài t¾p phương pháp tính, Nhà xuat bán Khoa hoc k thuắt, H Nđi [9] Tong Th% Son (1999), "Nõng cao hi¾u vi¾c đánh giá thành phan cân bang h¾ oxi hóa - khú phúc tap theo đieu ki¾n Proton", Lu¾n văn tot nghi¾p khoa hóa hoc, Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i ... 2: Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen Chương 3: Úng dung cna phương pháp Newton - Raphson Phương pháp nghiên cNu - Phương pháp giái gan cna lý thuyet giái tích so - Phương. .. Chương Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen 23 2.1 Cơ só lí thuyet 23 2.1.1 Phương pháp l¾p Newton- Raphson 23 2.1.2 Cách giái h¾ phương trình phi tuyen bang phương. .. cỏch cú hắ thong kien thỳc c bỏn cna phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen - Tính cân bang h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphson Lu¾n văn đưoc chia làm chương