1 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Văn Khải tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực đề tài Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, Khoa Tốn tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Phú Thọ, Trường THPT Yên Lập, THPT Minh Hồ tạo điều kiện giúp đỡ để tơi yên tâm học tập hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải Tôi đọc, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp, vận dụng kiến thức để viết nên luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan……………………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………………… Mở đầu…………………………………………………………………… Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………… 1.1 Không gian metric…………………………………………………… 1.2 Không gian Banach………………………………………………… 1.3 Không gian Hilbert…………………………………………… 1.4 Hàm giải tích………………………………………………………… 13 Chương 2: XẤP XỈ TỐT NHẤT……………………………………… 15 2.1 Bài toán xấp xỉ tuyến tính……………………………… 15 2.2 Tính xấp xỉ tốt nhất…………………………………… 18 2.3 Xấp xỉ tốt không gian hàm liên tục n nhờ hệ đơn thức 1, x, x , x ………………………………………… 20 2.4 Xấp xỉ tốt không gian hàm liên tục nhờ họ phi tuyến……………………………………………………… 27 Kết luận chương 2………………………………………………… 29 Chuơng 3: BẬC CỦA XẤP XỈ…………………………………………… 30 3.1 Phép đo xấp xỉ tốt nhất………………………………………… 30 3.2 Bậc xấp xỉ không gian Hilbert…………………………… 36 3.3 Bậc xấp xỉ không gian hàm liên tục…………… 39 Kết luận chương 3………………………………………………………… 47 Chương 4: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG TOÁN SƠ CẤP…………… 48 4.1 Xấp xỉ tốt đa thức bậc không………………… 48 4.2 Xấp xỉ tốt đa thức bậc nhất…………………………… 48 4.3 Một vài ứng dụng toán sơ cấp………………………… 51 Kết luận chương 4……………………………………………………… 62 Kết luận luận văn………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 64 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một vấn đề cổ xưa toán học liên tục phát triển với q trình phát triển tốn học lý thuyết xấp xỉ hàm Đây lĩnh vực vừa có ý nghĩa khoa học có tính lý thuyết sâu sắc vừa có tính ứng dụng thực tiễn cao Các kết đạt thuộc lĩnh vực vừa thúc đẩy phát triển toán học lý thuyết, vừa làm tiền đề cho ngành toán học ứng dụng ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế… Một vấn đề lý thuyết xấp xỉ hàm là: Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn, y phần tử A không gian X hữu hạn chiều X Hãy tìm x A để " y x0 " d ( y, A) inf " y x " xA Phần tử x0 (nếu có) gọi xấp xỉ tốt y A Vấn đề có kết đặc trưng không gian hàm khác không gian hàm liên tục C[a,b] hay không gian Hilbert: Sự tồn nghiệm, đặc trưng nghiệm, sai số nghiệm (bậc xấp xỉ) Là giáo viên phổ thông, trình học tập tơi ln có ý thức tìm kiếm ứng dụng khác toán học cao cấp toán sơ cấp Lý thuyết xấp xỉ tốt có nhiều ứng dụng soi sáng cho phép sáng tạo lớp toán sơ cấp dành cho học sinh giỏi Do định chọn đề tài ‘‘ Một số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc xấp xỉ ứng dụng toán sơ cấp’’ để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Làm rõ, trình bày hệ thống số vấn đề xấp xỉ tốt nêu số ứng dụng toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Lý thuyết xấp xỉ tốt khơng gian tuyến tính định chuẩn không gian hàm liên tục C[a,b] Lý thuyết bậc xấp xỉ trường hợp cụ thể không gian hàm liên tục C[a,b] , không gian Hilbert Một số ứng dụng tốn sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khơng gian tuyến tính định chuẩn, không gian hàm liên tục C[a,b] không gian Hilbert Bài toán xấp xỉ tốt nhất, bậc xấp xỉ khơng gian Phương pháp nghiên cứu Đọc nghiên cứu tài liệu, tổng hợp vận dụng Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống rõ ràng số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn Ứng dụng lý thuyết xấp xỉ tốt để giải sáng tạo lớp toán sơ cấp Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Hàm d: X X , gọi khoảng cách (hay metric) tiên đề sau thoả mãn: 1) d (x, y) 0 x, y X đồng thời d (x, y) 0 x y; 2) d (x, y) d ( y, x) x, y X ; 3) d (x, z) d (x, y) d ( y, z) x, y, z  X Cặp (X, d d khoảng cách gọi không gian ) metric Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M (X,d ) Dãy điểm (xn ) X gọi dãy M  0 , n Ỉ , m, n n * d (x n m ,x )  hay lim d (x n,m , x ) 0 m n Định nghĩa 1.1.3 Không gian metric M (X,d ) gọi không gian đủ dãy không gian hội tụ Ví dụ 1.1.1 Ta kí hiệu C tập hàm số thực liên tục đoạn [a,b], [a,b] với hai hàm số x(t), y(t) C đặt: [a,b] d (x, y) max | x(t) y(t)| atb (1.1.1) Dễ thấy (1.1.1) thoả mãn tiên đề metric Có thể chứng minh C[a,b] khơng gian metric đủ L Ví dụ 1.1.2 Ta kí hiệu C [a,b] tập hàm số liên tục đoạn [a,b], với hai hàm x(t), y(t) C L đặt: [a,b] b d (x, y) ∫| x(t) y(t)| dt (1.1.2) a Dễ thấy (1.1.2) thoả mãn tiên đề metric Khi chứng minh L [a,b] không gian metric không không gian metric đủ 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 Khơng gian tuyến tính X gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn ứng với phần tử x  X, ta có số thực ký hiệu " x " thoả mãn tiên đề: 1) " x " 0 (xác định dương) đồng thời " x " 0 x 0 ; 2) " x "  " x X  (thuần dương); x" 3) " x y " " x " " y " x, y (bất đẳng thức tam giác); X Khi " x " gọi chuẩn x Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm (xn ) tới điểm x X không gian định chuẩn X gọi hội tụ lim " xn x " 0 Ký hiệu n lim xn x hay x x (n ) n n Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy lim " x x " 0 n m m,n Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Ví dụ 1.2.1 Khơng gian tuyến tính C[a,b] với chuẩn định nghĩa không gian Banach k ... xấp xỉ tốt nhất, bậc xấp xỉ ứng dụng toán sơ cấp ’ để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Làm rõ, trình bày hệ thống số vấn đề xấp xỉ tốt nêu số ứng dụng toán sơ cấp 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Lý thuyết. .. kiếm ứng dụng khác toán học cao cấp toán sơ cấp Lý thuyết xấp xỉ tốt có nhiều ứng dụng soi sáng cho phép sáng tạo lớp toán sơ cấp dành cho học sinh giỏi Do định chọn đề tài ‘‘ Một số vấn đề lý thuyết. .. hợp vận dụng Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống rõ ràng số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn Ứng dụng lý thuyết xấp xỉ tốt để giải sáng tạo lớp toán sơ cấp Chương