B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2 ———————————– NGUYEN QUANG NH¾T M®T SO VAN ĐE VE ĐA THÚC N®I SUY LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2 ———————————– NGUYEN QUANG NH¾T M®T SO VAN ĐE VE ĐA THÚC N®I SUY Chuyên ngành: Toán giái tích Mã so: 60.46.01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Ngưòi hưóng dan khoa hoc: TS NGUYEN VĂN KHÁI Lài cám ơn Tác giá trân trong cám ơn Ban Giám hi¾u và Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban Giám hi¾u và các thay cô giáo Trưòng Cao đang Kinh te Ky thu¾t Vĩnh Phúc đã tao đieu ki¾n, giúp đõ trong thòi gian vùa qua Đ¾c bi¾t, tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen TS Nguyen Văn Khái, ngưòi đã t¾n tình chí báo, hưóng dan và giúp đõ trong suot quá trình làm lu¾n văn Cám ơn ban bè và gia đình đã luôn bên canh, quan tâm và đ®ng viên trong vi¾c hoc t¾p và nghiên cúu Hà N®i, tháng 9 năm 2009 Lài cam đoan Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna TS Nguyen Văn Khái Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn Mnc lnc Má đau 1 1 M®t so kien thNc chuan b% 3 1.1 M®t so khái ni¾m ve giái tích hàm 3 1.1.1 Không gian mêtric 3 1.1.2 Không gian tuyen tính 5 1.1.3 Phiem hàm tuyen tính và không gian liên hop đai so 7 1.1.4 Không gian Banach 10 1.1.5 Không gian Hilbert 13 1.2 Phân loai hàm 17 1.2.1 Đa thúc .17 1.2.2 Hàm thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz 19 1.2.3 Hàm khá vi 19 1.2.4 Hàm khá vi vô han 21 1.2.5 Hàm chính hình trên đưòng thang .21 1.2.6 Hàm chính hình trên mien 24 2 Lý thuyet n®i suy 28 2.1 Lý thuyet n®i suy co đien 28 2.1.1 Bài toán n®i suy co đien 28 2.1.2 Các công thúc bieu dien 30 2.1.3 Sai so, van đe chon moc n®i suy, sn h®i tu cna quá trình n®i suy .37 2.2 M®t so mó r®ng bài toán n®i suy 47 2.2.1 N®i suy phiem hàm tuyen tính 47 2.2.2 Đa thúc n®i suy Hermite 52 3 M®t so Nng dnng cúa lý thuyet n®i suy trong toán sơ cap 55 Ket lu¾n 66 Tài li¾u tham kháo 67 6 Má đau 1 Lý do chon đe tài Sn ra đòi bài toán n®i suy và quá trình nghiên cúu phát trien không ngùng cna lý thuyet đa thúc n®i suy có ý nghĩa quan trong trong toán hoc theo cá hai hưóng: Lý thuyet và úng dung Đoi vói lý thuyet đa thúc n®i suy, ngưòi ta quan tâm đen hau khap các khía canh cna van đe: Sn ton tai, các bieu dien ó dang thúc khác nhau, sai so, chon moc n®i suy cũng như sn h®i tu cna quá trình n®i suy Đong thòi vói lý thuyet đa thúc n®i suy truyen thong, ngưòi ta còn quan tâm đen bài toán đa thúc n®i suy Hermite và bài toán n®i suy phiem hàm tuyen tính Lý thuyet đa thúc n®i suy có nhieu úng dung trong toán hoc như giái gan đúng phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, Trong toán sơ cap nó cũng có nhung úng dung khác nhau thú v% Vói muc tiêu muon tìm hieu m®t cách sâu sac có h¾ thong ve các đa thúc n®i suy, tôi đã chon đe tài: “M®t so van đe ve đa thúc n®i suy” 2 Mnc đích nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu m®t so van đe cna lý thuyet n®i suy và m®t vài úng dung trong toán sơ cap 3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu Lu¾n văn tìm hieu lý thuyet n®i suy co đien (Bài toán, công thúc bieu dien, sai so, sn h®i tu cna quá trình n®i suy) cũng như m®t vài phát trien sâu hơn cna bài toán n®i suy (n®i suy Hermite và bài toán n®i suy phiem hàm tuyen tính) 4 Phương pháp nghiên cNu Sú dung các phương pháp cna giái tích hàm và hàm so bien so phúc 5 NhÑng đóng góp mái ve khoa hoc, thNc tien cúa đe tài Trình bày h¾ thong hoá lai nhung van đe cơ bán cna lý thuyet n®i suy M®t so úng dung đa thúc n®i suy trong toán sơ cap 6 N®i dung Lu¾n văn gom ba chương: Chương 1 : M®t so kien thúc chuan b% Chương 2 : Trình bày các van đe cơ bán ve đa thúc n®i suy co đien, các công thúc bieu dien, sn h®i tu cna quá trình n®i suy, đa thúc n®i suy Hermite và bài toán n®i suy phiem hàm tuyen tính Chương 3 : M®t so úng dung trong vi¾c giái toán sơ cap Chương 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 M®t so khái ni¾m ve giái tích hàm Ta ký hi¾u R là t¾p các so thnc, Q là t¾p các so huu tí, Z là t¾p các so nguyên và N là t¾p các so tn nhiên 1.1.1 Không gian mêtric Đ%nh nghĩa 1.1.1 Xét m®t t¾p X ƒ= ∅ cùng vói ánh xa d : X × X −→ R thóa mãn các đieu ki¾n: a) d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X, đong thòi d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; b) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X; c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X Khi đó ánh xa d đưoc goi là hàm khoáng cách và t¾p hop X cùng vói d là m®t không gian mêtric Neu M là m®t t¾p con khác rong cúa X thì M cùng vói d han che trên M là m®t không gian mêtric con cúa không gian mêtric X Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho dãy các phan tú xn ∈ X, ∀n ∈ N và phan tú x∗ X Neu lim d(xn, x∗) = 0 thì x∗ đưoc goi là giói han cúa dãy ∈ n→∞ (xn) và ký hi¾u lim xn = x∗ n→∞ Đ%nh nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) ⊂ X đưoc goi là dãy Cauchy neu ∀s > 0, ∃N0 sao cho ∀n, m ≥ N0 thì d(xn, xm) < s Đ%nh nghĩa 1.1.4 Không gian mêtric X thóa mãn đieu ki¾n moi dãy Cauchy đeu h®i tn tói m®t điem cúa X đưoc goi là không gian mêtric đú Đ%nh lí 1.1.5 ánhmãn xa co) đú và ánh xa T (Nguyên : X −→ Xlýthóa đieu Giá ki¾nsú X là không gian mêtric d(T x, T y) ≤ αd(x, y) (1.1) vói hang so 0 ≤ α < 1 và ∀x, y ∈ X Khi đó ton tai duy nhat phan tú x∗ ∈ X sao cho x∗ = T x∗ Hơn nua, vói x0 ∗∈ X thì dãy (xn) xác đ %nh lưongbói xk+1 = T xk , ∀k ∈ N, h®i tn đen x , đong thòi ta có ưóc ∗ Chúng minh Ta có d(xn, x ) ≤ αn d(x1, x0) 1−α (1.2) k d(xk+1, xk) = d(T xk , T xk−1 ) ≤ αd(xk, xk−1) ≤ · · · d(x1, x0), ∀k ∈ N ≤α Do đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có d(xn+p, xn) ≤ d(xn+p, xn+p−1)+· · ·+d(xn+1, xn) ≤ (α Suy ra n+p− +· · 1 n ·+α )d(x1, x0) d(xn+p, xn) ≤ αn d(x1, x0) (1.3) 1− α Vì 0 α < 1 nên lim αn = 0, do đó tù (1.3) suy ra dãy (xn) là dãy ≤ n→∞ Cauchy, bói v¾y ton tai x∗ ∈X sao cho lim xn = x∗ n→∞ Trong (1.3) ta cho p −→ ∞ ta đưoc (1.2) can chúng minh.Vì xn+1 = T xn nên cho n −→ ∞ ta đưoc x∗ = T x∗ V¾y x∗ là điem mà x∗ = T x∗ Giá sú còn có x¯ cũng có tính chat x¯ = T x¯ Khi đó d(x∗ , x¯) = d(T x∗ , T x¯) ≤ αd(x∗ , x¯) ∗ Mà α < 1 nên suy ra d(x , x¯) = 0 hay x∗ = x¯ V¾y x∗ là duy nhat Ví dn 1 Xét X = R vói khoáng cách thông thưòng d(x, y) = |x − y| Khi đó X là m®t không gian mêtric, hơn nua nó còn là m®t không gian mêtric đn Ví dn 2 Xét X = Q vói khoáng cách d(x, y) = |x − y| Khi đó X là m®t không gian mêtric không đn Ví dn 3 Xét X = C[0, 1] gom các hàm liên tuc trên [0, 1] vói khoáng cách d(x, y)| = −max x(t) y(t) Khi đó X là m®t không | gian mêtric Th¾t v¾y, 0≤t≤1 a) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y b) d(x, y) = max |x(t) − y(t)| = max |y(t) − x(t)| = d(y, x) 0≤t≤1 0≤t≤1 c) ∀t ∈ [0, 1] : |x(t) − y(t)| = |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)| V¾y max |x(t) − y(t)| ≤ max |x(t) − z(t)| + max |z(t) − y(t)|, túc là 0≤t≤1 0≤t≤1 0≤t≤1 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ X Hơn nua, ta có the chúng minh C[0, 1] là m®t không gian mêtric đn 1.1.2 Không gian tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.1.6 T¾p X cùng vói phép c®ng và phép nhân vô hưóng đưoc goi là m®t không gian tuyen tính thnc (nói ngan gon là không gian tuyen tính) neu các đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn: a) x + y = y + x; b) (x + y) + z = x + (y + z); c) Ton tai phan tú trung hoà θ ∈ X sao cho x + θ = x; d) Ton tai −x ∈ X sao cho x + (−x) = θ; e) (s + t)x = sx + tx; f) t(x + y) = tx + ty; g) s(tx) = (st)x; h) 1.x = x vói moi x, y, z ∈ X và moi s, t ∈ R Moi phan tú x ∈ X đưoc goi là m®t vectơ, các đieu ki¾n trên đưoc goi là các tiên đe ve không gian tuyen tính thnc Đ%nh nghĩa 1.1.7 Giá sú X là m®t không gian tuyen tính thnc T¾p con X1 cúa X đưoc goi là m®t không gian tuyen tính con cúa không gian X neu X1 cùng vói hai phép toán cám sinh cúa X trên X1 tao thành m®t không gian tuyen tính De thay rang vói m®t không gian tuyen tính X thì các khang đ%nh sau là đúng: Giá sú rang có p ∈ P˜n vói Đ¾t max |p(x)| 2n− 1 x∈[−1,1] < Q(x) = T˜n (x) − p(x) thì rõ ràng Q(x) ∈ Pn−1 Ta có (−1)k t t t ˜ t ) = T n (x ) − Q(x − p(x ),k = 0, 1, , n n 1 p(x ) = 2 k k k − k Các giá tr% này lan lưot nh¾n giá tr% + và − bói vì |pn(x)| < 1 , 2n−1 đieu này chúng tó Q(x) phái có ít nhat n nghi¾m, vô lí Đ%nh lí đưoc chúng minh H¾ quá 2.1.14 n n−1 +···+ max |x + a1x x∈[−1, an| ≥ 1 , ∀a1, , an ∈ R 2n− 1] 1 Ket lu¾n: Neu ta chon các moc n®i suy chính là các nghi¾m cna đa thúc 1 Chebyshev Tn+1(x) thì T (x) và lúc đó ưóc lưong tot n n+1 wn+1(x) = 2 nhat cna phép n®i suy là M R(x) = |f (x) − Pn(x)| ≤ M | (n + 1)! wn+1(x)| = (n + 1)! 1 · 2n 2.1.3.4 SN h®i tn cúa quá trình n®i suy Trong thnc hành không phái lúc nào cũng ưóc lưong đưoc phan dư cna công thúc n®i suy vì không luôn luôn tính đưoc đao hàm cap cao cna m®t hàm so cho trưóc Có the nghĩ rang khi moc n®i suy tăng lên thì đa thúc n®i suy Pn(x) cna hàm f (x) càng xap xí tói hàm so f (x) đó Neu đúng như v¾y thì ta có the tien hành phép n®i suy và dù không ưóc lưong đưoc phan dư, nhưng ta se làm phép tính thêm chính xác neu tăng thêm moc n®i suy Van đe này đưoc goi là sn h®i tu cna quá trình n®i suy và đưoc phát bieu lai m®t cách chính xác như sau: Xét hàm so y = f (x) xác đ%nh trên đoan [a, b], như v¾y ta có ma tr¾n tam giác dang: (0) x0 (1) x x 0 (2) 0 ··· (1) x1 (2) (2) x1 x2 ··· · ·· (2.22) x (n) (n) (n) x1 ··· xn ··· ··· ··· ··· ··· Vói moi n, ta xây dnng đa thúc n®i suy Pn(n) (x) cna hàm so (n)Lagrange (n) y = f (x) úng vói n + 1 moc n®i suy x , x , , x 0 0 1 n Đ%nh nghĩa 2.1.15 Quá trình n®i suy đưoc goi là h®i tn neu lim n→∞ Pn(x) = f (x) ∀x ∈ [a, b] (2.23) Quá trình n®i suy đưoc goi là h®i tn đeu neu như Pn(x) h®i tn đeu ve f (x) trên đoan [a, b] Thoat tiên, ta tưóng rang khi hàm so y = f (x) liên tuc thì hien nhiên se có (2.23), tuy nhiên van đe không phái là như v¾y Ta se phân tích vài ví du cu the dưói đây đe làm rõ van đe này Ví dn 27 Giá sú f (x) là m®t đa thúc (theo nghĩa thông thưòng) b¾c N0, nghĩa là f (x) = a0xN0 + a1xN0−1 + · · · 0 (a0 ƒ= 0) Khi đó, ∀n ≥ N0 + aN thì Pn x) f (x) (moc n®i suy bat kì), v¾y lim x ∈ [a, b] ( ≡ n n →∞ Ví dn 28 Xét hàm so f (x) = sin x 0 π x (0, 1] ∈ vói x = 0 vói x Vói n ∈ N∗ ta chon moc n®i suy là: (n) x 0 (n) = 1, x1 = Khi đó de thay f (x 1 (n) ) = 1 (n) , x2 1 = 2 = 3 (n) , , xn 1 n+1 sin(i + 1)π = 0, ∀i = 0, 1, , n và i i+1 ∀n ∈ N , tù đó có đa thúc n®i suy Lagrange Pn(x) ≡ 0, ∀n V¾y li P (x) = 0, ∀x ∈ [a, b] m n ∗ n→∞ Như v¾y đa thúc n®i suy Lagrange cna f (x) nói trên lai h®i tu đen m®t hàm hang 0 khác vói f (x) Dưói đây là m®t đieu ki¾n đn đe quá trình n®i suy là h®i tu Đ%nh lí 2.1.16 Giá sú hàm so y = f (x) là m®t hàm chsnh hình trên đoan [a, b] và bán kính h®i tn r(x0) tai moi x0 thoá mãn r(x0) > b − a Khi đó vói kì ma dang h®i bat tn đeu tóitr¾n f (x)tam vóigiác ∀x ∈ [a, (2.22) b] thì dãy đa thúc n®i suy Pn(x) Chúng minh Ta có f (n+1) (ξ) f (x) − Pn(x) = (n + 1)! (n) (n) (n) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) Do đó |f (x) − Pn(x)| Mn+1 (b− ≤ a) (n + 1)! (x)| vói Mn+1 = n+ 1 max |f x∈[a,b] (n+1 ) Ta có f (n+1) (x) = (n + 1)!an+1 + (n + 2)(n + 1) · · · 2an+2(x − x0) + ··· + (n + k)(n + k − 1) · · · kan+k(x − x0)k−1 + ··· Tù đó có |f (n+1)(x)| ≤ (n + 1)!|an+1| + (n + 2)(n + 1) · · · 2|an+2||x − x0 | + · · · + (n + k)(n + k − 1) · · · k|an+k||x − x0|k−1 + · ·· V¾y |f (n+1)(x)| ≤ (n + 1)n+1|an+1| + (n + 2)n+1|an+2||x − x0| + · · · + (n + k)n+1|an+k||x − x0|k−1 + · ·· Ta có 1 + x n < ∀x > 0 cho nên ex n n + k n+1 n + 1 = 1 k−1 n+1 + < ek−1 n+1 Như v¾y có ưóc lưong sau |f (n+1)(x)| k 1 (n + 1)n+1 x0|) − ≤ |an+1| + |an+2|(e|x − x0|) + · · · + |an+k|(e|x − Nh ân cá hai ve cna đang thúc vói [e(b − a)]n+1 ta đưoc +··· |f (n+1)(x)| (n + 1)n+1 [e(b−a)] n+ 1 n+ 1 +|an+2| ≤ |an+1| [e(b−a)] n+ 1 (e|x−x0|) [e(b−a)] + · · · + |an+k|[e(b − a)]n+1(e|x − x0|)k−1 + ··· Tù đó có |f (n+1)(x)| (n + 1)n+1 − a)] [e(b n+ 1 ∞ ≤ k=n+ 1 |ak|[e(b − a)]k Theo giá thiet, f (x) là hàm chính hình, cho nên chuoi ∞ tù đó chuoi k= |ak|[e(b − a)]k h®i tu, v¾y rút ra ∞ |ak|xk h®i tu, k= 0 0 ∞ |ak |[e(b − a)]k = 0 lim n→∞ Tù đó có li m n→∞ M¾t khác, do k=n+1 1 (n + 1)! (n + 1)! (2.24) (n + 1)n+1 (n + 1)n+1 Mn+1 [e(b − a)]n+1 = 0 Mn+ < en+1 nên ta thu đưoc a)n+1 (b − a)] Mn+1 [e(b n+1 ≤ n+1 − (n + 1) Mn+1 Chú ý đen (2.24) ta có lim (b − a)n+1 = 0, vì v¾y Pn(x) h®i n→∞ (n + 1)! tu đeu ve f (x) trên đoan [a, b] Đ%nh lí đưoc chúng minh Đ%nh lí 2.1.17 Cho R, S và T là nhung mien liên thông đơn b% ch¾n, R ⊂ S ⊂ T vói biên tương úng là CR, CS và CT CT là m®t đưòng cong đo đưoc, đóng, đơn và CS, CT ròi nhau Cho δ là khoáng cách nhó nhat tù CT đen CR, ∆ là khoáng cách lón ∆ < 1 nhat tù CS đen CR δ và Giá sú các điem cúa m®t h¾ tam giác nam trong R và f (z) là chsnh hình trong và trên CT Khi đó Pn(z) h®i tn đeu tói f trong S Chúng minh Ta có 1 f (z) − Pn(z) = Rn(z) = ¸ (z − zn0)(z − zn1) · · · (z − znn)f (t)dt Do đó 2πi )(t − zn1 CT (t − zn0 (2.25) ) · · · (t − znn ¸ )(t − z) 1 |z − zn0| · · · |z − znn||f (t)|ds |Rn(z)| ≤ | · · · |t − ||t − z| CT |t − 2π zn0 znn (2.26) Vói zik ∈ R và z ∈ CS nên |z − zik| < ∆ Vói zik ∈ R và t ∈ CT nên |t − zik| > δ Neu đ¾t M = max |f (t)|, d = min |t − z| thì 1 t∈CT z∈S z∈CT ¸ n+1 M L(CT ) ∆ n+1 ∆ M |Rn(z) ≤ CT 2π δn+1 d ds = 2πd , (2.27) δ ó đó L(CT ) = đ® dài cna CT Đánh giá này đúng cho moi z ∈ S Vì ∆ < 1 nên Rn(z) h®i tu đeu đen 0 trong S δ 2.2 2.2.1 M®t so má r®ng bài toán n®i suy N®i suy phiem hàm tuyen tính Cho X là không gian tuyen tính n chieu và L1, L2, , Ln là n phiem hàm tuyen tính xácphan đ%nh Vói cho các giá tr% w1, w2, , wn cho trưóc, hãy tìm m®t tú trên x ∈ X X sao Li(x) = wi, i = 1, , n ? (2.28) Đ%nh lí 2.2.1 Cho X ∗ là m®t không gian tuyen tính n chieu và L1, L2, , Ln là nhung phan tú cúa X Bài toán n®i suy (2.28) có nghi¾m∗vói w1, w2, , wn tùy ý khi và chs khi các Li đ®c l¾p tuyen tính trong X Khi đó, nghi¾m cúa bài toán là duy nhat Chúng minh Giá sú h¾ phiem hàm Li đ®c l¾p tuyen tính trong X∗ Xét h¾: x1, , xn đ®c l¾p tuyen tính trong X Theo bo đe 1.1.17 ta có |Li(xj )| =ƒ 0 Do đó h¾ phương trình tuyen tính α1Li(x1) + α2Li(x2) + · · · + αnLi(xn) = wi, i = 1, , n (2.29) có nghi¾m duy nhat (α1, , αn) Đ¾t x = α1 x 1 + · · · + αn x n suy ra x ∈ X và Li(x) = wi, i = 1, , n V¾y x là nghi¾m duy nhat cna bài toán (2.28) Ngưoc lai, giá sú bài toán n®i suy (2.28) có nghi¾m vói w1, , wn tuỳ ý Khi đó h¾ (2.29) có nghi¾m vói w1, , wn tuỳ ý nên |Li(xj 0 Theo )| =ƒ bo đe 1.1.17, các phiem hàm Li đ®c l¾p tuyen tính trong X∗ Nh¾n xét: Đ%nh thúc |Li(xj )| là m®t đ%nh thúc Gram tong quát và tính không tri¾t tiêu cna nó đong nghĩa vói sn ton tai nghi¾m cna bài toán n®i suy Đ%nh lí 2.2.2 Cho X là m®t không gian tuyen tính n chieu và L1, L2, , Ln là n phiem hàm tuyen∗ tính đ®c l¾p trong X∗ Khi đó, ton tai duy nhat b® ∗ n∗phan tú đ®c l¾p x , x , , cúa X sao cho x 1 2 n Li(x∗) = δij j Vói moi x ∈ X ta có n x= Li(x)x∗ i (2.30) (2.31) k=1 Vói moi cách chon w1, w2, , wn, phan tú x= n wix∗i (2.32) k=1 là nghi¾m duy nhat cúa bài toán n®i suy Li(x) = wi, i = 1, 2, , n (2.33) Chúng minh Lay x1, , xn là m®t cơ só cna X Theo bo đe 1.1.17, |Li(xj )| =ƒ 0 Đ¾t x∗ = aj1x1 + ···+ ajnxn thì đieu ki¾n đ %nh thúc này đám j báo∗rang h¾ (2.30) có the giái đưoc vói các aji xác đ%nh tù t¾p các phan tú x , x∗, , x∗ Theo đ%nh lí 2.2.1 nghi¾m cna bài toán n®i suy (2.30) là 1 2 n duy nhat vói moi j và theo bo đe 1.1.17 các x∗ i là đ®c l¾p tuyen tính Đ¾t y = n Li(x)x∗ i n thì Lj (y) = Li(x)Lj i(x∗) Vì v¾y theo (2.30), i=1 i=1 Lj (y) = Lj (x), j = 1, 2, , n Ngưoc lai, tù phép n®i suy vói n đieu ki¾n Li là duy nhat y = x xác đ%nh theo (2.31) Phương trình (2.33) đưoc thiet l¾p tương tn Nghi¾m cna bài toán n®i suy (2.33) có the cho dưói dang đ%nh thúc như sau Đ%nh lí 2.2.3 Vói giá thiet như đ%nh lí 2.2.2 và x1, x2, , xn là m®t cơ só cúa X Neu w1, w.2, , wn là nhung so bat kì thì phan tú 0 x1 x2 · · · xn 1 w1 L1(x1) L1(x2) · · · L1(xn) x = G − w L (x ) L (x ) · · · L (x ) n n 1 n 2 n n thóa mãn Li(x) = wi, i = 1, 2, , n Đ%nh lí 2.2.4 (Đ%nh lí song trnc giao chuan tac hay bieu dien Newton tong quát) Cho X là m®t không gian tuyen tính vô han chieu Cho x1, x2, là m®t dãy điem cúa X sao cho vói moi n, x1, x2, , xn đ®c l¾p tuyen tính Hơn nua, giá sú rang L1, L2, là m®t dãy các phiem hàm tuyen tính trong X ∗ sao cho vói moi n đ%nh thúc cõ n × n n |Li(xj )| i,j= ƒ= 0 (2.34) 1 Khi đó xác đ%nh duy nhat h¾ tam giác cúa các hang so aij, bij vói aij ƒ= 0 sao cho neu ∗ L∗ = a L x 11 1 1 1 = x1 L∗ 2 ∗ = a21L1 + a22L2 x2 = b21x1 + x2 (2.35) L∗ ∗ th ì 3 = a31L1 + a32L2 + a33L3 x3 = b31x1 + b32x2 + x3 Li(xj ) = δij, i, j = 1, 2, (2.36) ∗ Chúng minh Ta có L (x ) = 1 Vì v¾y a11L1(x1) = 1 hay a11 = (L1(x1))−1 ƒ= ∗ 1 1 0 Mau thúc khác không do (2.34) Bây giò ta chúng minh đ%nh lí bang qui nap Giá sú rang ta xác đ%nh a11 a21 an1 a22 an2 ann 1 b21 bn1 1 bn2 bn,n−1 1 ... n®i suy sn h®i tu cna q trình n®i suy Đong thịi vói lý thuyet đa thúc n®i suy truyen thong, ngưịi ta cịn quan tâm đen tốn đa thúc n®i suy Hermite tốn n®i suy phiem hàm tuyen tính Lý thuyet đa. .. n®i suy 47 2.2.1 N®i suy phiem hàm tuyen tính 47 2.2.2 Đa thúc n®i suy Hermite 52 M®t so Nng dnng cúa lý thuyet n®i suy tốn sơ cap 55 Ket lu¾n 66 Tài li¾u tham kháo 67 Má đau... = 0, 1, , n đưoc goi đa thúc n®i suy cúa hàm so y = f (x) úng vói moc n®i suy {xi}, i = 0, 1, , n Bài toán xây dnng đa thỳc nđi suy nh vắy oc goi l bi toỏn n®i suy Đ%nh lí 2.1.2 Cho n +