BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THẾ NAM MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội-2009 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích; thầy, Phịng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn chỉnh đề tài Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Nguyễn Văn Hùng Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Mục Mở đầu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Lý thuyết không gian mêtric 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các tính chất đơn giản 1.1.3 Ví dụ .9 1.1.4 Sự hội tụ không gian mêtric 11 1.1.5 Ánh xạ liên tục .13 1.1.6 Không gian mêtric đầy 14 1.1.7 Tập compact không gian compact 17 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach 17 1.2.1 Các định nghĩa 17 1.2.2 Ví dụ 19 1.2.3 Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn .20 1.3 Khơng gian tôpô 21 1.4 Tập lồi, hàm lồi 22 1.4.1 Tổ hợp lồi .22 1.4.2 Định nghĩa hàm lồi ví dụ 24 1.5 Định nghĩa nửa liên tục 25 Chương LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 26 2.1 Điểm bất động ánh xạ co 26 2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 26 2.1.2 Ánh xạ co đa trị .27 2.1.3 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co 28 2.1.4 Ánh xạ co yếu 29 2.1.5 Định lý điểm bất động Caristi 30 2.1.6 Nguyên lý biến phân Ekeland 32 2.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn 33 2.2.1 Về cấu trúc hình học khơng gian Banach .33 2.2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn 36 2.2.3 Ánh xạ không giãn đa trị 38 2.3 Điểm bất động ánh xạ liên tục 40 2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer .40 2.3.2 Các định lý điểm bất động 42 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 45 3.1 Ứng dụng lý thuyết điểm bất động cho tốn phổ thơng 45 3.2 Ứng dụng định lý điểm bất động cho số toán cao cấp 53 Kết luận .66 Tài liệu tham khảo .67 Mở Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động phần quan trọng ngành giải tích Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng lớp ánh xạ không gian khác nhau, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tập hợp lại tên chung: Lý thuyết điểm bất động Lý thuyết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn như: Brouwer, Banach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Kyfan, Trong lý thuyết này, định lý tồn điểm bất động, người ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, phương pháp tìm điểm bất động ứng dụng chúng Chính mà lý thuyết điểm bất động nhiều nhà toán học giới quan tâm Việc nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết điểm bất động giúp hiểu sâu sắc lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng kết để giải số vấn đề lý thuyết toán học kiến thức sở để giải số toán thực tiễn khác Chẳng hạn, Lomonosov (1973) sử dụng nguyên lý Schauder để chứng minh tồn không gian bất biến không tầm thường tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach giao hốn với tốn tử hồn tồn liên tục khơng gian Hơn nữa, tìm hiểu lý thuyết điểm bất động giúp ngồi tồn tại, cịn cho ta tính phương pháp tìm điểm bất động đánh giá độ xác bước lặp Bởi chọn đề tài: “Một số ứng dụng lý thuyết điểm bất động” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức lý thuyết điểm bất động, sau nêu ứng dụng số tốn sơ cấp số toán cao cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ nội dung lý thuyết điểm bất động ứng dụng cho số toán sơ cấp, số toán cao cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kết lý thuyết điểm bất động, số ứng dụng cho số toán sơ cấp số toán cao cấp Cụ thể, luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Lý thuyết điểm bất động Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết điểm bất động Phương pháp nghiên cứu * Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo * Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Lý thuyết không gian mêtric 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian mêtric tập hợp X ƒ= ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất); 2) (x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x) (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi mêtric X, số d (x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề 1, 2, gọi hệ tiên đề mêtric Không gian mêtric ký hiệu M = (X, d) Định nghĩa 1.2 Cho không gian mêtric M = (X, d) Một tập X0 ƒ= ∅ tập X với mêtric d X lập thành không gian mêtric Không gian mêtric M0 = (X0, d) gọi không gian mêtric không gian mêtric cho 1.1.2 Các tính chất đơn giản Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh tính chất đơn giản sau đây: n−1 ∗ d (xj, xj+1); 1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, , n, n ∈ N ) d (x1, j=1 xn ) ≤ 2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v) (Bất đẳng thức tứ giác); 3) (∀x, y, u ∈ X) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u)(Bất đẳng thức tam giác); 1.1.3 Ví dụ Ví dụ 1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R ta đặt: (1.1) d (x, y) = |x − y| Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối tập số thực R dễ dàng kiểm tra hệ thức (1.1) xác định mêtric R Không gian tương ứng ký hiệu R1 Ta gọi (1.1) mêtric tự nhiên R Ví dụ 1.2 Với hai vectơ x = (x1, x2, xk) ; y = (y1, y2, yk) thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k số nguyên dương đó) ta đặt: ‚ k , (1.2) d (x, y) = (xj − yj )2 j=1 Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề mêtric Để kiểm tra hệ thức (1.2) thoả mãn tiên đề mêtric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski, với 2k số thực ajbj (j = 1, 2, , k) ta có: ‚ ‚ k k .k a b ≤ ajj j j b2 , , (1.3) j=1 j=1 j=1 Thật vậy: k k 0≤ (aibj − ajbi) i=1 k k = + j= i j i=1 j=1 k k a2 b2 − 2 a b k j=1 j=1 j j=1 k k aib iajbj i= j= 1 k k = aj b −2 j i i=1 j=1 aj b j 10 Từ suy bất đẳng thức (1.3) với vectơ bất kỳ: x = (x1, x2, xk) , y = (y1, y2, yk) , z = (z1, z2, zk) thuộc Rk ta có: k d (x, y) = k (xj − yj ) = )] j=1 j=1 [(xj − zj ) − (zj − yj Bài tập 3.8 Cho hệ phương trình tuyến tính: n xi = aijxj + bi (i = 1, 2, , n) , j=1 n aij, bi số thực |aij | < (i = 1, 2, n) j=1 Chứng minh hệ phương trình cho có nghiệm Lời giải.Xét không gian Rn với mêtric: ∀x = (x1, x2, xn) , y = (y1, y2, yn) ∈ Rn Dễ dàng chứng minh Rn : d (x, y) = |xi − yi| max 1≤i≤n với mêtric lập thành không gian mêtric đầy Xét ánh xạ: f : Rn → Rn 0 x ›→ y = Ax + b Trong đó: x = (x1, x2, , xn) , A = (aij )n×n , b = (b1, b2, , bn) , y = f (x) = (y1, y2, , yn) Ta chứng minh f ánh xạ co Thật vậy, với x, xt ta có: n ∈R d (f (x) , f (xt)) = max |yi − yt | = max i 1≤i≤n 1≤i≤n ≤ max n 1≤i≤n j=1 ≤ |aij | max n aij n j=1 xj − xt j |aij | xj − xt j max xj − xt 1≤i≤n ⇒ d (f (x) , f (xt)) ≤ t j 1≤i≤n j=1 max |aij | 1≤i≤n n .d (x, xt) j=1 t n ⇒ d (f (x) , f (x )) ≤ α.d (x, x ) , α = max 1≤i≤n j=1 |aij | < Vậy f ánh xạ co nên tồn điểm bất động, suy hệ: x = Ax + b có nghiệm Bài tập 3.9 Cho hệ phương trình tuyến tính: n   xi = aijxj + bi (i = 1, 2, , n) j=1 n n  < a2 <  ij i=1 j=1 Chứng minh hệ có nghiệm A : En → En Lời giải Xét x ›→ Ax = y vớ i x = (xj ) ∈ E n , y = (yjj= ) ∈ En nj= n n yi = aijxj + bi, (i = 1, , n) j=1 Rõ ràng A ánh xạ Khi đó: n ∀x = (xj )j=1 ∈ n , x˜ = (x˜j )n ∈ E n j= E Ax = y = n (yi) n i= ; yi = aijxj + bi, (i = 1, , n) j= n Ax˜ = y˜ = i= ; y˜i = n (y˜i ) , n) aij x˜j + bi, (i = 1, j=1 Ta có với i = 1, 2, , n n n (yi − y˜i) = aijxj − + bi aij x˜j + bi j=1 j=1 = n n x˜j ) j=1 ™ aij (xj − a i j j=1 n j=1 (xj − x˜j ) n n ⇒ (yi − n a2ij y˜i ) ™ i=1 ⇒ x˜j, ) i=1 Ha y i=1 j= ‚ n n (xj − x˜j ) j=1 ‚ ‚ n n n 2 (yi − y˜i ) ™ a , j= ij , j=1 (xj − i=1 d (y, y˜) ≤ αd (x, x˜) ; ∀x, x˜ ∈ E n n a n với α = theo giả thiết ta có < α < ij i=1 j=1 Suy A toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co Banch tồn x∗ ∈ En, Ax∗ = x∗; hay hệ phương trình cho có nghiệm 3.2 Ứng dụng định lý điểm bất động cho số toán cao cấp Bài tập 3.10 Cho hàm số x (t) khả vi đoạn [0; 1] thoả mãn điều kiện: , ∀t ∈ [0; 1] Xét tồn nghiệm phương trình: ≤ xt (t) ≤ x (t) − t = đoạn [0; 1] Lời giải.Ta có [0; 1] tập hợp đóng R1 với mêtric: d (x, y) = |x − y| Do [0; 1] với mêtric R1 lập thành không gian mêtric đầy Ta chứng minh ánh xạ: x : [0; 1] → [0; 1] t ›→ x (t) ánh xạ co Thật vậy, theo định lý Lagrange: ∀t1, t2 ∈ [0; 1] ⇒ | x (t1) − x (t2)| = |xt (ξ)| |t1 − t2| , ξ ∈ (t1, t2) ⇒ |x (t1) − x (t2)| |t1 − t2| ≤ Do theo nguyên lý ánh xạ co, tồn t0 ∈ [0; 1] cho x0 = t0 Bài tập 3.11 Cho không gian mêtric đầy M = (X, d), ánh xạ hình cầu đóng St (x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} vào X cho tồn số p, < p < để ∀x, y ∈ St (x0, r) có: d (f (x) , f (y)) < pd (x, y) , d (f (x0) , x0) ≤ (1 − p) r Chứng minh ánh xạ f có điểm bất động St (x0, r) Lời giải.Trước hết ta chứng minh f ánh xạ St (x0, r) vào St (x0, r) Thật vậy, với x ∈ St (x0, r) ta có: d (f (x) , x0) ≤ d (f (x) , f (x0)) + d (f (x0) , x0) < p d (x, x0) + (1 − p) r ≤ p r + (1 − p) r ⇒ d (f (x) , x0) < r ⇒ f (x) ∈ St (x0, r) Do St (x0, r) không gian đóng khơng gian mêtric đầy X , nên St (x0, r) không gian mêtric đầy với mêtric cho X Suy ánh xạ: f : S t (x0, r) → S t (x0, r) ánh xạ co, f có điểm bất động St (x0, r) Bài tập 3.12 Chứng minh, định lý Banach ánh xạ co, điều kiện A ánh xạ co thay điều kiện: d (Ax, Ay) < d (x, y) , x ƒ= y; tồn điểm bất động không không đảm bảo Lời giải.Nếu điều kiện A ánh xạ co thay điều kiện: d (Ax, Ay) < d (x, y) , x ƒ= y tồn điểm bất động khơng đảm bảo Thật vậy, xét ánh xạ: f : R1 → R1 , x ›→ x2 + Ta có: = , , |f (x) − f (y)| x2 + − y2 + = |f t (ξ)| |x − y| < Suy ra: |ξ| f t (ξ) ,= | | ξ2 + |f (x) − f (y)| < |x − y| , ∀x ƒ= y ⇒ d (f (x) , f (y)) < d (x, y) , x ƒ= y Khi ánh xạ f thoả mãn điều kiện tốn f khơng có điểm bất động Bài tập 3.13 Cho không gian mêtric compact M = (X, d), ánh xạ f ánh xạ M vào thoả mãn điều kiện: d (f (x) , f (y)) < d (x, y) , (∀x, y ∈ X, x ƒ= y) Chứng minh ánh xạ f có điểm bất động Lời giải.Với không gian mêtric compact M = (X, d) f ánh xạ M vào thoả mãn điều kiện: d (f (x) , f (y)) < d (x, y) , (∀x, y ∈ X, x ƒ= y) Ta lập hàm: ϕ:M→R x ›→ ϕ (x) = d (x, f (x)) với x ƒ= y ∈ M , áp dụng bất đẳng thức tứ giác ta có: |ϕ (x) − ϕ (y)| = |d (x, f (x)) − d (y, f (y))| ≤ d (x, y) + d (f (x) , f (y)) < 2d (x, y) ⇒ |ϕ (x) − ϕ (y)| < 2d (x, y) , ∀x ƒ= y Do ϕ liên tục X Mặt khác ϕ (x) ≥ 0, ∀x ∈ Xvà (X, d) không gian compact, nên tồn x0 ∈ X để ϕ (x0) = ϕ (x) ≥ Nếu ϕ (x0) > 0, thì: x∈X d (x0, f (x0)) > ⇒ x0 ƒ= f (x0) Theo giả thiết ta có: ϕ (x0) ≤ d (f (x0) , f (f (x0))) < d (x0, f (x0)) = ϕ (x0) Điều mâu thuẫn Vậy ϕ (x0) = 0, suy tồn x0 ∈ X : f (x0) = x0 r r r Để chứng minh tính nhất, ta giả sử ∃x0 ∈ X : f x0 , x0 ƒ= x0 Theo giả thiết ta có: d r r < d x0 , x0 f x0 , f (x0) x ⇒d r 0, x r < d x0 , x0 Điều vơ lí suy điểm bất động f tồn b k (x, y, f (y))dy + ϕ (x) Bài tập 3.14 Cho tốn tử f (x) k, ϕ ¸ =λ a hàm số liên tục hàm số f thoả mãn diều kiện Lipshitz: ∀ (x, y, z1) , (x, y, z2) ∈ V saocho |k (x, y, z1) − k (x, y, z2)| ≤ M (z1 − z2 ) Chứng minh phương trình có nghiệm Lời giải.Ta có khơng gian C[a,b] khơng gian mêtric đầy với: d (x, y) = max |x (t) − y (t)| a≤t≤b Dễ dàng kiểm tra d thoả mãn tiên đề mêtric: ∗∀x, y ∈ C[a,b] : x = x (t) ; y = y (t) có: d (x, y) = max |x (t) − y (t)| ≥ a≤t≤b d (x, y) = ⇔ x (t) = y (t) ⇔ x = y Tiên đề thỏa mãn ∗∀x, y ∈ C[a,b] x = x (t) ; y = y (t) có d (x, y) = max |x (t) − y (t)| = max |y (t) − x (t)| = d (y, x) a≤t≤b a≤t≤b Tiên đề thoả mãn ∗∀x, y, z ∈ C[a,b] : x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) có d (x, y) = max |x (t) − y (t)| = max |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)| a≤t≤b a≤t≤b ≤ max |x (t) − z (t)| + max |z (t) − y (t)| a≤t≤b a≤t≤b = d (x, z) + d (z, y) Tiên đề thoả mãn +C[a,b] không gian đầy Thật vậy, giả sử (xn (t)) dãy tuỳ ý không gian C[a,b] Theo định nghĩa dãy bản: (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n, m ≥ n0) d (xn, xm) = max |xn (t) − xm (t)| < ε a≤t≤b ⇒ |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀n, m ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] (3.3) Các bất đẳng thức (3.3) chứng tỏ với t cố định tuỳ ý thuộc [a, b] dãy (x (t)) dãy số thực phải tồn giới hạn: lim xn (t) = x (t) , t ∈ [a, b] n→∞ Ta nhận hàm số x (t) xác định [a, b] Vì bất đẳng thức (3.3) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn bất đẳng thức m → ∞ ta được: |xn (t) − x (t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] hay xn (t) hội tụ tới x (t) đoạn [a, b] nên x (t) ∈ C[a,b] Nhưng hội tụ không gian C[a,b] tương đương với hội tụ dãy hàm hội tụ [a, b] Nên dãy (xn (t)) cho hội tụ tới x (t) không gian C[a,b] Vậy C[a,b] không gian đầy + Trong không gian C[a,b] đầy ta xét ánh xạ: P : C [a, b] → C [a, b] f (x) ›→ λ ¸b f, f˜ ∈ C[a,b] k (x, y, f (y)) dy + ϕ (x) ∀ a Ta có: b ¸ P f − P f˜ ≤ |λ| max a≤x≤b k (x, y, f (y)) −k x, y, f˜(y) dy a ≤ |λ| M (b − a) f − f˜ Vì: ¸b P f − P f˜ = k (x, y, f (x)) λ −k x, (y)y, ˜f a b dy ≤ |λ| ¸ k (x, y, f (y)) − k x, y, f˜(y) dy a ˜ ≤ |λ| ¸ M f (y) − f (y) dy a ¸ b ≤ |λ| M max .f (y) − f˜(y) dy a x∈[a,b] b b ¸ ˜(y) dy = |λ| M max f (y) − f x∈[a,b] a = |λ| M (b − a) f − f˜ ˜.(x) ≤ |λ| M (b − a) ⇒ max P f (x) − P f f − f˜ ∀f, f˜ ∈ C[a,b] x∈[a,b] hay P f − P f˜ ≤ |λ| M (b − a) f − f˜ Giả sử hàm số k (x, y, z) xác định liên tục V = {a ≤ x ≤ b; a ≤ y ≤ b; |z| ≤ k} Đặt N = max |k (x, y, z)| λ thoả mãn điều kiện: V λ ≤ Thì ta đặt α = |λ| M (b − a) h ; N (b − a) M (b − a) < α < suy P ánh xạ co Theo nguyên lý Banach ánh xạ co suy tồn f ∗ ∈ C[a,b] ⇒ P (f ∗ )=f ∗ hay phương trình ban đầu có nghiệm Bài tập 3.15 Cho hàm số Φ (s, u) hai biến số thực u, s xác định dải: D = {a ≤ s ≤ b, −∞ < u < +∞} ⊂ R2, Φ liên tục theo hai biến số có đạo hàm riêng liên tục theo biến u thoả mãn: < m ≤ Φu (s, u) ≤ M (∀s, u ∈ D) Chứng minh tồn u = x∗ (s) liên tục [a, b] cho: Φ (s, x∗ (s)) = Lời giải Trên C[a,b] ta xét toán tử P xác định sau: Đặt (P ) (s) = x (s) − Φ (s, x (s)) , [a, b] với x ∈ C s∈ ... bất động 42 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 45 3.1 Ứng dụng lý thuyết điểm bất động cho tốn phổ thơng 45 3.2 Ứng dụng định lý điểm bất động cho số toán cao cấp ... Kyfan, Trong lý thuyết này, định lý tồn điểm bất động, người ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, phương pháp tìm điểm bất động ứng dụng chúng Chính mà lý thuyết điểm bất động nhiều... Việc nghiên cứu số ứng dụng lý thuyết điểm bất động giúp hiểu sâu sắc lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng kết để giải số vấn đề lý thuyết toán học kiến thức sở để giải số toán thực tiễn