1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định lý thuyết tốn học có nhiều ứng dụng khoa học, đặc biệt kỹ thuật học Đã có nhiều nhà Tốn học nghiên cứu lý thuyết ổn định, nhiên bó hẹp việc giải tốn xác định ổn định không ổn định A.M.Liapunov thiết lập hàng loạt điều kiện đủ tổng quát cho ổn định không ổn định chuyển động khơng có nhiễu, mơ tả hệ phương trình vi phân thông thường Để đưa vấn đề ổn định chuyển động khơng có nhiễu vấn đề ổn định vị trí cân Vận dụng hàm Liapunov hệ thống điều chỉnh cho phép đánh giá: Sự thay đổi đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất lượng điều chỉnh ảnh hưởng nhiễu loạn tác dụng thường xuyên Ngoài hàm Liapunov cho phép giải vấn đề: ổn định “trong toàn cục” tức đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian khơng vượt ngồi giới hạn miền cho trước Chính lý trên, tơi chọn đề tài “lý thuyết ổn định ứng dụng” với mong muốn tìm hiểu cách rõ ràng sâu rộng lý thuyết ổn định, đặc biệt vận dụng hàm liapunov hệ phương trình tuyến tính hệ phi tuyến có dạng đặc biệt Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov ứng dụng vào hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, định lý ổn định không ổn định liapunov - Đánh giá ổn định nghiệm hệ phương trình tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức ổn định với nhiễu ban đầu) Đánh giá nghiệm hệ phương trình tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân Những đóng góp luận văn Vận dụng hàm liapunov xét ổn định hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định nghĩa không gian véctơ   Cho tập hợp V mà phần tử kí hiệu α ; trường K β ;γ ; mà phần tử kí hiệu là: x, y, z, giả sử V có phép tốn: Phép tốn trong, kí hiệu: Phép tốn ngồi, kí hiệu : +: V ×V → V     (α , β ) α + β : K ×V → V   (x, α )  x.α Thỏa mãn tính chất sau (cũng nói thỏa mãn tiên đề sau):   với x, y, z∈K : với α , β , γ ∈V       1) α + = α + ( β + γ ) ( β )+ γ )       2) Có cho + α = α + = α ∈V         , 3) α ' ∈V cho kí hiệu α = −α α '+ α = α + α '=     4) α + β = β + α    5) (x + y).α = x.α + y.α     6) x.(α + β ) = x.α + x.β   7) x.( y.α ) = (x.y).α   8) 1.α = α phần tử đơn vị trường K Khi V (cùng với phép toán xác định trên) gọi không gian véctơ trường K , hay K - không gian véctơ, hay vắn tắt không gian véctơ Khi K = □ , V gọi không gian véctơ thực Khi K = □ , V gọi không gian véctơ phức Các phần tử V gọi véctơ, phần tử K gọi vơ hướng Phép tốn “+” gọi phép cộng véctơ, phép toán “ ” gọi phép nhân véctơ với vô hướng Để cho gọn dấu “ ” nhiều lược bỏ, thay x.α ta viết xα Bốn tiên đề chứng tỏ V nhóm giao hốn phép cộng véctơ Các tiên đề 5, theo thứ tự nói lên phép nhân véctơ với vơ hướng có tính chất phân phối phép cộng vô hướng, phân phối phép cộng véctơ có tính chất kết hợp 1.1.2 Ví dụ khơng gian véctơ a) Tập hợp véctơ (“tự do”) không gian □ , □ , □ với phép toán cộng nhân véctơ với số thực không gian véctơ thực b) Tập K [x ]các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức nhân đa thức với phần tử thuộc trường K K không gian véctơ c) Tập số phức □ với phép cộng số phức nhân số phức □ - không gian véctơ Trong □ với phép cộng số phức nhân số phức với số thực □ - không gian véctơ d) Tập □ số thực với phép cộng số thực nhân số thực với số hữu tỷ □ - không gian véctơ e) Trong nhóm cộng ma trận cỡ (m × n) phép nhân với vô hướng sau, với: trường K ta đưa vào A = (a i ) i = 1, m; j kA = (kaij ) j = 1, n Dễ thử thấy K - khơng gian véctơ 1.2 Dạng tồn phương 1.2.1 Định nghĩa Giả sử η :V ×V → □     ( α , β )  η( α , β ) dạng song tuyến tính đối xứng □ - không gian véctơ V Ánh xạ (tức hàm số) H :V → □ →    α  H (α ) = η (α ,α ) gọi dạng toàn phương V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương H □ - khơng gian véctơ V dạng song tuyến tính đối xứng η V nhận H làm dạng toàn phương tương ứng hoàn toàn xác định: →       η (α + β ) = H (α + β ) − H (α )  − H (β )  η gọi dạng cực dạng toàn phương H 1.2.2 Biểu thức tọa độ Biểu thức tọa độ dạng tồn phương H ứng với η có dạng: n  H (α ) = i , j =1 ∑ aij.xi x j  với α = (x , x , , x ) ∈V n Ma trận A=(aij ) gọi ma trận dạng toàn phương H 1.2.3 Biểu thức tọa độ dạng tắc dạng tồn phương    Nếu □ - không gian véctơ V có sở ( µ , 2µ , , µ ),   η (i µ , µ )= A = (aij ) , với i ≠ j   aij = η( µi , µ j ) , có dạng chéo sở ma trận Dạng tồn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η V ∑ n sở có biểu thức tọa độ dạng: ax i = ; i ii ij a= a Cơ sở gọi η - trực giao V hay gọi tắt sở trực giao V η rõ Biểu thức gọi biểu thức tọa độ dạng tắc H 1.3 Phương trình vi phân 1.3.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát : F (x, y, y′) = hàm F xác định miền (1.1) D⊂ □ Nếu miền D , từ phương trình (1.1) ta giải thích y′ : y′ = f (x, y) ( 1.2) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm Hàm y= xác định khả vi khoảng I = (a,b) ϕ(x) nghiệm phương trình (1.1) nếu: a) (x, ϕ (x),ϕ′(x)) ∈ D với x ∈ I b) F I (x, ϕ(x), ϕ′(x)) ≡ gọi Ví dụ 1: Phương trình: dy = y dx có nghiệm hàm y = 2x ce tùy ý) xác định khoảng (−∞; +∞) (với c số Ví dụ 2: Phương (1.3) trình: y′ = + y có nghiệm hàm xác định khoảng (− y= t anx π π ; ) Có thể kiểm tra 2 trực tiếp hàm y = tan ( x với số c cố định nghiệm + c) phương trình (1.3) khoảng xác định tương ứng 1.3.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát: F (x, y, y′, , y (n) (1.4) )= Hàm F xác định miền G không gian n+2 □ Trong phương trình (1.4) vắng mặt số biến: x, y, y′, , y ( y( n thiết phải có mặt n−1) ) Nếu từ (1.4) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (1.4) có dạng: y = F (x, y, y′, , ( n−1) y ) (n) (1.5) ta gọi phương trình vi phân cấp n giải đạo hàm cấp cao Nghiệm phương trình (1.4) hàm y = ϕ(x) khả vi n lần khoảng (a,b) cho: a) (x, ϕ , ,ϕ ) với x ∈(a,b) ϕ∈ G ′ (n) , (x) (x) (x) b) Nó nghiệm phương trình (1.4) (a,b) Ví dụ 1: Phương trình: y′′ − y có nghiệm tổng quát = ϕ c1 ,c2 số bất = c e −2 x + c e 2x kỳ (x) Ví dụ 2: Phương trình: xyy′′ + xy′ − yy′ = có nghiệm tổng quát là: y = c1 x2 + c2 , c1 ,c2 hai số 1.3.3 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là: a0 (x) y (n) + + an (x) y = g(x) + a (x) (1.6) y( n−1) Như hàm F định nghĩa dạng tổng quát phương trình vi phân cấp cao phụ thuộc cách tuyến tính theo ( n) y, y′, , y Ta giả thiết hàm a (x); a (x); ; a (x), g(x) liên tục khoảng (a,b) n a0 (x) ≠ (a,b) Khi chia hai vế phương trình (1.1) cho + + pn (x).y = y( n ) + p : (x).y ( n−1) p (x) = (x) i ; f (x) = a0 (x) g(x) a0 (x) ta phương trình: f (x) (1.7) ; (i = 1, 2, , n) a0 (x) hàm số liên tục khoảng (a,b) Nếu phương trình (1.7) hàm f (x) ≡0 y( n ) +1 p (x) + + pn (x) y = y( n−1) tức ta có phương trình: (1.8) gọi phương trình tuyến tính cấp n phương trình (1.7) gọi phương trình tuyến tính khơng cấp n 1.4 Hệ phương trình vi phân 1.4.1 Định nghĩa tất j k k nghiệm đặc trưng A với phần thực khơng Khi nghiệm hệ (3.18) có dạng: Y (t) = α n ∑ j=1 e jtt).P (cos t + isin β (tβ )+ j jj q ∑ k =1 tisin +γ (cos γ k k t)C k , (3.19) Pj (t) hàm – véctơ đa thức có bậc nhỏ bội C k λj véctơ- cột số Vì α j < cosγk t + isin γ t α nên e jt P (t) → j t → +∞ Ngồi = Vì từ cơng thức (3.19) suy nghiệm Y (t) bị chặn nửa trục t0 ≤ t Như hệ (3.18) ổn định Chú ý Hệ tuyến tính với ma trận A ổn định ổn định thời điểm ban đầu t0 ∈(−∞, +∞) Định lý 3.3.2: Hệ vi phân tuyến tính (3.18) với ma trận A ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng j λ = λ ( A) A có phần thực âm, tức là: Re λj ( A)< ( j = 1, 2, , n) Chứng minh: a) Chứng minh điều kiện đủ: Giả sử λ , ,λ (m tất nghiệm đặc trưng A ≤ n) Re λ < ( j = 1, 2, , m) Ta suy nghiệm j hệ (3.18) có dạng: m λ Y (t) = ∑ e j tj P (t), j = Trong Pj (t) ma trận đa thức Từ Reλ < ta có: limY (t) = t →+∞ j hệ (3.18) ổn định tiệm cận b) Bây ta chứng minh điều kiện cần: Giả sử hệ (3.18) ổn định tiệm cận Khi hệ ổn định theo Liapunov t → ∞ theo định lý 3.3.1 ta có: Reλ < ( j = 1, j 2, , m) (3.20) Giả sử tồn nghiệm đặc trưng s λ = i µ (1 ≤ s ≤ m) cho: Re λs = Khi hệ (3.18) có nghiệm dạng: Z= e + isin λs t C ≡(cos µt s µ ).C, C véctơ – cột khác khơng Vì Z = C ≠ có nghĩa Z khơng tiến tới t → ∞ , điều mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận hệ (3.18) Do đó: Re λj < ( j = 1, 2, , m) Định lý hoàn toàn chứng minh 3.4 Ổn định tiệm cận nghiệm Giả sử x1 , x2 , , xn G(t, X ) liên tục theo t có đạo hàm riêng liên tục theo miền T (T = {a < H}) < t < ∞, X dX =G(t, X ) dt hệ vi phân quy đổi, tức (3.21) G(t, 0) ≡0 từ rõ ràng hệ (3.21) có nghiệm tầm thường X ≡ Giả sử v = v(t, X ) (T0 ) ( khả vi liên tục theo biến t, x1 , x2 , , (1,1) t ∈C xn T0 = {a < t ≤ h < H } ⊂T ) < ∞; X G(t, X ) = colon[G1 (t, x1 , , xn ), ,Gn (t, x1, x2 , , xn )] Định nghĩa: Hàm ∂v số: n v(t, X ) =+ ∑ ∂t ∂v Gj (t, X ) j =1 (3.22) ∂x j gọi đạo hàm (toàn phần) theo t hàm v(t, X ) (3.21) Nếu X = X (t) nghiệm hệ (3.21) nghĩa hệ v(t, X đạo hàm tồn ) phần theo t hàm hợp v(t, X (t)) , tức là: v(t, X ) = d v(t, X (t)) dt Định lý thứ Liapunov: Nếu hệ quy đổi (3.21) tồn hàm xác định dương: v(t, X ) ∈ (T0 )(T0 ⊂ T ) t (1,1) C Có đạo hàm dấu âm v (t, X) theo t nghĩa hệ, nghiệm tầm thường X ≡ (a hệ cho ổn định theo Liapunov t < t < ∞) → +∞ Chứng minh: Theo điều kiện định lý có hàm liên tục xác định dương ω( cho: X) v(t, X ) ≥ ω( X ) > với X ≠ (3.23) v(t,0) = ω(0) =0 Trong không gian R n xét mặt cầu S ε x X = ε hoàn toàn bị chứa T0 , < ε ≤ h (3.25) X ∈Sε Giả sử t ∈(a, tùy ý Hàm v(t , X liên tục theo X v(t ,0) 0 ) +∞) Do tồn lân cận X < σ < X < ε cho ≤ v(t , X )< α với: σ (3.26) Bây ta xét nghiệm không tầm thường bất kỳ: X = X (t) Với điều kiện ban đầu: X (t0) < (3.27) σ Ta chứng minh quỹ đạo nghiệm hoàn toàn nằm bên mặt cầu Sε , tức là: X (t) < ε với t0 ≤ t < ∞ Thật vậy, t = t0 (3.28) ta có: X (t0) < σ < ε Giả sử bất đẳng thức (3.28) thỏa mãn với t ∈ t , [0 +∞ ) t1 điểm nghiệm X (t) gặp biên Sε , tức X (t1 = ε Hãy xét biến động ) hàm X (t ) < ε với t0 ≤ t < t1 v(t) = v(t, X (t)) dọc theo nghiệm X (t) Từ điều kiện định lý: v(t) = dt dv ≤ nên hàm v(t) khơng tăng Do từ (3.26) (3.25) ta có: α >0 v(t 0, X (t ))1 ≥ v(t , X (t 1)) ≥ ω( X (t )) ≥ α , điều phi lí Như vậy, nghiệm X = X với t ∈[t0 ,∞) (t) mặt cầu Sε ε < H hữu hạn luôn bên nên nghiệm xác định với t0 ≤ t < ∞ phía phải) X (t0 )