1 LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay hưóng dan, luụn đng viờn v khớch lắ e tỏc giỏ lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Tốn To Giái tích vói q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hon thnh luắn H Nđi, thỏng 10 nm 2010 Tác giá Lưu Th% Thu Hương LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Bùi Kiên Cưòng Trong q trình nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 10 năm 2010 Tác giá Lưu Th% Thu Hương BÁNG KÝ HIfiU N T¾p so tn nhiên R T¾p so thnc Z T¾p so nguyên C T¾p so phúc Rk Không gian thnc k chieu "." Chuan ∅ T¾p hop rong Z+ = {0, 1, 2, } T¾p so ngun khơng âm Mnc lnc Má Đau 1 Các khái ni¾m kien thNc chuan b% 1.1 M®t so khơng gian hàm 1.2 Chuoi Fourier 1.3 Bien đoi Fourier 1.4 Công thúc tong Poisson 1.5 Giái tích thòi gian - tan so 11 1.5.1 Hàm cúa so 12 1.5.2 Bien đoi Gabor .13 1.5.3 Cúa so thòi gian-tan so cna Bien đoi Fourier thòi gian ngan 14 1.5.4 Cúa so thòi gian-tan so cna bien đoi sóng nhó liên tuc 15 Khung Gabor 17 2.1 Lý thuyet khung không gian Hilbert 17 2.2 Khung Gabor 26 2.3 Sn h®i tu khơng đieu ki¾n 29 2.4 Không gian Wiener 32 2.5 Tính b% ch¾n cna tốn tú khung Gabor .34 2.6 Bieu dien Walnut cna toán tú khung Gabor 37 2.7 Mó r®ng khơng trnc giao Painless 41 2.8 Tính trù m¾t cna khung Gabor .43 Giái tích Gabor khơng gian bien đi¾u 44 3.1 Các lóp cúa so cna giái tích Gabor 44 3.2 Tính b% ch¾n cna tốn tú khung Gabor khơng gian bien đi¾u 55 3.3 Cơ só Wilson khơng gian bien đi¾u 64 3.4 Nén du li¾u 75 Ket lu¾n 79 Mé ĐAU Lý chon đe tài Giái tích sóng nhó ton tai tù th¾p niên đau cna the ký XX đưoc nhieu nhà khoa hoc the giói quan tâm nghiên cúu mà đau Morlet, Meyer Y.V, Daubechies I., Ky thu¾t sóng nhó giúp phân chia m®t hàm so phúc tap thành chuoi hàm sơ cap nhò phép giãn phép d%ch chuyen, cung cap mđt cụng cu rat hiắu quỏ hap dan phân tích tong hop tín hi¾u Các nhà tốn hoc có nhieu no lnc phát trien lý thuyet mói, thu¾t tốn cho bieu dien tong hop hàm Bieu dien sóng nhó bieu dien Gabor cơng cu tốn hoc huu hi¾u nhat đe thnc hi¾n nhi¾m vu Cu the tìm thay nhieu úng dung phân tích tín hi¾u xú lý hình ánh Trong lý thuyet Gabor nhà tốn hoc rat quan tâm tói mđt oi tong quan ú l khung Gabor Thuắt tốn khung đưoc ca ngoi m®t phương pháp tái tao hi¾u q Vì v¾y vi¾c nghiên cúu lý thuyet khung m®t van đe rat lý thú Đen nay, lý thuyet khung Gabor đưoc trình bày nhieu tài li¾u vói sóng nhó Vói mong muon nghiên cúu lý thuyet khung Gabor bieu dien thòi gian - tan so, mđt mắt trỡnh by lý thuyet khung theo h¾ thong, m¾t khác mong muon tìm nhung úng dung cu the cna lý thuyet này, dưói sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna tien sĩ Bùi Kiên Cưòng tơi chon nghiên cúu đe tài: "Lý thuyet khung Gabor bieu dien thài gian-tan so" 2 Mnc đích nghiên cNu - Nghiên cúu tong quan ve lý thuyet khung Gabor - Nghiên cúu ve giái tích Gabor khơng gian bien đi¾u Nhi¾m nghiên cNu - Trình bày ket q, tính chat cna tốn tú khung Gabor - Tính b% ch¾n cna tốn tú khung Gabor bieu dien thòi gian tan so khơng gian bien đi¾u Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu toán tú khung Gabor bieu dien thòi gian tan so khơng gian bien đi¾u Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet : Thu th¾p tài li¾u, đoc và, phân tích, tong hop đe nghiên cúu ve khung Gabor, toán tú khung Gabor DN kien đóng góp mái Tìm m®t so úng dung cu the cna khung Gabor Chương Các khái ni¾m kien thNc chuan b % 1.1 M®t so khơng gian hàm p,q Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Không gian M Rd ) Giá sú m (x, ω) m®t m hàm khơng âm R2d, ≤ p, q ≤ ∞ tham so tích, g ∈ S Rd m®t cúa so co đ%nh Khi xác đ%nh chuan   |Vg f (x, 1/q p/q ¸ ¸ p m(x,  ω)|   dω p "f"M p,q = dx  m ω) Rd Rd Không gian moi f ∈ St Rd vói chuan huu han đưoc goi không gian bien đi¾u Mmp,q Rd Neu p = q ta viet Mp m neu m (z) ≡ R2d thay cho M p,q m ta viet M p,q M p thay cho M p,q m Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Không gian M p,p m Lmp,q R 2d ) Giá sú m m®t hàm R2d ≤ p, q ≤ ∞ Khi khơng gian chuan hon hop 2d p,q Lm R bao gom trá hàm đo đưoc (Lebesgue) R2d cho  chua n "F "Lp,q m ¸ ¸   |F (x, ω)|p = m(x, p ω) Rd p/q dx 1/q  dω  Rd huu han Neu p = ∞ vói moi q = ∞ p− chuan tương úng thnc chat thay cho supremum Do đó: 1/q   q ¸   "F "L∞,q = ess sup |F (x, ω)| m (x, dω  ω)    m d Rd x∈R "F "Lp,∞ m   ¸ = ess sup |F (x, ω)| p m(x, p ω)  1/p dx ω∈Rd Rd Tù ω → F (., ω) m (., ω) có giá tr% Lp, không gian chuan hon hop q Lp,m có the thay m®t khơng gian giá tr% vectơ L q Neu p = q Lp,q = p khơng gian Lp thơng thưòng Hơn nua L m m L∞ R2d bao gom tat cá hàm (đo đưoc) f cho m ess sup |f (z)| m (z) ≤ C y |f (z)| ≤ Cm(z) −1 , z ∈ R2d Theo đ%nh nghĩa "f"L∞m infimum cúa tat cá hang so C Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Lóp S Rd ) Lóp Schwartz S Rd bao gom hàm υ ... quan ve lý thuyet khung Gabor - Nghiên cúu ve giái tích Gabor khơng gian bien đi¾u Nhi¾m nghiên cNu - Trình bày ket q, tính chat cna tốn tú khung Gabor - Tính b% ch¾n cna tốn tú khung Gabor bieu... rat lý thú Đen nay, lý thuyet khung Gabor đưoc trình bày nhieu tài li¾u vói sóng nhó Vói mong muon nghiên cúu lý thuyet khung Gabor bieu dien thũi gian - tan so, mđt mắt trỡnh bày lý thuyet khung. .. xú lý hình ánh Trong lý thuyet Gabor nhà tốn hoc rat quan tâm tói m®t đoi tưong quan khung Gabor Thu¾t tốn khung đưoc ca ngoi mđt phng phỏp tỏi tao hiắu quỏ Vỡ vắy viắc nghiên cúu lý thuyet khung