Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgaritTài liệu Bồi dưỡng HSG Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit
CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Ngun hàm vơ tỉ: Với �1 thì: x dx � x 1 u 1 C; � u u '.dx C 1 1 Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số m n a m a n ,… Các dạng tích phân vơ tỉ: b dx �px q a px r : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) b xk dx : trục tử � x k a b dx � x m x n : Đặt t xm xn a b �x px dx : Đặt u x m m x dx : Đặt x k sin t k cos t a b �k a b �x a :Đặt t x x2 m m mdx : Đặt u x m , dv dx b �x a b � x a dx px qx r : Đặt t x R x, � k x dx : Đặt x k sin t k cos t R x, � k x dx : Đặt x k tan t k cot t b a b a http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang R x, � b a � b R �x; � � k k sin t cos t x k dx : Đặt x x x n a � x dx : Đặt t n � x � R x, x x dx : Đặt x sin � b t a R x, � b px qx r dx : Đặt a px qx r t x p px qx r t x r Nguyên hàm mũ lôgarit: e dx e � x x e u ' dx e � c u ax a dx c � ln a u c au a u '.dx c a 0, a �1 � ln a x u Các dạng tích phân phần: b P x e � x dx : Đặt u P x , dv e x dx a b x ln xdx : Đặt u ln x, dv x � dx a b x x x x e sin xdx : Đặt u e � , dv sin xdx a b e cos xdx : Đặt u e � , dv cos xdx a CÁC BÀI TỐN Bài tốn 8.1: Tính a) x � x dx b) �x x x dx Hướng dẫn giải � 12 � 32 34 dx x x C a) � x x dx � �x x � � � b) �x 3 � 56 � 116 74 32 x x dx � dx x x x C �x x x � � � 11 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang Bài toán 8.2: Tính a) �1 x x x � x dx � �x b) � � dx � x� Hướng dẫn giải � �1 x x x 2 dx � dx x C a) � � x � x x �x � � �1 � �1 dx � dx x x C b) � � x � � 3 � x� �x �x � Bài toán 8.3: Tính dx a) I �x b) J �ax b x4 dx ax c , a �0, b �c Hướng dẫn giải 1 1 � � x dx x x dx x � � � � 7 � � a) I b) J 3 � �x 3 x � � C 21 � � ax b ax c dx bc � a b c ax b Bài tốn 8.4: Tính a) E �x ax c C x 4 2dx b) F xdx �x Hướng dẫn giải �2 � x 2 dx � dx x C �x � x � x � a) E � x b) F x22 � � x dx 3 x 2 C dx x x � � �3 x � � � Bài toán 8.5: Tính: a) A x 3 � x 3dx b) B dx � 1 x Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang a) Đổi biến: Đặt t x � x t � dx 2t.dt A 2� 2t 3 dt 2� 2t 3t dt t 2t C x 3 x 1 C 5 b) Đặt t x � x t � dx 2 t dt t 1 � 1� Q 2� dt 2� 1 � dt � t � t� t ln t C 2 Bài tốn 8.6: Tính: a) � x ln x C dx x 1 x b) �x 9 dx Hướng dẫn giải a) Đặt t x � x t � dx 2t dt 1 x t dt � � 2� 1 � dt � x dx 2� t 1 � t 1 � � �1 2� dt � dt 2t ln t ln t C � � �t t � x ln 1 x 1 C 1 x 1 b) Đặt t x � x t � dx 2t dt 1 x t dt � � 2� 1 � dt � x dx 2� t 1 � t 1 � � �1 2� dt � dt 2t ln t ln t C � � �t t � x ln 1 x 1 C 1 x 1 � 1 b) Đặt t x x � dt � � � dx � � x2 � x dx x2 dt t http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang dx �x dt � ln t C ln x x C t 9 7/3 x 1 dx Bài tốn 8.7: Tính: a) K � 3 x b) L dx �x x 1 Hướng dẫn giải t3 1 a) Đặt t x � x � dx t dt 3 t Khi x t 1, x K � t 2t dt 31 �t t � 46 � � 15 � 15 � 3 1� 3 2 b) L � x x dx � x 1 x 1 � � 22 3� � a Bài toán 8.8: Tính: a) A �a a /2 x dx b) B �a dx x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x a sin t với �t � dx a cos t 2 Khi x t 0, x a t /2 /2 a2 Aa � cos t cos tdt a � cos tdt 0 2 /2 cos 2t dt � /2 a � sin 2t � a2 � t � 2� �0 b) Đặt x a sin t với t dx a cos tdt 2 Khi x t 0; x B /6 a cos tdt � a cos t /6 a t �dt http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang b Bài tốn 8.9: Tính: a) C b dx �x �x b) D b b dx Hướng dẫn giải � � dx � � x2 b � x 1 a) Đặt t x x b � dt � � C b 2b dt �t b 2b ln t ln b b b b) D 2 �x bdx x x b b b 2 b x b dt t b dx x2 �x b dx b x2 b b dx b D b dx � � 2 x b x b 0 b b nên D 2 b �x b dx b ln 2 2 x2 Bài tốn 8.10: Tính: a) K � dx x b) L x �x 1/2 1 dx x4 Hướng dẫn giải t a) Đặt x � dx 1/2 1 dt t2 K � t t dt 1 � �5 2 t d t 2 � � � 3�8 � 1/2 � 1� x dx L d �x � � � b) � x� 1/2 1/2 � 1� x2 x � � x � x� 1 2 � 13 � 1� � � ln x �x � � ln � x 13 � x� � � � 1/2 � Bài tốn 8.11: Tính: a) A x 1 x dx b) B � x x dx Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang � � �t � �� dx cot dt 2� �2 a) Đặt x sin t � Khi x t 0, x t /2 A � sin t cos tdt /2 sin � 2tdt /2 /2 cos 4t � sin 4t � t � � � 8� �0 16 b) Đặt t x � x t � xdx tdt Khi x t 1, x t B� 1 t 2 1 �t � t t dt � t 2t 1 t dt �7 t t � 105 � �0 2 Bài tốn 8.12: Tính: a) I �x a/ x dx b) x 1 J � xdx a2 x2 a x2 Hướng dẫn giải � 1� x x �x � , x x 1 ' x � 2� a) Ta có � � 1� 3� B x 1 C Đặt x A � �x � � � � � � � � Đồng A 1, B 2, C nên � � 2x 1 �� � I � x � � �� 2� � 1� � 1� � �x � �x � � � 2� � 2� � � � � dx � � � � �2 x � � � � x x ln �x x x � � � � � �0 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 3 1 � � ln � 1 � 3� � a/ � b) J xdx a x2 a x2 xdx 2 Đặt t a x � dt J a 1 dt t � t a 1 a 1 a 1 2 a2 x2 2a a 4096 Bài tốn 8.13: Tính: a) K �x 128 � xdx t 1 dt xdx 4x b) L �x dx 5x Hướng dẫn giải a) Đặt x t12 dt 12t 11dt Khi x 128 t 2, x 4096 t 2 �9 t14 t4 � K 12 �5 dt 12 � t t � dt � t 1 t 1 � 2� �464 �t10 t � 31 � 12 � ln t � 12 � ln � 10 5 1� � �2 � b) Đặt t x2 x 3 � 1 � x x � dt � dx � x 2 x � � � 1 � � dt � dx � � �2 x 2 x � L� 2 dx x x 3 : 2dt � t ln t 1 dx x x 3 2 1 ln 2dt t 2 1 Bài tốn 8.14: Tính: a) A � x 1 dx x2 2x 1/2 b) B � x dx 1 x Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang a) Đặt t 1 dt � x � dx x 1 t t 1/2 dt du dt u t t2 1 � A� Đặt t2 1 u t2 1 Do A 1 /2 1 du 1 /2 ln u ln �u 1 1 1 2t 2dx � dt b) Đặt t x � x 1 t x2 2 x2 2 3/2 3/2 � � dt � 1 t 1 � dt D �2 3t � � �t 3/2 12 � t 1 � ln ln � � � 3� � t �2 23 Bài tốn 8.15: Tính: 1 dx a) I n � n n n x x � n b) J n x xdx Hướng dẫn giải a) I n � 1 x n 1 xn xn n xn xn dx � dx � dx n n n n n 1 x 1 x 1 x 1 � � xd � n x n 0 �n x n x 1 �1 xn dx �� n n n � 1 x 1 x 1 xn xn n � dx � dx n n n n xn n xn 1 x 1 x b) u x n , dv xdx n 1 Khi du nx dx, v Jn x 1 x 3 1 x 2n n 1 x x 1 xdx � 0 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 0 Vậy J n 2n 2n J n 1 J n1 J n � J n 2n 2n n 1 2n 1.n ! J n 2n 3.5 2n 3 x Bài tốn 8.16: Tìm hàm số f số thực a thỏa mãn điều kiện: f t �t dt x với x a Hướng dẫn giải Gọi F t nguyên hàm hàm số f t t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x F x F a x Cho x a ta a F x F x nên F ' x f x 1 � � f x x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a) 2x 3x dx � b) x 5 x � 3x dx Hướng dẫn giải a) 2 � x 3 x 4x 6x 9x dx � 2.6 dx ln ln ln C x x x x b) x 5 x � 3x �5 � x x x �� � 1 �5 � x � �3 � dx � x � dx C � � � � � � ln 3 � � � � ln � sin x Bài tốn 8.18: Tính: a) e cos xdx b) � e e x x dx Hướng dẫn giải a) e � sin x cos xdx � e sin x d sin x esin x C t x b) Đặt t e x dt e dx � dx dt http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 10 ln xdx x ln x � x dx x ln x � dx x ln x x C � x b) Đặt u ln x, v ' x � u ' , v x Ta có: x 32 12 32 32 x dx x ln x x C �x ln xdx x ln x � 3 Bài tốn 8.22: Tính: a) ln x �x x ln dx b) � x dx 1 x Hướng dẫn giải a) ln x �x 2 dx � ln x d ln x ln x C x2 x ,v , du xdx Khi du b) Đặt u ln x 1 x 1 x x ln � x x2 x x dx ln � dx 1 x 1 x 1 x x2 x �1 x2 x 1 � ln � 1� dx ln ln x x C � 1 x � 1 x � 1 x 2 Bài tốn 8.23: Tìm ngun hàm a) I x ln x dx b) J x cos x dx � � Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x , dv x dx Khi du Ta có: I x4 dx, v x x ln x x ln x x x3 � dx C 4 16 b) Đặt u x , dv cos x dx Khi du xdx, v sin x x sin x Ta có: J � x sin x dx Đặt u x, dv sin x dx Khi du dx, v cos x : http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 12 x sin x dx � x cos x cos x x cos x sin x � dx C 2 x sin x x cos x sin x nên J C 2 Bài toán 8.24: Tính: a) I sin ln x dx x b) J e cos x x sin x dx � � Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x x eu nên dx eu du A� sin u.eu du � sin ud eu sin u.eu � cos u.eu du sin u.eu � cos u.d eu sin u.eu cos u.eu � sin u.eu du Từ suy A x sin ln x cos ln x C b) Đặt u e x , dv cos x Khi du xe x dx, v sin x 2 2 e x cos xdx e x sin x � xe x sin xdx � x x nên J e cos x x sin x e sin x C 2 � Bài tốn 8.25: Tính: a) K x � x 1 e dx b) L x x � e x dx Hướng dẫn giải x a) Đặt u x x 1, dv e x dx Khi du x 1 dx, v e K x x 1 e 21 x 1 � x 1 e dx 3e � x 1 e x dx x 0 Đặt tiếp u x 1, dv dx K e 1 b) Đặt u x 2, dv e x dx Khi du x dx, v e x L e x 3� x e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 13 ln Bài toán 8.26: Tính: a) A xe x B dx b) � x dx �e ln x 1 Hướng dẫn giải x a) Đặt u x x 1, dv e x dx Khi du x 1 dx, v e 1 0 K x x 1 e x � x 1 e x dx 3e � x 1 e x dx Đặt tiếp u x 1, dv dx K e 1 b) Đặt u x 2, dv e x dx Khi du x dx, v e x L e x 3� x e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A dx �e ln x b) B 1 xe x � 1 x dx Hướng dẫn giải x x a) Đặt t e � e t � dx A dt Đặt t tan u � t 1 B 1 2tdt t2 1 ex ex B dx dx b) � � x x 0 �e x 1 e x � e ex � dx � � dx � � 1 x 1 x 0 1 x � � � � � 2x Bài tốn 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J e sin xdx x 0 Hướng dẫn giải a) Đặt u cos x, dv e x , du sin x, v e x 0 I cos x.e x � e x sin xdx 1 e � sin xd e x http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 14 1 e sin x.e x � e x cos xdx 1 e I Do I 1 e � I e 1 2x e sin xdx b) J � cos x d 22 x e2 x cos x � 40 0 Dùng phần lần liên tiếp J 2 e 1 Bài tốn 8.28: Tính a) I 1 3x J dx b) x x � �x x � x e dx � � � x � � 0.5 Hướng dẫn giải a) I x x e dx � 0,5 Đặt u e x x � �x x e dx �x � � x � � 0,5 � �x x e dx, v x , dv dx Khi du �x x � � � 2 x � �x x e dx xe x Ta có: � �x � x� 0,5 � Suy I xe x x 0,5 x e � x dx 0,5 0,5 e 2,5 1 3 x dx J E � dx b) Xét E �x x 0 1 3x 3 x 1 dx ln 3x 3 x ln J E �x x 3 ln ln 3 0 Do đó: J 1� 5� 1 ln � � � ln 3 � 1 x2 Bài toán 8.29: Tính: a) A � x dx 1 1 � x b) B x e sin xdx Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 15 1 x2 x2 a) A � x dx � x dx 1 1 1 0 1 x2 2t t 2 x x2 dt � dx Đặt x t � x dx � 1 2t 2x 1 0 Do A 1 x2 x � 1 Đặt x sin t A dx �1 x dx x b) Đặt u x sin x, dv e x dx B e x sin x � e x x sin x x cos x dx x 0 1 e sin1 2� xe sin xdx � x 2e x cos xdx x 0 Từ tính B e sin1 dx Bài tốn 8.30: Tính a) I � x 1 e 1 x 1 b) J sin x dx x � Hướng dẫn giải a) Đặt x t dx dt Khi x 1 � t 1, x 1 � t 1 1 dx dt et I dt Ta có � � � x t t e x e t e t 1 1 ex I �x dx 1 e 1 x 1 nên I I I dt Vậy I � t 1 1 sin t 3x.sin x J dt dx x � � b) Đặt x t dx dt nên: 1 1 3t sin xdx � cos x dx � J Do J � http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 16 � � Bài tốn 8.31: Tính a) A ln x x dx b) B x ln xdx 2 Hướng dẫn giải 3 2x 1 � � 2 dx 3ln a) A x ln x x � dx 3ln 2ln � � � x 1 x 1 � 2� b) Đặt u ln x, dv x dx Khi du dx , v x6 x �x ln x � x5 dx 32 B� � � ln � � 1 e e � Bài tốn 8.32: Tính a) C x ln xdx b) D x � x 1 ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u ln x, dv xdx Khi du 2ln x dx, v x x e e �x 2 � e e2 C � ln x � � x ln xdx � x ln xdx �2 � 1 Đặt u ln x, dv xdx Khi du e e dx x2 ,v x e x2 e2 e2 x ln xdx ln x xdx e � C � 2� 4 1 b) Đặt u ln x, dv x x dx thì: e e �x x � �x3 x �1 D � x� ln x � � x � dx �3 � 1 �3 �x e �x x � e3 e 2e3 e 31 e� dx � � 3 36 � 1� e ln x ln x dx b) J � dx Bài tốn 8.33: Tính: a) I � x x 1 Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 17 e a) I ln x � e � b) J ln xd x x ln x 4ln d ln x ln x 2 x 4 dx 2� x ln 1 Bài tốn 8.34: Tính: a) A /2 cos x ln sin x dx � x 1 � x 1dx b) B ln /4 Hướng dẫn giải a) A /2 /2 ln sin x d sin x sin x.ln sin x � /4 /4 /2 cos xdx � /4 /2 2 2 ln sin x ln 4 /4 3 2x � x 1 � b) B �x ln � �2 dx 3ln 6ln � x �2 x Bài tốn 8.35: Tính: a) C ln x � x 1 dx b) D x ln x x � x2 dx Hướng dẫn giải 3 1 � ln x dx � a) C � ln x d � � � x 1 x x 1 �x � 3 ln 3 dx 1� 27 � �dx � � ln � 1x x 1 � 16 � x b) Đặt u ln x x , dv D x 1.ln x x 2 x 1 thì: dx 2ln � Bài tốn 8.36: Tính: e a) I x ln x dx � x ln x x 2ln x dx b) I � x http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 18 Hướng dẫn giải e x ln x dx e x ln x ln x dx � x ln x a) Ta có I � e x ln x e e ln x ln x e 2� dx � dx x � dx e 1 J x ln x x ln x 1 e ln x dx � x ln x Tính J Đặt t x ln x � dt ln x dx Khi x t , x e t e nên J b) I 1 e dt 1 e ln t ln e nên I e 1 ln e � t x 2ln x � x 1 � 1 2ln x � dx � dx � � � x 1 x 1 x 1 � 1� � 2 2 1 ln x ln x dx dx 3 � � x 1 x 1 12 x 1 x 1 Tính J ln x � x 1 dx Đặt u ln x, dv J dx x 1 ln x x 1 Khi du dx 1 ,v x x 1 2 dx ln �1 1 � dx � � 2 � � � 2� 18 x x x x x � 1� ln � x � ln � � � ln � ln � � 18 � x x � 18 6� � ln ln 18 12 Suy I � ln � ln 2� ln � ln 12 72 � 18 12 � http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 19 ln x dx Bài tốn 8.37: Tính: a) I �x x e e b) I xe x dx � x x Hướng dẫn giải ln x dx a) Ta có I �x e e x Đặt u x, dv ln �e xe x x 1 dx ex dx Khi du dx, v ex 1 e 1 x ln x Ta có: I x e 1 ln dx ln x � e 1 ln dx �e x ln Tính J dx dt Đặt e x t x ln t � dx x � e 1 t Khi x � t 1; x ln � t 2 2 dt 1 � � J � � dt ln t ln t 1 � � t t 1 �t t � 2ln ln nên I ln ln 1 1 2 xe x xe x I dx dx dx dx b) Ta có 2 2 � � � � x x x x x 0 0 Tính xe x � x 1 xe x x dx Đặt u xe , dv x Khi du x 1 e dx; v 1 dx x 1 x 1 xe x 1 dx Ta có: � x 1 e x dx � x 1 0 x 1 x 1 xe x 1 e e e � e x dx e x dx 2 Thay vào ta I e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F x nguyên hàm f x : http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 20 a) F x ln x x C ; f x �x �2 b) F x ln tan � x2 � � C ; f x 4� cos x Hướng dẫn giải a) b) F ' x F ' x 1 x x2 x x2 x 1 � đpcm 1 �x � �x � 2cos � �tan � � �2 � �2 � 1 �x � �x � � � cos x 2cos � � sin � � sin �x � �2 � �2 � � 2� Bài tốn 8.39: Tìm cực đại cực tiểu hàm số f x e2 x t ln tdt � ex Hướng dẫn giải Gọi F t nguyên hàm hàm số t ln t 0; � f ' x F ' e 2e F ' e e 2x x Ta có: f x F e F e , suy ra: 2x 2x x x xe x xe x xe x 4e x 1 f ' x � x �x ln Lập BBT f đạt cực tiểu x đạt cực đại x ln � n x * Bài toán 8.40: Đặt I n x e dx, n �� Tính I theo I n 1 với n �2 Suy I Hướng dẫn giải In � x n d ex x n e x n � x n 1e x dx x n e x nI n 1 x x x x Do I x e 3I , I x e I1 , I1 xe dx e x 1 C � x nên I e x 3x x C http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 21 � n x Bài toán 8.41: Cho I n x e dx Tính I n theo I n 1 Hướng dẫn giải In � x de n x x e n x 1 n� x n 1e x dx e nI n 1 0 e Bài toán 8.42: Cho J n ln x � e dx Chứng minh J n1 �J n � n 1 n Hướng dẫn giải J n x ln x n e e n� ln x n 1 e nJ n 1 x � e � 0 Với � ln x J n 1 Jn Do J n e nJ n 1 �e nJ n � n 1 J n �e � đpcm Bài tốn 8.43: Tính tích phân � x2 b) I � ln xdx x a) I x x dx Hướng dẫn giải 1 1/2 1 1/2 x x dx � x2 d x2 � u du a) I � 20 22 2 1/2 � � u du (đặt u x ) � u 3/2 � 2 � 21 3 � � b) I x2 ln xdx � x Đặt t ln x � dx dt , x et , t 1 0, t ln � I x ln te � t e t dt Đặt u t � du dt , dv et e t , chọn v et e t �I � t et e t � � � ln ln e � t e t dt 5ln http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 22 Cách khác: Đặt u ln x � du dv dx x x2 1 � � dx � 1 � dx � v x x x � x � 2 2 � 1� � �dx � � � 1� � I �x � ln x � 1 � dx ln �x � �x � ln � � x � � x � 1 � x �x � x� 1� � 1� ln � � ln 2 � 2� BÀI LUYỆN TẬP Bài toán 8.1: Chứng minh F x nguyên hàm f x : a) F x x ln x x; f x ln x b) F x ln tan x C; f x sin x Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa công thức đạo hàm b) Dùng định nghĩa công thức ln u ' � Bài tập 8.2: Tính: a) A x 3x dx u' u b) P �x x 4 dx Hướng dẫn a) Đổi biến t x Kết 2 x C 3 b) Kết x C Bài tập 8.3: Tính a) � dx x 1 x b) � 2x xdx x2 Hướng dẫn a) Đổi biến t x Kết C 1 x http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 23 b) Kết ln x2 2 x2 C Bài tập 8.4: Tính a) I �1 x b) I dx 2x x2 2x2 �1 x x2 dx Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm phần Kết ln x x x x C 1� b) Kết �x x 2� Bài tập 8.5: Tính: a) I x 1 x3dx �4 x � x 2ln x x � C � b) J x5 x3 �x 1 dx Hướng dẫn a) Đổi biến t x Kết b) Kết 16 3 3 26 1 x 3dx D b) � x2 x dx Bài tập 8.6: Tính: a) C � x x 1 1 Hướng dẫn a) Trục thức mẫu Kết b) Kết D ln 2 1 15 Bài tập 8.7: Tính a) x e dx � x 12 x dx b) � x 16 x Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần lần liên tiếp x Kết x x 12 x 24 x 24 e C http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 24 x 3x ln x C ln ln 3 3x b) Kết Bài tập 8.8: Tính: a) ln sin x ln x x dx �cos2 x dx b) � Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết tan x.ln sin x x C 2 b) Kết x ln x x x C � Bài tập 8.9: Tính a) I x ln 1 x dx 1 x e b) J ln x �x dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần 1 x 1 x x ln ln xC 1 x 1 x Kết b) Kết e Bài tập 8.10: Tính: a) I /2 e � sin x cos x cos xdx b) J /2 e � 3x sin xdx Hướng dẫn a) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết e 1 3 b) Kết 3.e 34 � Bài tập 8.11: Tính: a) I ln x dx e b) J ln x � dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết ln b) Kết e http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 25 Bài tập 8.12: Tính: e � � 2� ln xdx b) J � � x 3ln x � � x 1 e x dx a) I � Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết e b) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết 62 27 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 26 ... Thay vào ta I e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F x nguyên hàm f x : http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu. .. sin �x � �2 � �2 � � 2� Bài tốn 8.39: Tìm cực đại cực tiểu hàm số f x e2 x t ln tdt � ex Hướng dẫn giải Gọi F t nguyên hàm hàm số t ln t 0; � f ' x F ' e 2e F... website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 23 b) Kết ln x2 2 x2 C Bài tập 8.4: Tính a) I �1 x b) I dx 2x x2 2x2 �1 x x2 dx Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm phần Kết ln