B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I DƯƠNG TH± ANH ĐA THÚC N®I SUY LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TOÁN SƠ CAP Chuyên ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưòi hưóng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn Khái Hà N®i - 2016 LèI CÁM ƠN Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS.Nguyen Văn Khái , ngưòi thay t¾n tình hưóng dan tơi suot q trình hoc t¾p đe tơi có the hồn thành lu¾n văn cna Tơi xin trân cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng Sau đai hoc, thay giáo Khoa Tốn, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tao moi đieu ki¾n cho tơi suot q trình hoc t¾p tai trưòng Qua đây, tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn tói gia đình, ban bè ó luụn nng hđ, giỳp nhiắt tỡnh v tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng 12 năm 2016 Hoc viên Dương Th% Anh LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS.Nguyen Văn Khái Trong q trình nghiên cúu, tơi ke thùa thành tnu cna nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân Hà N®i, tháng 12 năm 2016 Hoc viên Dương Th% Anh MUC LUC Má đau Cơ sá lý thuyet đa thNc n®i suy Lagrange 1.1 M®t vài van đe ve đa thúc 1.2 Bài tốn n®i suy 1.3 Cơng thúc n®i suy Lagrange 1.4 Sai so cna phép n®i suy 10 1.5 Đa thúc Chebyshev 11 1.6 Van đe chon moc n®i suy 11 1.7 Sn h®i tu cna q trình n®i suy 13 M®t so Nng dnng cúa đa thNc n®i suy Lagrange tốn sơ cap 17 2.1 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange toán tong huu han .17 2.2 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange tốn đa thúc 32 2.3 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange bi toỏn nđi suy bat ang thỳc bắc hai 67 Ket lu¾n Tài li¾u tham kháo 73 74 Mé ĐAU Lí chon đe tài Trong thnc te có nhieu trưòng hop ta can phái xác đ%nh đưoc bieu thúc cna hàm y = f (x), chí biet giá tr% ròi rac y0, y1, , yn tai điem tương úng x0, x1, , xn é m®t so trưòng hop khác, ta biet bieu thúc cna hàm y = f (x) phúc tap Khi ngưòi ta xây dnng m®t đa thúc P (x) thóa mãn: P (xi) = f (xi), i = 0, n Đa thúc P (x) xây dnng đưoc goi đa thúc n®i suy cna f (x) úng vói moc n®i suy x0, x1, , xn Các điem xi, i = 0, n đưoc goi moc n®i suy tốn xây dnng đa thúc P (x) v¾y đưoc goi tốn n®i suy Đa thúc n®i suy Lagrange có nhieu úng dung tốn sơ cap, thưòng đưoc đe c¾p đe thi chuyen cap, hoc sinh giói cap trưòng, cap tính, cap quoc gia Vì v¾y, vi¾c hình thành m®t chuyên đe chon loc nhung van đe bán ve tốn n®i suy dưói góc đ® tốn thơng, đ¾c bi¾t nhung úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange đe giái tốn đe thi hoc sinh giói cap can thiet Do dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Khái, tơi chon đe tài: "Đa thÚc n®i suy Lagrange Úng ding toán sơ cap" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu m®t so van đe cna đa thúc n®i suy Lagrange úng dung tốn sơ cap Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange giái tốn sơ cap Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đa thúc n®i suy Lagrange Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange tốn sơ cap Phương pháp nghiên cNu Phương pháp n®i suy Đóng góp cúa lu¾n văn H¾ thong hóa lai nhung van đe bán cna đa thúc n®i suy Lagrange m®t so úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange tốn sơ cap CHƯƠNG CƠ Sé LÝ THUYET ĐA THÚC N®I SUY LAGRANGE 1.1 M®t vài van đe ve đa thNc Đ%nh nghĩa 1.1.1 Đa thúc b¾c n cúa an x trưòng so thnc R bieu thúc có dang: P (x) = anxn + an n−1 x −1 + + x + a0 , a1 đó, ∈ R, an ƒ= 0, n ∈ N∗ Ta goi an h¾ so cao nhat cúa đa thúc, a0 h¾ so tn cúa đa thúc T¾p hop tat cá đa thúc có b¾c ≤ n đa thúc đưoc kí hi¾u Pn Đ%nh nghĩa 1.1.2 Đa thúc vói h¾ so nguyên đa thúc có dang: P (x) = anxn + an đó, ∈ Z n−1 x −1 + + x + a0 , a1 Đ%nh nghĩa 1.1.3 Giá tr% cúa đa thúc P (x) tai x0 P (x0) = anxn + an n−1 1x − + + a 1x + a Nghi¾m cúa đa thúc P (x) so x¯ ∈ C cho P (x¯) = Đ%nh lý 1.1.1 (Euclid) cho đa thúc P (x) b¾c n đa thúc Q(x) b¾c m (m < n) vói h¾ so thnc Khi đó, ton tai đa thúc nhat S(x) R(x) cho P (x) = Q(x).S(x) + R(x), (1.1.1) đó, R(x) có b¾c r nhó b¾c cúa Q(x) Đ%nh lý 1.1.2 Moi đa thúc b¾c n ≥ ln có đú n nghi¾m phúc Đ%nh lý 1.1.3 Moi đa thúc P (x) b¾c n vói h¾ so thnc đeu có the bieu dien dưói dang mY P (x) = an i=1 s (x − di) Y (x2 + bkx + ck), k=1 đó, di, bk, ck ∈ R, 2s + m = n,kb2 − 4ck < 0, m, n ∈ N∗ 1.2 Bài tốn n®i suy Đ%nh nghĩa 1.2.1 i) H¾ n + điem phân bi¾t {xi} vói xi ∈ [a, b], i = 0, n đưoc goi moc n®i suy ii) Cho hàm so y = f (x) xác đ%nh [a, b] Đa thúc P (x) có b¾c thap nhat thóa mãn P (xi) = f (xi) vói i = 0, n đưoc goi đa thúc n®i suy cúa hàm so y = f (x) úng vói moc n®i suy {xi} (i = 0, n) Bài toán xây dnng đa thỳc nđi suy nh vắy goi l bi toỏn nđi suy Đ%nh lý 1.2.1 Cho n + moc n®i suy x0, x1, , xn ∈ [a, b] n + giá tr% thnc y0, y1, , yn Khi ton tai nhat đa thúc Pn(x) ∈ Pn cho Pn(xi) = yi = f (xi) vói i = 0, n (1.2.2) ChNng minh Giá sú đa thúc P (x) = a0 + a1x + + anxn vói n + h¾ so bat đ %nh ai, i = 0, n Tù đieu ki¾n (1.2.2) ta có h¾ n + phương trình tuyen tính vói (n + 1) an (i = 0, n) n a0 + a x + + a i nx = yi (i = 0, n) (1.2.3) H¾ có nghi¾m nhat chí đ%nh thúc cna ma tr¾n h¾ so cna khác Đ%nh thúc cna h¾ phương trình n x x0 n x x V (x0, x1, , xn) = x1 x2 n xn xn xn (1.2.4) Đ%nh thúc đưoc goi đ%nh thúc Vandermonde Đe tính V xét hàm V (x) sau đây: x0 x1 V (x) = V (x0, x1, , xn−1, x) = xn − x xn n x xn xn (1.2.5) Rõ ràng V (x) ∈ Pn Hơn nua V (x) = tai x0, x1, , xn−1 hay V (x) có n nghi¾m x0, x1, , xn−1 Do V (x0, x1, , xn−1, x) = A(x − x0)(x − x1) (x − xn−1) (1.2.6) hắ so A l long phu thuđc vo x0, x1, , xn−1 Đe tính A ta khai trien (1.2.5) theo dòng cuoi cùng, thay A = V (x0, x1, , xn−1) Suy V (x0, x1, , xn−1, x) = V (x0, x1, , xn−1)(x − x0)(x − x1) (x − xn−1) (1.2.7) Đ¾c bi¾t k b−a k−1 n = iƒ=n,i=1 k Q |tn − ti| Tù ta có k k−12k−2 = n=1 d n≥ b− a hay xn = 2.3 b−a (cos nπ b−a nπ Đang thúc xáy dau bang chí tn = cos −1 k−1 k−1 vói ∀ n = 1, k + 1) k−1 Úng dnng cúa đa thNc n®i suy Lagrange tốn n®i suy bat thNc b¾c hai Đ%nh lý 2.3.1 Xét tam thúc b¾c hai f (x) = ax2 + bx + c, a ƒ= i) Neu ∆ < af (x) > 0, ∀ x ∈ R ii) Neu ∆ = af (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R Dau thúc xáy chs b x = − 2a iii)Neu ∆ > f (x) = a(x − x1)(x − x2) vói , x2 −b + −b − x1 = √ = √ ∆ ∆ 2a 2a (2.3.5) nghi¾m phân bi¾t cúa phương trình f (x) = Trong trưòng hop này, af (x) < x ∈ (x1, x2) af (x) > x < x1 ho¾c x > x2 Đ%nh lý 2.3.2 (Đ%nh lý đáo) Đieu ki¾n can đú đe ton tai so α cho af (α) < ∆ < x1 < α < x2, x1, x2 nghi¾m cúa f (x) xác đ%nh theo (2.3.5) Xét tam thúc b¾c hai G(x) = P x2 + Qx + R Ta kháo sát tốn đ¾t bat thúc G(x) ≥ thóa mãn vói moi x ∈ [a, b] xáy Ta xét t¾p sau Bài tốn 2.3.1 Giá sú G(x) = P x2 + Qx + R Đ¾t G(a) = α ≥ 0, G(b) = β ≥ 0, , a+b G(a) + G( )− , )2 = γ, ( G(b) a+b G( )2 = δ , )− ( G(a) − , G(b) Xác đ%nh G(x) biet α, β, γ Xác đ%nh G(x) biet α, β, δ Chúng minh rang G(x) ≥ thóa mãn vói moi x ∈ [a, b] chí γ ≥ ho¾c δ ≥ Lòi giái Áp dung cơng thúc n®i suy Lagrange cho tam thúc b¾c hai G(x) tai a+b , x3 = b, ta có moc n®i suy x1 = a, x2 = a+b (x − )(x − b) G(x) =G(a) a+ b (a − )(a − b) (x − a)(x + G(b) − (b − a)(b − + G( a+ b ) , a+ b ) (x − a)(x − b) a+ b ) a+b a+b ( ( − a) − b) đó: G(a) = α, G(b) = β, G( Khi a+)=γ+ b ( √ α+ ) √ β G(x) = 4(x − a)(x − (2x − a − b)(x − α b) − β b) (a − b)2 (a − b)2 = [α(2x − a − b)(x − b) − 4(γ (a − + ( b)2 +δ (2x − a − b)(x − a) (a − b)2 √ α + )2)(x − a)(x − √ β b) + β(2x − a − b)(x − a)] , 2 − b) (a − b) = − 4γ(x − [α(x a)(x−−b)b)]+ β(x − a) − αβ(x − a)(x √ , = [( (a − b)2 α(x − b) + β(x − a)) − 4γ(x − a)(x − b)] , , = [(x(√α − β) − √α − a β))2 − 4γ(x − a)(x − b)] (a − b)2 (b √ √ √ β)) − 4γ(x − a)(x − b)] β) − α − − (a − b)2 a (b Áp dung cơng thúc n®i suy Lagrange cho tam thúc b¾c hai G(x) tai a+b , x3 = b, ta có moc n®i suy x1 = a, x2 = V¾y G(x) = [(x( √α a+b (x − )(x − b) a+b (x − a)(x − b) + G( G(x) a+b a+b a+ (a =G(a) b ( − a) − b) − )(a − b) 2 ( a+ b (x − a)(x ) + G(b) − a+ , b ) (b − a)(b − đó: G(a) = α, G(b) = β, G( bien đoi tương tn ta có a+ b √ 2√ )=δ+ ( √ √ α+ β )2 Hoàn toàn G(x) = (a − Ta chúng minh [(x( b)2 , α − β) − (b , α − a β))2 − 4δ(x − a)(x − b)] G(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b], (2.3.6) tương đương vói γ  δ≥ (2.3.7) ≥0 Giá sú (2.3.7) đưoc thóa mãn, theo câu câu ta có G(x) bieu dien dưói dang G(x) = Ho¾c , [(x( α − β) − (a − b)2 √ (b √ b)], √ G(x) = , α − a β))2 − 4γ(x − a)(x − (a − b)2 , [(x( α − β) − (b √ , α − a β))2 − 4δ(x − a)(x − b)] Suy G(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] Ngưoc lai, giá sú (2.3.6) đưoc thóa mãn Khi G(a) ≥ 0, G(b) ≥ G(x) có the viet đưoc dưói dang G(x) = (mx + n)2 − K(x − a)(x − b) (2.3.8) a+b , b} ta có Neu (2.3.8) ta chon x ∈ {a,   (ma + n)2 = G(a) K≥ (mb + n)2 = G(b), K = ho¾c (a − b)2 , , ) − G(a) + G(b) a G(+ b ( )2 = 2 (a − b)2 γ, , , G(a) G(b) − K = G( a + ) − δ = b ) 2 ( (a − b) (a − b) 2 Tù suy γ ≥ ho¾c δ ≥ V¾y ta có đieu phái chúng minh Nh¾n xét: Tù t¾p 2.3.3 ta có tốn tong qt sau: Giá sú G(x) = P x2 + Qx + R Khi bat thúc G(x) ≥ thóa mãn vói moi x ∈ [a, b] chí khi: G(a) ≥ 0, G(b) ≥ G( a+ b , )≥ , G(a) − G(b) ) ( Bài t¾p 2.3.1 Chúng minh rang vói moi tam thúc b¾c hai f (x) = P x2 + Qx + R ta đeu có |f (x)| ≤ 1, ∀ x ∈ [a, b] xáy chí |f (a)|, |f (b)| ≤ , f (a) + f a + b −1 − (1 − f (a))(1 − f (b)) ≤ (b) − 2f , ≤ + (1 + f (a))(1 + f (b)) Lòi giái Đ¾t G1(x) = − f (x), G2(x) = + f (x) Khi sú dung ket q cna tốn ta có G1(x) ≥ 0, G2(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b] chí |f (a) ≤ 1, |f (b) ≤  ,  a +b G (a) −  , , G G1(b)  ≥ , a+ b G (a)− 2  , G    G2(b) có nghĩa    − 1 ≥  ≥ a +b , , f (a) − −f (b) − ,  1+ f   a+ b ≥ , , + f (a) − +f (b) hay , f (a) + f a + b −1 − (1 − f (a))(1 − f (b)) ≤ (b) − 2f , ≤ + (1 + f (a))(1 + f (b)) KET LU¾N Lu¾n văn trình bày chi tiet ve đa thúc n®i suy Lagrange( Bài tốn, cơng thúc Lagrange, sai so, chon moc n®i suy sn h®i tu cna q trình n®i suy) úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange m®t so tốn sơ cap( Bài tốn tính tong, tốn đa thúc) Tuy nhiên, thòi gian có han trình đ® bán thân han che tơi chưa có đieu ki¾n nghiên cúu sâu r®ng ve nhung úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange Tơi se tiep tuc nghiên cúu bo sung đe lu¾n văn tró thành tài li¾u huu ích vi¾c boi dưõng hoc sinh giói cap TÀI LIfiU THAM KHÁO Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (2008), Giái tích so, NXB Đai hoc Quoc gia Hà N®i [2] PGS TS Tran Anh Báo, TS Nguyen Văn Khái, PGS TS Pham Văn Kieu, PGS TS Ngơ Xn Sơn (2007), Giái tích so, NXB Đai hoc Sư pham Hà N®i [3] Nguyen Minh Chương (chn biên), Nguyen Văn Khái, Khuat Văn Ninh, Nguyen Văn Tuan, Nguyen Tưòng(2009) ,Giái tích so, NXB Giáo duc [4] Nguyen Văn M¾u (chn biên), Tr%nh Đào Chien, Tran Nam Dũng, Nguyen Đăng Phat (2008), Chuyên đe chon loc ve đa thúc úng dnng, NXB Giáo duc [5] Nguyen Vn Mắu (2007), Cỏc bi toỏn nđi suy áp dnng, NXB Giáo duc [6] Tuyen t¾p báo toán hoc tuoi tré tù năm 2000 đen năm 2016 ... bán cna đa thúc n®i suy Lagrange m®t so úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange toán sơ cap CHƯƠNG CƠ Sé LÝ THUYET ĐA THÚC N®I SUY LAGRANGE 1.1 M®t vài van đe ve đa thNc Đ%nh nghĩa 1.1.1 Đa thúc... n®i suy Lagrange Úng ding toán sơ cap" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu m®t so van đe cna đa thúc n®i suy Lagrange úng dung tốn sơ cap Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange. .. đe chon moc n®i suy 11 1.7 Sn h®i tu cna q trình n®i suy 13 M®t so Nng dnng cúa đa thNc n®i suy Lagrange tốn sơ cap 17 2.1 Úng dung cna đa thúc n®i suy Lagrange toán tong huu han