LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn dưói sn hưóng dan nhi¾t tình, chu đáo cna TS Tran Văn Vng Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna đen TS Tran văn Vng Trong q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn tác giá nh¾n đưoc sn quan tâm giúp đõ rat nhieu tù khoa Tốn, phòng SĐH, trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i Tác giá xin trân cám ơn sn giúp đõ quý báu Bên canh đó, tác giá xin trân cám ơn phòng GD-ĐT Gia Bình, Trưòng THCS Th% Tran huy¾n Gia Bình, phòng GD-ĐT thành Bac Ninh, trưòng THCS Nguyen Đăng Đao tính Bac Ninh, ban bè đong nghi¾p ngưòi thân ó đng viờn v tao ieu kiắn thuắn loi suot q trình nghiên cúu hoc t¾p đe hồn thnh luắn ny H Nđi, thỏng nm 2010 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Vng Trong q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Mnc lnc Má đau Chương NHUNG KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian Lp 1.1.1 Các đ%nh lí quan cna lý thuyet tích phân 1.1.2 Không gian Lp, ≤ p ≤ ∞ 1.1.3 Tích ch¾p 10 1.2 Vài đ%nh lý ve không gian Banach không gian Hilbert 11 1.2.1 Đ%nh lý ánh xa mó đ%nh lý Lax - Milgram 11 1.2.2 H¾ trnc giao, trnc chuan không gian Hilbert 13 1.2.3 Tớnh ay n cna mđt hắ trnc giao, trnc chuan 14 1.3 M®t so đ%nh lý giái tích 15 1.4 Tích phân Dirichlet 15 Chương CHUOI FOURIER 18 2.1 Chuoi Fourier 18 2.2 Sn h®i tu 19 2.3 Chuoi cosin, chuoi sin 21 2.4 Sn h®i tu đeu 22 2.5 Đ%nh lý Fejér 26 2.6 Sn h®i tu L2 30 2.7 Chuoi Fourier dang phúc, thúc Parseval 35 2.8 Chuoi Fourier cna hàm Lp(−π, π) 37 2.9 Chuoi Fourier kép 41 Chương PHÉP BIEN ĐOI FOURIER 46 3.1 Tích phân Fourier 46 3.2 Phép bien đoi Fourier 49 3.3 Các tính chat cna phép bien đoi Fourier 56 3.4 Phép bien đoi Fourier LP (R), < p ≤ 61 3.5 Hàm Cardinal 65 3.6 Ví du áp dung phương trình truyen nhi¾t .67 3.7 Chuoi Fourier ròi rac, phép bien đoi Fourier ròi rac 68 3.8 Tính chat cna phép bien đoi Fourier ròi rac 71 3.9 Thu¾t tốn FFT (Fast Fourier Transform) 72 Ket lu¾n 76 Tài li¾u tham kháo 77 Mé ĐAU Lý chon đe tài Có the nói so nhung bien đoi tích phân bien nhat bien đoi Fourier đòi trưóc tiên M¾c dù trưóc Fourier, Euler đưa khỏi niắm khai trien mđt hm so thnh chuoi hm lưong giác, song lí thuyet chưa đưoc hồn Fourier viet xong cơng trình ve bien đoi Fourier vào năm 1807 sn hoài nghi cna nhà tốn hoc thòi bay giò nên đen năm 1815 cơng trình cna Fourier mói đưoc cơng bo Sau cơng trình tiep tuc đưoc Drichlet Riemann bo sung hồn Lý thuyet ve chuoi Fourier nh¾n đưoc nhieu sn đóng góp cna nhieu nhà tốn hoc như: Heine, Lipschitz, Ngày nay, nhung chuyên gia ve xú lí tín hi¾u so nhung ngưòi hieu het vai trò quan cna chuoi Fourier phép bien đoi Fourier Có the nói rang hau het thiet b% đi¾n tú liên quan đen hình ánh âm mà dùng hơm đeu chúa “con chíp” làm nhi¾m vu chuyen đoi h¾ so Fourier thành hàm so (tín hi¾u so) kiêm chúc “khú nhieu” hay “hi¾u tín hi¾u” dna phép bien đoi Fourier Ngồi phép bien đoi Fourier có nhieu úng dung quan lĩnh vnc so hoc, xác suat, quang hoc, hình hoc nhieu lĩnh vnc khác Do tam quan v¾y cna chuoi Fourier phép bien đoi Fourier, vói mong muon tìm hieu sâu nua ve chuoi Fourier phép bien đoi Fourier, chon đe tài “Chuoi Fourier phép bien đoi Fourier” đe nghiên cúu Mnc đích nghiờn cNu Tỡm hieu ve khỏi niắm, mđt so tớnh chat m®t so úng dung cna chuoi Fourier bien đoi Fourier Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu chuoi Fourier, sn h®i tu Chuoi Fourier dưói dang phúc Nghiên cúu chuoi Fourier kép, m®t so úng dung Nghiên cúu phép bien đoi Fourier tính chat Nghiên cúu m®t so úng dung cna phép bien đoi Fourier Đoi tưang pham vi nghiên cNu Chuoi Fourier phép bien đoi Fourier Phương pháp nghiên cNu - Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Phân tích, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp mái Đây tong quan ve chuoi Fourier phép bien đoi Fourier Giúp ngưòi đoc khơng chí hieu rõ ve tính chat cna mà thay chuoi Fourier phép bien đoi Fourier có the áp dung cho cỏc bi toỏn dao đng, phng trỡnh truyen nhiắt cna v¾t lý, lý thuyet thơng tin, Chương NHUNG KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 1.1.1 Không gian Lp Các đ%nh lí quan cúa lý thuyet tích phân Đ%nh lý 1.1 Cho (fn) dãy tăng cỏc hm khỏ tớch Lesbesgue trờn RN cho supn fn(∞ Khi đó, fn h®i tn hau khap ni trờn ve mđt hm f tích Ω "fn − f"1 ≡ Ω |fn(x) − f (x)|dx → n → ∞ Đ%nh lý 1.2 Cho (fn) dãy hàm thnc (phúc) tích Ω Giá sú a fn(x) → f (x) hau khap nơi Ω, b ton tai hàm g tích cho vói moi n, |f (x)| ≤ g(x) hau khap nơi Ω ¸ Khi f tích "fn − f"1 ≡ Ω |fn(x) − f (x)| dx → n → ∞ H¾ 1.1 Cho f hàm đo đưoc g hàm tích Ω Ta có: Neu |fn(x)| ≤ g(x) hau khap nơi Ω f tích Ω Suy rang: Neu |f | tích f tích ngưoc lai Bo đe 1.1 Giá sú (fn) m®t dãy hàm tích cho a fn ≥ hau khap nơi Ω, ∀n ¸ b sup fn < ∞ Vói moi x ∈ Ω đ¾t f (x) = lim inf fn(x) Khi đó, f tích Ω ¸ ¸ f lim inf fn ≤ n→∞ Giá sú Ω1 ⊂ R1, Ω2 ⊂ R2 hai mú v F : ì R (ho¾c C) hàm đo đưoc Đ%nh lý 1.3 Giá sú ¸ Ω1 dx¸ Ω2 ¸ Ω2 |F (x, y)| dy < ∞ hau khap nơi vói x ∈ Ω1 |F (x, y)| dy < ∞ Khi đó, F tích Ω1 × Ω2 Đ%nh lý 1.4 Cho F tích Ω1 × Ω2 Khi vói hau het x thu®c Ω1 F (x, ) ≡ y → F (x, y) tích Ω2 x ›→ ¸ Ω2 F (x, y)dy tích Ω1 Ket lu¾n tương tn đoi vai trò x cho y, Ω1 cho Ω2 Hơn nua, ta có ¸ ¸ ¸ dx F (x, y)dy = 1.1.2 ¸ dy Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 F (x, y)dx ¸ F (x, y)dxdy = Ω1×Ω Khơng gian Lp, ≤ p ≤ ∞ Đ%nh nghĩa 1.1 Cho p ∈ R vói ≤ p < ∞; ta đ%nh nghĩa p Lp(Ω) = { f : Ω → R (ho¾c C); f đo đưoc |f | tích), L∞(Ω) = { f : Ω → R (ho¾c C); f đo đưoc ∃C, |f (x)| ≤ C hau khap nơi} Và ký hiắu 1/p "f"p = |f (x)| dx p Ω "f"∞ = inf C : |f (x)| ≤ C hau khap nơi NH¾N XÉT Neu f ∈ L∞(Ω) |f (x)| ≤ ||f ||∞ hau khap nơi vói x ∈ Ω Đ%nh lý 1.5 (Bat thúc Holder) Cho f ∈ Lp g ∈ Lpr vói 1 + 1≤ p ≤ ∞ pt liên hop cúa p, nghĩa = Khi f.g ∈ L p pt ¸ |f.g| ≤ "f"p "g"pr Dna vào bat thúc Holder ta chúng minh đưoc Đ%nh lý 1.6 Lp m®t khơng gian vectơ "."p m®t chuan vói ≤ p ≤ ∞ Đ%nh lý 1.7 (Fischer-Riez) a Lp khơng gian Banach vói ≤ p ≤ ∞ b Giá sú (fn) dãy h®i tn ve f không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) nghĩa "fn − f"p → 0.The dãy (fnk )k=1,2, cho fnk (x) → f (x) hau khap nơi p ∀k, |fnk (x)| ≤ h(x) hau khap nơi, vói h m®t hàm L Vói Ω t¾p mó R, ta ký hi¾u Ck(Ω) khơng gian hàm so ∞ Ck(Ω) Còn Cc(Ω) vi liên tuc đen cap k C∞(Ω) = ∩k= không gian hàm so f liên tuc Ω cho giá (support) cna f , túc t¾p hop supp f = {x ∈ Ω; f (x) ƒ= 0} compact chúa Ω Đ¾t c (Ω) = C k(Ω) ∩ Cc(Ω), C k ∞ c ∞(Ω) = C (Ω) ∩ Cc(Ω) C Ta có ket q sau ve tính trù m¾t Đ%nh lý 1.8 Vói ≤ p < ∞ C∞(Ω) trù m¾t Lp(Ω) c Đ%nh lý 1.9 (Riemann - Lesbesgue) Cho f ∈ L1(a, b), vói (a,b) khống vơ han hoắc huu han cỳa R, thỡ ta cú b ¸ a li f (x) cos N xdx = f (x) sin N xdx = N → ∞ m 0, lim N→∞ N→∞ b a 1.1.3 Tích ch¾p Đ%nh nghĩa 1.2 Cho hai hàm so f g xác đ%nh RN hàm so ¸ f ∗ g xác đ%nh bói (f ∗ g) (x) = RN f (x − y)g(y)dy, vói giá thiet tích phân ó ton tai, đưoc goi tích ch¾p cna f g Đ%nh lý 1.10 Giá sú f ∈ L1(RN ) g ∈ Lp(RN ) vói ≤ p ≤ ∞ Khi đó, vói moi x ∈ RN , hàm so y ›→ f (x − y)g(y) tích RN f ∗ g ∈ Lp(RN ) Hơn nua "f ∗ g" ≤ "f"1 "g"p m∈Z vó i S(m, h) sin π(x−mh) = π(x−mh) h h CHÚ THÍCH Trong đ%nh lý trên, ta thay neu phép bien đoi Fourier cna hàm f cho giá compact f hồn tồn xác đ%nh bói giá tr% cna f tai điem lưói {mh |m ∈ Z} 3.6 Ví dn áp dnng phương trình truyen nhi¾t Ví dn 3.4 Xét phương trình truyen nhi¾t sau ∂u (x, t) (x, t) = ∂ ∂t u (3.27) ∂x2 Ta se tìm nghi¾m cna phương trình thố mãn ieu kiắn ve nhiắt đ ban au t = u(x, 0) = u0(x) (3.28) thoá mãn đieu ki¾n (i) u, ux, uxx liên tuc, tích R theo bien x vói moi t ≥ co đ%nh (ii) ∀T > 0, ∃φ ∈ L1(R), |ut(x, t)| ≤ φ(x), ∀t ∈ [0, T ] , ∀x Bien đoi Fourier ve trái cna (3.27) m®t hàm theo bien x (xem t tham so), dùng tích chat (ii) đe có the lay đao hàm dưói dau tích phân, ta có  −iλx √¸ 2π ∂ ∞ −∞ ut(x, t)e dx = ∂t √ ¸  ∞ 2π −∞ −iλx u(x, t)e dx = uˆt(λ, t) Tương tn sú dung (i) tính chat cna phép bien đoi Fourier, ta dùng phép bien đoi Fourier ve phái cna (3.27) hàm theo bien ∧ x, ta có [uxx (x, t)] = (iλ) uˆ(λ, t) = −λ2 uˆ(λ, t) Như v¾y, vi¾c bien đoi Fourier hai ve cna (3.27) cho ta phương trình vi phân thưòng theo bien t (λ tham so) sau uˆt (λ, t) = −λ2 uˆ(λ, t) (3.29) Đieu ki¾n đau cna phương trình vi phân (3.29) có đưoc bang cách bien đoi Fourier hai ve (3.28) Theo lý thuyet phương trình vi phân ta đưoc nghi¾m cna (3.29) uˆ(λ, t) = e−λ t uˆ0 (λ, t) Theo ví du ó trên, ta có 2 ∧ √ e−x /4t , 2t sú dung tính chat (10) cna phép bien đoi Fourier, suy −x /4t −x /4t uˆ(λ, t) = ∧ ∧ √1 e √1 uˆ (λ, ∗ u0 √ e 2t t) = 2t π ∧ −x /4t √ e = u0 t Vắ y ∞ 2 −x /4t −ξ /4t √ e u0(x − ξ)dx u(x, t) √ e ∗ u0(x) −∞ = = πt πt e−λ t = 3.7 Chuoi Fourier rài rac, phép bien đoi Fourier rài rac Cho hàm so x(n) xác đ%nh vói n ∈ {0, 1, , N − 1} Ta đ%nh nghĩa chuoi Fourier ròi rac cna x(n) sau N−1 X˜ (k) = n=0 x(n)e−i2πkn/N , k ∈ Z (3.30) W = e−i2π/N Đ¾ t (3.31) WmN = nên W k+mN = Wk, suy N− N− X˜ (k+mN x(n)Wkn = X˜ (k), ∀m ∈ Z (k+mN )n x(n)W )= (3.32) n=0 n=0 = ˜ V¾y X tuan hồn, xác đ%nh Z, chu kỳ N Tiep theo ta đ%nh nghĩa phép bien đoi Fourier ròi rac cna x, hàm X xác đinh {0, 1, , N − 1} sau N−1 X(k) = x(n)Wkn, k = 0, 1, , N − 1, (3.33) n=0 có nghĩa phép bien đoi Fourier ròi rac cna x m®t chu kỳ cna chuoi Fourier ròi rac Đ%nh lý 3.7 Ta có cơng thúc ngh%ch đáo cúa phép bien đoi Fourier ròi rac sau x(n) = N N−1 X(k)W−kn, n = 0, 1, , N − (3.34) k=0 Chúng minh Ta có tính chat sau goi tính trnc chuan  neu m b®i cna N N −1  km W  = N neu m khơng b®i cna N (3.35) k=0 Th¾t v¾y, neu m ƒ= lN , vói ∀l ∈ Z, Wm ƒ= 1, N −1 m N 1 − ( W ) Wkm = = N k=0 N − Wm Neu m = lN , vói l ∈ Z đó, Wkm = WklN = suy N −1 Wkm = N k=0 Ta viet lai (3.33) sau X(k) = N−1 x(r)Wkr, k = 0, 1, , N − 1, r=0 ta the vào ve phái cna (3.34), dùng (3.35) đe bien đoi sau (vói ≤ n ≤ N − 1) N −1 N−1 N−1 1 X (k) W−kn = W−kn x(r)Wkr N N k=0 r=0 k=0 N− N −1 =N x(r) r=0 Wk(r−n) k=0 N−1 = x(n) N Wk(n−n) = x(n) k=0 Ví dn 3.5 Cho x(n) = C (hang so), n = 0, 1, , N − Ta có bien đoi Fourier ròi rac cna x sau N−1 N−1 X(k) = x(n)W kn n=0 =C =C Wkn n=0 1− kN w = 0, 1− wk vói k = 1, 2, , N − Vói k = 0, wkn = w0 = nên X(k) = CN Tóm lai X(k) =   0, ≤ k ≤ N − 1,  C N , k = Ví dn 3.6 Cho x(n) = CW-pn vói so ngun p thố mãn < p < N Ta có N−1 X(k) = N−1 x(n)Wkn = C W(k−p)n, vói k = 1, 2, , N − n=0 n=0 Tương tn ví du trên, ta suy   0, neu1 ≤ k ≤ N − 1, k ƒ= p, X(k) =  CN, neu k = p 3.8 Tính chat cúa phép bien đoi Fourier rài rac Ký hi¾u X, X1, X2 lan lưot phép bien đoi Fourier ròi rac cna x, x , x2 (chúng hàm so xác đ%nh {0, , N − 1}) Vói p ∈ R, N ∈ N, ta đ%nh nghĩa phan dư cna p theo modulo N so thnc không âm sau: p mod N = p + mN, vói m ∈ Z, ≤ p + mN ≤ N − Ta có tính chat sau cna phép bien đoi Fourier ròi rac mà phan chúng minh đưoc suy tù đ%nh nghĩa, đó, ve phái cna ký hi¾u phép bien đoi Fourier cna ve trái - Tính chat ax1 + bx2 ↔ aX1+bX2 - Tính chat [n ›→ x ((n − n0) mod N )] ↔W - Tính chat W-kn0 x ↔ [k ›→ X ((k − n 0) - Tính chat [n ›→ x ((−n) mod N kn0 X )] mod N )] ↔ [k ›→ X ((−k) - Tính chat x∗ ↔ [k ›→ X ∗ ((−k) mod N )] mod N )] ( vói ký hi¾u a∗ so phúc liên hi¾p cna a) - Tính chat x1 ⊗ x2 ↔ X1.X2 đó, x1 ⊗ x2 phép ch¾p vòng đ%nh nghĩa bói N−1 (x1 ⊗ x2)(n) = x1(n) ⊗ x2(n) = mod N x1(j)x2((n − j) ) j=0 -Tính chat X 1(n)X2(n) ↔ X1(k) ⊗ X2(k) N−1 N - Tính chat | |X(k)| thúc goi = x(n)| N−1 n=0 N k=0 thúc Parseval - Tính chat Giá sú x(n) ∈ R, n = 0, , N − 1, ta có tính chat dưói X ((−k) mod N ) = X∗ (k) Re [X(k)] = Re [X ((−k) Im [X(k)] = − Im [X ((−k) mod N )] mod N )] , |X(k)| = |X ((−k) arg [X(k)] = − arg [X ((−k) mod N mod N )| , )] Neu Ev(x) phan chan cna x Od(x) phan lé cna x, nghĩa Ev (x (n)) [x (n) + x ((−n) = ta có Od (x (n)) [x (n) − x ((−n) = mod N )] , mod N )] , Ev(x) ↔ Re(X) Od(x) ↔ i Im(X) 3.9 Thu¾t tốn FFT (Fast Fourier Transform) Vi¾c tính tốn phép bien đoi Fourier ròi rac có nhieu úng dung lý thuyet thơng tin, đ%a v¾t lý, y hoc, quang hoc, âm hoc Tuy nhiên, neu ta sú dung đ%nh nghĩa (3.33) ta se gắp mđt trú ngai l so long phộp tính can thnc hi¾n lón Th¾t v¾y, vói moi k, đe tính X(k) = kn ta can tính N phép nhân phúc N − phép cđng n=0 x(n)w N1 phỳc Vắy e cú phộp bien đoi Fourier ròi rac X(k), k = 0, 1, , N − 1, can tính N phép nhân phúc N (N − 1)phép c®ng phúc Suy vói N lón so phép tính can thnc hi¾n tăng rat nhieu Năm 1965, hai nhà tốn hoc Cooley Tukey tìm thu¾t tốn tính nhanh phép bien đoi Fourier ròi rac Tù đó, m®t so thu¾t tốn tính nhanh khác xuat hi¾n vói tên goi chung FFT Điem giong cna thu¾t tốn đeu dna vào ngun tac phân tích dãy N so thành phép bien đoi Fourier ròi rac vói dãy so bé é đây, tỡm hieu mđt cỏc thuắt toỏn FFT Ta se thay so lưong phép toán giám mđt cỏch ỏng ke Thuắt giỏi FFT ỏp dung cho trưòng hop N = 2r, r ∈ N (3.36) Ta se dùng tính chat sau cna W Wk(N-n) = (Wkn)∗, (3.37) Wkn = Wk(n+N ) = W(k+N)n, (3.38) Trong đó, ký hi¾u (*) ký hi¾u liên hop phúc Các tính chat đưoc suy trnc tiep tù đ%nh nghĩa cna W Vì N chan nên tong (3.33) có the tách thành hai tong N−1 X(k) = = n=0 kn x(n)W n chan kn x(n)W + n lé x(n)Wkn km x(2m)(W ) +k W N/2− = N/2− x(2m + 1) km (W2) m=0 (3.39) m=0 Đe ý rang W2 = e−2i2π/N = e−i2π/(N/2), (3.40) đó, neu đ¾t Xe(k) X0(k) lan lưot so hang thú nhat thú hai ve phái cna (3.39), ta thay chúng phép bien đoi Fourier ròi rac cna hai dãy điem {x(2m) |m = 0, , N/2 − 1} {x (2m + 1)| m = 0, , N/2 − 1} V¾ y X(k) = Xe(k) + WkX0(k), (3.41) (trong chí so e o cna chu X viet tat cna chu even odd) Ngồi ra, tính tuan hồn chu kỳ N/2, chí can tính Xe(k) X0(k) vói N/2 ≤ k ≤ N − 1, (ho¾c vói ≤ k ≤ N/2 − 1) L¾p lai vi¾c tách tong trên, ta có N/2−1 Xe(k) = x(2m) km (w2) m= N/4−1 N/4−1 = N/2−1 Xo(k) = m= p= kp x(4p)(w4) W2k km x(2m + 1)(W ) N/4−1 + p= kp x(4p + 2)(W4) , = p=0 kp x(4p + 1)(w ) W2k + N/4− kp x(4p + 3)(W4) , p=0 có nghĩa Xe X0 đưoc phân tích thành tong cna hai phép bien đoi Fourier ròi rac cna N/4 điem Tiep tuc vi¾c phân tích the cho đen ta đưoc phép bien đoi Fourier ròi rac cna hai điem Khi đó, ta có W0 = 1, WN/2 = W1 = −1 KET LU¾N Lu¾n văn nghiên cúu ve chuoi Fourier, phép bien đoi Fourier m®t so tính chat, úng dung cna Cu the: Kháo sát van đe bieu dien m®t hàm tuan hồn vói chu kỳ T = 2π thành tong vơ han hàm đieu hòa đơn gián, chí rang m®t bieu dien the có the thnc hiắn vúi mđt lúp hm khỏ rđng í ngha cna van đe m®t dao đ®ng phúc tap có the bieu dien thành tong dao đ®ng đieu hòa đơn gián, Ngồi khái ni¾m chuoi hàm lưong giác khơng chí úng dung cho dao đ®ng tuan hồn mà rat có ích vi¾c nghiên cúu nhieu hiắn tong tn nhiờn khỏc Bieu dien mđt hm khơng tuan hồn hop cna dao đ®ng đieu hòa nhò vào cơng cu tương tn chuoi Fourier tích phân Fourier Vói pham vi thòi gian kien thúc có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Mong q thay ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Đ¾ng Đình Áng (1997), Lý thuyet tích phân, Nxb giáo duc, Hà Nđi [2] ắng ỡnh ng, Tran Lu Cng, Hunh Bỏ Lân, Nguyen Văn Nhân (2001), Bien đoi tích phân, Nxb giáo duc, Hà N®i [3] Phan Đúc Chính (1978), Giái tích hàm, t¾p 1, Nxb Đai hoc trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [4] Nguyen Phu Hy (2006), Giỏi tớch hm, Nxb Khoa hoc v ky thuắt, H Nđi [5] Nguyen Xuân Liêm (2000), Giái tích hàm, Nxb Giáo duc, Hà N®i [6] Đinh The Luc, Pham Huy Đien, Ta Duy Phưong (2005), Giái tích tốn hoc hoc hàm so m®t bien, Nxb ĐHQ Hà N®i [7] Đinh The Luc, Pham Huy Đien, Ta Duy Phưong(2002), Giái tích hàm nhieu bien, Nxb ĐHQG Hà N®i [8] Võ Tiep (d%ch)(1983), Cơ só lý thuyet hàm giái tích hàm, 3, Nxb giỏo duc, H Nđi [9] Hong Tuy (2005), Hàm thnc Giái tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nđi 78 [B] Ti liắu tieng Anh [10] Brigham, E Oran (1988), The fast Fourier transform and its applications, Englewood Cliffs, N.J Prentice Hall [11] C Candan, M A Kutay and H M.Ozaktas (2000), “The discrete fractional Fourier transform”, IEEE Trans On Signal Processing, 48 (5), 1329-1337 [12] C Fefferman “On the divergence of multiple Fourier series” (1971), Bull Amer Math Soc, 77 (2), 191 - 195 [13] C Fefferman “On the divergence of multiple Fourier series” (1971), Bull Amer Math Soc, 77 (5), 744 - 745 [14] F A Gruănbaum (1982), The eigenvectors of the discrete Fourier transform, J Math Anal Appl, 88 (2), 355-363 ... Chuoi Fourier dang phúc, thúc Parseval 35 2.8 Chuoi Fourier cna hàm Lp(−π, π) 37 2.9 Chuoi Fourier kép 41 Chương PHÉP BIEN ĐOI FOURIER 46 3.1 Tích phân Fourier 46 3.2 Phép. .. dna phép bien đoi Fourier Ngồi phép bien đoi Fourier có nhieu úng dung quan lĩnh vnc so hoc, xác suat, quang hoc, hình hoc nhieu lĩnh vnc khác Do tam quan v¾y cna chuoi Fourier phép bien đoi Fourier, ... chuoi Fourier phép bien đoi Fourier, chon đe tài “Chuoi Fourier phép bien đoi Fourier đe nghiên cúu Mnc đích nghiên cNu Tỡm hieu ve khỏi niắm, mđt so tớnh chat v m®t so úng dung cna chuoi Fourier