Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu này tổng hợp kiến thực trọng tâm và các dạng bài tập phương trình lượng giác lớp 11, sử dụng cho việc học sinh rèn luyện giải bài tập, kích thích tư duy, đồng thời để học sinh ôn luyện thi THPT quốc gia. Phương trình lượng giác là một khái niệm toán học quen thuộc thường xuyên có mặt trong các đề thi. Liên hệ file Word 0979160543
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I) KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Bảng giá trị lƣợng giác rad - x độ -180o -90o -60o -45o -30o 30o 45o 60o 90o 120o 2 2 - sin -1 cos -1 2 tan || - -1 - cot || - -1 - 2 2 3 2 2 - 3 || || 1 - 3 5 135o 150o 180o 2 2 - -1 - -1 - 3 -1 - || - 2) Giá trị lƣợng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot Góc bù sin( ) sin Góc phụ sin cos 2 Góc Góc sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 cot( ) cot cot tan 2 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 3) Công thức lƣợng giác 1) Cơng thức cộng: 5) Cơng thức tích thành tổng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tana - tanb tan(a - b) = + tana.tanb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tana + tanb tan(a + b) = - tana.tanb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi : cosxcosy= sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2 - cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - = – 2sin2x x y x y sinx + siny = 2sin cos x y x y sinx – siny = 2cos sin 2tanx tan x cot x cot2x = 2cotx tan2x = 3) Công thức nhân 3: cos3x 4cos x 3cos x sin3x 3sin x 4sin x 3tan x tan x tan 3x 1 3tan x 3cot x cot x cot 3x 1 3cot x cos( x y) cos( x y) sinxcosy= Sin( x y) Sin( x y) sinxsiny= cos( x y) cos( x y) 2 cos x.sin y sin( x y) sin( x y ) 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích: x y cos x c os2 x sin x cos2 tan2 cos2 cos2 cot cos2 x y x y sin sin( x y ) cos xcosy sin( x y ) cos xcosy sin( x y ) sin xsiny sin( y x) sin xsiny cosx–cosy = 2sin tanx + tany = tanx – tany = cotx + coty = 4) Công thức hạ bậc: cos2 x x y cosx + cosy = 2cos cos cotx – coty = cos3 x (cos3x 3cos x) sin x (3sin x sin 3x) Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 tanx= sinx ,(x k) cosx cosx ,(x k) sinx 2 sin x cos x cotx= cos x tan x,(x k) cot x,(x k) sin x tanx.cotx=1,(x k ) 3 sin x cos x (sinx cos x)(1 sinx.cos x) 3 sin x cos x (sinx cos x)(1 sinx.cos x) 1cos x sin x cos x sin 2 x 3cos x sin x cos6 x sin 2 x sin x sin x cos x sin x cos x 2sin x 2cos x 4 4 sin x cos x 2sin x 2cos x 4 4 4) Phƣơng trình lƣợng giác a) Phƣơng trình lƣợng giác x k2 sin x sin Dạng: x k2 x k2 Dạng: cos x cos x k2 tan x tan x k Dạng: Dạng: Ðk : x, k cot x cot x k Ðk : x, k x arcsin a +k 2 sin x a +) x arc sin a +k 2 , k x arc cosa +k 2 ,k +) cosx a x arccosa +k 2 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 sin x x k Đặc biệt: sin x x k2 sin x 1 x k2 cos x x k Đặc biệt: cos x x k2 cos x 1 x k2 tan x x k Đặc biệt: tan x 1 x k cot x x k Đặc biệt: cot x 1 x k +) tanx a x arc tana+k , k +) cotx a x arccot a+k , k Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 Bài 1: Giải phƣơng trình sau: e) s in(x-600 ) a) 2cos x b) f) cos(2x+500 ) tan 3x c) s inx+ 2 0 d) s in2x i) sin(3x 1) sin(x- 2) n) sin2 x cot x k)cos3x sin 2x o) sin 3x sin 5x g) tan(2 x 1) l) (1 2cox)(4 cos x) p) tanxtan2x= -1 h) cot(2 x ) x x m) (cot 1)(cot 1) 2 r) cos( x x) q) sin x b) Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai hàm số lƣợng giác Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng cơng thức lượng giác để đưa phương trình phương trình lượng giác Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải phương trình ta đặt t hàm số lượng giác.(Chú ý điều kiện t đặt t=sinx hoặc t=cosx) Dạng Đặt ẩn phụ Điề u kiê ̣n a sin2 x b sin x c t sin x 1 t a cos2 x b cos x c t cos x 1 t a tan2 x b tan x c t tan x a cot2 x b cot x c t cot x x k , (k ) x k, k Nế u đặt t sin2 x hoặc t sin x điều kiện t Mô ̣t số hằ ng đẳ ng thƣ́c lƣơ ̣ng giác và mố i liên ̣ sin 2x sin2 x cos2 x sin x cos x sin x cos x sin 2x sin2 x cos2 x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 2x sin3 x cos3 x sin x cos x1 sin x cos x sin3 x cos3 x sin x cos x 1 sin x cos x Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 tan x cot x sin x cos x sin2 x cos2 x cos x sin x sin x cos x sin 2x cos x sin x cos2 x sin2 x cos2x cot x tan x cot x sin x cos x sin x cos x sin 2x 1 1cos 4x sin4 x cos4 x sin2 2x cos 2x 2 cos4 x sin4 x sin2 x cos2 x cos x sin x cos2x cos 4x sin6 x cos6 x sin x cos x sin x cos x sin 2x cos6 x sin6 x cos2x sin x cos x sin x cos x x cos x sin x cos x sin x cos x tan x tan cos x cos2 x sin2 x sin x (mố i liên ̣ giữa sinx và cosx) sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cos x Bài 2: Giải phƣơng trình sau: a) 2cos2 x 3cos x 1 k) cos 2x cos 2x sin x 1 sin x b) 2cos2 x 3sin x l) sin5 x cos x cos5 x sin x sin2 4x c) 3cos2 x 2sin x m) cos x 3cos d) 5sin x 3cos x x 2 n) cot 2x+3cot2x+2=0 e) 2sin x 3sinx-5 o) 2cos 2x f) tanx+cotx=2 2 p) 3cot x 2 sin x cosx g) 3sin 2x 4cos2x q) tan x h) sin x 2sin 2x r) 2cos 2x i) t anx cos x t) cos2x tan x cos2x cos6 x sin6 x sin x cos x j) (tanx+cotx)2 -(tanx+cotx)=2 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 s) 0 sin x 1 sin x cos 2x sin x 4 tan x cos x Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 c) Phƣơng trình bậc sinx cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 b2 c2 Cách 1: asinx+bcosx=c a b Đặt: cos ; sin a b2 sin( x ) c 2 2 a b a b b Cách 2: a sin x cos x c a b c Đặt: tan a sin x cos x.tan c sin( x ) cos a a 2t 1 t2 x ;cos x Cách 3: Đặt: t tan ta có: sin x (b c)t 2at b c 2 1 t 1 t Bài 3: Giải phƣơng trình sau: a) sinx cos x b) 2sin 3x cos3x 3 c) sin 3x cos3x h) sin 2x cos2x i) sin8x cos6x sin 6x cos8x j) sin x sin 2x 3cos2 x 2 d) 3sin5x 2cos5x k) 2sin( x ) sin( x ) e) 4sin x cos x l) 4sin x 3cos x 4(1 tan x) f) sin 2x cos2x x x m) sin cos cos x 2 g) sin x 1 sin x cos x cos x 1 n) cos 7x sin 7x , x cos x 2 6 ; d) Phƣơng trình lƣợng giác đẳng cấp Dạng: a.sin2 X b.sin x cos x c.cos2 x d 1 a, b, c, d Cách 1: cos x Bƣớc Kiể m tra xem x k, k Hay x k có phải nghiệm sin x phương trin ̀ h 1 hay không ? Nế u phải thì nhâ ̣n nghiê ̣m này cos x Bƣớc Khi x k, k Hay x k Chia hai vế của 1 cho cos2 x sin x (hay sin x ), ta đươ ̣c: Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 1 a sin2 x sin x cos x cos2 x d b c 2 cos x cos x cos x cos2 x a tan2 x b tan x c d tan2 x a d tan2 x b tan x c d Bƣớc 3: Đặt t tan x để đưa về phương trin ̀ h bâ ̣c hai biế t cách giải Cách 2: Sử du ̣ng công thức ̣ bâ ̣c và nhân đôi cos2x cos2x sin 2x ; cos2 x sin x cos x vào 1 rút gọn lại, 2 ta đươ ̣c: b sin 2x c a cos2x 2d a c Bước 1: Thế sin2 x Bước 2: Giải phương trình , tìm nghiệm Đây là phương trin ̀ h bâ ̣c nhấ t đố i với sin2x cos2x mà biết cách giải a.sin3 x b.sin2 x cos x c.sin x cos2 x d.cos x 2 Dạng: 2 a.sin x b.sin x cos x c.sin x cos x d.sin x cos x e.cos x 3 Cách giải: Chia hai vế của 2 cho cos3 X (hay sin3 X ) hoă ̣c chia hai vế của 3 cho cos4 X (hay sin4 X ) giải tương tự Bài 4: Giải phƣơng trình lƣợng giác: a) cos2 x sin2x sin2 x b) sin2 x (1 3)sin x cos x (1 3)cos2 x c) sin2 x sin x cos x cos2 x d) sin2 x sin x cos x cos2 x e) sin2 x 3 sin x cos x cos2 x f) sin2 x sin2x (8 9)cos2 x g) sin2 x sin x cos x cos2 x h) sin2 x sin x cos x cos2 x i) sin2 x cos2 x sin x cos x j) sin2 x cos2 x sin x cos x k) sin2 x cos2 x sin x cos x l) sin2 x cos2 x sin2x Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 e) Phƣơng trình lƣợng giác đối xứng t2 a sin x cos x b sin x cos x c PP : t sin x cos x, t sin x cos x Dạng 1 t2 PP : t sin x cos x, t sin x cos x a sin x cos x b sin x cos x c Dạng Dạng a tan2 x cot2 x b tan x cot x c sin x k ÐK : sin 2x x , k cos x PP : t tan x cot x , t tan2 x cot2 x t2 Dạng a tan2 x cot2 x b tan x cot x c sin x k ÐK : sin 2x x , k cos x PP : t tan x cot x , t tan2 x cot2 x t2 Dạng a sin4 x cos4 x b sin 2x c 1 PP : t sin 2x, t sin4 x cos4 x sin2 2x t2 2 Dạng a sin4 x cos4 x b cos2x c 1 1 PP : t cos2x, t sin4 x cos4 x sin2 2x cos2 2x t2 2 2 Dạng a sin6 x cos6 x b sin 2x c 3 PP : t sin 2x, t sin6 x cos6 x sin2 2x t2 4 Dạng a sin6 x cos6 x b cos2x c 3 PP : t cos2x, t sin6 x cos6 x sin2 2x cos2 2x t2 4 4 4 Dạng a sin x b cos x c cos2x d t cos 2x t sin x sin x 2 PP : t cos 2x, t cos 2x t t cos x cos4 x 2 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 Bài 5: Giải phƣơng trình sau: a) sin x cos x 6sin x cos x k) sin x cos x 4sin xcos x b) sin x cos x sin x cos x l) sin x cos x sin x cos x c) sin x cos x sin x cos x m) 2 sin x cos x 3sin 2x d) 2sin 2x 3 sin x cos x n) sin x 2sin 2x cos x e) sin3 x cos3 x sin 2x f) sin x cos x tan x cot x g) cos3 x sin3 x sin2x h) cot x tan x sin x cos x i) tan x sin x cos x j) sin6 x cos6 x sin2x cos3 x sin3 x cos2x o) p) q) cos3 x sin3 x sin 2x 12 sin x cos x 12 sin x cos x 1 r) sin 2x sin x cos x sin x cos x s) t) sin 2x sin x f) Một số dạng phƣơng trình khác PHƢƠNG TRÌ NH LƢỢNG GIÁC CHƢ́A CĂN VÀ CHƢ́A TRI ̣TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp: Phƣơng trin ̀ h chƣ́a thƣ́c: Áp dụng công thức B A B A B2 B A0 A B AB AB ● ● Lưu ý: Khi giải B , ta áp du ̣ng phương pháp thử la ̣i Phƣơng trin ṭ đố i ̣ ̀ h chƣ́a giá tri tuyê Cách Mở giá tri tuyê ̣ ̣t đố i dựa vào đinh ̣ nghiã Cách Áp dụng công thức A B A B A B ● Nguyễn Hoài Nam 0979160543 B0 ● A B A B A B A A B A A B Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 PHƢƠNG TRÌ NH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MƢ̣C Loại Tổ ng hai số không âm: A0 A B B0 A B Loại Phƣơng pháp đố i lâ ̣p da ̣ng 1: AM A M B M BM A B Loại Phƣơng pháp đố i lâ ̣p da ̣ng 2: A M A M B N B N A B M N sin u Đặc biệt ● sin u sin v sin v 1 cos u cos v 1 sin u 1 ● sin u sin v 2 sin v 1 cos u 1 cos v 1 ● cos u cos v ● cos u cos v 2 sin u sin v ● sin u.sin v sin u 1 sin v 1 sin u 1 sin v ● sin u.sin v 1 sin u sin v 1 cos u cos v ● cos u.cos v cos u 1 cos v 1 cos u 1 cos v ● cos u.cos v 1 cos u cos v 1 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 Bài tập trắc nghiệm Câu 1:Với giá trị m phương trình sin x m có nghiệm là: A m B m C m D 2 m Câu 2: Phương trình lượng giác: 3cot x có nghiệm là: A x k B x k C x k 2 D.Vô nghiệm Câu 3: Phương trình lượng giác: sin x 3cos x có nghiệm là: A x k 2 B x k 2 C x k D.Vơ nghiệm Câu 4: Phương trình lượng giác: cos2 x 2cos x có nghiệm là: A x k 2 B x C x k 2 D.Vô nghiệm Câu 5: Phương trình lượng giác: 2cot x có nghiệm là: x k 2 A x k 2 B x arc cot k C x k D x k Câu 6: Phương trình lượng giác: 2cos x có nghiệm là: x k 2 A x 3 k 2 3 x k 2 B x 3 k 2 5 x k 2 C x 5 k 2 x k 2 D x k 2 Câu 7: Tìm m để phương trình 5cos x m sin x m có nghiệm A m 13 B m 12 C m 24 D m 24 Câu 8: Xác định m để phương trình m cos x (1 m)sinx 2m 1 có nghiệm: A 3 m B m C m D 3 m Câu 9: Nghiệm phương trình cos3x A x k B x C x k k 2 là: D.Vơ nghiệm Câu 10: Phương trình: cos x m vô nghiệm m là: m 1 m A B m Câu 11: Phương trình: sin 2x A.1 C 1 m D m 1 1 có nghiệm thỏa: x B C.2 D Câu 12: Phương trình: cos2 x cos x có nghiệm là: A x 2 k B x k Nguyễn Hoài Nam 0979160543 C x k D x k 2 Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 Câu 13: Phương trình: sin x A x 5 k 2 B x có nghiệm thỏa là: x 2 C x k 2 D x Câu 14: Số nghiệm phương trình sin x cos x khoảng 0; A B.1 C D Câu 15: Nghiệm phương trình lượng giác: sin x 2sin x có nghiệm là: A x k 2 B x k C x Câu 16: Phương trình sau vơ nghiệm: A.sin x + = B 2cos2 x cos x 1 Câu 17: Giá trị đặc biệt sau A cos x x k k D cos x x 2 15 k 2 B x 45 k 2 C x k 2 k k 2 Câu 18: Phương trình lượng giác: cos3x cos120 có nghiệm là: A x D 3sin x – =0 C tan x + = B cos x x C cos x 1 x k 2 D x k 2 45 D x 45 k 2 Câu 20: Nghiệm dương bé phương trình: 2sin x 5sin x là: A x B x C x 3 D x 5 Câu 21: Số nghiệm phương trình: sin x với x 5 là: A B C.2 D.3 Câu 22: Phương trình: sin 600 có nhghiệm là: 2x A x 5 k 3 2 B x k C x k D x k 3 Câu 23: Điều kiện để phương trình 3sin x m cos x vô nghiệm m 4 A m B m C m 4 D 4 m Câu 24: Nghiệm phương trình: sin x + cos x = là: A x k 2 x k 2 B x k 2 C x k 2 x k 2 D x k 2 Câu 25: Phương trình lượng giác: cos x sin x có nghiệm là: A x k B Vơ nghiệm Nguyễn Hồi Nam 0979160543 C x k 2 D x k Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 ... Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai hàm số lƣợng giác Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng cơng thức lượng giác để đưa phương trình phương trình lượng giác Phương trình. .. bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải phương trình ta đặt t hàm số lượng giác. (Chú ý điều... nghiệm Câu 5: Phương trình lượng giác: 2cot x có nghiệm là: x k 2 A x k 2 B x arc cot k C x k D x k Câu 6: Phương trình lượng giác: 2cos x