Tài liệu toán 11 năm học 2018 GII HN DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa Định nghĩa Ta nói dãy số có giới hạn dần tới dương vơ cực, nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: hay Định nghĩa Ta nói dãy số có giới hạn Kí hiệu: hay (hay dần tới ) Một vài giới hạn đặc biệt a) với b) c) Nếu nguyên dương; ( số) Chú ý: Từ sau thay cho ta viết tắt II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí a) Nếu (nu b) Nu Giảng dạy: nguyễn bảo vương ) thỡ - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 năm häc 2018 III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN Cấp số nhân vơ hạn có cơng bội gọi cấp số nhân lùi vô hạn , với Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: IV – GIỚI HẠN VƠ CỰC Định nghĩa Ta nói dãy số có giới hạn , lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: Dãy số hay có giới hạn Kí hiệu: hay , Nhận xét: Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau nguyên dương; a) với b) Định lí a) Nếu b) Nếu , c) Nếu v Giảng dạy: nguyễn bảo vương thỡ v - 0946798489 thỡ thỡ Page | Tài liệu toán 11 năm học 2018 B CC DNG TON V PHNG PHP GIẢI Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phương pháp: Để chứng minh ta chứng minh với số nhỏ tùy ý tồn số cho Để chứng minh ta chứng minh Để chứng minh ta chứng minh với số lớn tùy ý, tồn số tự nhiên cho Để chứng minh ta chứng minh Một dãy số có giới hạn giới hạn ví dụ minh họa Ví dụ Chứng minh rằng: lim n+2 =1 n+1 lim n2 − 2n + 1 = lim − 2n n +1 = −2 n Ví dụ Chứng minh dãy số (u n ) : u n = ( −1) khơng có giới hạn Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim n2 + = +∞ n lim 2−n n = −∞ 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Chứng minh rằng: lim =0 n+1 lim lim(2n + 1) = +∞ nk lim = (k ∈  *) lim sin n =0 n+2 − n2 = −∞ n Bài Chứng minh giới hạn sau lim lim =0 n+1 3n + n n 2 lim = +∞ cos n + sin n lim n +1 2−n n+1 =0 lim n+1 =0 n+2 = −∞ Bài Dùng định nghĩa tìm giới hạn sau : 2n + n−2 Bài Tìm giới hạn sau A = lim A = lim C = lim n−2 n 2n n +2 n +7 B = lim B = lim D = lim 2n + 3 C = lim n2 + n2 + n+1 n sin n − 3n n2 4n + n + 3n + Bài Chứng minh dãy số (u n ) : u n = ( −1)n n khơng có giới hạn Bài Chứng minh giới hạn sau: lim an =0 n! lim n a = với a > Bi Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 năm học 2018 x + x + + x n  Nếu dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình   có giới hạn a n   Dãy số (x n ) thỏa mãn điều kiện < x1 < x n +1 = + x n − x n2 , ∀n ∈  * Chứng minh dãy số cho hội tụ x n đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Tìm lim Vấn Phương pháp: Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn ta thường chia tử mẫu cho Khi tìm , trong Khi tìm bậc lớn tử mẫu ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên caùc ví dụ minh họa Ví dụ Tìm giới hạn sau : A = lim n + + + + (2n − 1) B = lim 2n + Ví dụ Tìm giới hạn sau :     1 C = lim  −   −   − 2    n2  + + + n − n + 2 + + n + 2n     1 1  = + + + + D lim   1.2 2.3 3.4 n(n + 1)   Ví dụ Tìm giới hạn sau : A = lim n +1 − n +1 B = lim n + 5n 4.3n + − 2.7 n −1 n + n +1      Ví dụ Tìm giới hạn sau : C = lim  −   −   −  22   32   n2   1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Tìm giới hạn sau : A = lim 2n + 3n + 3n − n + ( 2n + 1) C = lim ( n + )9 n17 + Bài Tìm giới hạn sau : A lim  n + 6n − n  =   C = lim B = lim 3.2 n − 3n n +1 n +1 +3 Bài Tỡm cỏc gii hn sau: Giảng dạy: nguyễn bảo v­¬ng D = lim n + 2n n − 3n + n + − 3n + 2n + n + − n B lim  n + 9n − n  2.=   = D lim  n + 2n − n + 2n  - 0946798489   Page | Tài liệu toán 11 năm học 2018 = A lim  n + 2n + + n    C = lim = B lim  2n + − n    3n + − n a k n k + + a1n + a D = lim 2n + 3n + + n bp n p + + b1n + b0 (Trong k,p số nguyên dương; a k bp ≠ ) ( = A lim n − 2n + ) ( C lim a k n k + a k −1n k −1 + + a = ) = B lim  n + n − + n    với a k ≠ = lim  2n − n +  D   E = lim 3n + n − 10 F = lim (2n − 1)(n + 3)2 (n − 2)7 (2n + 1)3 (n + 2)5 = M lim  − n − 8n + 2n  11 H lim  n + n + − n  12 =     = 13 N lim  4n + − 8n + n    = 14 K lim  n + n − − 4n + n + + 5n    Bài Tìm giới hạn sau 2n + 1 − 3n A = lim C = lim B = lim n3 + D = lim n(2n + 1)2 E = lim n + 2n + n+2 F = lim = M lim  n + 6n − n    2n + sin 2n − n +1 3.3n + n n +1 +4 D = lim n +1 = E lim( n + n + − 2n) k n − 3n + n + 4n + n − 2n + + 2n 10 K = lim B = lim 3 C = lim (3n − 1)2 3n + n − n = N lim  n + 3n + − n    = H lim n  8n + n − 4n +    Bài Tìm giới hạn sau A = lim 4n + 3n + = F lim p ( 3.2 n − 3n n +1 + n +1 n n! n + 2n n+1 n ( 3n + − 3n − 1) n+1+n ) = K lim n  n + − n    H lim( n + − n − 1) = Bài Tìm giới hạn dãy số sau 1 = + + + u n 1+ 2+2 (n + 1) n + n n + u n = (n + 1) 13 + + + n 3n + n + Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 (1 u n = u n = năm học 2018 n(n + 1) 1 )(1 − ) (1 − ) Tn = T1 T2 Tn − 33 − n − + 33 + n + u n = u n = q + 2q + + nq n với q < u n = n ∑ 2k − k =1 n ∑ k =1 n 2k n +k Bài Tìm giới hạn sau: A = lim B = lim a k n k + a k −1n k −1 + + a1n + a bp n p + bp−1n p−1 + + b1n + b0 với a k bp ≠ n + n + − n + 2n − (2n + 3)2 = C lim  4n + n + − 2n    = D lim  n + n + − n + n − + n    Bài Cho số thực a,b thỏa a < 1; b < Tìm giới hạn I = lim + b + b2 + + bn ,x = x n2 + xn ,∀n ≥ n +1 Cho dãy số (x n ) xác định x1 = Đặt S= n + a + a + + a n 1 + + + Tính lim S n x1 + x + xn + Cho dãy (x k ) xác định sau: x k = Tìm lim u n với u n= n k + + + 2! 3! (k + 1)! x1n + x n2 + + x n2011 u0 = 2011 u3  Tìm lim n Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  u = un + n  n +1 u n2  Cho dãy số (u n ) xác định : u n = n + − n + + n Đặt S n = u1 + u +  + u n Tìm lim S n  u1 = 1;  un   Cho dãy (u n ) xác định sau:   u 2n Tìm lim  ∑ u n +1   u n += un + 2010  Cho dãy số (u n ) với u n = 4n + 2n n Dãy (s n ) cho s n = ∑ ui Tìm lim s n i =1  u1 =  Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  Xét hội tụ tính giới hạn sau tồn u n (u n + 1)2 − = u , (n ≥ 1, n ∈ N)  n +1  n u −2 tại: lim ∑ i n →∞ i =1 u + i Bài Cho dãy số ( u n ) xác định sau: u1 = u= n +1 Chứng minh ( u n ) dãy số tăng khơng bị chặn Gi¶ng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 u 2n 2010 u với n = 1, 2, 3, + 2011 2011 n Page | Tài liệu toán 11 Tớnh năm học 2018 n u n + lim i =1 ui i +1 −1 Bài 10 Cho dãy số (x n ) xác định sau: x= 1,x= 2,x n += x n +1 + x n , ∀n ≥ Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn n 1  Cho dãy số (u n ) : u n=  +  Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn n   u1 =  Cho dãy số (u n ) xác định bởi:  u 2n − u n + = = u , ∀n 1, 2,  n +1 u 2n + u n +  Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Cho dãy số (u n ) thỏa: u n + u n +1 ≥ 2u n + dãy (u n ) bị chặn Chứng minh dãy (u n ) tồn giới hạn hữu tìm giới hạn = u0 1,= u1  Cho dãy (u n ) xác định bởi:  + u n2 + Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn tìm giới u  u n + = n +1  hạn  u1 =  Cho dãy số (u n ) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới u 2n + 4u n + u ,n ≥ =  n +1 un + un +  hạn = = x1 1;x 2 Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn x n +1 4x n + 3x n −1 = Cho dãy số (xn ) cho  Bài 11 Cho dãy số (x n ) xác định sau:= x0 2011, x= n +1 + x 2n = ; ∀n 0,1, 2, = 1,2,3, Chứng minh dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn Đặt u n= x 2n , ∀n Chứng minh dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn Bài 12 Tìm lim u n biết: u n = = u n n + + + + (2n − 1) 2n + 1 1+ (1 − u n = u n = + 2+2 + + u n = lim + + + n − n + 2 + + n + 2n (n + 1) n + n n + n(n + 1) 1 )(1 − ) (1 − ) Tn = T1 T2 Tn − 33 − n − + 33 + n + u n = u n = q + 2q + + nq n với q < u n = n k =1 ∑ u n = n ∑ 2k − k =1 n ∑ k =1 n 2k n +k  2 10 u n =  n +k n dau can 3 Bài 13 Cho dãy số (x n ) thỏa mãn x n= 2n + a 8n + 1∀n ∈ N , a số thực cho trước Tìm điều kiện a để dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm điều kiện a cho dãy số trờn l dóy s tng Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 năm häc 2018  x1 = α Bài 14 Cho số thực α xét dãy số (x n ) với  x n +1 = x n − 2x n + ( n ∈  * ) Với α ∈(1;2) Chứng minh < x n < với n ∈  * (x n ) dãy số giảm Với α ∈ [1; +∞ ) Tùy vào giá trị α , tìm giới hạn (x n ) Bài 15 4 − + 3u n Tìm lim u n Gọi (u n ) dãy số xác định u1 = ; u n +1 = 9 Giả sử f(x) hàm số xác định tập số thực R thỏa mãn bất phương trình: 9f ( 4x ) ≥ + 12f ( 3x ) − 9f ( 4x ) = x1 a;y = = b;z c  Cho dãy số (x n ),(y n ),(z n ) xác định sau:  + y n −1 y n −1 + z n −1 z n −1 + x n −1 x = , yn , z n = n −1 xn =  2 a+b+c Chứng minh dãy hội tụ giá trị x1 = a  Cho a > dãy số ( x n ) với  n+3 = 3x n2 + 2x n +1 n  Chứng minh: f ( x ) ≥ u n ∀ n ∈  ;x ∈  Từ suy f ( x ) ≥ a) Chứng minh : x n > , với n ∈  * b)Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn tìm giới hạn Bài 16  a= a= 2 Chứng minh dãy số (a n ) hội tụ tìm giới hạn Dãy số (a n ) xác định :  a n +1 = = , ∀n 2, 3, a n + a n −1  dãy số n u1 = 1 Cho dãy số (u n ) xác định sau  Đặt v n = ∑ Tìm u u u (u 1)(u 2)(u 3) 1; n 1, 2, = + + + + =  n +1 i =1 i + n n n n lim v n  x1 = Cho dãy (x n ) :  x =  n hạn tìm giới hạn n Chứng minh dãy (y n ) xác định y n = ∑ có giới 1  , ∀n ≥ i =1 xi x 4x x + +  n −1 n −1   n −1  n au + bv Chứng Cho a, b ∈   ,(a, b) = 1; n ∈ {ab + 1,ab + 2, } Kí hiệu rn số cặp số (u,v) ∈   ×   cho = rn = n →∞ n ab minh lim Bài 17 x n +1 Cho dãy (x= n ) : x1 1;= (2 + cos 2α)x n + cos α α số thực.= Đặt y n (2 − cos 2α)x n + − cos 2α để dãy số (y n ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn n ∑ 2x i =1 ∀n ≥ Tìm α i +1 Cho c số thực dương Dãy (x n ) xây dựng sau: x n +1 = c − c + x n , n = 0,1,2 biểu thức dấu không âm Tìm tất giá trị c , để với giá trị ban đầu x0 ∈ ( 0; c ) , dãy (x n ) xác định với n tồn giới hạn hữu hạn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 năm học 2018 1ii Baứi taọp trắc nghiệm tự luyện Vấn đề DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC A  sin 5n   2 bằng: Câu Kết giới hạn lim   3n  A 2 Câu B C n  n k cos n  lim 2n A Có số nhiên C B B Câu 10 Giá trị giới hạn lim chẵn A  k B A D Vô số 3sin n  cos n bằng: n 1 C C B 2 C D  B C C B 2 D n n 1 bằng: n  C D un  vn  có un  B C Câu 13 Cho dãy số un  với un  D 4 D n 1 v Khi lim n có giá trị bằng: n2 un A D an  a tham 5n  số thực Để dãy số un  có giới hạn , giá trị a là: A a  10 D  B a  C a  Câu 14 Cho dãy số un  với un  n  1   Câu Giá trị giới hạn lim 4   bằng:  n   A Câu 12 Cho hai dãy số   n  2n  là: Câu Kết giới hạn lim n sin   A  B 3n  2n  là: n  2n  để  n cos 2n  Câu Kết giới hạn lim 5   bằng:  n   A C Câu 11 Giá trị giới hạn lim Câu Kết giới hạn lim A tự D B D a  2n  b b tham 5n  số thực Để dãy số un  có giới hạn hữu hạn, giá trị b là: D A b số thực tùy ý B b  C không tồn b D b  n Câu Cho hai dãy số  un  vn  có un  1 n2 1 Khi lim un   có giá trị bằng: n2  A B C D B  Câu Giá trị giới hạn lim Giảng dạy: nguyễn bảo vương C A L  B L  n2  n  2n  C L  D L  Câu 16 Cho dãy số un  với un  D 1 n  2n bằng: n  3n 1 - 0946798489 Câu 15 Tính giới hạn L  lim 4n  n  Để dãy số an  cho có giới hạn , giá trị a là: 3 là: Câu Giá trị giới hạn lim n  2n  A  A a  4 B a  Câu 17 Tính giới hạn L  lim C a  D a  n  3n 2n  5n  Page | Tµi liệu toán 11 năm học 2018 A L   B L  C L  D L  Câu 18 Tìm tất giá trị tham số L  lim 5n  3an 1  a  n  2n   A a  0; a  B  a  C a  0; a  Câu 19 Tính giới hạn D  a  2n  n3 3n  1 L  lim 2n 1n  7 A L   B L  Câu 20 Tính giới hạn A L  C L  C L  B L  B L  3 n 1 n 8 D L   D L   B  C  Câu 23 Kết giới hạn lim A B  Câu 24 Kết giới hạn lim A B  D D D Câu 25 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0?  2n A lim 2n Giảng dạy: nguyễn bảo vương 2n  B lim 2 n  - 0946798489 B un  n  2n 1 3n  2n 1 C un  n  3n 9n  n 1 D un  n  2n  3n  n  Câu 27 Dãy số sau có giới hạn  ? A un   n2 5n  B un  C un  n  2n 5n  5n D n2  5n  5n  2n 5n  5n Câu 28 Dãy số sau có giới hạn  ? A  2n 5n  5n B un  n  2n 1 n  2n 2n  3n n  2n D un  5n  n  2n Câu 29 Tính giới hạn L  lim 3n  5n  3 B L   C L  D L    thuộc  khoảng 10;10 để L  lim 5n  a  2 n   A 19 B 3 C D 10 Câu 31 Tính giới hạn lim 3n  n  n  1 A L  B L   C L  Câu 32 Cho dãy số un  với un   D L    2    2 n Mệnh đề sau ? 3n  n là: 4n  C  n  2n 3n  Câu 30 Có giá trị nguyên tham số a 2n  3n là: n  2n  C 2n  3n 2 n  n A un  A L  n  2n là: Câu 22 Kết giới hạn lim  3n A  D lim Câu 26 Dãy số sau có giới hạn  ? C un  C L  để 2n  3n 2 n  D L   n  2n2n  14n  5 L  lim n  3n 13n  7 Câu 21 Tính giới hạn L  lim A L  a C lim A lim un   B lim un  C lim un   D Không tồn lim un 1 n     2 bằng: Câu 33 Giá trị giới hạn lim n2 Page | 10 Tài liệu toán 11 năm học 2018 Hm s liờn tc ti mi điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ ±1 gián đoạn x = ±1 Bài π   a + b = a = Hàm số liên tục  ⇔  ⇔ π − π a + b = −1  b =  a = Hàm số liên tục  ⇔   b = −1 Bài x − + 2x − nên hàm số liên tục khoảng  \{1} x −1 Do hàm số liên tục  hàm số liên tục x = = 3m − Ta có: f(1) Với x ≠ ta có f(x) = lim f(x) = lim x →1 x→1 x − + 2x − x −1   x3 + x − = lim 1 + x →1  (x − 1)  x − x x − + (x − 2)2           x2 + x + lim 1 + = 2 x →1   x − x x − + (x − 2)  =   Nên hàm số liên tục x = ⇔ 3m − = ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm • Với x > ta có f(x) = x +1 −1 nên hàm số liên tục ( 0; +∞ ) x • Với x < ta có f(x) = 2x + 3m + nên hàm số liên tục ( −∞; 0) Do hàm số liên tục  hàm số liên tục x = = 3m + Ta có: f(0) = lim f(x) x →0 + lim f(x) = x →0 − x +1 −1 = lim + x x →0 ( 1 = lim + x+1+1 x →0 ) lim 2x + 3m + = 3m + x →0 − 1 Do hàm số liên tục x =0 ⇔ 3m + = ⇔ m =− Vậy m = − hàm số liên tục  Với x > ta có hàm số liên tục Để hàm số liên tục  hàm số phải liên tục khoảng ( −∞; ) liên tục x = • Hàm số liên tục ( −∞; ) tam thức g(x)= x − 2mx + 3m + ≠ 0, ∀x ≤ − 17 + 17 ∆=' m − 3m − ≤ ⇔ ≤m≤ TH 1:  2 g(2) =−m + Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 năm học 2018 m − 3m − > ∆=' m − 3m − >  ⇔ m > TH 2:   x1 = m − ∆ ' > ∆ ' < (m − 2)  + 17 + 17 m > ⇔ ⇔ ⇒ f(0).f   < 2 2 Nên phương trình f(x) = có nghiệm Giả sử phương trình f(x) = có hai nghiệm x1 , x Khi đó: f(x1 ) − f(x ) = ( ) ⇔ x13 − x 23 + ( x1 − x ) − ( ) − 2x1 − − 2x =   = ⇔ ( x1 − x )  x12 + x1x + x 22 + +   − 2x + − 2x  B ⇔ x1 = x2  x  3x (Vì B=  x1 +  + + + > 0) − 2x1 + − 2x   Vậy phương trình ln có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x sin x + x cos x + = x7 + 3x − = Lời giải Ta có hàm số f(x) =x7 + 3x − liên tục R f(0).f(1) =−3 < Suy phương trinh f(x) = có nghiệm thuộc (0;1) Ta có hàm số f(x) = x sin x + x cos x + liên tục R f(0).f( π) = −π < Suy phương trinh f(x) = có nghiệm thuộc (0; π) Ví dụ x + 2x + 15x + 14x + 2= 3x + x + có nghiệm phân biệt Lời giải Phương trình cho tương đương với x + 2x + 15x + 14x + = ( 3x +x+1 ) ⇔ x − 9x − 4x + 18x + 12x + = (1) Hàm số f(x) =x − 9x − 4x + 18x + 12x + liên tục  19  1 −95 < 0,f( −1) = > 0,f  −  = − 0,f(2) = −47 < 0,f(10) = 7921 > Do phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng  1    −1; −  ,  − ;  , ( 0; ) , ( 2;10 ) 2    Mặt khác f(x) đa thức bậc nên có tối đa nghiệm ( −2; −1) , Vậy phương trình cho có nghiệm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x − 3x + = 2x + − x = Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị m, n 1 m ( x − 1) ( x + ) + 2x + = − = m cos x sin x Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 11 năm học 2018 m ( x − a )( x − c ) + n ( x − b )( x − d ) = ( a ≤ b ≤ c ≤ d ) Bài Cho m > a, b,c ba số thực thoả mãn a b c + + = Chứng minh phương trình ax + bx + c = ln có nghiệm m +2 m +1 m Bài Chứng minh phương trình : ( −1;1) x − 5x + 4x − = có năm nghiệm thuộc khoảng ( −2; ) a ( x − b )( x − c ) + b ( x − c )( x − a ) + c ( x − a )( x= − b ) ; a, b,c > có hai nghiệm phân biệt x + x − 3x + x + = có nghiệm thuộc khoảng ln có nghiệm với m (1 − m )x − 3x − = có nghiệm với m m (x − 2) + m(x − 1)3 (x − 2)4 + 3x − = Bài Cho số thực dương m,n,p thỏa mãn: n < m; mp < n a b c + + = Chứng minh phương m n p trình : f(x)= ax + bx + c= ln có nghiệm Bài Cho hàm số f : 0;1 → 0;1 liên tục.Chứng minh tồn số thực c ∈ 0;1 cho f ( c ) = c f(x) Cho hàm số f :[0;+∞) → [0;+∞) liên tục lim = L < Chứng minh tồn số c ≥ x →+∞ x cho f(c) = c Tìm tất hàm số f :  →  liên tục x = thỏa: f(3x) = f(x) Cho hàm số f : 0;1 → 0;1 liên tục 0;1 thỏa f(0) = f(1) Chứng minh với số tự nhiên n phương trình f(x) − f(x + ) = ln có nghiệm thuộc n đoạn 0;1 Bài Cho hàm số f liên tục đoạn [a ;b] n điểm x1 ; x ; ; x n ∈ a; b  Chứng minh tồn điểm c ∈ a; b  cho nf(c) = f(x1 ) + f(x ) + + f(x n ) Chứng minh tồn số < α < β < cho cos α = α β tan β =1 Bài 1 Xét hàm số f(x) = x − 3x + , ta có hàm số liên tục R f( −2) = −1 ; f(0) = ; f(1) = −1 ; f(2) = ⇒ f( −2).f(0) =−1 < ,f(0).f(1) =−1 < 0,f(1).f(2) =−3 < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −2; 0),(0;1),(1; 2) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Phương trình ⇔ 2x − 3= x − ⇔ (2x − 3)3 − 216(x − 1)= Xét hàm số f(x) = (2x − 3)3 − 216(x − 1) , ta có hàm số liên tục R f( −4) = −251,f(0) = 189,f(1) = −1,f(7) = 35 Suy ⇒ f( −4).f(0) < ,f(0).f(1) < 0,f(1).f(7) < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −4; 0),(0;1),(1;7) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Gi¶ng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 10 Tài liệu toán 11 năm học 2018 Bi Ta có hàm số f(x)= m ( x − 1) ( x + ) + 2x + liên tục R f(1).f( −2) =−5 < ⇒ phương trình có nghiệm thuộc ( −2;1) π Điều kiện : x ≠ k , k ∈   π Xét hàm số f(x) = sin x − cos x − m sin x cos x ,liên tục 0;   2 π f(0).f( ) =−1 < phương trình f(x) = có nghiệm  π π x0 ∈  0;  ⇒ x0 ≠ k 2   Do phương trình cho có nghiệm Hàm số f(x)= m ( x − a )( x − c ) + n ( x − b )( x − d ) liên tục R f(a).f(c) = n ( a − b )( a − d )( c − b )( c − d ) ≤ ⇒ phuowngt rình cho có nghiệm Bài Đặt f(x) = ax + bx + c f(x) = có nghiệm x = • c =⇒  m +1 −c • c ≠ 0= ta có f(0) c;= f   m +  m (m + 2)  m +1 −c ⇒ f(0).f  = < , suy phương trình f(x) = có nghiệm   m +  m (m + 2) Bài Gọi f(x) vế trái phương trình Ta có hàm số y = f(x) liên tục  f(1).f( −1) =−3 < Nên phương trình có nghiệm thuộc ( −1;1) Ta có hàm số y = f(x) liên tục  f( −2)f( − ) < 0; 1 f( − )f( −1) < 0; f( −1).f( ) < 0; f( )f(1) < 0; f(1)f(3) < 2 Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục  f(a)f(b)f(c) =−abc (a − b)(b − c)(c − a)  < Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục  lim f(x) lim f(x) < x →−∞ x →+∞ Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục  f(1).f(2) < Nên ta có điều phải chứng minh n n2 n + b +c )= a m m m  a b c m  n2 n m + + = ⇒ + b + c  + c( − ) = Mặt khác từ :  a  m n p m p n2 n  m  Bài Ta xét f( ⇔ m n2 f( n − pm pm − n pm − n n n ) + c = ⇔ f( ) = c= f(0) m m pm pm pn * Xét c = Nếu a = ⇒ b = ⇒ f(x) đa thức khơng, f(x) có nghiệm (0;1) Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 11 Tài liệu toán 11 năm học 2018 b n Nếu a ≠ , từ giả thiết ⇒ − = < f(x)= x(ax + b)= a m b ⇔x= − ∈ (0;1) a pm − n 2 n n * Xét c ≠ , ta có: = f   f(0) f (0) < ⇒ f(x) có nghiệm x ∈ (0; ) ⊂ (0;1) m pm m Bài Xét hàm số g= ( x ) f ( x ) − x ,ta có y = g(x) liên tục 0;1 g(0)g(1) < nên tồn c ∈ 0;1 : g(c)= ⇔ f(c)= c • Nếu f(0) = ta chọn c = • Nếu f(0) > = f(x) − x , ta có hàm g liên tục [0; +∞) g(0) > Xét hàm số g(x) f(x) f(a) = L < nên tồn số a > cho < ⇒ g(a) < x →+∞ x a ⇒ g(0).g(a) < nên tồn số thực c ∈ ( 0; a ) cho g(c) = Vì lim Hay f(c) = c  x  x  x  Ta có: f(x)= f  = f  = = f     3   3n  x Cho n → ∞ ⇒ → 0, ∀x 3n Suy ra: f(x)= f(0)= a, ∀x ∈  Vậy f hàm  1 Xét hàm số g(x) = f  x +  − f(x) , ta có g hàm liên tục n  Và n −1 k  n − 1 0; n    n −1   k +   k   − f    = f(1) − f(0) = n   n  0 ∑ g  n  = ∑ f  = k 0= k i  j Suy tồn hai số i, j ∈ {0,1, , n − 1} cho : g   g   < n n Hay phương trình : g(x) =0 ⇔ f(x) − f(x + ) =0 có nghiệm 0;1 n Bài Xét hàm số : g(x) = nf(x) − f(x1 ) − f(x ) − − f(x n ) liên tục [a ;b] Vì f liên tục đoạn [a ;b] nên tồn giá trị lớn M, nhỏ m tồn α , β ∈ a, b  cho = β) M ⇒ g(α).g(β) < f(α ) m,f(= = 1(cos1 − 1) < f(x) cos x − x liên tục  f(0).f(1) Hàm số : = Suy ∃α ∈ ( 0;1) : f(α) = hay cos α = α Mặt khác hàm số y = cos x hàm nghịch biến (0;1) , hàm y = x hàm đồng biến ( 0;1) nên α số g(x) x tan x − liên tục ( 0;1) f(0).f(1) = −1(tan1 − 1) < , đồng thời hàm số g(x) đồng biến Hàm số= (0;1) nên tồn số thực β ∈(0;1) cho β tan β − = Vì sin x < x ∀x > nên g(α) = sin α − < = f(β) ⇒ α < β α ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LIEN TUẽC Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 12 Tài liệu toán 11 năm học 2018  x   x  4 TXD Câu Điều kiện:      D  4; 3   hàm số liên tục 4;3 Xét x  3, ta có  x    x  3   lim f  x   lim   x   f 3   Hàm số liên tục trái x    x3   x4 x  3 Vậy hàm số liên tục 4;3 Chọn C TXD  với x    Câu Vì 2sin x     D     Hàm số liên tục  Chọn D Câu Vì f  x  liên tục  nên suy f 1  lim f  x   lim x 1 x 1 Câu Vì f  x  liên tục 3;3 nên suy f 0  lim f  x   lim x0 x0 x  3x   lim  x  2  1 Chọn D x 1 x 1 x   3 x  lim  Chọn B  x x x   3 x Câu Vì f  x  liên tục 4;  nên suy f 0  lim f  x   lim x0 x0 x x 4 2  lim x0   x    Chọn C Câu Tập xác định: D   , chứa x  Theo giả thiết ta phải có m  f 2  lim f  x   lim x x x2  x   lim  x  1  Chọn D x x2 Câu Hàm số xác định với x   Theo giả thiết ta phải có  x 1 x  2 x3  x  x   lim  lim  x  2   m  Chọn A x 1 x 1 x 1 x 1  m  f 1  lim f  x   lim x 1 x 1 Câu Hàm số f  x  có TXĐ: D  0;  Điều kiện tốn tương đương với Ta có: k   y 1  lim y  lim x 1 x 1 x 1 1  lim   k   Chọn C x  x 1 x 1 Câu Hàm số f  x  có tập xác định 1;  Theo giả thiết ta phải có m  f 3  lim f  x   lim x3 x3 3 x x 1   lim x3 3  x x   2 x 3   lim x3   x    4 Chọn B  ta có Câu 10 Vi mi x Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 13 Tài liệu toán 11 năm häc 2018  f  x   x sin  lim f  x    x  x   x0 x Theo giải thiết ta phải có: m  f 0  lim f  x   Chọn C x0 Câu 11 Tập xác định: Ta có lim f  x   lim x0 x0           3  3 D      k  | k        k ;  k      ;             2 2 2 2 2     k  tan x sin x 1  lim  1   f 0   f  x  không liên tục x  Chọn A x0 cos x x cos x Câu 12 Tập xác định D   Điều kiện toán tương đương với sin  x x 1  sin  x      sin   x 1  sin   x 1  lim  lim  lim   * x 1 x 1 x 1 x 1 x 1   x 1   m  f 1  lim f  x   lim x 1 x 1 Đặt t    x 1 t  x  Do (*) trở thành: m  lim   t 0 sin t   Chọn A t Câu 13 Hàm số xác định với x   Điều kiện củz toán trở thành:   x    x  x  sin     2sin    cos  2    2    cos x  *  lim  lim  lim  m  f    lim f  x   lim 2   x x x x x   x     x    x    x          2   2  sin t  x  1 Đặt t    x  Khi (*) trở thành: m  lim     2 t   t  2 Chọn C Câu 14 Hàm số y  f  x  có TXĐ: D   Dễ thấy hàm số y  f  x  liên tục khoảng ; 1, 1;0 0; (i) Xét x  1 , ta có x  x  1 x  x  1 x4  x   lim  x  x  1   f 1 lim x 1 x  x x 1 x 1 x  x  1 lim f  x   lim x 1   hàm số y  f  x  liên tục x  1 (ii) Xét x  , ta có lim f  x   lim x0 Giảng dạy: nguyễn bảo vương x0 x x  1 x  x  1 x4  x lim   lim  x  x  1   f 0 x0 x  x  1 x  x x0 - 0946798489 Page | 14 Tài liệu toán 11 năm học 2018   hàm số y  f  x  liên tục x  Chọn B Câu 15 Hàm số y  f  x  có TXĐ D   Hàm số f  x   x  x  1 x 1 liên tục khoảng ; 1 , 1;1 1; (i) Xét x  1 , ta có lim f  x   lim x 1 x 1 x  x  1 x 1  lim x 1 x  Hàm số liên tục x  1   f 1  x 1   x  x  1 x  lim f  x   lim  lim     1 x x x    x 1 x 1 (ii) Xét x  , ta có    Hàm số y  f  x  gián đoạn x  Chọn B  x  x  1 x   lim f  x   lim  lim    x 1 x 1 x 1  x 1  x1 Câu 16 TXĐ: D   Hàm số liên tục khoảng ;2 ; 2; Khi f  x  liên tục   f  x  liên tục x   lim f  x   f 2  lim f  x   lim f  x   f 2 x 2 x 2 x 2 *     f 2   m   m  1       Ta có  lim f  x   lim 1  m  x   1  m    *  m  1  m    x 2 x 2  m       lim f  x   lim m x  m  x 2  x  2 Chọn A Câu 17 Dễ thấy f  x  liên tục khoảng 0;4  4;6 Khi hàm số liên tục đoạn 0;6  hàm số liên tục x  4, x  0, x    lim f  x   f 0   x  0   Tức ta cần có  lim f  x   f 6 *  x 6     lim f  x   lim f  x   f 4   x 4   x  4   lim f  x   lim x    x  0  ; x 0   f        lim f  x   lim 1  m    m   x  6  x  ;  f 6   m   lim f  x   lim x  x  4 x  4    lim f  x   lim 1  m    m ; x 4 x   f m      Gi¶ng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 15 Tài liệu toán 11 năm học 2018 Khi ú * tr thành  m   m   Chọn A Câu 18 Hàm số f  x  liên tục ;1 1;  Khi hàm số cho liên tục  liê tục x  1, tức ta cần có lim f  x   f 1  lim f  x   lim f  x   f 1 * x 1 x 1 x 1  x  x     f  x   lim 2  x    xlim  1 x 1  Ta có f  x   a    * không tỏa mãn với a   Vậy không tồn x       f x lim lim  x  2  1       x 1 x 1   2  x x  giá trị a thỏa yêu cầu Chọn C Câu 19 Hàm số xác định liên tục 0;1 Khi f  x  liên tục 0;1 lim f  x   f 1 * x 1  f 1  a  Ta có   lim f  x   lim x 1  lim  x  1   x 1 x 1 x 1  x 1   *  a  Chọn A x       Câu 20 Dễ thấy hàm số liên tục ;1 1;       f 1  2     Ta có  lim f  x   lim 2 x   2 x 1 x 1     x 1   lim  lim f  x   lim   x 1 x 1  x 1 x 1       x    2    f  x  liên tục x  Vậy hàm số f  x  liên tục  Chọn D Câu 21 Điều kiện toán trở thành: lim f  x   lim f  x   f 3 * x 3 x 3   f 3   3a      x  2 x   x  x  5x  Ta có  lim f  x   lim  lim  3 x 3 x 3  1 x x   x x 3     lim f  x   lim 1  a x    3a  x x 3   3   *   a      amin    Chọn A Câu 22 Ta cần có lim f  x   lim f  x   f 2 * x 2 x 2   f 2  2a    3x     amax  Chọn C    *  a  1  Ta có  lim f  x   lim x 2 x  x 2   lim f  x   lim a x    2a    x  2 x  2     Câu 23 Hàm số xác định với x   Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 16 Tài liệu toán 11 năm học 2018 Ta cú f  x  liên tục ;0 0;    f 0   Mặt khác  lim f  x   lim 1  cos x    cos    f  x  gián đoạn x  x 0 x   f  x   lim x     xlim x 0   0 Chọn C Câu 24 Ta có f  x  liên tục ; 1, 1;1, 1;        f 1  cos      2  Ta có    f  x  gián đoạn x  1 Chọn A   lim f x lim x            x 1   x 1   f  cos        Ta có  lim f  x   lim  x 1    f  x  liên tục x  x 1 x 1  x f  x   lim cos 0 xlim x 1  1 Câu 25 Dễ thấy điểm có hồnh độ x  đồ thị hàm số bị '' đứt '' nên hàm số khơng liên tục   lim f  x  nên f  x  gián đoạn x  Chọn B Cụ thể: lim f  x    x 1 x 1 Câu 26 Hàm số y  f  x  có TXĐ: D   Dễ thấy hàm số y  f  x  liên tục khoảng ;0, 0;1 1;    f 0   x2 Ta có  lim f  x   lim  lim x    f  x  liên tục x  x 0 x 0 x  x   lim f x  lim x  lim x    x  0 x  0 x x  0    f 1      x2  Ta có  lim f  x   lim  lim x    f  x  liên tục x  x 1 x 1 x x 1     lim f  x   lim x    x 1  x 1 Vậy hàm số y  f  x  liên tục  Chọn A Câu 27 Hàm số y  f  x  có TXĐ: D   Dễ thấy hàm số y  f  x  liên tục khoảng ;1, 1;3 3; Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 17 Tài liệu toán 11 năm học 2018 f 1     Ta có    f  x  gián đoạn x  x 1  lim f  x   lim  lim  x  1    x 1 x 1 x  x 1     f 3    Ta có    f  x  gián đoạn x  x 1   lim  x  1  lim f  x   lim   x 3 x 1 x 3  x 3 Chọn D Câu 28 Hàm số y  h  x  có TXĐ: D   Dễ thấy hàm số y  h  x  liên tục khoảng ;0, 0;2 2; h 0     f  x  không liên tục x  Ta có   lim h  x   lim x  x 0 x     h 2       Ta có  lim h  x   lim  x  1    f  x  liên tục x  x 2 x 2     h  x   lim 3 x 1  xlim  2 x 2   Chọn A Câu 29 Hàm số xác định với x   Điều kiện toán trở thành lim f  x   lim f  x   f 1 * x 1 x 1    f 1     Ta có  lim f  x   lim m x  1  m    *   m   x 1 x 1     lim f  x   lim  x  x     x 1 x 1  m  1   S  Chọn B Câu 30 Hàm số y  f  x  có TXĐ: D   Dễ thấy f  x  liên tục khoảng ;0, 0;1 1;      f 0      Ta có  lim f  x   lim x cos x     f  x  liên tục x  x 0 x 0     x2  lim f x  lim 0       x 0 x x Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 18 Tài liệu toán 11 năm häc 2018   f 1    x2    f  x  không liên tục x  Ta có  lim f  x   lim x 1  x x 1   lim f  x   lim x  x 1  x 1 Chọn C  A Câu 31 (i) Hàm f  x  hàm đa thức nên liên tục     f 1  1  (ii) Ta có    f  x   có nghiệm x1 2;1 , mà    f 2  23   Chọn B  B sai C  2; 1  2;0  ;1   f 0  1    1 (iii) Ta có      f  x   có nghiệm x2 thuộc 0;  Kết hợp với (1) suy f  x   có nghiệm x1 , x2    f          thỏa: 3  x1  1   x2    D Câu 32 Hàm số f  x   x  x  x  hàm đa thức có tập xác định  nên liên tục  Ta có   f  0  (i)   f 1 f 0    f  x  có nghiệm x1 thuộc 1;0  f          f  0  (ii)   f 0 f 1    f  x   có nghiệm x2 thuộc 0;1    f 1  1   f 1  1 (iii)   f 1 f 2    f  x   có nghiệm x3 thuộc 1;2    f 2  15 Vậy phương trình f  x   cho có nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa 1  x1   x2   x3    Chọn D Câu 33 Hàm số f  x   x  x 1 hàm đa thức có tập xác định  nên liên tục  Do hàm số liên tục khoảng 2; 1, 1;0, 0;2 Ta có   f 2  3    f 2 f 1    1 có nghiệm thuộc 2; 1    f 1    f 1     f 1 f 0    1 có nghiệm thuộc 1;0    f    Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 19 Tài liệu toán 11 năm học 2018 f 2      f 2 f 0    1 có nghiệm thuộc 0;2    f    1 Như phương trình 1 có ba thuộc khoảng 2;2 Tuy nhiên phương trình f  x   phương trình bậc ba có nhiều ba nghiệm Vậy phương trình f  x   có nghiệm  Chọn D Cách CASIO (i) Chọn MODE (chức TABLE) nhập: F ( X )  X  X 1 (ii) Ấn “=” tiếp tục nhập: Start  5 (có thể chọn số nhỏ hơn) End  (có thể chọn số lớn hơn) Step  (có thể nhỏ hơn, ví dụ (iii) Ấn “=” ta bảng sau: ) Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a b a  b cho tương ứng bên cột F ( X ) nhận giá trị trái dấu, phương trình có nghiệm a; b Có cặp số a, b cho khác khoảng a; b rời phương trình f  x   có nhiêu nghiệm Câu 34 Ta có f  x    f  x    Đặt g  x   f  x   Khi    g 1  f 1     3  g 1 g 4       g 4   f 4      Vậy phương trình g  x   có nghiệm thuộc khoảng 1;4  hay phương trình f  x   có nghiệm thuộc khoảng 1;4  Chọn B Câu 35 Xét hàm số f  x   x  x  2m  2 x  m  liên tục  ● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x cho x1  1  x  x Khi f  x    x  x1  x  x  x  x  Ta có f 1  1  x1 1  x 1  x   (do x1  1  x  x ) Mà f 1  m  nên suy m    m  5 ● Thử lại: Với m  5 , ta có ▪ lim f  x    nên tồn a  1 cho f a   x  ▪ Do m  5 nên f 1  m   ▪ f 0   m Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 1 2  3 Page | 20 Tµi liệu toán 11 năm học 2018 lim f x    nên tồn b  cho f b   x  4  Từ 1 2 , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; 1 ; Từ 2 3 , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1;0 ; Từ 3 4  , suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;  m   m  9; 8; 7; 6 Chọn C Vậy m  5 thỏa mãn  m 10;10 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 21 ... −1)n khơng có giới hạn Lời giải Ta có: u 2n =1 ⇒ lim u 2n =1; u 2n +1 =−1 ⇒ lim u 2n +1 =−1 Vì giới hạn dãy số có nên ta suy dãy (u n ) khơng có giới hạn Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim n2... ) có giới hạn hữu hạn tìm giới u  u n + = n +1  hạn  u1 =  Cho dãy số (u n ) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới u 2n + 4u n + u ,n ≥ =  n +1 un + un +  hạn. .. 3n + Bài Chứng minh dãy số (u n ) : u n = ( −1)n n khơng có giới hạn Bài Chứng minh giới hạn sau: lim an =0 n! lim n a = với a > Bài  x + x + + x n  Nếu dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn a