NHÌN BÀI TỐN DƯỚI DẠNG HÌNH ĐỘNG Bài tập mở đầu: Cho hình bình hành BEFP nội tiếp tam giác ABC ( E ∈ AB; F ∈ AC ; P ∈ BC ) Biết S AEE = a; SCFP = b a) Tính S ABC theo a vµ b b) Tìm diện tích lớn hình bình hành BEFP c) Chứng minh rằng: S ABC = AB BC a + b AE CP Lời giải(Hình 1): - Kiến thức: Dùng tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng a) Ta có tam giác AEF, FPC, ABC đồng dạng nên: S AEF EF BP = = ; S ABC BC BC SCFP CP = Ta có: S ABC BC SCFP S AEF + =1 S ABC S ABC Hay S ABC = ( a + b ) b) Ta có: S BEFP = S ABC − S AEF − S FPC = ab ≤ a + b ⇒ ab ≤ a + b + ab = ( a + b ) ⇒ 2.SBEFP ≤ S ABC ⇔ SBEFP ≤ Vậy: GTLN( SBEFP ) = S ABC S ABC ⇔ a = b A E B c)Từ kết S ABC = ( a + b ) ta có: F P C H×nh S ABC = a + b ⇔ S ABC = S ABC S ABC AB BC a + b ⇔ S ABC = a + b (đpcm) a b AE PC Nhận xét: Nếu điểm F không thuộc đoạn thẳng AC, chẳng hạn F thuộc tia đối tia CA kết sẻ thay đổi nào? Ta có tập 1: Cho tam giác ABC Điểm F thuộc tia đối tia CA Kẻ FE //BC; FP //AB ( E ∈ AB; P ∈ BC ) Đặt S ABC = S ; S AEE = a; S FPC = b a) Tính S ABC S BEFP theo a b b) Chứng minh rằng: S = AB BC a − b AE CP Lời giải(Hình 2): a) Ta có hai tam giác AEF FPC đồng dạng với tam giác ABC Ta có: S AEF EF = ; S ABC BC S FPc CP = Suy ra: S ABC BC Hay S ABC = ( a − b ) S FPC EF − PC S AEF − = =1 S ABC S ABC BC Ta có: S BEFP = S AEF + S FPC − S ABC = a + b − (a + b − ab ) ⇒ S BEFP = ab A C B P F E Hình b) Từ kết : S ABC = ( a − b ) ta có: S ABC = a − b ⇔ S ABC = S ABC S ABC AB BC a − b ⇔ S = a − b (đpcm) a b AE PC *Nếu điểm F nằm tam giác ABC kết sẻ thay đổi ? Bài tóan : Cho tam giác ABC Điểm F nằm tam giác ABC Qua F kẻ MN//BC;PQ//AB;IK//AC ( I , M ∈ AB; P, N ∈ AC ; Q, K ∈ BC ) Đặt S ABC = S ; S FQK = a; S PFN = b; S IMF = c a) Tính S ABC S BEFP theo a, b c b) Tìm giá trị lớn tổng : S APFI + S MBQF + S NCKF theo a, b c AB BC AC c) Chứng minh rằng: S ABC = FQ a + FN b + FI c Lời giải(Hình 3): a) Dễ thấy tam giác: FQK, PFN, IMF, ABC đôi đồng dạng với nên ta có: S FQK + S ABC S PFN S IMF QK FN MF QK KC BQ + = + + = + + =1 S ABC S ABC BC BC BC BC BC BC ⇒ S FQK + S PFN + S IMF = S ABC ⇒ S ABC = ( S FQK + S PFN + S IMF ) Vậy: S ABC = (a + b + c)2 b) Ta có: S APPI + S MBQF + S NCKF = S ABC − (a + b + c) = (a + b + c) − (a + b + c) ⇒ S APPI + S MBQF + S NCKF = ab + ac + bc ≤ 2( a + b + c ) ⇒ 3.( S APPI + S MBQF + S NCKF ) ≤ 2(a + b + c) + 2.( S APFI + S MBQF + S NCKF ) = S ABC S ABC + S NCKF ) = S ABC ⇔ a = b = c ⇔ F trọng tâm ⇒ S APPI + S MBQF + S NCKF ≤ Vậy GTLN( S APFI + S MBQF A P I M B F Q N K C Hình c) Ta có: S ABC = ( S FQK + S PFN + S IMF ) ⇔ S ABC = S FQK + S PFN + S IMF ⇔ S ABC = S FQK S ABC + S PFN S ABC + S IMF S ABC ⇔S= ⇔S= S ABC S ABC S ABC S FQK + S PFN + S IMF S FQK S PFN S IMF AB BC AC a + b + c FQ FN FI ? Ta tiếp tục thay đổi vị trí điểm F Chẳng hạn cho điểm F ngồi tam giác ABC thuộc góc BAC Ta có tập sau: Bài tập 3: Cho tam giác ABC Điểm F thuộc góc BAC nằm tam giác ABC Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC ( D, P ∈ AB; E , Q ∈ AC; M , N ∈ BC ) Đặt: S ABC = S ; S FNM = a; S DPF = b; S EFQ = c a) Tính S theo a, b c AB AC BC b) Chứng minh rằng: S = PD b + EQ c − MN a Lời giải(Hình 4): a) Dễ thấy tam giác FNM, DPF, EFQ, ABC đôi đồng dạng nên: S EFQ S S DPF PF FQ MN MN + BM MN + NC MN + − FNM = + − = + − =1 S ABC S ABC S ABC BC BC BC BC BC BC ⇒ S ABC = S DPF + S EFQ − S FNM ⇒S= ( b+ c− a ) A E D B M P b)Ta có: S= ( b+ c− a ) N F C Q Hình ⇔ S = b + c − a ⇔ S = S ( b + c − a ) S S S AB AC BC b + c − a = b + c − a b c a PD EQ MN AB AC BC Vậy: S = PD b + EQ c − MN a = ? Nếu điểm F thuộc góc đối góc BAC ta tìm kết tương tự tập Bài tập 4: Cho tam giác ABC Điểm F thuộc góc BAC nằm ngồi tam giác ABC Qua F kẻ PQ//BC; EN//AB; MD//AC ( D, P ∈ AB; E , Q ∈ AC; M , N ∈ BC ) Đặt: S ABC = S ; S FMN = a; S DPF = b; S EFQ = c AB AC BC Chứng minh rằng: S = PD a − EQ b − MN c Lời giải(Hình 5): Làm tương tự tập ta có kết quả: S= ( a− b− c ) AB AC BC Từ suy : S = PD a − EQ b − MN c Q F P D E A M C B N Hình Trở lại tập 3: Nếu MN, PQ, IK không đồng quy F mà đơi cắt Ta có tập sau Bài tập 5: Cho hình Biết MN//AC; PQ//AB; EF//BC S IKH = So ; S MEH = S1 ; S PKF = S2 ; S IQN = S3 Tính S ABC theo So ; S1 ; S ; S3 A A P M P M I I E B K F Q Hình Lời giải(Hình 7): Kẻ HE song song với PQ N H E H C B F K Q E N Hình C Các cặp tam giác IKH, MEH, PKF, IQN đôi đồng dạng: Ta có: S IKH KH QE = = ; S ABC BC BC S MEH EH BE = = ; S ABC BC BC S PKF KF = ; S ABC BC S IQN S ABC = QN BC Cộng vế theo vế đẳng thức ta có: S PKF S IQN QE + BE + KF + QN 3QE + BC S IKH S S + MEH + + = = = IKH + S ABC S ABC S ABC S ABC BC BC S ABC ⇔ S PKF S IQN S MEH S + + − IKH = ⇔ S ABC = S ABC S ABC S ABC S ABC ( S1 + S + S3 − S0 ) ... có tập sau Bài tập 5: Cho hình Biết MN//AC; PQ//AB; EF//BC S IKH = So ; S MEH = S1 ; S PKF = S2 ; S IQN = S3 Tính S ABC theo So ; S1 ; S ; S3 A A P M P M I I E B K F Q Hình Lời giải (Hình 7): Kẻ... A C B P F E Hình b) Từ kết : S ABC = ( a − b ) ta có: S ABC = a − b ⇔ S ABC = S ABC S ABC AB BC a − b ⇔ S = a − b (đpcm) a b AE PC *Nếu điểm F nằm tam giác ABC kết sẻ thay đổi ? Bài tóan : Cho... c AB BC AC c) Chứng minh rằng: S ABC = FQ a + FN b + FI c Lời giải (Hình 3): a) Dễ thấy tam giác: FQK, PFN, IMF, ABC đôi đồng dạng với nên ta có: S FQK + S ABC S PFN S IMF QK FN MF QK KC BQ + =