BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - NGUYỄN VĂN HƯNG NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA THANH LỜI GIẢI BÁN GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM THỊ LOAN Hải Phòng, 2017 -2MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài: Những năm gần đây, kinh tế phát triển, ngày xuất nhiều cơng trình cao tầng, cơng trình có độ lớn, cơng trình đặc biệt Trong cơng trình người ta thường dùng có chiều dài lớn, - vỏ chịu nén điều kiện ổn định miền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Bài toán dao động kết cấu giải theo nhiều hướng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý lượng mà theo kết phụ thuộc nhiều vào cách chọn dạng hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss GS.TSKH Hà Huy Cương đề xuất phương pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn phát biểu cho hệ chất điểm - để giải toán học vật rắn biến dạng nói riêng tốn học mơi trường liên tục nói chung Đặc điểm phương pháp nhìn đơn giản ln cho phép tìm kết xác tốn dù tốn tĩnh hay tốn động, tốn tuyến tính hay tốn phi tuyến Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu luận án Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss nói phương pháp chuyển vị cưỡng để giải toán dao động đàn hồi thanh, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu luận án “Nghiên cứu dao động tự dầm có xét đến biến dạng trượt ngang” Nội dung nghiên cứu đề tài: - Trình bày phương pháp giải tốn động lực học biết - Trình bày phương pháp nguyên lý cực trị Gauss - Sử dụng phương pháp cho toán dao động dầm -3CHƯƠNG PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CƠNG TRÌNH 1.1 Khái niệm Thuật ngữ "động” hiểu đơn giản biến đổi theo thời gian [19, tr.l] Vậy tải trọng động tải trọng mà độ lớn, hướng vị trí thay đổi theo thời gian Trong q trình đó, khối lượng cơng trình truyền gia tốc nên phát sinh lực quán tính đặt khối lượng Lực quán tính tác dụng lên cơng trình gây tượng dao động Dao động biểu thị dạng chuyển vị kết cấu Việc tính tốn cơng trình có xét đến lực qn tính xuất q trình dao động gọi giải toán dao động cơng trình [10, tr.7] Phản ứng kết cấu tải trọng động, nghĩa ứng suất độ võng xuất đó, động (biến thiên theo thời gian) Nói chung, phản ứng kết cấu tải trọng động biểu diễn thông qua chuyển vị kết cấu Các đại lượng phản ứng khác có liên quan nội lực, ứng suất, biến dạng xác định sau có phân bố chuyển vị hệ Đôi khi, việc giải tốn động lực học cơng trình tiến hành việc đưa vào hệ số động Khi đó, nội lực, chuyển vị tham số hệ tính tốn thơng qua hệ số động với kết tính tốn tĩnh Tất đại lượng giá trị cực đại ứng với thời điểm xác định, hàm theo biến thời gian 1.2 Đặc trưng toán động lực học: Tải trọng thay đổi theo thời gian nên trạng thái ứng suất - biến dạng hệ thay đổi theo thời gian Do đó, tốn động khơng có nghiệm chung tốn tĩnh Vì vậy, tốn động phức tạp khó khăn nhiều so với toán tĩnh Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính điểm khác biệt toán động lực học so với toán tĩnh Ngoài ra, việc xét đến ảnh hưởng lực cản đặc trưng phân biệt hai tốn -41.2.1 Lực cản: Trong tính tốn, đơi khơng xét đến ảnh hưởng lực cản lực cản ln ln có mặt tham gia vào trình chuyển động hệ Lực cản xuất nhiều nguyên nhân khác ảnh hưởng chúng đến trình dao động phức tạp Trong tính tốn, đưa giả thiết khác lực cản, phù hợp với điều kiện thực tế định Trong đa số toán dao động cơng trình, ta thường sử dụng mơ hình vật liệu biến dạng đàn nhớt (ma sát nhớt) nhà học người Đức W.Voigt kiến nghị: xem lực cản tỷ lệ bậc với vận tốc dao động Công thức lực cản: Pc = Cy’ với C hệ số tắt dần Ngồi đưa số giả thiết sau: - Lực cản theo giả thiết Xôrôkin: giả thiết lực cản phi đàn hồi Lực cản phi đàn hồi lực cản tính đến tiêu hao lượng hệ, biểu thị việc làm tổn thất trễ lượng biến dạng trình dao động Nó khơng phụ thuộc vào tốc độ biến dạng mà phụ thuộc vào giá trị biến dạng.Trong đó, quan hệ biến dạng chung (độ võng, góc xoay) với tải trọng ngồi quan hệ phi tuyến Cơng thức lực cản: Pc= i  Pđ 2 Pđ lực đàn hồi;  hệ số tiêu hao lượng [Lực đàn hồi (hay lực phục hồi) xuất tách hệ khỏi vị trí cân có xu hướng đưa hệ vị trí cân ban đầu, tương ứng phụ thuộc vào chuyển vị động hệ: Pđ = P(y) Ở hệ đàn hồi tuyến tính: Pđ = ky với k hệ số cứng (lực gây chuyển vị đơn vị)] - Lực cản ma sát khô Coulomb (Fms): tỷ lệ với áp lực vng góc N có phương ngược với chiều chuyển động Công thức lực cản: Fms =  N (với  hệ số ma sát) Lực cản làm cho chu kỳ dao dộng dài Trong thực tế, có cơng trình bị cộng hưởng chưa bị phá hoại có hệ số cản khác khơng Do -5ảnh hưởng lực cản nên cộng hưởng, nội lực, chuyển vị động hệ  mà có trị số lớn hữu hạn 1.2.2 Đặc trưng động hệ dao động tuyến tính: Dao động tuyến tính dao động mà phương trình vi phân mơ tả dao động phương trình vi phân tuyến tính Đặc trưng động hệ dao động tuyến tính bao gồm: khối lượng hệ, tính chất đàn hồi hệ (độ cứng, độ mềm), nguồn kích động, tần số dao động (tần số dao động riêng, dạng dao động riêng), hệ số tắt dần Bậc tự hệ đàn hồi số thơng số hình học độc lập cần thiết để xác định vị trí hệ thời điểm có chuyển động Vấn đề xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng toán dao động hệ hữu hạn bậc tự tương ứng với toán xác định trị riêng vecto riêng đại số tuyến tính Thơng thường, để đánh giá cơng trình chịu tải trọng động, thường đánh giá sơ thông qua tần số dao động riêng thứ dạng đao động riêng thứ (tần số dao động dạng dao động bản) 1.3 Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa: Hầu hệ kết cấu chịu dạng tải trọng động suốt q trình sống (tải trọng tĩnh xem dạng đặc biệt tải trọng động) Các tải trọng phân thành: tải trọng tuần hồn tải trọng khơng tuần hồn Các tải trọng khơng tuần hồn tải trọng xung ngắn hạn tải trọng tổng qt dài hạn, dạng đơn giản hố dùng Một tải trọng tuần hoàn thể biến thiên theo thời gian giống liên tiếp số lượng lớn chu kỳ Tải trọng tuần hồn đơn giản có dạng hình sin (hoặc cosin) gọi điều hoà đơn giản Nhờ có phân tích Fourier mà tải trọng tuần hồn biễu diễn chuỗi thành phần điều hoà đơn giản Tải trọng tuần hoàn gây dao động tuần hoàn kết cấu 1.3.1 Dao động tuần hoàn: -6Là dao động lặp lại sau khoảng thời gian  định Nếu dao động biểu diễn hàm số thời gian y(t) dao động tuần hoàn phải thỏa mãn: y(t) = y(t+) Thời gian lặp lại dao động  gọi chu kỳ dao động nghịch đảo f = 1/ gọi tần số Dạng đơn giản dao động tuần hoàn dao động điều hòa 1.3.2 Dao động điều hòa: Thường mơ tả hình chiếu đường thẳng điểm di chuyển vòng tròn với vận tốc góc  Do chuyển vị y viết: y = Asin  t Bởi dao động lặp lại khoảng thời gian  nên có mối liên hệ:   2 /   2f Vận tốc gia tốc điều hòa với tần số dao động lệch với độ dịch chuyển  /2  : y’=  Asin(  t+  /2 ) y”= -  2Asin  t=  2Asin(  t+  ) Vậy: y”= -  2y => gia tốc tỷ lệ với độ dịch chuyển 1.4 Các phương pháp để xây dựng phương trình chuyển động: Phương trình chuyển động hệ xây dựng dựa sở phương pháp tĩnh nguyên lý biến phân lượng Các biểu thức toán học để xác định chuyển vị động gọi phương trình chuyển động hệ, biểu thị dạng phương trình vi phân 1.4.1 Phương pháp tĩnh động học: [Nội dung nguyên lý D’Alembert hệ: chuyển động hệ, lực thực tác dụng lên chất điểm hệ gồm nội lực ngoại lực với lực quán tính lập thành hệ lực cân bằng] Dựa sở nguyên tắc cân tĩnh học có bổ sung thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D’Alembert, điều kiện cân (tĩnh động) lực tổng quát viết cho hệ n bậc tự do: Q k  J k* k 1 n  -7trong đó: Qk - lực tổng quát lực cho theo so luc  x y z  Qk     X i i  Yi i  Z i i  i 1 qk qk   qk J*k - lực tổng quát lực quán tính khối lượng, tương ứng với chuyển vị tổng quát qk J k*   theo so khoi luong  i 1  x y z mi  xi i  yi i  zi i qk qk  qk    xi, yi, zi - chuyển vị khối lượng mi theo phương trục toạ độ, biểu diễn thông qua toạ độ tổng quát qk xi = xi (q1, q2, .,qn) yi = yi (q1, q2, .,qn) zi = zi (q1, q2, .,qn) Cũng viết: J*k = -Mkqk, với Mk khối lượng quy đổi, tương ứng với chuyển vị tổng quát qk 1.4.2 Phương pháp lượng: Dựa định luật bảo toàn lượng, trường hợp bỏ qua lực ngăn cản chuyển động, ta có: K + U = const đó: K - động hệ: K=  v mi vi2    m( z ) dz ( z ) 2 U - hệ, biểu thơng qua công ngoại lực công nội lực (trường hợp hệ phẳng): U= 1  Pi  cos(Pi i )    dP. cos(dP, ) 2 Hoặc:  M ds N ds Q ds       U =    2 EJ EF GF  1.4.3 Phương pháp ứng dụng nguyên lý công ảo: -8[Nội dung nguyên lý: điều kiện cần đủ để hệ liên kết lý tưởng giữ dừng cân vị trí cho tổng công ảo tất lực hoạt động tác dụng lên hệ không di chuyển ảo từ vị trí cho][3, tr.33] Nguyên lý áp dụng sau: U i  Ti  đó: (i=1  n ) U i - công nội lực Ti - công ngoại lực (gồm lực kích thích, lực cản, lực quán tính) Trong ba phương pháp giới thiệu trên, phương pháp tĩnh động đưa cách giải đơn giản cho hệ số bậc tự Sự cần thiết phải xem xét lực liên kết biểu đồ vật thể tự phương pháp dẫn đến khó khăn đại số hệ có bậc tự cao Phương pháp lượng khắc phục khó khăn phương pháp tĩnh động Tuy nhiên, nguyên lý lượng toạ độ vật lý đưa phương trình mà điều giới hạn sử dụng cho hệ bậc tự Nguyên lý công ảo khắc phục hạn chế hai phương pháp công cụ mạnh hệ nhiều bậc tự Tuy nhiên, thủ tục hồn tồn có tính vơ hướng, việc xem xét vectơ lực cần thiết việc xác định công ảo [20, tr.215] 1.4.4 Phương trình Lagrange (phương trình Lagrange loại 2): Phương trình Lagrange thủ tục hồn tồn có tính vơ hướng, xuất phát từ đại lượng vô hướng động năng, công biểu diễn thông qua toạ độ suy rộng Ưu điểm bật phương trình Lagrange dạng số lượng chúng không phụ thuộc vào số vật thể thuộc hệ chuyển động vật thể Hơn nữa, liên kết lý tưởng phương trình Lagrange khơng có mặt phản lực liên kết chưa biết Giả sử hệ có n bậc tự toạ độ suy rộng hệ q1, q2, , qn Phương trình chuyển động Lagrange viết sau: -9d T T U ( )   Qi dt qi qi qi Trong đó: + T U động hệ + Qi lực suy rộng tương ứng với lực khơng Phương trình chuyển động Lagrange áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, áp dụng với tất hệ tuyến tính phi tuyến 1.4.5 Phương pháp ứng dụng nguyên lý Hamilton: [Nguyên lý Hamilton có nội dung sau: hệ học chịu tác động lực biết có chuyển động (trong tất chuyển động điều kiện hai đầu khoảng thời gian) cho biến thiên động năng, cơng học lực khơng bảo tồn khoảng thời gian xét không] t2 Nội dung nguyên lý biểu thị:  (T U  R )dt  t1 đó: T , U - biến phân động hệ R - biến phân công lực khơng bảo tồn (lực kích thích, lực cản) tác dụng lên hệ Từ phương trình chuyển động Lagrange xây dựng nguyên lý biến phân động học Hamilton ngược lại Vì dùng ngun lý Hamilton để làm sở cho động lực học hệ holonom [Theo ngôn ngữ G.Hertz: hệ học có liên kết biểu diễn dạng hữu hạn (liên kết hình học) gọi hệ holonom; hệ chịu liên kết biểu diễn phương trình vi phân khơng khả tích gọi hệ không holonom] -101.5 Dao động hệ hữu hạn bậc tự do: 1.5.1 Dao động tự do: Khi hệ chuyển động tự do, vị trí khối lượng xác định dạng hệ thời điểm Đối với hệ n bậc tự do, khối lượng có chuyển động phức tạp, gồm n dao động với n tần số i khác Nói chung, tỉ số chuyển vị khối lượng riêng biệt liên tục thay đổi Nhưng chọn điều kiện ban đầu cho khối lượng dao động với tần số i chọn từ phổ tần số Những dạng dao động gọi dạng dao động riêng (hay dạng đao động chính) Số dạng số bậc tự hệ Trong dạng dao động chính, quan hệ chuyển vị khối lượng số thời gian Nếu cho trước dạng dao động ta xác định tần số Việc xác định dạng dao động riêng tần số dao động riêng đóng vai trò quan trọng tốn dao động hệ hữu hạn bậc tự 1.5.1.1 Các tần số riêng dạng dao động riêng: Phương trình vi phân dao động tự khơng cản khối lượng: MY”(t) + KY(t) = (1.1) với M K ma trận vuông cấp n, thường ma trận đối xứng Nghiệm (1.1) tìm dưối dạng: Y(t) = A sin( t +  ) (1.2) Thay (1.2) vào (1.1) nhận được: [K-  M ]A = (1.3) Để hệ (1.3) có nghiệm khơng tầm thường (tức tồn dao động) thì: K  2M = (1.4) (1.4) phương trình đại số bậc n  , gọi phương trình tần số (hay phương trình đặc trưng) Các nghiệm i (với i =  n ) (1.4) tần số riêng Vectơ bao gồm tất tần số dao động riêng xếp theo thứ tự tăng dần (1  2   n gọi vectơ tần số dao động riêng (hay phổ tần số: -49l1     (  x1 )dx   EJk12  f loxo1  ( y1 )dx   ( g k k )  0; (i  : 9)  ai ai ai k 1 0  l2 l2     vi   M x  (  x )dx   EJk12  f loxo2  ( y1 )dx   ( g k k )  0; ci (i  : 9)  ci ci ci k 1 0    ( g k k )  0; k  :  k  hi   M x1  l1 (e) Từ điều kiện cực trị (e) phiếm hàm mở rộng F ta nhận 25 phương trình đại số tuyến tính để xác định 25 ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải phương trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 1, 2, 6 hàm k1 Lưu ý 1 có thứ nguyên lực lực giữ để có chuyển vị cưỡng y0 đầu Lực giữ phải khơng giải phương trình 1 (k1) =0 cho ta k1 Từ m k1  ta tìm tần số dao động riêng i cần tìm Có thể nói 1 (k1) =0 EJ đa thức đặc trưng toán Giải phương trình 1(k1)=0 theo k1 ta nhận 25 nghiệm k1 từ xác định 25 tần số dao động riêng 1  k11 EJ EJ  15,418 m ml 2  k12 EJ EJ  49,964 m ml 3  k13 EJ EJ  104,253 m ml hệ, đưa tần số dao động riêng là: Khi giải hệ phương trình (m) ta nhận thông số (i=1:9) chúng hàm k1 Đưa trị k1 tìm vào thông số sử dụng biểu thức (a) ta có dạng dao động y(x) (hình 3.9) Hình 3.9 Dạng dao động -50- 3.2.6 Thanh hai đầu tự riêng hai đầu tự Thanh có l Xác định tần số dạng dao động x khối lượng phân bố đều, tiết diện khơng đổi có độ cứng uốn EJ, hình 3.10 Xây dựng tốn hồn tồn tương tự trường hợp đầu khớp đầu tự ta y Hình 3.10 Thanh hai đầu tự có Lượng cưỡng theo (3.8) sau:   0 0  l1 l2 l1 l2   M x1  x dx   M x  x dx   EJk12  f loxo1 y1dx   EJk12  f loxo2 y dx  min  0 0 Z   M x1  l1 x dx   M x   x dx    f m1  l2 l1 f loxo1 y1dx    f m  f loxo2 y dx l2 (a) với điều kiện ràng buộc: g1  y1 x l1 g  y1 x l  y       0   d y1   d y2   y ; g  EJ   ; g  EJ     ;   dx dx   x 0   x  l2 x 0  dy   dy  ; g    x l1    x 0 ; g  Q2  dx   dx  x  l2 (b) Ta đưa toán tìm cực trị (a) có điều kiện ràng buộc (b) tốn cực trị khơng có ràng buộc cách đưa thừa số Lagrange vào phiếm hàm mở rộng sau: F  Z   gk k  (d) k 1 Giải tương tự tốn ta tìm tần số dao động riêng hai đầu tự do, đưa 1  k11 EJ EJ  22,373 m ml 2  k12 EJ EJ  61,672 m ml 3  k13 EJ EJ  120,942 m ml tần số dao động riêng là: -51Dạng dao động riêng đường đàn hồi (véc tơ riêng), hình 3.11a dạng biểu đồ lực cắt tương ứng với tần số dao động riêng (3 trị riêng xác) hình 3.11b Hình 3.11 Dạng dao động tự hai đầu tự 3.3 Dao động có lực dọc trục P= const đặt đầu Giống mục trên, ta xét thẳng, chiều dài l, có tiết diện khơng đổi, có độ cứng uốn EJ khối lượng phân bố m chiều dài thanh, chịu lực nén P đặt đầu Trạng thái cân ban đầu xem trạng thái đứng yên, không xét độ co ngắn do lực P gây Khi bị lệch khỏi vị trí cân ban đầu lực P gây momen uốn Mp: M p  PW ( x, t )  W (l , t ) (3.17) W(l,t) chuyển vị ngang đầu Trường hợp đầu cố định W(l,t) =0 Lực quán tính xác định theo (3.1), biến dạng trượt, góc xoay momen uốn gây ra, biến dạng uốn nội lực momen uốn tính theo (3.3) Khác với toán dao động tự mục trên, cần xét thêm lực momen uốn lực P gây tính theo biểu thức (3.17) Tìm nghiệm theo dạng (3.5) Bài toán dao động có lực nén P đặt đầu viết cho thời điểm t tương tự biểu thức (3.9) l l  2 y  Z   ( M  M p )  dx   f m  y dx  0  x  (3.18) -52Trong (3.18) momen Mp xác định theo (3.17) ngoại lực P gây nên có dấu trừ, ngược với dấu nội lực M Các đại lượng ngoặc vuông đại lượng biến phân (không phụ thuộc thời gian) từ (3.18) ta có phương trình cân lực sau (hai phương trình Euler)  2 M  M p   f m  x (3.19) Thay M tính theo (3.3) Mp tính theo (3.17) vào (3.19) ta có   4W ( x, t )   2W ( x, t )  2W ( x, t ) EJ   P  m 0   x t  x  (3.20) Phương trình (3.20) hai phương trình vi phân tuyến tính Khi dùng phương pháp chuyển vị cưỡng ta viết tốn dao động có lực nén dọc trục P đặt đầu sau Z   M x  M px  x dx   f x  y dx  Với ràng buộc l l 0 (3.22) g1  y ( x1 )  y  (3.23) Bài toán (3.22) với ràng buộc (3.23) khác toán dao động tự (3.11) (3.13) chỗ xét thêm momen M px lực dọc trục gây Khi dùng thừa số Lagrange  giải trực tiếp phiếm hàm mở rộng từ điều kiện   tìm tần số dao động Những tính tốn chi tiết trình bày qua ví dụ sau 3.3.1 Thanh ngàm-tự Xét thẳng có liên kết đầu P= P P= ngàm, đầu tự do, tiết diện không đổi, chiều dài l, độ cứng uốn EJ, hình 3.12 Ta tìm hàm độ võng hàm lực cắt dạng đa thức: y ( x, t )  y ( x ) cos( t ) Hỡnh 3.12 Thanh ngàm-tự -53y  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x  a5 x  a6 x  a7 x  a8 x  a9 x (a) Các hệ số (i=1:9), hệ số cần tìm Dựa vào biểu thức (3.1) tính lực quán tính  2W ( x, t ) m 2 fm  m  m y ( x )   EJ y ( x )   EJ k12 y ( x ) t EJ k12  m EJ   k1 EJ m (b) (c) Sau thay cho tần số  ta dùng k1 để tính lực quán tính (biểu thức (b)) Biết trị số k1 tính tần số  theo biểu thức (c) Biến dạng trượt, góc xoay momen uốn, biến dạng uốn nội lực momen uốn xác định theo biểu thức (3.8),momen uốn M p lực P gây xác định theo (3.17) Theo biểu thức (3.22) ta xây dựng tốn dao động ngang có lực nén P đặt đầu sau l l  d2y Z   ( M x  M xp )  dx   f m  y dx  0  dx  (d) Bài tốn tìm cực trị (d) phải thỏa mãn điều kiện sau - Góc xoay (do momen uốn) ngàm (x=0) không g1  subs( , x,0)  subs( dy( x ) , x,0)  dx (e) - Momen uốn (hoặc biến dạng uốn) đầu tự (x=l) không d y( x) g  subs(  , x, l )  dx (f) - Ta cho đầu tự (x=l) có chuyểnvị cưỡng y0 g  subs ( y ( x ), x, l )  y  (h) Bài toán (d) với ràng buộc (e), (f), (g) (h) đưa tốn cực trị khơng ràng buộc cách viết phiếm hàm Lagrange mở rộng F  Z  Z1  (i) Z1  1 g1  2 g  3 g Các hệ số 1 , 2 , 3 , gọi thừa số Lagrange ẩn toán.Tổng ẩn toán bao gồm (i=1:9), thừa số Lagrange 13 ẩn đặt vectơ -54ẩn S(i), i=1:13 Bài toán (i) toán tối ưu thông số điều kiện cực trị (3.9) viết sau l F   M  si l  d y( x)   y( x)dx   Z1  dx   fm   dx  si si  ( i  : 23 ) (j) Hàm y (j) xác định theo (a) M theo (3.3) Thực phép tính (j) nhận 13 phương trình đại số bậc để tìm 13 thơng số tốn Thơng số 3 liên quan đến chuyển vị cưỡng y0 tùy thuộc vào trị số P (được tính theo lực tới hạn Euler ) tỉ lệ h/l Lực tới hạn Euler đầu ngàm, đầu tự do, từ kết tính chương 2, Pe   EJ 4l (k) Để không bị ổn định, lực P phải nằm khỏang  P  Pe (l) Ta xét hai trường hợp h/l=0.001 h/l=0.333 h/l=1/1000: P=0.Pe (dao động tự do), k1 = 3.5160/l2; 22.0344/l2; 61.6968/l2; 121.1579/l2; 201.31424/l2 P=0.2Pe , k1 = 3.1682l2; 21.6679l2; 61.3869/l2; 120.8658/l2; 201.0311/l2 P=0.4Pe , k1 = 2.76524/l2; 21.2945/l2; 61.0754/l2; 120.5729/l2; 200.7475/l2 P= 0.6Pe , k1 = 2.2764/l2; 20.9138/l2; 60.7623/l2; 120.2793/l2; 200.4636/l2 P=0.8 Pe , k1 = 1.6236/l2; 20.5255/l2; 60.4476/l2; 119.9850/l2; 200.1793/l2 P=Pe , k1 = 43917e-6*i/l2; 20.1293/l2 ; 60.1312/l2; 119.6899/l2; 199.8946/l2 Từ kết đưa nhận xét sau Lực nén P lớn trị riêng k1 giảm, nghĩa tần số dao động giảm Lấy ví dụ, giảm tần số (tần số thứ nhất) theo P trình bày đồ thị, hình 3.13 -55- Trục tung đồ thị đại lượng ( p / 0 ) ( p / 0 ) ,  p tần số (trị riêng k1 thứ nhất) P=[ 0.2 0.4 0.6 0.8 1]Pe  tần số dao động tự (khi P=0) Đồ thị không đường thẳng mà cung lồi Khi P=Pe Thật vậy, tần số dao động khơng, đứng n Nhưng P lực tới hạn Euler nên ổn định tĩnh Ta đến kết luận Hình 3.13 Thanh hai đầu khớp trạng thái đứng yên (không dao động) trạng thái ổn định hệ động lực học h/l=1/3 P=0 (dao động tự do); k1 = 3.3463/l2 16.7909/l2 37.9463/l2 60.4789/l2 83.5571/l2 P=0.2Pe , k1 = 3.0277/l2 16.4852/l2 37.7356/l2 60.3081/l2 83.4174/l2 P=0.4Pe , k1 = 2.6540/l2 16.1720/l2 37.5235/l2 60.1366/l2 83.2774/l2 P=0.6 Pe ,k1 = 2.1948/l^2 15.8512/l2 37.3101/l2 59.9646/l2 83.1371/l2 P=0.8Pe , k1 = 1.5729/l2 15.5226/l2 37.0954/l2 59.7919/l2 82.9965/l2 P=Pe k1 = 2625e-4*i/l2 15.1859/l2 36.8794/l2 59.6187/l2 82.8556/l2 -56Bảng 3.1 Tần số dao động riêng đầu ngàm - đầu tự lực P0 giá trị so với Pe tác dụng đầu Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0*Pe 1 2 3 EJ EJ 22,027 ml ml 3,515 EJ ml 61,649 120,980 5 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,2*Pe 2 3 4 1 EJ ml 3,168 4 21,661 EJ ml 61,339 EJ ml 120,69 EJ ml 200,854 EJ ml 5 200,57 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,5*Pe 1 2,534 2 EJ ml 21,098 3 EJ ml 60,872 4 EJ ml 120,25 5 EJ ml 200,138 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,6*Pe 1 2,276 2 EJ ml 20,907 3 EJ ml 60,718 4 EJ ml 120,09 5 EJ ml 200,02 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,8*Pe 1 1,623 2 EJ ml 20,519 3 EJ ml 60,402 4 EJ ml 119,81 5 EJ ml 199,73 EJ ml -57- Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 1,0*Pe 1 2 20,129 3 EJ ml 60,132 4 EJ ml 119,69 5 EJ ml 199,89 EJ ml Các hệ số ai, bi, phụ thuộc vào  Do vậy, có tần số dao động riêng i ta thay giá trị vào thơng số ai(), bi() ta nhận trị số thật dạng dao động xác định theo (a) Dạng dao động riêng đường đàn hồi (véc tơ riêng), tần số dao động riêng (3 trị riêng xác) (Hình 3.14) Hình 3.14 Ba tần số dao động hai đầu khớp -58KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán dao động Tác giả rút kết luận sau: - Sử dụng thành công phương pháp nguyên lý cực trị Gauss toán dao động tự dầm - Đã xác định kết toán dao động tự có liên kết khác trường hợp khơng có liên kết Kết trùng khớp với kết nhận giải phương pháp khác - Xây dựng toán dao động thanh chịu lực dọc trục thay đổi theo thời gian đặt đầu KIẾN NGHỊ Qua kết nghiên cứu thấy rằng, với việc sử dụng phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss xây dựng tốn dao động cách dễ dàng Vì sử dụng phương pháp để nghiên cứu học tập lĩnh vực kết cấu cơng trình -59DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Nguyễn Phương Thành (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất – biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [4] Vương Ngọc Lưu (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất – biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Trần Hữu Hà (2006), Nghiên cứu toán tương tác cọc tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [6] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính tốn hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [7] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [8] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [9] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [10] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2006), Giáo trình ổn định cơng trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [11] Vũ Hoàng Hiệp (2008), Tính kết cấu có xét biến dạng trượt, Tạp chí xây dựng số [12] Đồn Văn Duẩn, Nguyễn Phương Thành (2007), Phương pháp tính tốn ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) -60[13] Đồn Văn Duẩn (2008), Phương pháp tính tốn ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35-Tr37) [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng trượt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [15] Đồn Văn Duẩn (2009), Phương pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86-Tr89) [16] Đồn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [17] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [18] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán động lực học cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [19] Vũ Thanh Thủy (2009), Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựng số [20] Vũ Thanh Thủy (2009), Dao động tự dầm xét ảnh hưởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [21] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIẾNG PHÁP [22] Robert L’Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, Édition Eyrolles, Paris III TIẾNG ANH [23] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [24] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang -61[25] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [26] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [27] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [28] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [29] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [30] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [31] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [32] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [33] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [34] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [35] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January -62[36] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [37] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [38] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [39] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [40] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall [41] Wang C.M, Reddy J.N, Lee K.H.( 2000), Shear deformable beems and plates – Relationships with Classical Solutions ELSEVIER, Amsterdam – Lausanne- New York – Oxford –Shannon – Singapore – Tokyo [42] Barbero Ever J, Department of Mechanica & Aerospace Engineering, West Virgina University, USA (1999), Introduction to Composite Materials Design Taylor and Francis [43] Decolon C (2002) Analysis of Composite Structures Hermes Penton, Ltd, UK [44] Fu-le Li, ZHI-zhong Sun, Corresponding author, Department of Mathematics, Shoutheast University, Nanjing 210096, PR China (2007) A finite difference scheme for solving the Timoshenko beem equations with boundary feedback Journal of Computational and applied Mathematics 200, 606 – 627, Elsevier press Avaiable online at www.sciencedirect.com -63[45] Khaji N., Corresponding author, Shafiei M., Civil Engineering DepartmentTarbiat Modares University, P O Box 14155-4838, Tehran, Tran ((2009)) Closed - form solutions for crack detection problem of Timoshenko beems with various boundary conditions International Journal of Mechanical Sciences 51, 667-681 Contents lists available at Science Direct journal hompage: www.elsevier.com/locate/ijmecsci [46] Antes H Institute of Applied Mechanics, University Carolo Wilhelmina, D38023Braunschweig, Germany (2003) Fundamental solution and integralequations for Timoshenko beems Computers and Structures 81, 383-396 Pergamon press Available online at www.sciencedirect.com [47] Nguyen Dinh Kien (2007) Free Vibration of prestress Timoshenko beems resting on elastic foundation Viet nam Journal of Mechanics, VAST, Vol.29, No 1,pp 1-12 [48] Grawford F (1974) Waves, Berkeley physics course, volume McGraw – hill Book Company IV TIẾNG NGA [49]   йзepmaн (1980), КлaссuҸeckaя механика, Москва [50] Киселев В А (1969) Строительная механика - Специальный курс Стройздат, Москва [51]  C oлak (1959), Вapuaцuoнныe прuнцuпы механикu, Москва [52] Киселев В А (1980) Строительная механика - Специальный курс Стройздат, Москва [53] A A Ҹupac (1989), Cтpouтeлbнaя механика, Стройздат, Москва [54] Г КАУДЕРЕР (1961), НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА, МОСКВА ... Dao động hệ hữu hạn bậc tự do: 1.5.1 Dao động tự do: Khi hệ chuyển động tự do, vị trí khối lượng xác định dạng hệ thời điểm Đối với hệ n bậc tự do, khối lượng có chuyển động phức tạp, gồm n dao. .. trình chịu tải trọng động, thường đánh giá sơ thông qua tần số dao động riêng thứ dạng đao động riêng thứ (tần số dao động dạng dao động bản) 1.3 Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa: Hầu hệ... xác định dạng dao động riêng tần số dao động riêng đóng vai trò quan trọng tốn dao động hệ hữu hạn bậc tự 1.5.1.1 Các tần số riêng dạng dao động riêng: Phương trình vi phân dao động tự khơng cản