Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tài liệu giảng: 10 MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ Tính tích phân sau: 1) ∫(x ) + x dx 2) ∫(x + )   3) ∫  x +  dx x 1 x + dx 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx Hướng dẫn giải: 1) ∫( 2) ∫( 4  x4  x4   44   14  989  − + = x + x dx =  + x  =  + x  = +   4       12  1 )  x2  x + x + dx =  + ( x ) + x  2  )  x2  =  + x x + x  2  = 24 − = 24 3) 9  12 − 12   23  4    4  4  116 2 x + dx x +x dx x x x x +  −  13 +  = = = + = +       =  ∫1  ∫ x  3  3     3 1 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx = ∫ 4 −    x − x +1 1 − 32 −2  −3  dx = − + dx = − x + x dx = − + x − x    ∫1  x x5 x3  ∫1  x x3   x  4       11 = − + −  = − + − −  −1 + − =− + =  3 2x   4 2.4   96 96 2.1   x x Ví dụ Tính tích phân sau: π π x 1) sin dx π dx 2) cos x ∫ π tan x dx 3) ∫ π cos x ∫ 4) tan x dx ∫0 cos x Hướng dẫn giải: π π x 1 1) sin dx = (1 − cos x ) dx = ( x − s inx ) 20 ∫ ∫ π dx 2) = ( tan x ) cos x ∫ π = tan π 4 π tan x dx tan x 3) ∫ = tan x d tan x = ( ) ∫π π cos x π tan x dx 4) ∫ =∫ cos x 0 0 π 1 π π π =  − sin  − ( − s in ) = − 2 4 π − tan = π π π tan x ( tan x + 1) dx cos x = − =1 2 π  tan x tan x  = ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) =  +    π = 35 33 14 + = 5 Ví dụ Tính tích phân sau: e 1) x2 − x + dx x − ∫ 2) ∫ ln x dx x e 1   3) ∫  x + + + x  dx x x  1 Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT 1) 4 x ( x − 1) + x − + x2 − x +   dx = dx =  x + +  dx = x + x + 6ln x − x −1 x −1 x −1  2 2 ∫ ∫ e ∫ 2) e ln x dx = x ∫ ( ∫  ln x  ln x.d (ln x) =     e ) = 20 + 6ln − = 14 + 6ln 1 −0= 8.3 24 = e e  x2 1 x3  e2 e3  1  e3 e   3) ∫  x + + + x  dx =  + ln x − +  = + − + −  − +  = + − − 3 e x x x 31 e 2   1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) dx x ∫ π 2) ∫ ∫ π π ∫ 5) ∫ ( cos x − sin x ) dx 6) − dx ∫π sin x dx ∫0 x + 9) sin e2 1   13) ∫  x +  dx 3x +  0 14) ln 2 x2 xe dx ∫ 4x + dx 3− x ln 15) ∫e 2x dx  18) ∫  x − 3 x 1 dx x 1 x cot x dx ∫π sin x 12) x e ∫ 17) cos ln x dx x ∫ ln ∫ dx π dx π x 2 x −1 11) ∫ dx 4x + − 16) π ∫ 8) ∫ 0 π π 10) x π 3) sin  +  dx 2 3 4) sin 2 x dx 7) π x − 2x + dx 2− x   dx  MỘT SỐ VÍ DỤ SỬ DỤNG PP VI PHÂN Ví dụ Tính tích phân sau: 1) ∫ x x + dx 2) ∫x ∫ ( x ∫ ∫ ( ∫ x3 + x dx ) dx = = x +8 ∫ ) ( ) 19 ∫ ) ( ) d x + = x3 + ( ) ( d ( x2 + 8) ∫ = ( 2 ∫ ( x3 + 19 3x x +2 Hướng dẫn giải: x2 + d x2 + = x2 + x + dx = 20 3x 19 4) 3) dx 4) ∫ 0 3) + dx 1 x + dx = x + d x3 + = x3 + 30 3 2) ) 1) ∫ (x x 2 = ( x + 8) 2 x2 + 19 ) ) (x ) +1 = 2 (x = +4 x2 + 54 = ) 5 x dx = 128 − 32 =2 −2 = 33 x + 8) ( 19 = 27 15 −3= 4 Ví dụ Tính tích phân sau: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT π π sin x dx 1) cos3 x ∫ π ∫ 2) sin x cos x dx 3) π π ∫ 4) sin x cos4 x dx tan x dx x ∫ cos Hướng dẫn giải: π π π π sin x tan x tan x dx = dx = tan x d tan x = 1) ( ) cos3 x cos x 0 ∫ ∫ ∫ π π π sin x 2) sin x cos x dx = sin x d ( sin x ) = π π ∫ ∫ 3 1  3 = −   = − 5   160 π 14 sin x cos4 x dx = ∫ sin x d ( sin x ) = sin x 40 ∫ π 4) π 3 π 3) = π = ( sin x ) 2  tan x 2 2 dx = tan x tan x + d tan x = tan x + tan x ( ) ( )  ∫ cos x 7  0 =0 π ∫ π π 20 21 = Ví dụ Tính tích phân sau: ln ∫ 1) π e x e e 2tan x dx 2) cos x x ∫ dx e dx 3) ∫ x 3ln x + ) ( 4) ∫ 1 + ln x dx x Hướng dẫn giải: ln ∫ 1) x e x π ln dx = ∫ e x x π 2tan x ln dx = ∫ ( ) d e x = 2e ln x π e tan x dx = e tan x d (tan x) = e d (2 tan x) = e tan x 2 cos x 0 2) ∫ 3) ∫ ∫ dx d ( 3ln x + ) ∫1 x ( 3ln x + ) = ∫1 3ln x + = ln 3ln x + e e e = + ln x dx = ∫ + ln x d (1 + ln x ) = (1 + ln x ) x e 4) = − 2e e ∫ π = ( ) e −1 ln − ln = ln 3 e = (1 + ln x ) e = −2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ∫ x x + dx 2) ∫ −1 ∫ dx 5) x+2 7) 3) (x + 4) 2 dx 8) 10) ∫ x x + dx ∫ ∫ 6) 11) 2x + 3x + dx x dx 1− x 9) 3x 1+ x3 ∫3 π − x dx −2 5x ∫ dx ∫ 22 4) ∫ x 1− x dx cos x dx x π ∫ dx π 12) ∫ cos x sin x dx Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT π 13) ∫ π sin x cos x dx π π 17) π e ∫ cos x dx 4sin x − ∫ x.e x +1 20) dx 23) e ∫ e 28) ∫ e 2ln x + dx x + ln x dx 2x sin x cos3 x dx 18) e 21) x 24) dx ∫ (e sinx + cos x ) cos x dx cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! + ln x ∫1 x dx e 27) 29) sin x dx ∫ + 3cos x π 26) ∫ cos x + 4sin x dx π 2 tan x 3cos x dx ∫ (1 − 5sin x ) π ∫ cos tan x ∫0 cos x dx π ln x dx x π 15) π cot x dx sin x ∫ π 25) ∫ π π 22) ∫ π cot x 16) ∫ dx π sin x 19) 14) π π 30) ∫ 6cos x + 1sin x dx π www.moon.vn ... sin x 12) x e ∫ 17) cos ln x dx x ∫ ln ∫ dx π dx π x 2 x −1 11) ∫ dx 4x + − 16) π ∫ 8) ∫ 0 π π 10) x π 3) sin  +  dx 2 3 4) sin 2 x dx 7) π x − 2x + dx 2− x   dx  MỘT SỐ VÍ DỤ SỬ DỤNG... dụ Tính tích phân sau: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT... = (1 + ln x ) e = −2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) ∫ x x + dx 2) ∫ −1 ∫ dx 5) x+2 7) 3) (x + 4) 2 dx 8) 10) ∫ x x + dx ∫ ∫ 6) 11) 2x + 3x + dx x dx 1− x 9) 3x 1+ x3 ∫3 π − x dx −2 5x ∫ dx ∫ 22 4) ∫ x