Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics CHƯƠNG 4: BÀI TỐN VẬN TẢI 4.1 Giới thiệu tốn Bài toán vâ ̣n tải là mô ̣t da ̣ng đă ̣c biê ̣t của bài toán quy hoa ̣ch tuyế n tính giải quyế t vấ n đề phân phố i hàng hóa từ mô ̣t số điạ điể m cung cấ p (điể m nguồ n) đế n mô ̣t số điạ điể m tiêu thu ̣ (điể m đić h) cho tổ ng cước chi phí it́ nhấ t, cự ly vâ ̣n chuyể n nhỏ nhấ t Cũng có thể áp du ̣ng bài toán vâ ̣n tải để xác đinh ̣ vi ̣ trí đă ̣t nhà kho, cửa hàng hay nhà xưởng mới xem xét mô ̣t số phương án về điạ điể m xây dựng 4.1.1 Định nghĩa Cần vậnchuyển loại hàng hoátừ mtrạmphátA1,A2, , AmđếnntrạmthuB1,B2, ,Bn.Lượnghàng cần chuyển đitương ứnglàa1, a2, ,am;yêucầucủa cáctrạmthu tương ứnglàb1,b2, ,bn.Chi phívận chuyển đơnvịhànghoá từ trạmphátAiđếntrạmthuBjlà cij Hãy lập kếhoạch vận chuyển saocho tổng chiphíthấp vàđồngthời đảmbảo cácyêu cầu trạmthuvàphát Phát\Thu a1 a2 … … am b1 b2 c11 c21 ci1 cm1 c12 c22 ci2 cm2 … … … … … … … bj c1j c2j cij cmj … … … … … … … bn c1n c2n cin cmn Gọixijlàlượng hàng chuyển từ Aiđến Bj Tổngchiphítheokếhoạch vậnchuyểnx={ xij}mxnlà m f ( x)   i 1 n c x j 1 ij ij m Mơ hình tốn học: f ( x)   i 1 n c x j 1 ij ij   n  xij  (i  m)  j 1  n  xij  b j ( j  n)  j 1  x  0(i  m, j  n)  ij  4.1.2 Điều kiện cân thu phát GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Đặt: m a   gọi tổng phát i 1 n b   b j gọi tổng thu j 1 Bài toán vận tải dạng tắc cân thu phát (a=b) ln ln có nghiệm Đây gọi tốn vận tải kín 4.2 Phương pháp giải Xét toán vận tải sau: Tổ ng công ty xây dựng XaToCo có sở sản xuấ t đá dăm (A1, A2, A3) và công trường xây dựng (B1, B2, B3) Công suấ t sản xuấ t đá hàng tuầ n của các sở lầ n lươ ̣t là 50, 60,70m3 Nhu cầ u tiêu thu ̣ đá hàng tuầ n của ba công trường lầ n lươ ̣t là 40, 85, 55m3 Cước phí vâ ̣n chuyể n 1m3 đá từ các sở sản xuấ t đá đế n các công trường tiêu thu ̣ đá không phu ̣ thuô ̣c vào khố i lươ ̣ng đá vâ ̣n chuyể n sau (đơn vi ̣tính 10.000 đồ ng): B1 B2 B3 A1 A2 A3 6 Hãy xác đinh ̣ phương án vâ ̣n chuyể n đá từ nơi cung cấ p đế n nơi tiêu thu ̣: 50m2 C¬ sở A1 Công tr-ờng B1 40m2 60m2 Cơ sở A2 Công tr-ờng B2 85m2 70m2 Cơ sở A3 Công tr-ờng B3 55m2 khả cung cấp Luồng vận chuyển Nhu cầu tiêu thụ Hỡnh 0.1. th minh bi toỏn vận tải Trước hết thiết lập toán vận tải dạng bảng - Thiế t lâ ̣p mô ̣t bảng da ̣ng ma trâ ̣n với các dòng tương ứng với các điể m cung cấ p (điể m nguồ n), các cô ̣t tương ứng với các điể m tiêu thu ̣ (điể m đić h) - Ở góc phải cùng của từng ô thể hiê ̣n chi phí vâ ̣n chuyể n cho mô ̣t đơn vi ̣ hàng hóa giữa điể m nguồ n và điể m đić h tương ứng - Giá tri ̣ của từng ô sẽ thể hiê ̣n lươ ̣ng hàng hóa vâ ̣n chuyể n từ điể m nguồ n đế n điể m đić h GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics tương ứng - Bổ sung mô ̣t cô ̣t sau cùng của bảng biể u thi ̣khả cung cấ p giới ̣n của từng điể m nguồ n và bổ sung mô ̣t dòng dưới cùng biể u thi ̣nhu cầ u tiêu thu ̣ cho từng điể m đić h Bảng 0.1Dạng bảng tốn vận tải 4.2.1.Phương pháp góc Tây Bắc Bản chất:Ưu tiên phân phối cho (1,1), góc Tây Bắc Để tim ̀ lời giải ban đầ u cho bài toán vâ ̣n tải, phương pháp góc tây bắ c bắ t đầ u phân phố i lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyể n từ ô cùng bên trái (ô ở góc tây bắ c của bảng) theo quy tắ c sau: - Tâ ̣n du ̣ng tố i đa khả cung cấ p của mỗi điể m nguồ n tương ứng với mỗi dòng trước chuyể n sang dòng tiế p theo - Đáp ứng tố i đa cầ u của mỗi điể m đích tương ứng với mỗi cô ̣t trước chuyể n sang cô ̣t tiế p theo - Đảm bảo tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p và đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ • Và bây giờ chúng ta áp du ̣ng phương pháp góc tây bắ c để tìm nghiê ̣m khả di ̃ ban đầ u cho tốn - Bắ t đầ u từ cùng bên trái, phân phố i 40m3 đá từ sở sản xuấ t A1 và B1 Nhu cầ u tiêu thu ̣ của công trường B1 đã đươ ̣c đáp ứng đủ sở sản xuấ t đá A1 còn thừa 10m3 đá, vâ ̣y tiế p tu ̣c phân phố i cho cô ̣t tiế p theo - Phân phố i 10m3 đá của sở sản xuấ t A1 cho công trường B2 Do đã tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p của A1, chuyể n sang dòng thứ hai để tiế p tu ̣c phân phố i GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics - Phân phố i 60m3 đá của sở sản xuấ t A2 cho công trường B2 Do đã tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p của A2, tiế p tu ̣c chuyể n sang dòng thứ ba - Phân phố i 15m3 của sở sản xuấ t A3 để đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ của công trường B2 là 80m3 Như vâ ̣y sở sản xuấ t đá A3 còn 55m3 chưa đươ ̣c vâ ̣n chuyể n - Phân phố i 55m3 đá từ A3 đế n B3 Sự phân phố i cuố i cùng này đã tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p của các điể m nguồ n, và đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ của điể m đích Bảng 0.2Mẫu phân phối theo phng phỏp gúc tõy bc Công tr-ờng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 A1 40 khả cung cÊp B3 50 10 60 60 A2 15 A3 nhu cầu tiêu thô 40 85 70 55 55 180 Cã nghÜa vận chuyển 15m3 đá từ sở sản xuất đá A3 đến công tr-ờng B3 Tụ ng cc phi vâ ̣n chuyể n của mẫu phân phố i này đươ ̣c tiń h sau: Lộ trình Từ Đến Lượng vận chuyển A1 A1 A2 A3 A3 B1 B2 B2 B3 B3 40 10 60 15 55 Đơn giá cước phí vận chuyển 6 Tổng cước phí 80 10 240 90 330 Tổng cước phí: 750 Lời giải này là nghiê ̣m ban đầ u chấ p nhâ ̣n đươ ̣c vì đã thỏa mañ các ràng buô ̣c về nhu cầ u tiêu thu ̣ và khả cung cấ p Tuy nhiên hiế m mẫu phân phố i theo phương pháp góc tây bắ c là lời giải tố i ưu bởi vì phương pháp này hoàn toàn không ý tro ̣ng gì đế n cước phí vâ ̣n chuyể n các tuyế n đường 4.2.2 Phương pháp chi phí nhỏ Bản chất:Ưu tiênphân phối chcóchiphí cijnhỏ Vì khơng lưu ý đế n các giá tri ̣chi phí vâ ̣n chuyể n nên phương pháp góc tây bắ c thường đưa GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics lời giải khả di ̃ ban đầ u cách xa lời giải tố i ưu làm kéo dài thời gian tim ̀ nghiê ̣m tố i ưu của bài toán vâ ̣n tải Phương pháp số nhỏ nhấ t bảng (hay còn go ̣i là phương pháp cước phí bé nhấ t) có thể đươ ̣c dùng để tim ̀ lời giải ban đầ u gầ n tố i ưu cho bài toán vâ ̣n tải theo các quy tắ c sau: - Ưu tiên phân phố i cho ô có giá tri ̣nhỏ nhấ t (cước phí vâ ̣n tải mô ̣t đơn vi ̣hàng hóa thấ p nhấ t) Trường hơ ̣p khả cung cấ p của điể m nguồ n tương ứng với ô đó lớn nhu cầ u tiêu thu ̣ của điể m đích tương ứng thì đáp ứng tố i đa nhu cầ u Trường hơ ̣p ngươ ̣c la ̣i thì tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p của điể m nguồ n - Loa ̣i bỏ dòng tương ứng với điể m nguồ n đã hế t khả cung cấ p hay cô ̣t tương ứng với điể m đić h đã đươ ̣c đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ Xác đinh ̣ la ̣i ô có giá tri ̣ nhỏ nhấ t để tiế p tu ̣c ưu tiên phân phố i - Thực hiê ̣n lă ̣p la ̣i hai bước cho đế n tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p của các điể m nguồ n và đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ của các điể m đích • Và bây giờ chúng ta áp du ̣ng phương pháp số nhỏ nhấ t bảng để tim ̀ nghiê ̣m khả di ̃ ban đầ u cho ví du ̣ - Bắ t đầ u ưu tiên phân phố i cho ô (A1B2) là ô có giá tri ̣ cước phí vâ ̣n chuyể n 1m3 đá là nhỏ nhấ t Khố i lươ ̣ng đá vâ ̣n chuyể n từ A1 đế n B2 là 50m3 bằ ng với khả cung cấ p tố i đa của A1 Cở sở sản xuấ t A1 đã hế t khả cung cấ p nên ô (A1B1) và ô (A1B3) của dòng thứ nhấ t bi ̣ loa ̣i bỏ - Sau đã loa ̣i bỏ dòng thứ nhấ t tương ứng với điể m nguồ n A1 đã đươ ̣c tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p thì ô giá tri ̣ cước phí nhỏ nhấ t đươ ̣c ưu tiên phân phố i là ô (A2B1) và ô (A2B3) Phân phố i 40m3 đá từ A2 đế n B1 bằ ng với nhu cầ u tiêu thu ̣ tố i đa của điể m đích B1 Ô B3 có nhu cầ u tiêu thu ̣ tố i đa đế n 55m3 ô A2 chỉ còn có thể đáp ứng đươc̣ 20m3 nên lươ ̣ng phân phố i từ A2 đế n B3 là 20m3 Cơ sở sản xuấ t A2 đã hế t khả cung cấ p nên ô (A2B2) và (A2B3) không đươ ̣c xem xét tiế p Công trường B1 đã đươ ̣c đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ nên ô (A3B1) cũng bi ̣loa ̣i bỏ - Cuố i cùng còn la ̣i ô (A3B2) và ô (A3B3), các giá tri ̣ lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyể n phân phố i vào hai ô này đề u là 35m3 Như vâ ̣y điể m nguồ n A3 đã tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p là 70m3 , điể m đić h B2 tiế p nhâ ̣n 50 +35 = 85m3 và B3 tiế p nhâ ̣n 20 + 35 = 55m3 theo đúng nhu cầ u Tổ ng cước phí vâ ̣n chuyể n của mẫu phân phố i này đươ ̣c tiń h sau: Lộ trình Từ A1 A2 A2 A3 A3 Đến B2 B1 B3 B2 B3 Lượng vận chuyển 50 40 20 35 35 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Đơn giá cước phí vận chuyển 3 6 Tổng cước phí 50 120 60 210 210 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Tổng cước phí: 650 Bảng 0.3Mẫu phân phối theo phương pháp số nh nht bng Công tr-ờng Cơ sở sản xuất ®¸ B1 B2 40 20 35 A3 nhu cầu tiêu thụ B3 50 A1 A2 khả cung cấp 40 85 35 55 50 60 70 180 Như vâ ̣y, so sánh cước phí vâ ̣n chuyể n của hai mẫu phân phố i theo phương pháp góc tây bắ c và phương pháp số nhỏ nhấ t bảng, ta có thể thấ y nghiê ̣m khả di ̃ ban đầ u của phương pháp này tố t 4.2.3 Phương pháp xấp xỉ Volgel-VAM Bản chất:Ưu tiên phân phối có cước phí nhỏ thuộc hàng (cột) có chênh lệch lớn cước phí nhỏ nhì Phương pháp xấ p xỉ Vogel (VAM) khơng đơn giản hay tương đố i dễ thực hiê ̣n các phương pháp đã nêu la ̣i xác đinh ̣ lời giải khả di ̃ ban đầ u tố t nhấ t mà thường la ̣i là lời giải tố i ưu cho bài toán vâ ̣n tải Sáu bước để tim ̀ lời giải khả di ̃ ban đầ u theo phương pháp VAM sau: Bước Xác đinh ̣ chênh lê ̣ch cước phí vâ ̣n tải giữa hai ô có chi phí thấ p nhấ t ứng với mỗi dòng và cô ̣t Giá tri ̣ này là chi phí hô ̣i không cho ̣n tuyế n đường vâ ̣n tải tố t nhấ t thể hiê ̣n chênh lê ̣ch cước phí giữa tuyế n đường vâ ̣n tải tố t nhấ t và tuyế n đường vâ ̣n tải tố t thứ hai Bước Xác đinh ̣ dòng hoă ̣c cô ̣t có chi phí hô ̣i lớn nhấ t Bước Phân phố i tố i đa lươ ̣ng hàng có thể vâ ̣n chuyể n cho ô có cước phí vân chuyể n nhỏ nhấ t ứng với dòng hoă ̣c cô ̣t đã cho ̣n Bước Loa ̣i bỏ dòng đã tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p hay cô ̣t đã đươ ̣c đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ Bước Tính toán la ̣i chi phí hô ̣i cho bảng vâ ̣n tải sau đã loa ̣i bỏ dòng hay cô ̣t ở bước Bước Trở la ̣i bước và thực hiê ̣n lă ̣p la ̣i các bước cho đế n tâ ̣n du ̣ng hế t khả cung cấ p của các điể m nguồ n và đáp ứng đủ nhu cầ u tiêu thu ̣ của các điể m đích để có đươ ̣c lời GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics giải ban đầ u Và bây giờ chúng ta áp du ̣ng phương pháp xấ p xỉ Vogel để tim ̀ nghiê ̣m khả di ̃ ban đầ u cho ví du ̣ - Bước đươ ̣c thực hiê ̣n ở bảng Các số triǹ h bày bên tay phải và cuố i cùng thể hiê ̣n giá tri ̣ chênh lê ̣ch cước phí vâ ̣n tải giữa hai ô có cước phí thấ p nhấ t ứng với mỗi dòng và cô ̣t Ví du ̣ ở dòng A1, cước phí vâ ̣n chuyể n đơn vi ̣ lầ n lươ ̣t là 2, và (10.000 đồ ng) Giá tri ̣ cước phí thấ p nhấ t là và 1, vâ ̣y chênh lê ̣ch cước phí là (xem bảng) Bảng 0.4Bảng vận tải trình bày giá trị chi phớ c hi Công tr-ờng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 khả cung cấp B3 A1 A2 6 A3 nhu cầu tiêu thụ 40 85 55 50 60 70 180 Bảng 0.5Mẫu phân phối VAM tận dụng khả cung cấp B1 Công tr-ờng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 A1 x B3 50 khả cung cấp x A2 6 A3 nhu cầu tiêu thụ 40 85 55 1 2 50 60 70 180 - Ở bảng trên, giá tri ̣chi phí hô ̣i lớn nhấ t là tương ứng với cô ̣t B2 đươc̣ cho ̣n - Bước đươ ̣c thực hiê ̣n bảng Tuyế n đường đươ ̣c ưu tiên phân phố i là từ A1 đế n B2 với giá tri ̣cước phí đơn vi ̣là Lươ ̣ng hàng phân phố i vào ô (A1B2) là 50 không vươ ̣t quá khả GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics cung cấ p của A1 - Bước đươ ̣c thực hiê ̣n bảng 5.5 Các ô của dòng A1 không đươ ̣c xem xét nữa Sử du ̣ng ký hiê ̣u X để đánh dấ u các ô loa ̣i - Phầ n tính toán la ̣i chi phí hô ̣i cho bảng vâ ̣n tải cũng đươ ̣c trình bày ở bảng 5.5 Giá tri ̣ chi phí hô ̣i ở cô ̣t B1, B2 và B3 thay đổ i, dòng A1 đươ ̣c loa ̣i bỏ và dòng A2, A3 không đổ i - Lâ ̣p la ̣i quá triǹ h tính toán, này thì cô ̣t B3 có giá tri ̣ chi phí hô ̣i lớn nhấ t Phân phố i 55m3 vào ô có cước phí vâ ̣n chuyể n nhỏ nhấ t không có đánh dấ u X của cô ̣t B3 là ô (A2B3) (bảng 5.6) Do nhu cầ u tiêu thu ̣ của điể m đić h B3 đã đươ ̣c đáp ứng nên ô (A3B3) không đươc̣ xem xét nữa Chi phí hô ̣i đươ ̣c tính toán la ̣i bảng 5.7 Bảng 0.6Mẫu phân phối VAM đáp ứng nhu cầu tiờu th B3 Công tr-ờng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 A1 B3 x 50 x 55 A2 6 x A3 nhu cầu tiêu thụ khả cung cấp 40 85 55 1 2 50 60 1 70 2 180 Bảng 0.7Mẫu phân phối cui cựng theo VAM Công tr-ờng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 A1 x nhu cầu tiªu thơ 40 x A3 B3 50 A2 55 30 khả cung cấp x 40 85 55 1 2 50 60 1 70 2 180 - Cô ̣t B2 hay dòng A3 có giá tri ̣ chi phí hô ̣i lớn nhấ t Ta cho ̣n dòng A3 và ô (A3B1) để cho lươ ̣ng hàng hóa phân phố i đươ ̣c nhiề u nhấ t (nế u cho ̣n cô ̣t B2 và ô (A2B2) thì chỉ GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics có thể phân phố i 5m3) Phân phố i 40m3 đá vâ ̣n chuyể n theo tuyế n đường từ A3 đế n B1 Ô (A2B1) bi ̣loa ̣i bỏ - Thực hiê ̣n phân phố i lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyể n cho hai ô (A2B2) và (A3B2) bằ ng cách xem xét khả cung cấ p của từng điể m nguồ n (tương ứng với dòng) và nhu cầ u tiêu thu ̣ của từng điể m đić h (tương ứng với cô ̣t) Phân phố i 5m3 vào ô (A2B2) và 30m3 vào ô (A3B2) để hoàn tấ t bảng (bảng 5.7) - Tổ ng cước phí vâ ̣n chuyể n của mẫu phân phố i này đươ ̣c tiń h sau: Bảng 0.8 Bảng cước phí Lộ trình Từ A1 A2 A2 A2 A3 Đến B2 B2 B3 B1 B2 Lượng vận Đơn giá cước chuyển phí vận chuyển 50 55 40 30 Tổng cước phí: 575 Tổng cước phí 50 20 165 160 180 Ví dụ Giải tốn vận tải sau cách xác định phương án vận chuyển (số lượng bàn tuyến) theo phương pháp Cung 100 NGUồN Nhà máy F1 Đích $5 $4 Cầu Nhµ kho T1 300 Nhµ kho T2 200 Nhµ kho T3 200 $3 $8 300 Nhà máy F2 $9 300 Nhà máy F3 $4 $3 $7 $5 T d liu toán ta thiết lập toán dạng bảng GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Kho Cung cÊp Nhà máy T1 T2 T3 F1 F2 F3 Nhu cÇu 300 200 200 100 300 300 700 Phương pháp góc Tõy Bc Kho Cung cấp Nhà máy T1 F1 F2 T2 100 200 100 F3 Nhu cÇu T3 100 300 200 200 200 100 300 300 700 Bảng chi phí theo phương pháp góc Tây Bắc Lộ trình Từ F1 F2 F2 F3 F3 Đến T1 T1 T2 T2 T3 Lượng vận Đơn giá cước chuyển phí vận chuyển 100 200 100 100 100 Tổng cước phí: 4200 Tổng cước phí 500 1600 400 700 1000 Phương pháp chi phí nhỏ GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 10 Bài Giảng Toán Chuyên Ngnh Specialized Mathematics Kho Cung cấp Nhà máy T1 T2 T3 F1 100 F2 200 100 F3 300 Nhu cÇu 300 200 200 100 300 300 700 Bảng chi phí theo phương pháp góc Tây Bắc Lượng vận Đơn giá cước chuyển phí vận chuyển 100 200 100 100 100 Tổng cước phí: 4200 Lộ trình Từ F1 F2 F2 F3 F3 Đến T1 T1 T2 T2 T3 Tổng cước phí 500 1600 400 700 1000 Phương pháp xấp xỉ Volgel-VAM Bước Kho Cung cấp Nhà máy T1 T2 F1 100 T3 x x F2 F3 Nhu cÇu 300 200 200 0 100 300 300 700 Bước GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 11 Bài Giảng Tốn Chun Ngành – Specialized Mathematics Kho Cung cÊp Nhµ m¸y T1 T2 F1 100 x x F2 200 F3 Nhu cÇu T3 x 300 200 200 3 100 300 300 700 Kho Cung cấp Nhà máy T1 T2 F1 100 x 200 Nhu cÇu 100 x F2 F3 T3 100 x 100 300 200 200 3 100 300 300 700 4.2.4 Các trường hợp khác tốn vận tải • Bài tốn vận tải hở Bài toán vâ ̣n tải hở (bài toán vâ ̣n tải không cân bằ ng) là bài toán có tổ ng lươ ̣ng cung cấ p từ các điể m nguồ n khác với tổ ng lươ ̣ng tiêu thu ̣ ở các điể m đić h (ví du ̣) Có thể áp du ̣ng thuâ ̣t toán để giải bài toán vâ ̣n tải hở bằ ng cách bổ sung thêm điể m cung cấ p ảo (điể m nguồ n ảo) hay điể m tiêu thu ̣ ảo (điể m đić h ảo) Khi tổ ng lươ ̣ng cung cấ p lớn tổ ng lươ ̣ng tiêu thu ̣, ta ̣o điể m đić h ảo với nhu cầ u tiêu thu ̣ đúng bằ ng lươ ̣ng cung cấ p dư Nế u nhu cầ u tiêu thu ̣ lớn khả cung cấ p, đưa thêm điể m nguồ n ảo có khả cung cấ p đúng bằ ng lươ ̣ng tiêu thu ̣ còn thiế u Gán giá tri ̣ chi phí vâ ̣n chuyể n đơn vi ̣ các tuyế n đường xuấ t phát từ các điể m nguồ n ảo hay đế n các điể m đić h ảo bằ ng khơng Ví dụ 2Xí nghiê ̣p sản xuấ t vâ ̣t liê ̣u xây dựng có ba sở khai thác cát (A1, A2, A3) cung cấ p cát thường xuyên cho ba công trường xây dựng (B1, B2, B3) Công suấ t sản xuấ t cát hàng tuầ n của các sở lầ n lươ ̣t là 55, 45, 50m3 Nhu cầ u tiêu thu ̣ cát hàng tuầ n của ba công trường lầ n lươ ̣t là 35, 25, 70m3 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 12 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Cước phí vâ ̣n chuyể n 1m3 cát từ các sở sản xuấ t cát đế n các công trường tiêu thu ̣ cát sau (đơn vi ̣tiń h 1.000 đồ ng): B1 B2 B3 A1 A2 A3 3 Hãy xác đinh ̣ phương án vâ ̣n chuyể n cát từ nơi cung cấ p đế n nơi tiêu thu ̣ để tổ ng chi phí vâ ̣n chuyể n là thấ p nhấ t Lươṇ g cát khai thác dư có thể bán la ̣i ta ̣i vi ̣trí khai thác cho các công ty xây dựng khác Bài toán này có tổ ng lươ ̣ng cung cấ p là 150m3 và tổ ng lươ ̣ng tiêu thu ̣ là 130m3 Để chuyể n bài toán vâ ̣n tải hở này về bài toán vâ ̣n tải kiń , ta bổ sung mô ̣t cô ̣t ảo là công trường B ảo có nhu cầ u tiêu thu ̣ là 20m3 Cước phí vâ ̣n chuyể n đơn vi ̣ từ các sở khai thác cát Ai đế n công trường ảo này bằ ng khơng Từ ta có bảng tốn vận tải kín sau C«ng tr-êng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 B3 B3 ảo 5 4 3 A1 A2 A3 nhu cầu tiêu thụ 35 25 70 20 khả cung cấp 55 45 50 150 Bài toán vâ ̣n tải cưc̣ đa ̣i hàm mu ̣c tiêu Có mô ̣t số bài toán vâ ̣n tải tim ̀ lời giải tố i ưu là cực đa ̣i tiề n lời thay vì cực tiể u cước phi.́ Khi đó, có thể chuyể n từ bài toán cực đa ̣i hàm mu ̣c tiêu về bài toán cực tiể u tương đương Các giá tri ̣ tiề n lời đơn vi ̣ đươ ̣c biể u diễn bằ ng giá tri ̣ âm bảng vâ ̣n tải xem là chi phí thiê ̣t ̣i không cho ̣n phương án vâ ̣n chuyể n Giải bải toán cực tiể u tương đương này theo thuâ ̣t toán vâ ̣n tải đã đươ ̣c triǹ h bày ở phầ n Để ̣n chế nhầ m lẫn tiń h toán với các giá tri ̣“chi phi”́ âm bảng vâ ̣n tải, ta có thể cô ̣ng thêm mô ̣t số dương vào các giá tri ̣ “chi phí” âm cho tấ t cả các giá tri ̣ bảng vâ ̣n tải là không âm Viê ̣c cô ̣ng thêm mô ̣t giá tri ̣không đổ i bấ t kì vào toàn bô ̣ các giá tri ̣cước phí của bảng vâ ̣n tải sẽ không làm thay đổ i nghiê ̣m tố i ưu của bài toán Sau lời giải tố i ưu của bài toán tương đương đươ ̣c xác đinh, ̣ tiń h tổ ng tiề n lời bẳ ng cách cô ̣ng các giá tri ̣ tiề n lời của từng tuyế n đường có phân phố i lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyể n (xem ví du ̣) GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 13 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Ví dụ Cơng ty vâ ̣t liê ̣u xây dựng CoVaXa có sở khai thác cát (A1, A2, A3) cung cấ p cát thường xuyên cho ba công trường xây dựng (B1, B2, B3) của công ty xây dựng tổ ng hơ ̣p CoXaTo Công suấ t sản xuấ t cát hàng tuầ n của các sở lầ n lươ ̣t là 55, 45, 50m3 Nhu cầ u tiêu thu ̣ cát hằ ng tuầ n của ba công trường lầ n lươ ̣t là 35, 45, 70m3 Tiề n lời cung cấ p 1m3 cát từ sở sản xuấ t cát đế n các công trường tiêu thu ̣ sau (đơn vi ̣tiń h 1.000 đồ ng): B1 B2 B3 A1 4 A2 2 A3 3 Hãy xác đinh ̣ phương án vâ ̣n chuyể n cát từ nơi cung cấ p đế n nơi tiêu thu ̣ để tổ ng tiề n lời la ln nhõ t Công tr-ờng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 khả cung cấp B3 3 A1 A2 A3 nhu cầu tiêu thụ 35 25 70 55 45 50 150 Bài toán vận tải với khả lưu thông khả chuyên chở bị giới hạn Trong thực tế , có trường hơ ̣p viê ̣c vâ ̣n chuyể n từ mô ̣t điể m cung cấ p đế n nơi tiêu thu ̣ bi ̣ giới ̣n hay không thể thực hiê ̣n đươ ̣c đường bi ̣ cấ m, đường không tồ n ta ̣i hay đươ ̣c sửa chữa Để giải quyế t bài toán vâ ̣n tải bi ̣ ràng buô ̣c về đường đi, ta gán giá tri ̣ chi phí đơn vi ̣ tuyế n đường không thể vâ ̣n chuyể n đươ ̣c mô ̣t số dương rấ t lớn (trường hơ ̣p bài toán cực tiể u cước phí) hay giá tri ̣dương rấ t nhỏ (trường hơ ̣p bài toán cực đa ̣i tiề n lời) Ví dụ Tở ng cơng ty xây dựng XaToCo có ba sở sản xuấ t đá dăm (A1, A2, A3) và ba công trường xây dựng (B1, B2, B3) Công suấ t sản xuấ t đá hàng tuầ n của các sở lầ n lươ ̣t là 50, 60, 70m3 Nhu cầ u tiêu thu ̣ đá hàng tuầ n của ba công trường lầ n lươ ̣t là 40, 85, 55m3 Cước phí vâ ̣n chuyể n 1m3 đá từ các sở sản xuấ t đá đế n các công trường tiêu thu ̣ đá sau (đơn vi ti ̣ ́nh 10.000 đồ ng): GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 14 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Giả sử tuyế n đường từ A2 đế n B3 chỉ có thể chuyên chở tố i đa đươ ̣c 25m3 Hãy xác đinh ̣ phương án vâ ̣n chuyể n đá từ nơi cung cấ p đế n nơi tiêu thu ̣ để tổ ng cước phí vâ ̣n chuyể n là thấ p nhấ t Do ̣n chế khả lưu thông nên tuyế n đường này chỉ có thể vâ ̣n chuyể n tố i đa 25m3 Để ̣n chế khả chuyên chở tuyế n đường này, ta tách điể m tiêu thu ̣ B3 thành hai điể m B3a và B3b Điể m đích B3a có nhu cầ u tiêu thu ̣ là 25m3 Điể m đích B3b có nhu cầ u tiêu thu ̣ là 30m3 Vì không thể vâ ̣n chuyể n quá 25m3 đá từ A2 đế n B3 nên ta xem không tồ n ta ̣i tuyế n A2-B3b Giá tri ̣ cước phí đơn vi ̣ của ô tương ứng với că ̣p điể m cung cấ p – tiêu thu ̣ A2-B3b sẽ đươ ̣c gán mô ̣t giá tri ̣ dương thâ ̣t lớn để cho lời giải tố i ưu cực tiể u hàm mu ̣c tiêu của bài toán sẽ không phân phố i hàng vâ ̣n chuyể n vào tuyế n đường này Bảng vâ ̣n tải và lời giải tố i ưu của bàu toán đươ ̣c trình bày ở bảng Giá tri ̣30m3 phân phố i vào ô A3-B3b thể hiê ̣n lươ ̣ng hàng đươ ̣c vâ ̣n chuyể n từ sở sản xuấ t A3 đế n cơng trường tiêu thu ̣ B3 C«ng tr-êng Cơ sở sản xuất đá B1 B2 B3a khả cung cÊp B3b 5 20 6 A1 A2 A3 nhu cÇu tiªu thơ 40 85 25 30 50 60 70 180 4.2.5 Giải Quy hoạch tuyến tính nhị phân Ví dụ Công ty xây dựng XaDuCo có ba sở sản xuấ t đá dăm (A1, A2, A3) và bố n công trường xây dựng (B1, B2, B3, B4) Công suấ t sản xuấ t đá hàng tuầ n của các sở lầ n lươ ̣t là 50, 55, 70m3 Nhu cầ u tiêu thu ̣ đá của bố n công trừơng lầ n lươ ̣t là 30, 60, 20, 40m3 Cước phí vâ ̣n chuyể n 1m3 đá từ các sở sản xuấ t đế n các công trường tiêu thu ̣ đá sau (đơn vi ti ̣ ń h 10.000 đồ ng): B1 B2 B3 B4 A1 15 18 19 13 A2 21 14 15 17 A3 25 12 17 22 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 15 Bài Giảng Toán Chuyên Ngành – Specialized Mathematics Hãy xác đinh ̣ phương án vâ ̣n chuyể n đá từ nơi cung cấ p đế n nơi tiêu thu ̣ dể tổ ng cước phí vâ ̣n chuyể n là thấ p nhấ t Giải bài toán vâ ̣n tải bằ ng thuâ ̣t toán đơn hiǹ h bằ ng cách đă ̣t ẩ n số xij là lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyể n từ điể m cung cấ p i đế n điể m tiêu thu ̣ j B1 B2 B3 B4 A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34 Mô hình toán: Hàm mu ̣c tiêu: MinZ = 15x11 + 18x12 + 19x13 + 13x14 + 21x21 + 14x22 + 15x23 + 17x24 + 25x31 + 12x32 + 17x33 + 22x34 Ràng buô ̣c: Theo điề u kiê ̣n về khả cung cấ p x11+ x12 + x13 + x14≤ 50 x21 + x22 + x23 + x24≤55 x31 + x32 + x33 + x34≤70 Theo điề u kiê ̣n nhu cầ u tiêu thu ̣ x11+ x21 + x31≥30 x12 + x22 + x32 ≥ 60 x13 + x23 + x33≥20 x14 + x24 + x34≥40 - Điề u kiê ̣n biên: xij≥0 Giải phần mềm LINGO ta có: Đáp sớ : x11 = 30; x14 = 20; x23 = 20; x24 = 20; x32 = 60; Z = 2070 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 16 Bài Giảng Tốn Chun Ngành – Specialized Mathematics • Tổng qt hóa tốn Nế u go ̣i: m: tở ng sớ điể m cung cấ p (điể m nguồ n) n: tổ ng số điể m tiêu thu ̣ (điể m đích) si: khả cung cấ p của điể m nguồ n thứ i (i= 1,….m) dj: nhu cầ u tiêu thu ̣ của điể m đić h j (j = 1,….n) cij: chi phí vâ ̣n chuyể n mô ̣t đơn vi ̣hàng hóa từ điể m nguồ n i đế n điể m đích j xij: lươ ̣ng hàng đươ ̣c vâ ̣n chuyể n từ điể m nguồ n i đế n điể m đić h j Ta có thể viế t da ̣ng quy hoa ̣ch tuyế n tiń h của bài toán vâ ̣n tải mô ̣t cách tổ ng quát sau: Mô hình toán: m n Hàm mu ̣c tiêu: Min Z   cij xij i 1 j 1 Ràng buô ̣c: Theo điề u kiê ̣n về khả cung cấ p: n x j 1 Theo điề u kiê ̣n nhu cầ u tiêu thu ̣: n x j 1 ij ij  dj  si (i  1, , m) ( j  1, , n) Điề u kiê ̣n biế n: xij≥0 GV: Trần Đức Học, Huỳnh Thị Minh Trúc 17 ... thu ̣ j B1 B2 B3 B4 A1 x11 x12 x13 x 14 A2 x21 x22 x23 x 24 A3 x31 x32 x33 x 34 Mô hình toán: Hàm mu ̣c tiêu: MinZ = 15x11 + 18x12 + 19x13 + 13x 14 + 21x21 + 14x22 + 15x23 + 17x 24 + 25x31 + 12x32... + x22 + x32 ≥ 60 x13 + x23 + x33≥20 x 14 + x 24 + x 34 40 - Điề u kiê ̣n biên: xij≥0 Giải phần mềm LINGO ta có: Đáp sớ : x11 = 30; x 14 = 20; x23 = 20; x 24 = 20; x32 = 60; Z = 2070 GV: Trần Đức... 17x 24 + 25x31 + 12x32 + 17x33 + 22x 34 Ràng buô ̣c: Theo điề u kiê ̣n về khả cung cấ p x11+ x12 + x13 + x 14 50 x21 + x22 + x23 + x 24 55 x31 + x32 + x33 + x 34 70 Theo điề u kiê ̣n nhu cầ u