Đang tải... (xem toàn văn)
Tập hợp đề kiểm tra kết thúc học phần Toán cao cấp 1 dành cho sinh viên Đại học đại cương, có đáp án chi tiết kèm barem điểm chuẩn. Nếu bạn nào có thắc mắc thì nhắn tin trực tiếp mình sẽ giải đáp thắc mắc.
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (1) Tên học phần: Tốn cao cấp 1; Số tín chỉ: Thời gian: 75 phút (khơng tính thời gian phát đề) Câu ( điểm) Cho f x x 5x 1 Tìm B f A 4 7 b) Cho C Tìm ma trận X thỏa BX C 1 10 a) Cho A 1 0 Câu ( điểm) Tìm hạng ma trận D 2 3 4 4 8 2 x1 x2 Câu (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính x1 m 1 x2 x3 2 4 x1 x2 m x3 m m Giải biện luận hệ phương trình theo m Câu ( điểm) Cho hệ vectơ A 1 2,0,3 ,2 4,5,2 ,3 2,10,1 a) Chứng minh hệ vectơ A sở khơng gian b) Tìm x , biết x 2, 2,5 A c) Tìm m để vectơ x 1,2, m 1 tổ hợp tuyến tính 1 , 2 Câu ( điểm) Cho dạng toàn phương: Q x1 x2 10 x3 mx1x2 Tìm m để Q dạng toàn phương xác định dương Lưu ý: 2 - Sinh viên không sử dụng tài liệu - Sinh viên sử dụng kết tính tốn ma trận máy tính bỏ túi - Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Câu (3đ) Nội dung đáp án a) B f A A A 3I 2 7 A2 28 21 0,5 7 2 B f A A2 A 3I 1 0,5 1 23 1 b) B 8 23 0,5 23 7 23 5 23 X B 1C 63 23 (1đ) Điểm 0,5 2 23 16 23 15 23 110 23 1,0 Vậy: Rank(D)=4 (1đ) a) m = : hệ có vơ số nghiệm : x1 a4 , x2 a , x3 1 b) A m 1 0 m m m 1 m = : Hệ có vơ số nghiệm : x1 a4 , x2 a , x3 0,25 0,25 0,25 Ghi m : hệ có nghiệm nhất: x1 (3đ) 4m 1 m 1 , x , x m 2m m2 a) 60 nên A sở 10 0,25 x1 b) Giả sử: x x2 Khi x x1.1 x2 x3 (*) A x 3 8 Giải (*) được: x A 15 15 c) x tổ hợp tuyến tính hệ 1 , 2 0,5 rank 1 , 2 , x =2 (vì 1 , 2 độc lập tuyến tính) Vậy: m (2đ) 0,5 11 10 Q x12 x2 10 x32 mx1x2 m A m 0 0 10 m2 D1 2, D2 , D3 20 m Q dạng toàn phương xác định dương 0,5 m2 D1 0, D2 0, D3 20 m2 Vậy: 2 m 2 0,5 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (2) Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín chỉ: Thời gian: 75 phút (khơng tính thời gian phát đề) 7 , B 11 , C Câu ( điểm) Cho A 6 5 7 5 c) Tính A B T C d) Tìm ma trận X thỏa CX B 1 2 Câu ( điểm) Tính D 2 a a 4 2 x2 x3 Câu (1 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính x1 mx2 x3 x x 3x m (1) Giải biện luận hệ phương trình (1) theo m Câu ( điểm) Cho hai hệ vectơ A 1 1, 1,0 ,2 1,0, 1,3 0,1,1, B 1 3 , 1 1 3 , 3 1 d) Chứng minh A, B sở khơng gian e) Tìm ma trận đổi sở từ sở B sang sở A f) Cho x A 1,0,4 Tìm x B 2 Hãy chéo hóa ma trận A 1 3 Câu ( điểm) Cho ma trận A Lưu ý: - Sinh viên không sử dụng tài liệu - Sinh viên sử dụng kết tính tốn ma trận máy tính bỏ túi - Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Câu (3đ) Nội dung đáp án A B 4 16 8 9 A B 84 124 C 12 31 29 T T Điểm 1,0 0,5 0,5 C 1 1 77 23 8 X C 1B 13 11 55 8 (1đ) 1 2 D 2 a a 4 1,0 0,25 1 3 12 41 32 a 5a a 0,25 1 2 0 14 0,25 a 8 23 7a 115a 2 184 49a 368 17a 0,25 Ghi (1đ) m A 0 b) 0 0,5 + m = –3 : hệ vô nghiệm 0,25 + m 3 : hệ có nghiệm 0,25 x1 (3đ) 1 1 m 3 3 m 2 m2 8m m6 3m , x2 , x3 m3 m3 3 m 1 a) 1 nên hệ vecto A sở 1 Ma trận đổi sở từ B sang A : 1 1 1 b) P 1 1 0 c) x B 1 P xA 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 3 0,25 (2đ) A I 1 0,5 1: có vecto riêng tương ứng 1 2,1 0,5 : có vecto riêng tương ứng 1,1 0,5 1 0 D P 1 AP 0 4 0,5 2 1 Với P 0,5 ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (3) Tên học phần: Tốn cao cấp 1; Số tín chỉ: Thời gian: 75 phút (khơng tính thời gian phát đề) Câu (3 điểm) é a Cho hai ma trận: A = ê -3 ê êë é b Tìm ma trận X biết: ê ê êë -1 ù é ú B=ê ú ê úû êë é -3 ù úX = ê -4 ú ê 10 úû êë 10 -1 ù ú ú Tính A.B - B.A 1 úû -3 ù ú ú úû é 1 c Tính định thức ma trận sau I = ê a b c ê êë b + c c + a a + b Câu (2 điểm) ì2x + 3y + z = ï 4x + 7y + 5z = 20 ï a Giải hệ phương trình sau í ï2y + 6z = ïỵ y + 3z = ù ú ú úû ì mx + 2y + 3z = ï b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường í2x + y - z = ï 3mx - y + 2z = ỵ Câu (3 điểm) a Chỉ A = {v1,v2 ,v3 } độc lập tuyến tính B v ,v ,v , x phụ thuộc tuyến tính với x v1 = (1,0,0) , v2 = (1,1,0), v3 = (1,1,1) b Trong R3 tìm ma trận chuyển sở từ A sang D ={ a1 = (1,1,0),a = (0,-3,-2),a = (1,0,5) } c, Tìm toạ độ vecto =(4,7,2) theo sở D Câu (2 điểm) Cho dạng toàn phương: Q = 2x 12 2x 22 mx 32 2x 1x 2x 2x Tìm m để dạng tồn phương nửa xác định dương Lưu ý: - Sinh viên không sử dụng tài liệu - Sinh viên sử dụng kết tính tốn ma trận máy tính bỏ túi - Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Câu (3đ) a, b, é A.B = ê -3 ê êë -1 ùé ú ê úê úû êë Nội dung đáp án ù é ù ú ê ú ú = ê -3 -5 -1 ú 1 úû êë -2 úû Điểm 0,25 é ùé ù é -3 ù ê ú ê ú -B.A = (-1) -3 = (-1) ê -1 -2 ú ê úê ú ê ú êë 1 úû êë -1 úû êë 12 úû 0,25 é ù é -3 ù ê ú A.B - B.A = A.B + (-B.A) = -3 -5 -1 + (-1) ê -1 -2 ú ê ú ê ú êë -2 úû êë 12 úû 0,25 é ù ê ú A.B - B.A = ê -2 -10 ú êë -6 -9 úû 0,25 A.X=BX=A-1.B 0,25 é -4 -2 ù ê ú -1 A = ê -8 -5 ú êë -7 -4 úû 0,25 é -4 -2 ù é -3 ù X = A B = ê -8 -5 ú ê 10 ú ê úê ú êë -7 -4 úû êë 10 úû 0,25 é ù ê ú -1 X = A B = ê 2 ú êë 3 úû 0,25 1 1 1 I = = a b c a b c b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c 0,5 -1 c, 1 I = (a + b + c) a b c 1 0,25 I = (a + b + c).0 = 0,25 Ghi (2đ) a, é ê A=ê ê ê ë é A® ê êë 20 ù é ú ê ú® ê ú ê ú ê û ë 0 8 ù ú ú ú ú û ù ú úû ì2x + 3y + z = í ỵ y + 3z = Chọn ẩn tự z = a, a R Để hệ cho có nghiệm khơng tầm thường det(A)=0 m A= -1 = 2m - 6m - -10m - = -14m -14 3m -1 (3đ) a, 0,25 0,25 Nghiệm TQ: ( 4a–2, 4–3a , a), a b, 0,25 0,25 0,25 0,5 –14m–14=0 m = –1 0,25 Ta xét vecto hệ A: 0,5 det(A) : Vậy A hệ độc lập tuyến tính A A= sở R3 Do hệ B có véctơ không gian R3 nên B chắn phụ thuộc 0,5 tuyến tính với x b, Ta có A (0,1,0) Tương tự có: a A = (3,-1,-2) a A = (1,-5,5) c, a, 0,25 0,25 0,25 é ù ê ú => P = ê -1 -5 ú êë -2 úû 0,25 a D = (x, y, z) xv1 + yv2 + zv3 = (4, 7,2) 0,25 ìx + z = ï í x - 3y = ï-2y + 5z = ỵ 0,25 a D = (4,-1,0) 0,5 Ma trận dạng toàn phương cho: 0,5 (2đ) A= D1=2, D2=4, D3=4m–4 1,0 Vì D1, D2>0, nên dạng tồn phương nửa xác định dương 0,5 4m m ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN (4) Tên học phần: Toán cao cấp 1; Số tín : Thời gian: 75 phút(khơng tính thời gian phát đề) 1 1 1 1 Bài (3 điểm)Cho ma trận A= m 1 3 m a Tính det A b Biện luận hạng ma trận A theo m c Tìm m để dòng A phụ thuộc tuyến tính x y+3z – 2t=2 2x+4y+2z – 3t=1 Bài (2 điểm) Cho hệ phương trình tuyến tính x+5y – z+mt=4 2x+2y – 6z+6t=m Tìm m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm Bài (3 điểm) Cho A = {a1 = (0, 0,1);a = (2, 1, 0);a = (1, - 1, 0)} B sở R Ma trận 1 chuyển từ sở A sang B P= 2 1 a Tìm tọa độ x=(–1,1,–3) A, B b Xác định sở B 5 5 Bài (2 điểm) Cho ma trận A= 0 1 0 2 Chéo hóa ma trận A (nếu được) Lưu ý: - Sinh viênkhông sử dụng tài liệu - Sinh viên sử dụng kết tính tốn ma trận máy tính bỏ túi - Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Câu Ý Nội dung Điểm 3.00 A Det A=2(m+13) B 1 1 A= 3 1 1.0 1 1 ® m 1 3 m 0.5 0.5 Vậy: ìï 3,m = - 13 rank(A) = ùớ ùùợ 4,m - 13 C dòng A phụ thuộc tuyến tính rank(A)