1 of Định nghĩa không gian vecto : Một tập V(chứa vecto có số chiều) trang bị hai phép toán : cộng hai vecto phép tốn nhân vơ hướng, thỏa tính chất gọi khơng gian vectơ Ví dụ : V1={( x1 , x2 , x3 )/ xi ∈ R } • • Ví dụ : V4– Khơng gian vecto V5= {( x1 , x2 , x3 ) / xi ∈ R ∧ x1 + x2 − x3 = 1} Định nghĩa phép cộng hai vecto sau : x + y = ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) Ví dụ : Định nghĩa phép nhân vecto với số thực sau : V5– Khơng Khơng gian vecto khơng thỏa tính chất 2: O=(0,0,0) ∈ V5 α x = α ( x1 , x2 , x3 ) = (α x1 , α x2 ,α x3 ) Chọn x=(1,2,1)∈ V5 ; x=(2,3,2)∈ V5, x+y=(3,5,3)∉ V5 Phép toán cộng hai vecto nhân vecto với số giống ví dụ Định nghĩa hai vecto • V4= {( x1 , x2 , x3 ) / xi ∈ R ∧ x1 + 3x2 + x3 = 0}  x1 = y1  x = y ⇔ ( x1 , x2 , x3 ) = ( y1 , y2 , y3 ) =  x2 = y2 x = y  Ta có V1 – Khơng gian vecto R3 trường số thực o Tổ hợp tuyến tính V – Khơng gian vecto Rn.Hệ n vecto {x1,x2,…xn} ∈V,với số λ1, λ 2,… λ n(hằng số),vecto u ∈V u= λ1 x1+ λ2 x2+… +λn xn (*) vecto u gọi tổ hợp tuyến tính hệ vecto {x1,x2,…xn} với số {λ1, λ 2,… λ n } Muốn vecto u tổ hợp tuyến tính,phải tồn số {λ1, λ 2,… λ n } Vì (tức hệ phương trình có nghiệm) 1.(x+y)+z=x+(y+z) – thỏa 2.có vecto O=(0,0,0) ∈V1 3.∀x∈V,∃(-x) ∈V : (-x)+x=x+(-x)=O 4.x+y=y+x V2={ ax + bx + c / a, b, c ∈ R / xi ∈ R } V2– Khơng gian vecto P2[ x ] Ví dụ : Với : • Ta nói • Tương tự cho tính chất phép tốn nhân Ví dụ : Ví dụ : cho hệ vecto {u = (1,1,1), v = (0,1,1), w=(0,0,1)}   a b   V3=   / a , b, c , d ∈ R     c d   V3– Khơng gian vecto M2[R] Ta nói • Ta nói • Ta nói (*) → x=(3,4,5) số (3,1,1)  x=(3,4,5) tổ hợp tuyến tính {u,v,w} với bội số (3,1,1) (*) số (2,2,2)  → y=(2,4,6) y=(2,4,6) tổ hợp tuyến tính {u,v,w} với bội số (2,2,2) (*) → z=(2,2,2) số (2,0,0)  z=(2,2,2) tổ hợp tuyến tính {u,v,w} với bội số (2,0,0) (*) số (0,0,0)  → 0=(0,0,0) 0=(0,0,0) tổ hợp tuyến tính {u,v,w} với bội số (0,0,0) Ví dụ : cho hệ vecto {u = (1,0,1), v = (0,1,1), w=(1,1,0)} t=(2,2,2) tổ hợp tuyến tính {u,v,w} r=(0,0,2) tổ hợp tuyến tính {u,v,w} of Ví dụ : cho hệ vecto { x = (1, 2,0), y = (2,0,0), z=(3,1,0),t=(0,1,0)} u=(2,1,1) khơng tổ hợp tuyến tính {x,y,z,t} v=(0,0,2) khơng tổ hợp tuyến tính {x,y,z,t} Tìm số {λ1, λ 2,… λ n } Ví dụ cho hệ vecto {u = (1,1,1), v = (0,1,1), w=(0,0,1)} x=(3,4,5), tìm số phép tổ hợp tuyến tính x với vecto x= λ1 u+ λ 2.v+ λ 3.w (3,4,5)= λ1.(1,1,1)+ λ2.(0,1,1)+ λ3.(0,0,1) (3,4,5)= ( λ1.1, λ1.1, λ1.1)+ ( λ2.0, λ2.1, λ2.1)+ (λ3.0, λ3.0, λ3.1) (3,4,5)= ( λ1, λ1, λ1)+ ( 0, λ2, λ2)+ (0,0, λ3) m  3  2m +     3 m +  phải có nghiệm) (để tồn số hệ phương trình 3 m  0 2  ( r ( A) < r ( A) : hệ vô nghiệm)   0 0 −1 Không tồn số,vậy x khơng tổ hợp tuyến tính u,v,w (3,4,5)= ( λ1+0, λ1+ λ2,λ1 +λ2+ λ3) 3 = λ1 1 0  λ1 =   ⇒ 1  ⇒ λ2 = 4 = λ1 + λ2 5 = λ + λ + λ 1 1  λ3 = 1  Vậy x tổ hợp tuyến tính {u,v,w} với số (3,1,1) Ví dụ 10 : cho hệ vecto { x = (1,1, 2), y = (−1, 2,1), z=(3,4,6)} vecto u = (2,2,5) Hỏi u có tổ hợp tuyến tính x,y,z không? Bài làm Gọi {λ1, λ 2,λ 3} số phép tổ hợp tuyến tính u với vecto Ta có cơng thức u = λ1.x+ λ 2.y+λ 3.z 1 −1  λ1 = 16 /  ⇒ 1  ⇒ λ2 = /   λ3 = −1 Vậy u tổ hợp tuyến tính {x,y,z} với số (16/3,1/3,-1) Ví dụ 11 Xác định m để hệ vecto x=(m,2m+2,m+3) tổ hợp tuyến tính u=(3,6,3),v=(2,5,3),w=(1,4,3) Giải Để vecto x tổ hợp tuyến tính u,v,w phải tồn số {λ1, λ 2,λ 3} cho x = λ1u+ λ 2v+λ 3w ta có hệ phương trình tuyến tính x u Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính V – Khơng gian vecto Rn ,cho hệ gồm n vecto {x1, x2, … xn}∈V • ∃ λ1, λ 2,… λ n∈R khơng đồng thời cho λ1 x1+ λ2 x2+… +λn xn=0 ta nói hệ n vecto phụ thuộc tuyến tính • λ1 x1+ λ2 x2+… +λn xn=0 → λ1=0, λ 2=0,… λ n=0 ta nói hệ n vecto độc lập tuyến tính Ví dụ 12: Hệ vecto u=(1,2,-1),v=(1,0,2),w=(2,1,1) độc lập tuyến tính vecto x=(1,2,-1),y=(1,0,2),z=(2,4,-2) phụ thuộc tuyến tính - Để kiểm tra độc lập – phụ thuộc hệ n vecto {x1, x2,… xn},ta sử dụng vecto • Nếu tổ hợp tuyến tính hệ vecto với số {0,0, 0}(hệ phương trình có nghiệm tầm thường) ta kết luận hệ n vecto độc lập • Nếu tổ hợp tuyến tính hệ vecto với vơ số số(hệ phương trình có vơ số nghiệm) ta kết luận hệ n vecto độc lập Ví dụ 13: Cho vecto x1=(1,2,-1), x2=(2,5,1), x3=(3,6,4),hỏi hệ 3vecto độc lập hay phụ thuộc 3 of Lập vecto tổ hợp tuyến tính tuyến tính vecto với số {λ1, λ2,λ3} • Hệ vơ nghiệm 0= λ1 x1+ λ x2+λ x3 M={x1, x2,… xn} Ta có hệ phương trình tuyến tính   1    →  0  => ta λ =λ =λ =0      −1   0  Vậy vecto độc lập tuyến tính Ví dụ 14 : Xác định m để hệ vecto sau phụ thuộc tuyến tính : u1=(72,3,1,4), u2=(4,11,5,10), u3=(6,14,m+5,8), u4=(2,8,4,8) Giải Để hệ vecto phụ thuộc tuyến tính,thì tổ hợp tuyến tính vecto với vơ số số,tức hệ phương trình vơ số nghiệm 0 0 2 2  11 14   0 10 10 10   → 1 m +   2m +      0 0  10 18 0 2 0 d2' = d2 /10 →  0  0 0  2m − 0   0 0 2 2 0  0 1 d3 ↔ d   →  0 0 → 0     0 2m − 0  0 λ1 x1+ λ x2+…+λ n xn = • 1 0  0  0 − 2m  Muốn hệ vô số nghiệm r ( A) = r ( A) < (số ẩn) • M – độc lập tuyến tính Hệ có vơ số nghiệm M – phụ thuộc tuyến tính (nghiệm khơng tầm thường) Ví dụ 15: Trong không gian vecto V cho họ M={x, y, z} độc lập tuyến tính Chứng tỏ {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} độc lập tuyến tính Giả sử λ1 (x+y+2z)+ λ2 (2x+3y+z) +λ3 (3x+4y+z) = (λ1+ λ2+3 λ3).x+(λ1+ 3λ2+4 λ3).y+(2λ1+2λ2+ λ3).z = Vậy M – độc lập tuyến tính Nhận xét : o Nếu M chứa vecto 0, M phụ thuộc tuyến tính o M={x1, x2,… xn} – phụ thuộc tuyến tính ∃xi – tổ hợp tuyến tính vecto lại M o Thêm số vecto vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu họ phụ thuộc tuyến tính o Bỏ số vecto họ độc lập tuyến tính ta thu họ độc lập tuyến tính M={x1, x2,… xn} Hệ có nghiệm Hệ có nghiệm (nghiệm tầm thường) Vậy m = hệ vecto phụ thuộc tuyến tính Vậy : • Hệ pt A.X = λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 1  λ1 =     λ1 + 3λ2 + 4λ3 = ⇔ 1  ⇒ λ2 =    2  λ3 = 2λ1 + 2λ2 + λ3 = λ1 x1+ λ x2+…+λ n xn = x x khơng tổ hợp tuyến tính M Hệ pt AX=b x tổ hợp tuyến tính M of Định nghĩa hạng hệ vecto M={x1, x2,… xn…}⊂V Hạng hệ M α tồn α vecto độc lập tuyến tính M vecto M chứa nhiều α vecto phụ thuộc tuyến tính .Để xét hệ vecto độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ta xét • Nếu số vecto số thành phần có vecto : tạo ma trận A cách xếp vecto thành cột A, tính A Hạng hệ M số tối đại vecto độc lập tuyến tính M o A ≠ : hệ ĐLTT Tính chất hạng hệ vecto Hạng hệ vecto M không đổi ta nhân vecto M với số khác Cộng vào vecto họ M,một vecto khác nhân với số hạng khơng thay đổi Thêm vào họ M vecto x tổ hợp tuyến tính M hạng khơng thay đổi Ví dụ 16 Tìm hạng hệ vecto sau M={(1,1,1,0); (1,2,1,1); (2,3,2,1); (1,3,1,2)} Ý nghĩa hình học tổ hợp tuyến tính o A = : hệ PTTT • Nếu số vecto khác số thành phần có vecto : tạo ma trận A cách xếp vecto thành dòng A, tính rankA o rankA = số vecto : hệ ĐLTT o rankA < số vecto : hệ PTTT Cơ sở không gian Rn – tọa độ vecto sở Cơ sở Định nghĩa tập sinh M={x1, x2,… xn…}⊂V Tập hợp M gọi tập sinh không gian vecto V vecto x V tổ hợp tuyến tính M x ∈V ⇔ x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λn xn + M sinh V ⇔ Không gian vecto V sinh M Cho hệ hai vecto u = (1,1), v = (-1,2); vecto x = (-1,5) -Định nghĩa sở a x có tổ hợp tuyến tính hệ vecto u, v hay khơng ? b Biểu diễn hình học vecto x theo hai vecto u, v M={x1, x2,… xn…} ⊂ V Tập hợp M gọi sở không gian vecto V vecto x V tổ hợp tuyến tính M hệ M độc lập tuyến tính Tập sinh sở tập sinh độc lập tuyến tinh Ví dụ 17: Trong khơng gian vecto R3 có • Hệ vecto {u=(1,1,1); v(0,1,1); w=(0,0,1), t=(0,2,2)} tập sinh • Hệ vecto {u=(1,1,1); v(0,1,1); w=(0,0,1)} sở 5 of Vecto u ∈ R3, u = (x,y,z) có thành phần nên cần có vecto tạo thành nó.Vậy sở khơng gian R3 3vecto không gian R3 độc lập tuyến tính.ví dụ 3vecto u=(1,1,1), v=(1,1,0), w=(1,0,0) thuộc R3,3vecto độc lập tuyến tính với nên hệ vecto sở cho không gian R3 Tổng quát,cơ sở không gian Rn hệ n vecto độc lập tuyến tính(các vecto thuộc khơn gian Rn) Vậy toán sở,ta xét • • hệ vecto độc lập => sở hệ vecto phụ thuộc=> không sở 1 [x]B =  −1 ⇔ x = 1.u1 + (−1)u2 + 3.u3 = 1.(1,0,1) + (−1)(1,1,0) + 3.(0,1,1)   0 Vậy tọa độ x sở tắc [x]E = [x] =     Ví dụ 19 : Cho vecto x=(1,2,1) Cơ sở B = {u1 =(1,0,0), u2 =(1,1,0), u3 =(1,1,1)} Tìm tọa độ [x]B ? Giải Tọa độ vecto Đối với vecto x ta có cách biểu diễn • • x=(1,2,3) : biểu diễn x vecto có thành phần 1  [x]E =   : tọa độ vecto x sở tắc   (lưu ý : sở tắc,tọa độ x thành phần tương ứng nó,2 cách biểu diễn có ý nghĩa nhau) a  Giả sử [x]B = b  ⇔ x = a.u1 + b.u2 + cu3  c  Ta thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn a,b,c 1 1  a = −1  −1 0 1  ⇒ b = Vậy tọa độ x B [x]B =      0 1  c =   Ma trận chuyển sở Định nghĩa tọa độ : tọa độ vecto x sở B = {u1 ,u2 ,u3 } số Cho hai sở B = {u1 , u2 , u3 } ,cơ sở V = {v1 ,v ,v3 } λ1 , λ2 , λ3 phép biểu diễn tổ hợp tuyến tính x với vecto sở B Gọi PB →V ma trận chuyển sở từ B sang V, PB →V tính sau  λ1  [x]B = λ2  ⇔ x = λ1u1 + λ2u2 + λ3u3  λ3  Vậy tốn tìm tọa độ vecto x sở B,ta trở lại với tốn tìm số λ1 , λ2 , λ3 phép biểu diễn tổ hợp tuyến tính 1 Ví dụ 18 : Cho tọa độ vecto x sở B [x]B =  −1 ,cơ sở   B = {u1 =(1,0,1),u2 =(1,1,0),u3 =(0,1,1)} Tìm tọa độ x sở tắc Giải • a  Ta tìm tọa độ vecto v sở B : [v1 ]B =  b  ,  c  x u  [v ]B =  y  , [v3 ]B =  v   z   w  • Xếp tọa độ thành cột ta có ma trận PB →V PB →V a =  b  c u y v  z w  x (lưu ý,thứ tự vecto hai sở,quyết định đến tọa độ PB →V ) of u = (2,1), u2 = (−1 − 1) Tìm ma Ví dụ 20 : Trong khơng gian R2 cho vecto :  v1 = ( −1,0), v2 = (0,1) trận chuyển sở B = {u1 ,u2 } sang B1 = {v1 ,v2 } R2  2   4 2      Ta tìm hạng ma trận A =  −4  →  −23 −20  →  −23 −20   −1   −23 −18  0  Giải Ta có rank (A) = = dim(W),vậy sở W hệ vecto độc lâp tuyến tính có {u1 , u2 , u3 } ,cũng {u1 , u2 , u3 } (hệ vecto độc lập nên sở W ) a  Cách Gọi [v1 ]B =   ⇔ v1 = a.u1 + b.u2 (giải hệ phương trình tuyến tính tìm a ,b) b   a = −1  −1 ⇒ [v1 ]B =   b = −   −1 1 Ta  Tương tự với [v ]B =     −1 1   −1 1 Ví dụ 22: Trong R3,với sở B = {u1 , u2 } Vậy PB → B =  Cách Dùng công thức PB → B = PB → E PE → B (với E sở tắc) 1  −1 Lưu ý : cho B = {u1 ,u } ⇒ PE → B =   1 −1  −1    1 Tương tự B1 = {v1 ,v } ⇒ PE → B =  Ma trận chuyển đổi sở sử dụng tọa độ vecto,mà tọa độ phải xếp thành cột  −1 −1  −1   −1 1 =   −1 1 Thế vào công thức PB → B = PB → E PE → B = [PE → B ]−1 PE → B =    1 −1  1 Cơ sở không gian W sinh hệ vecto {u1 , u2 un } Hệ vecto {u1 , u2 un } gọi tập sinh W,vậy muốn tìm sở W,ta tìm số vecto độc lập tuyến tính cực đại có hệ {u1 , u2 un } • Bài tốn tìm tọa độ sở không gian sinh : tương tự tốn tìm tọa độ khơng gian Rn Tìm hạng hệ vecto này,hạng hệ số vecto có sở số chiều W(dimW) Ví dụ 21 : Tìm sở không gian W sinh hệ vecto sau : W = {u1 , u2 } = {(2, 2, −1),(1, −1, −1)} Một sở W 2  B′ = {v1 , v2 } = {(1,7,1),(1, −1, −1)} Cho v thỏa [ v ]B′ =   Tìm [ v ]B ?  −3 Giải Cách :  2 Gọi tọa độ v B [v ]B′ =   ⇔ v = 2.v1 + (−3).v2 = (8, 44,5)  −3 a  ⇔ v = a.u1 + b.u2 b  [ v ]B =  Ta lập hệ phương trình tuyến tính 2 8  13  −1 44  ⇒ a = 13 Vậy [ v ]B =     b = −18  −18  −1 −1   Cách : áp dụng công thức [ v ]B = PB → B ' [ v ]B′ Với PB → B ' tính : u1 =(2,3,4), u2 =(5,-4,0), u3 =(7,-1,5) Giải [v1 ]B  1 x  x =  =   = x.u1 + y.u2 Lập hệ phương trình ta  −1  ⇒  y = −3  y  −1 −1   of [v2 ]B  −2  t  t = −3 =   = t.u1 + w.u2 Lập hệ phương trình ta  −1 −10  ⇒  w=4 w   −1 −1 −1    −3  −3    13 Suy PB → B ' =  Vậy [ v ]B = PB → B ' [ v ]B′ =    .  =   −3   −3   −3  −18  Chú ý : Trong không gian sinh,nếu không gian sinh không đầy đủ(số vecto làm sở bé thành phần vecto),ta không dùng công thức PB → B ' = PB → E PE → B ' (vì E B,B’ khơng số chiều nên không tồn PE → B , PE → B ' ) Bài toán : để vecto u ∈ W,thì u phải tổ hợp tuyến tính vecto sở sinh W, nghĩa u = λ1u1 + λ2 u2 + λ3u3 (điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính x + y − t = 2 x + y + z − 2t =  Ví dụ 23: Cho hệ phương trình tuyến tính  −2 x − y + 2t = 3 x + y + z − 3t = Tìm sở khơng gian nghiệm hệ (I) Giải Hệ phương trình biểu diễn dạng ma trận −1  1 −1  d :t = α  −2  0 1 0  d3 : z = β → ⇒ 0 0 0 0 d : y = − β    −3  0 0 0  d1 : x = α + β Suy nghiệm hệ phương trình X = (α + β , − β , β , α ) = (α ,0,0, α ) + ( β , − β , β ,0) = α (1,0,0,1) + β (1, −1,1,0) 1 2   −2 −2  3 U1 U2 (I ) Không gian nghiệm hệ phương trình W = {X /X = (α + β , − β , β , α );α , β ∈ R} sở không gian nghiệm hệ vecto {U1 ,U } = {(1,0,0,1);(1, −1,1,0)} Trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt  ... khơng gian R3 3vecto không gian R3 độc lập tuyến tính.ví dụ 3vecto u=(1,1,1), v=(1,1,0), w=(1,0,0) thuộc R3, 3vecto độc lập tuyến tính với nên hệ vecto sở cho không gian R3 Tổng quát,cơ sở không gian. .. gọi tập sinh không gian vecto V vecto x V tổ hợp tuyến tính M x ∈V ⇔ x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λn xn + M sinh V ⇔ Không gian vecto V sinh M Cho hệ hai vecto u = (1,1), v = (-1,2); vecto x = (-1,5)... Chú ý : Trong không gian sinh,nếu không gian sinh không đầy đủ(số vecto làm sở bé thành phần vecto) ,ta không dùng công thức PB → B ' = PB → E PE → B ' (vì E B,B’ khơng số chiều nên không tồn PE