Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HỒNG LINH BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 MỞ ĐẦU Đồ thị cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh, mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Bài toán tô màu cho đỉnh (hay cạnh) đồ thị chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị Bài tốn có ứng dụng thiết thực kinh tế, kỹ thuật đời sống Chẳng hạn, ta thường gặp toán tô màu đồ, tô màu cho dây dẫn điện Một số vấn đề không liên quan đến tô màu xử lý nhờ tốn tơ màu: bố trí kho chứa hóa chất, thiết kế bảng vi mạch điện tử, xếp lịch hỏi thi, bố trí trạm truyền tin, xác lập tuyến xe buýt thành phố, v.v Lý thuyết đồ thị đời phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng: Euler (Thụy sĩ), với tốn cầu thành phố Kưnigsberg, König Egeváry (Hungari), với phương pháp Hungari giải tốn phân việc Về vấn đề tơ màu đồ thị có nhiều kết lý thuyết đáng ý: Định lý Brooks, Minty tơ màu đỉnh; Định lý Kưnig, Vizing, Shannon tô màu cạnh, định lý màu Heawood (1890) Định lý màu Appel Haken (1976), giải giả thuyết màu tiếng Guthrie nêu lần đầu năm 1852 "Bài tốn tơ màu đồ thị ứng dụng" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày khái niệm đồ thị dạng đồ thị thường gặp, tốn tơ màu đồ thị (tô đỉnh, tô cạnh tô diện - tô màu đồ) số ứng dụng tốn Trình bày kết lý thuyết, định lý tô màu loại đồ thị khác thuật toán tô màu đỉnh cạnh, dựa kết lý thuyết có Nội dung luận văn viết hai chương Chương "Khái niệm đồ thị" nhắc lại khái niệm đồ thị: đỉnh, cạnh, bậc đỉnh, đồ thị vơ hướng đồ thị có hướng, đường chu trình, đồ thị liên thơng, khơng liên thơng, phép toán đồ thị Miêu tả nhiều dạng đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, Chương "Bài tốn tơ màu đồ thị" đề cập tới vấn đề tô màu đỉnh, cạnh diện đồ thị Trình bày kết tơ màu đỉnh: định lý Brooks (1941), định lý Minty (1962), định lý tô màu đồ thị phảng, đặc biệt định lý bốn màu (Appel Haken, 1976) Về tô màu đồ (tơ diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tơ màu cạnh đồ thị: trình bày định lý Vizing (1964) số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, tơ cạnh đồ thị hai phần (Định lý Kưnig, 1916) quan hệ với định lý bốn màu Cuối chương đề cập tới đa thức màu, cho biết tơ đỉnh đò thị k màu khơng, có cách tơ Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên 20 tháng 04 năm 2015 Tác giả Vũ Hoàng Linh Chương KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ Chương trình bày kiến thức sở lý thuyết đồ thị Mục 1.1 nêu định nghĩa, khái niệm dùng lý thuyết đồ thị phép toán đồ thị Mục 1.2 mô tả dạng đồ thị thường gặp Trong chương dẫn nhiều ví dụ minh họa Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [3], [4] [5] 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU 1.1.1 Khái niệm đồ thị Trong thực tế ta thường gặp sơ đồ giao thơng (Hình 1.1) hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ khái quát thành sơ đồ vẽ Hình 1.3 Từ ta tới định nghĩa sau Hình 1.1 Sơ đồ khu phố Hình 1.2 Sơ đồ mạch điện Hình 1.3 Đồ thị đại diện Đồ thị (graph) tập hợp hữu hạn khác rỗng điểm, gọi đỉnh (vertex) hay nút (node), tập hợp đường (thẳng hay cong) nối liền số cặp điểm này, gọi cạnh (edge) đồ thị (Số cạnh 0) Mỗi đỉnh đồ thị thường ký hiệu chữ (a, b, c, hay A, B, C, ) chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối liền đỉnh v với đỉnh w ký hiệu (v, w) hay đơn giản vw (v w chữ số) Một cạnh có dạng (a, a), nối đỉnh a với nó, gọi khun (loop) Nếu đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E ⊆ V × V gọn, ta viết G = (V, E) Ta dùng ký hiệu V(G) để tập đỉnh E(G) để tập cạnh đồ thị G Ký hiệu n = |V(G)| số đỉnh m = |E(G)| số cạnh đồ thị G Để dễ hình dung, đồ thị thường biểu diễn hình vẽ mặt phẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn đồ thị có đỉnh: P, Q, R, S, T cạnh (mỗi cạnh đoạn thẳng nối hai đỉnh) Chú ý điểm cắt hai cạnh PS QT hình vẽ khơng phải đỉnh đồ thị Đỉnh v gọi kề (adjacent) đỉnh w có cạnh đồ thị nối v với w Nếu ký hiệu cạnh e ta viết e = (v, w) nói cạnh e liên thuộc (incident) v, w hay v, w hai đầu mút e Cạnh e e' gọi kề e, e' có chung đỉnh Hai cạnh e e' nối cặp đỉnh gọi cạnh kép (multiple edge) Đồ thị khơng có cạnh kép gọi đơn đồ thị (simple graph) Trái lại, gọi đa đồ thị Hình 1.4 1.5 minh họa cạnh kép khuyên đa đồ thị Hình 1.4 Cạnh kép đa đồ thị Hình 1.5 Khuyên đa đồ thị Một cạnh đồ thị gọi cạnh có hướng (directed edge) có qui định rõ đầu mút cạnh đỉnh đầu, mút đỉnh cuối Cạnh có hướng gọi cung Một đồ thị gồm tồn cạnh gọi đồ thị vơ hướng (undirected graph), đồ thị gồm toàn cung gọi đồ thị có hướng (digraph) Một đồ thị vừa có cạnh vừa có cung gọi đồ thị hỗn hợp (mixed graph) Bằng cách thay cạnh hai cung có hướng ngược chiều nhau, ta qui đồ thị đồ thị có hướng Hình 1.6 mơ tả đồ thị có hướng Hình 1.6 Đồ thị có hướng Hình 1.7 Đồ thị khơng liên thơng Bậc (degree) đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc nó, ký hiệu (v) Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập (isolated vertex), đỉnh có bậc gọi đỉnh treo (end-vertex), Tương tự, đồ thị có hướng ta gọi bậc (bậc vào) đỉnh v số cung khỏi v (số cung tới v), ký hiệu tương ứng + (v) - (v) Qui ước: khuyên đỉnh tính lần Ví dụ đồ thị vẽ Hình 1.7 ta có (P) = (S) = (U) = (V) = 2; (Q) = (R) = (T) = (có khuyên T) Dễ dàng chứng minh tính chất sau bậc đỉnh đồ thị: a) Trong đồ thị vô hướng, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh đồ thị số đỉnh có bậc lẻ số chẵn b) Trong đồ thị có hướng, tổng bậc vào đỉnh tổng bậc đỉnh tổng số cung đồ thị Nhiều tính chất đồ thị có hướng khơng phụ thuộc vào hướng cung đồ thị Vì thế, bỏ qua hướng cung (đổi cung thành cạnh) ta nhận đồ thị vô hướng, gọi đồ thị đồ thị có hướng cho 1.1.2 Phép toán đồ thị Sau ta tập trung chủ yếu xét đồ thị vô hướng số phép tốn • Đồ thị (subgraph) đồ thị G đồ thị nhận từ G cách bỏ số đỉnh số cạnh Nói xác, H = (V(H), E(H)) đồ thị G V(H) V(G) E(H) E(G) Ta nói G chứa H H gọi đồ thị cảm sinh (induced subgraph) G H đồ thị G E(H) = {(x, y) ∈ E(G) : x, y ∈ V(H)} Ở H đồ thị G sinh V(H) Vì ta viết H = G[V(H)] Đồ thị H G gọi đồ thị bao trùm V(H) = V(G), tức tập đỉnh H G trùng • Với v ∈ V(G), ký hiệu G - v đồ thị G cảm sinh V(G) \ {v}, tức đồ thị nhận từ G cách bỏ đỉnh v cạnh liên thuộc v • Với e ∈ E(G), ta định nghĩa G - e := (V(G), E(G) \ {e}), tức đồ thị nhận từ G cách xóa cạnh e (khơng xóa hai đầu mút e) Ta định nghĩa G \ e đồ thị nhận cách co cạnh e thành điểm Hình 1.8 minh họa đồ thị G, G - e G \ e Hình 1.8 Đồ thị G, cạnh e đồ thị G e G \ e tương ứng 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu (isomorphic) chúng có số đỉnh số cạnh có phép tương ứng - tập đỉnh G1 G2 cho hai đỉnh nối với cạnh đồ thị hai đỉnh tương ứng đồ thị nối với cạnh ngược lại Hình 1.9 vẽ đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ Hình 1.3 Các cạnh hai đồ thị Hình 1.9 gặp đinh Các đồ thị đẳng cấu xem tương đương (là một) Hình 1.9 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị Hình 1.3 1.1.4 Đồ thị liên thơng Có thể ghép hai đồ thị để lập lên đồ thị lớn Cho G1 = (V(G1), E(G1)), G2 = (V(G2), E(G2)) với V(G1) ∩V(G2) = ∅ Khi đó, hợp (union) G1 ∪ G2 đồ thị có tập đỉnh V(G1) ∪ V(G2) tập cạnh E(G1) ∪ E(G2) (Hình 1.10) Hình 1.10 Đồ thị G1, G2 hợp G1 ∪ G2 Hình 1.11 Đồ thị không liên thông Hầu hết đồ thị thường gặp đồ thị ghép Một đồ thị gọi liên thơng (connected graph) khơng biểu diễn dạng hợp hai hay nhiều đồ thị Trái lại, đồ thị gọi không liên thông (disconnected graph) Rõ ràng đồ thị không liên thông G biểu diễn dạng hợp đồ thị liên thông, đồ thị liên thông gọi thành phần liên thông G Chẳng hạn, đồ thị gồm ba thành phần liên thơng vẽ Hình 1.11 Hình 1.12 Các kiểu đồ thị liên thông không đỉnh Khi cần chứng minh kết luận cho đồ thị nói chung, ta thường chứng minh kết tương ứng cho đồ thị liên thông, sau áp dụng kết thu cho thành phần liên thông riêng lẻ đồ thị Một bảng gồm tất đồ thị liên thông (không ghi tên đỉnh) có tối đa đỉnh vẽ Hình 1.12 1.1.5 Đường chu trình đồ thị vô hướng Đường (path) P từ đỉnh v tới đỉnh w dãy liên tiếp cạnh có dạng: (a0, a1), (a1, a2), , (ak-1, ak) với (ai-1, ai) E(G), a0 = v, ak = w k 1, đỉnh a0, a1, , ak khác Để đơn giản, ta viết P = {a0, a1, , ak} nói đường nối đỉnh v đỉnh w Đỉnh v gọi đỉnh đầu, đỉnh w gọi đỉnh cuối đường P Một đường nối đỉnh với (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi chu trình (cycle) Độ dài (length) đường (chu trình) số cạnh đường (chu trình) Ví dụ với đồ thị vẽ Hình 1.9 đường nối đỉnh P đỉnh R (P, T), (T, Q), (Q, R) hay đơn giản P, T, Q, R Hai đường khác từ P tới R P, T, S, R P, Q, R hay P, S, R Đồ thị có chu trình sau: (P, Q), (Q, R), (R, S), (S, T), (T, P); (Q, S), (S, T), (T, Q), v.v 1.1.6 Biểu diễn đồ thị ma trận Mặc dù cách biểu diễn đồ thị hình vẽ gồm điểm nối với cạnh thuận tiện, song cách khơng phù hợp ta muốn lưu giữ đồ thị cỡ lớn máy tính Có cách lưu giữ đơn đồ thị liệt kê đỉnh kề với đỉnh đồ thị Ví dụ cho cách biểu diễn Hình 1.13 v u w u : v, y v : u, w, y w: v, x, y x w, y y : u, v, w, x x y Hình 1.13 Liệt kê đỉnh kề ∙ ∙ ∙ ∙ Hình 1.14 Đồ thị rỗng N4 Một cách biểu diễn hữu ích khác dùng ma trận • Ma trận kề: Nếu G đồ thị với đỉnh đánh số 1, 2, … , n, ma trận kề (adjacency matrrix) cuả G ma trận vuông A cấp n, phần tử hàng i cột j A số cạnh nối đỉnh i đỉnh j đồ thị • Ma trận liên thuộc: Nếu cạnh đồ thị đánh số 1, 2, … , m, ma trận liên thuộc (incidence matrrix) G ma trận chữ nhật M cấp n×m, phần tử hàng i cột j M đỉnh i kề cạnh j trái lại Hình 1.15 vẽ đồ thị G với ma trận kề ma trận liên thuộc Hình 1.15 Ma trận kề ma trận liên thuộc 1.2 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Mục trình bày số dạng đồ thị đặc biệt, đáng ý hay dùng lý thuyết đồ thị ứng dụng 1.2.1 Đồ thị rỗng (Đồ thị khơng) Một đồ thị có đỉnh, khơng có cạnh (tập cạnh rỗng) gọi đồ thị rồng (empty graph) hay đồ thị không (null graph) Ký hiệu đồ thị rỗng n đỉnh Nn Mỗi đỉnh đồ thị rỗng đỉnh cô lập (đỉnh bậc 0) đồ thị rỗng ý Một đồ thị rỗng N4 vẽ Hình 1.14 1.2.2 Rừng Có thể hiểu đồ thị liên thơng theo nghĩa tương đương sau Một đồ thị vô hướng gọi liên thơng có đường nối hai đỉnh đồ thị Trái lại, đồ thị gọi không liên thông Đồ thị không liên thông bị tách thành số đồ thị liên thông, đôi khơng có đỉnh chung Mỗi đồ thị liên thông thành phần liên thông Cạnh e gọi cầu (bridge) xóa e (khơng xóa ... sao, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, Chương "Bài tốn tơ màu đồ. .. thuyết màu tiếng Guthrie nêu lần đầu năm 1852 "Bài tốn tơ màu đồ thị ứng dụng" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày khái niệm đồ thị dạng đồ thị thường gặp, tốn tơ màu đồ thị (tô đỉnh, tô cạnh tô. .. Về tô màu đồ (tơ diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tơ màu cạnh đồ thị: trình bày định lý Vizing (1964) số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ