Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh ĐẠI SỐ 11 PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I Mục tiêu: Kiến thức: - Có khái niệm suy luận quy nạp - Hiểu nội dung phương pháp qui nạp tốn học gồm hai bước theo trình tự qui định 2.Kỹ năng: - Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán cụ thể đơn giản - Biết cách lựa chọn sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải toán cách hợp lí Tư duy: phát triển tư logic, tính chặc chẽ giải toán Thái độ: nghiêm túc, tích cực tiếp thu tri thức hứng thú học tập II Chuẩn bị: - GV: đọc kĩ SGK, SGV, SBT - HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến học III Phương pháp: - Nêu vấn đề, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm III Tiến trình: HĐ 1:Ổn định lớp kiểm tra củ Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - Yêu cầu HS vào chổ ngồi chuẩn bị tập -sách - Kiểm tra củ: mệnh đề gì? cho vài ví dụ mệnh đề chứa biến - Trật tự đem tập sách chuẩn bị tiết học - Kêu em lên bảng trả lời, tất hs lại suy nghỉ xem xét Thời gian dự trù 8h05’- 8h06’ 8h06’ HĐ2: Phương pháp qui nạp toán học Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Thời gian dự trù Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp - Phát biểu hoạt động số SGK Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “ 3n < n + 100 ” Q(n): “2n > n” với n∈N 8h11’ - Tiếp nhận vấn đề * a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? n 3n n +100 P(n) ? n 2n Q(n) ? 5 b Với n ∈ N * P(n), Q(n) hay sai? Hướng dẫn: - Hỏi 1: phép thử vài TH có phải c/m cho KL TH TQ không ? - Hỏi 2: với MĐ Q(n) , thử kiểm tra tiếp với giá trị n ≥ ? khẳng định Q(n) với n ∈ N * chưa ? - Hỏi 3: muốn chứng minh kết luận ta phải làm sao? muốn chứng minh kết luận sai ta phải làm sao? HĐTP2: Phương pháp qui nạp Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp) Chứng - Làm việc theo nhóm cử đại diện trình bày kết quả: a) P(n) : n = : < 101 (Đ) n = : < 102 (Đ) n = : 27 < 103 (Đ) n = : 81 < 104 (Đ) n = : 243 < 105 (S) Q(n): n=1: 2>1 (Đ) n=2: 4>2 (Đ) n=3: 8>3 (Đ) n = : 16 > (Đ) n = : 32 > (Đ) - Các nhóm thảo luận nêu ý kiến nhóm b) ∀n∈N* P(n) sai, n = P(5) sai Q(n) có với ∀n∈N* , khơng chưa kết luận được, ta khơng thể thử trực tiếp với n - HS trả lời câu hỏi - Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp tốn học - Giải thích điều hiểu 8h20’ Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh minh với n = k + - H4: MĐ với n = k n = k + nghĩa gì? HĐ3: Ví dụ áp dụng VD1- SGk: chứng minh với n ∈ N * thì: + + +…+ (2n - 1) = n2 (1) - Hướng dẫn: Bước 1: n = 1: (1) ? Bước 2: đặt Sn = + + +…+ (2n - 1) - Giả sử (1) với n = k ≥ , nghĩa có giả thiết ? Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức chứng minh điều gì? (chú ý đến giả thiết qui nạp) - Hoàn thành B1, B2 ta kết luận ? VT = , VP = 12 = → (1) 8h24’ Sk = + 2+…+ (2k - 1) = k2 C/m: Sk+1 = + + +…+ (2k - 1) + [ 2(k + 1) − 1] = ( k + 1) Ta có: Sk+1 = Sk + [ 2(k + 1) − 1] = k + 2k + = ( k + 1) Vậy (1) với n ∈ N * n n 5.5 = 12 4.4 + = = 22 3.3 + + = = 32 2.2 + + + = 16 = 42 1.1 + + + + = 25 = + + + + + + (2n – 1) = n2 Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh HĐ4: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm) VD2- SGK: - Hướng dẫn: đặt A n = n3 − n Bước 1: n = 1: (1) ? Bước 2: n = k ≥ (1) nào? - Làm việc theo nhóm - HS trình bày giải Với n = A1 = chia hết cho 8h29’ n = k ≥ A k = (k − k ) chia hết cho (giả thiết quy nạp) Thật vậy, ta có A k+1 = (k + 1)3 − (k + 1) Ta phải chứng minh A k+1 chia hết cho = k + 3k + 3k + −k = ( k − k ) + 3( k + k ) = Ak + 3(k + k ) Theo giả thuyết A k chia hết cho 3, nữa, 3(k + k ) chia hết A k+1 chia hết cho 3 Vậy A n = n − n chia hết cho với ∀n ∈ N * ♣ Hoạt động 2- SGk Chứng minh với n ∈ N * HĐ5: Luyện tập - Làm việc theo nhóm - HS trình bày giải * Chú ý: n (n + 1) + + + + n = Nếu phải c/m MĐ với số tự nhiên n ≥ p thì: - Yêu cầu hs làm theo nhóm - B1 ta phải kiểm tra MĐ - GV quan sát giúp đỡ cần thiết với n = p - Gọi hs trình bày để kiểm tra sữa - B2 ta giả thiết MĐ với chữa * GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ số tự nhiên n = k ≥ p phải CMR với số tự nhiên n ≥ p ta làm nào? với n=k + a) ♣ Hoạt động 3-SGK 8h34’ 8h40’ Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh Cho hai số 3n 8n với n ∈ N * a) SS 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, HD: Điền vào bảng sau n 3n ? 8n b) Dự đoán kết TQ chứng minh phương pháp qui nạp HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa dự đoán - Phát biểu lại toán chứng minh + Cho hs làm theo nhóm + GV quan sát hd cần thiết + Gọi đại diện nhóm trình bày, cho nhóm khác nhận xét bổ sung (nếu cần) + Lưu ý cho hs nhờ phép thử mà tìm n = số nhỏ cho 3n > 8n Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì: • Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = p • Ở bước 2: giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p • Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề với n = k+1 n 3n 27 81 243 ? < < > > > 8n 16 24 32 40 b) “ Chứng minh 3n > 8n với n ≥ ” - HS chứng minh phương pháp qui nạp HS ý ghi vào tập 8h42’ Củng cố hướng dẫn học tập : 8h44’ - Nêu bước phương pháp chứng minh qui nạp rõ thực chất bước ? - Xem lại giải - Làm tập – sgk Và sách tập ...Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp - Phát biểu hoạt động số SGK Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “ 3n < n + 100 ” Q(n): “2n > n” với n∈N 8h11’ - Tiếp nhận... hỏi - Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp toán học - Giải thích điều hiểu 8h20’ Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh minh với n = k + - H4: MĐ với n = k n = k + nghĩa gì? H 3: Ví dụ áp dụng VD1-... c/m MĐ số tự nhiên n = k ≥ p phải CMR với số tự nhiên n ≥ p ta làm nào? với n=k + a) ♣ Hoạt động 3- SGK 8h34’ 8h40’ Phạm Minh Chánh Trường THPT Bình Khánh Cho hai số 3n 8n với n ∈ N * a) SS 3n với