Phòng GD-ĐT lục ngạn Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học: 2008 -2009 Môn : Toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,0 điểm) a) Rút gọn: A = 7474 + b) Rút gọn biểu thức: ( ) 2 3 3 2 1 1 . (1 ) (1 ) 2 1 x x x M x + + = + Bài 2 (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 2 2 2 4 12 0x y xy x y + + = b) Cho hệ phơng trình: (I) 2 1 ( 1) 2 mx my m x m y + = + + + = (Với m là tham số) b.1/ Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất. b.2/ Chứng tỏ rằng khi m thay đổi và hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x;y) luôn thuộc một đờng thẳng cố định. Bài 3 (2,0 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số: y = 1 3x x + . b) Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ ở câu a. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 3x x + Bài 4 (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức AD 2 = AB.AC BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD. ? Bài 5 (1 điểm) Cho điểm I nằm trong đờng tròn (O; 50 cm); OI = 14 cm. Có bao nhiêu dây của đờng tròn này đi qua I mà độ dài của nó là một số tự nhiên ? Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Hớng dẫn chấm Đề chính thức Phòng GD lục ngạn Bài thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Năm học: 2008 -2009 Bài 1: (2,0 điểm) a) A = 2 )74(2 2 )74(2 + + (0,25 điểm) = 2 )17( 2 + - 2 )17( 2 ( 0,5 điểm) = 2 2 1717 = ++ ( 0,25 điểm) b) * ĐKXĐ: 1 1x 2 3 3 2 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2 1 x x x M x + + = + 2 3 3 2 2. 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2. 2 1 x x x M x + + = + ( 02,5 điểm) 2 2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 )) 2 1 x x x x x x x x x + + + + + + + = + 2 1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 )) 2 1 x x x x x x x x x + + + + + + + = + ( 0,25 điểm) 2 ( 1 1 ) ( 1 1 )x x x x= + + + 1 1 ( 1 1 )x x x x= + + + ( 0,25 điểm) ( 1 1 )( 1 1 ) (1 ) (1 ) 2x x x x x x x= + + + = + = Vậy 2 2 2 M x x= = ( 0,25 điểm) Bài 2: (3,0 điểm) Câu a) Ta có: 4x 2 - 8y 2 +4xy 4x + 16 y 48 = 0 (2x + y) 2 9 y 2 4x + 16 y 48 = 0 (2x + y) 2 2.(2x + y) + 1 9y 2 + 18y 49 = 0 (2x + y 1) 2 9(y - 1) 2 = 40 (2x + y 1 3y + 3 ).(2x + y 1 +3y - 3) = 40 (2x - 2y + 2).(2x + 4y - 4) = 40 (x y +1).(x + 2y - 2) = 10 ( 0,75 điểm) Vì ,x y Z + nên 2 2x y+ > 0 và 2 2x y+ 1x y + , mà 10 = 1.10 = 2.5 Nên ta có bảng: 2 2x y+ 10 5 1x y + 1 2 2x y+ 12 7 x y 0 1 x 4 3 y 4 2 KL: Tập hợp các nghiệm của phơng trình là (x,y) { } (4; 4),(3, 2) (Lập bảng và kết luận nghiệm đúng cho 0,75 điểm) Câu b. b.1) Ta có: (I) 2 1 ( 1) 2 mx my m x m y + = + + + = [ ] 2 ( 1) 2 1 2 1 2 ( 1) 2 ( 1) m m y my m mx my m x m y x m y + + = + + = + <=> = + = + [ ] 2 ( 1) 2 1 2 ( 1) .( 1) 1 (1) 2 ( 1) m m y my m x m y m m y m x m y + + = + = + <=> = = + (0,5 điểm) Hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất m(m 1) 0 0 1 m m (*) ( 0,5 điểm) b.2) Khi 0 1 m m ta có hệ (I) có nghiệm duy nhất (x; y) = (1- 1 m ; 1 m ) Ta thấy y = - x + 1 => Khi m thay đổi thì M(x; y) luôn nằm trên đờng thẳng cố định y = - x + 1 ( 0,5 điểm) Bài 3: (2,0 điểm) a) Ta có: 4 2 (x < 1) 2 (1 x 3) 2 4 (x > 3) x y x = (0,25 điểm) Vẽ đúng đồ thị: (1 điểm) b) Căn cứ vào đồ thị trên ta thấy: A 2 với mọi x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 đạt đợc khi 1 3x (0,75 điểm) Bài 4:(2 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gọi E là giao điểm của AD và (O) a) Ta có : ABD ~ CED (g g) CD AD ED BD = AD.ED = BD.CD AD(AE AD) = BD.CD AD 2 = AD.AE BD.CD (1) (0,5 điểm) 2 1 2 3 4 4 O A B C E D Lại có: ABD ~ AEC (g g) AC AD AE AB = AB.AC = AD.AE (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 = AB.AC BD.DC (0,5 điểm) b) Vì AD là phân giác CA BA DC DB = == b DC c DB cb a bc DCDB + = + + (0,25 điểm) DB = cb ac + và DC = cb ab + (0,25 điểm) AD 2 = bc - 2 2 )( cb bca + (0,25 điểm) Bài 5:(1 điểm) Gọi AB là dây bất kỳ đi qua I. Ta có: AB 2.R = 2.50 = 100. (1) (0,25 điểm) Kẻ dây MN OI tại I. Chỉ ra đợc: AB MN Mà MN = 2 2 2 2 50 14 48ON IO = = Vậy AB 48 cm (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) ta có: 48 AB 100 Mà độ dài AB là số tự nhiên => AB = 48; 49; 50; . 100 (0,25 điểm) Lại do một dây bất kỳ bao giờ cũng có một dây đối xứng với nó qua OI (Trừ dây đi qua O và dây vuông góc với OI) Vậy có tất cả 51.2 + 2 = 104 dây có độ dài là số tự nhiên (0,25 điểm) A B N M I O . Phòng GD-ĐT lục ngạn Đề thi chọn học sinh giỏi Năm học: 2 008 -2 0 09 Môn : Toán lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,0. thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Năm học: 2 008 -2 0 09 Bài 1: (2,0 điểm) a) A = 2 )74(2 2 )74(2 + + (0,25 điểm) = 2 )17( 2 + - 2 )17( 2 ( 0,5 điểm)