Đang tải... (xem toàn văn)
Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)Độ đo mongeAmpère trên các tập đa cực và phương trình mongeAmpère phức (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Tạ Quang Sỹ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên, huyện Mai Châu, tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Tạ Quang Sỹ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 10 Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16 2.1 Một vài định nghĩa kết 166 2.2 Một vài kết xấp xỉ 19 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương trình MongeAmpère phức 27 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét phương trình Monge-Ampère phức (dd cu)n , độ đo Radon khơng âm (dd c )n toán tử Monge-Ampère phức Ta biết đặt khối lượng tập đa cực, nghiệm phương trình (dd cu)n nói chung khơng [13] Vì câu hỏi tồn nghiệm phương trình ln nhận quan tâm nghiên cứu nhiều người Kết thuộc Lempert L [10] (1983) đạt trường hợp giá độ đo cho điểm đơn Lempert xét nghiệm với giá trị biên giải tích thực với kỳ dị logarit gần với giá độ đo Tiếp đó, Celic H I., Poletsky E A [7] (1997) nghiên cứu phương trình Monge-Ampère với độ đo Dirac A Zeriahi [13] (1997) chứng minh phương trình MongeAmpère phức giải giá trị biên liên tục Xing Y [12] (1999) tổng quát kết Zeriahi A trường hợp giá trị biên cho đồng Xing xét độ đo xác định tổng tổ hợp tuyến tính số đếm độ đo Dirac với giá compact độ đo Monge-Ampère qui biết Chúng ta xét lớp , lớp lớn hàm đa điều hồ khơng âm xác định miền siêu lồi Monge-Ampère phức xác định tốt lớp , mà tốn tử Cegrell phát triển nghiên cứu cơng trình tảng [4] [5] Chúng ta chứng minh lớp lượng phương trình Monge-Ampère phức có nghiệm lớp độ đo kỳ dị rộng so với Zeriahi A Xing Y Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: "Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương trình Monge-Ampère phức" 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương trình Monge-Ampère lớp lượng với phần kỳ dị lớn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Nghiên cứu số tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère - Nghiên cứu xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng , toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương trình MongeAmpère Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 40 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng , toán tử Monge- Ampère tập đa cực giải phương trình Monge-Ampère Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, hàm u : X gọi nửa liên tục trên X với x X : u(x ) n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với liên thông n b u(a , hàm này, ta viết u u : , thành phần Hàm u gọi đa điều hoà với b) điều hoà trùng :a thành phần tập hợp tập hợp mở X 1.1.2 Định nghĩa Cho a , b ( ) ( kí hiệu Trong trường hợp ( ) lớp hàm đa điều hoà ) Sau vài tính chất hàm đa điều hồ dưới: 1.1.3 Mệnh đề Nếu u, v u ( ) u v hầu khắp nơi , v 1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ), u với z u(z ) sup lim sup u(y ) y y , n n 1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E gọi đa cực với điểm a E có lân cận V a hàm u E V z V : u(z ) (V ) cho 1.1.6 Hệ Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) khơng 1.1.7 Định lý Cho (i) Họ u, v ( ) nón lồi, tức u u ( ) , (ii) Nếu v uj ( ) u lim u j j tập compact , u số không âm ( ) dãy giảm, j , u j (iii) Nếu u : , Khi ( ) liên thông (iv) Giả sử u n tập mở ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.8 Hệ Cho n tập mở khác rỗng Nếu u y , cơng thức xác định hàm đa điều hoà tập mở thực ( ), lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong \ y u(y ) với 1.1.9 Định lý Cho n tập mở (i) Cho u, v hàm đa điều hoà v lồi, v (u / v) đa điều hồ (ii) Cho u ( ), v Nếu : ( ), v : Nếu lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii) Cho u, v : 0, 0, Định 1.1.10 F ( ), u z lý , v (u / v) Cho , v lồi (0) tập Nếu ( ) mở n : v(z ) tập đóng v ( ) Nếu u ( \ F ) bị u(z ) (z lim sup u(y ) (z chặn trên, hàm u xác định u (z ) y z y F \ F) F) đa điều hoà Nếu u đa điều hoà bị chặn u đa điều hồ Nếu liên thơng, n 1.1.11 Định nghĩa Một miền bị chặn tồn hàm đa điều hòa liên tục c z : (z ) c : ( \F , \ F liên thông gọi miền siêu lồi , 0) cho với c ... Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16 2.1 Một vài định nghĩa kết 166 2.2 Một vài kết xấp xỉ 19 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương. .. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... Monge-Ampère tập đa cực phương trình Monge-Ampère phức" 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương