Đang tải... (xem toàn văn)
Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)Giao thức trục giao và ứng dụng trong toán phổ thông (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC GIAO THỨC TRỤC GIAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN PHỔ THƠNG PHẠM VĂN CHINH THÁI NGUYÊN 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan iv Tóm tắt nội dung v Danh sách ký hiệu vi Mở đầu 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian có vơ hướng 1.3 Không gian hàm liên tục 1.3.1 Trực giao hóa Gram-Schmidt 1.3.2 Đa thức với hệ số thực 1.4 Đa thức trực giao 1.4.1 Đa thức Legendre 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại I 1.4.3 Đa thức Chebyshev loại II 1.4.4 Đa thức Hermite 1.4.5 Đa thức lượng giác 2 tích 7 10 10 12 13 Giải số toán 15 2.1 Giải số toán cao cấp 15 2.2 Giải số toán sơ cấp 27 ii Kết luận đề nghị 34 Tài liệu tham khảo 35 iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ TS.Nguyễn Văn Minh Thầy giành nhiều thời gian bảo tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin cảm ơn q thầy, Khoa Tốn-Tin phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, viện Tốn học, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khơng khoa học mà sống Tôi xin chân thành cảm ơn bạn học viên lớp Cao học toán K7Q bạn bè đồng mơn giúp đỡ tác giả q trình học tập trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun q trình hồn thiện luận văn thạc sĩ Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình Nhờ có gia đình chỗ dựa vững vật chất tinh thần cho suốt trình học cao học làm luận văn Thạc sĩ Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh iv Lời cam đoan Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Minh Tơi xin cam đoan kết trình bày luận văn tự làm, không chép luận văn công bố trước Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh v TÓM TẮT NỘI DUNG Ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp vấn đề người ta làm Vì Tốn cao cấp mức độ khái quát cao nhiều so với Toán sơ cấp Đề tài theo tư tưởng nói trên, phạm vi hẹp Trong đề tài xét lớp hàm tương đối đặc biệt, Đa Thức Trực Giao Ngồi đa thức theo nghĩa thơng thường, luận văn xét đa thức lượng giác, đa thức lượng giác hệ hàm trực giao đầy đủ Đa thức trực giao đa thức có tính chất trực giao Đa thức trực giao hệ đầy đủ, theo nghĩa hàm liên tục khai triển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, gọi khai triển Fourier mở rộng Đa thức trực giao tính chất chung đa thức, có số tính chất riêng, có tính chất sơ cấp Luận văn cố gắng khai thác tính sơ cấp hệ đa thức trực giao Trình bày giải số tốn sơ cấp có liên quan tới đa thực trực giao vi Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: u, v ||.|| C[a; b] Pn (x); Qn (x) Tích vơ hướng hai vector u v Chuẩn vector Tập hợp hàm liên tục đoạn [a,b] Đa thức có bậc n, biến x Mở đầu Lớp hàm đa thức trực giao có vị trí đặc biệt tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu Đại số cao cấp, Giải tích mà nghiên cứu Giải tích số Vì đa thức trực giao hệ đầy đủ không gian hàm liên tục, sở trực chuẩn không gian Mọi hàm liên tục khai triển cách thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao Các hệ đa thức trực giao có tính chất thú vị, chẳng hạn hệ đa thức trực giao nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp 2; ba đa thực trực giao liên tiếp hệ thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp 2; đa thức trực giao cấp n có n nghiệm thực, nghiệm đa thức cấp n cấp n − xen kẽ Bản thân hệ đa thức trực giao đối tượng Toán cao cấp, bên cạnh chúng có số tính chất có tính sơ cấp Luận văn chúng tơi có gắng khai thác tính chất thuộc tốn cao cấp sơ cấp hóa khai thác số tính chất sơ cấp chúng Ngoài mục Mở đầu, Kết luận vài mục có tính chất hành chính, Luận văn có hai chương chính, chương chương 2: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số phần Đại số cao cấp, Đại số tuyến tính Giải tích Chương 2, tình bày số ví dụ, tốn có nội dung liên quan tới đa thức trực giao Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian có tích vơ hướng Ta nói khơng gian V xác định cấu trúc chuẩn, với vector x ∈ V , luôn xác định số ||x||, gọi chuẩn x, thỏa mãn tính chất sau: ||x|| ≥ ||x|| = ⇐⇒ x = θ ||tx|| = |t|.||x|| ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Trong khơng gian có nhiều chuẩn khác nhau, ta có khái niệm hai chuẩn tương đương sau: Định nghĩa 1.1 Hai chuẩn ||x||1 ||x||2 gọi tương đương, tồn hai số dương c1 , c2 cho c1 ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ c2 ||x||1 Trong không gian hữu hạn chiều chuẩn tương đương Chuẩn Rn xác định: n |xi |p ||x||p = i=1 1/p , với ≤ p ≤ +∞ Gán p số khác nhau, ta chuẩn Ba chuẩn thường dùng là: n Với p=1, ta có chuẩn ||x||1 = |xi | i=1 Với p=2, ta có chuẩn ||x||2 = x21 + x22 + + x2n Với p = +∞, ta có chuẩn ||x||∞ = max |x1 |, |x2 |, , |xn | Trong chương trình hình học ta biết tích vơ hướng hai vector; ta suy rộng khái niệm cho vector tổng quát: Định nghĩa 1.2 Cho V không gian vector, x, y hai vector V Tích vơ hướng hai vector số thực, ký hiệu x, y , thỏa mãn tính chất sau, gọi tiên đề tích vơ hướng: x, y = y, x ; x, x ≥ 0, ∀x ∈ V , x, x = ⇐⇒ x = θ; ax + by, z) = ax, z + by, z , ∀x, y ∈ V; ∀a, b ∈ R Không gian vector có trang bị tích vơ hướng gọi khơng gian có tích vơ hướng Khơng gian V hữu hạn chiều có tích vơ hướng gọi khơng gian Euclid, ký hiệu Rn Không gian V vô hạn chiều có tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert, không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert, ký hiệu H Mọi khơng gian có tích vô hướng không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| = x, x Khơng gian có tích vơ hướng có bất đẳng thức quan trọng, bất đẳng thức Cauchy- Bunyakovsky: | x, y | ≤ ||x||.||y|| | x, y | = ||x||.||y|| ⇐⇒ ∃t ∈ R cho x = ty y = tx Hai vector x, y trực giao, tích vơ hướng chúng 0: x⊥y ⇐⇒ x, y = Ví dụ 1.1 Trong khơng gian Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) Khi biểu thức sau tích vơ hướng: ... thức lượng giác hệ hàm trực giao đầy đủ Đa thức trực giao đa thức có tính chất trực giao Đa thức trực giao hệ đầy đủ, theo nghĩa hàm liên tục khai triển thành chuỗi Fourier theo hệ hàm trực giao, ... nhiều so với Toán sơ cấp Đề tài theo tư tưởng nói trên, phạm vi hẹp Trong đề tài xét lớp hàm tương đối đặc biệt, Đa Thức Trực Giao Ngồi đa thức theo nghĩa thông thường, luận văn xét đa thức lượng... luận văn tự làm, không chép luận văn cơng bố trước Thái Ngun, ngày 10 tháng năm 2015 Học viên Phạm Văn Chinh v TÓM TẮT NỘI DUNG Ứng dụng Toán Cao cấp để nghiên cứu Toán sơ cấp vấn đề người ta làm