Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình toán lớp 9 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình toán lớp 9 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình toán lớp 9 Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phương trình toán lớp 9
CHUN ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A) TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn b) Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn địa lượng biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế B) CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Toán quan hệ số Nững kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : ab = 10a+ b ( ví i 0 80 Thời gian xe máy để gặp ô tô (giờ) y Trang Quảng đường ô tô 100 km nên thời gian tơ ta có phương trình 100 (giờ) y 100 80 = (1) x y Quảng đường xe máy 60 km nên thời gian xe máy Quảng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô Vì tơ trước xe máy 54 phút = 60 (giờ) y 120 (giờ) y nên ta có phương trình 10 120 60 − = (2) x y 10 100 80 100 80 x = y x − y =0 ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 120 − 60 = 40 − 20 = x y 10 x y 10 100 80 60 12 = x − y =0 x = 50 x 10 ⇔ (thoả mà n đ iều kiện) 100 80 160 80 12 y = 40 − =0 − = y y 10 x x Vậy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h Ví dụ 3: Một ô tô quảng đường dai 520 km Khi 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu tơ biết thời gian hết quảng đường Giải: Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô x+10 (km/h) 240 Thời gian ô tô hết quảng đường đầu (giờ) x 280 Thời gian ô tô hết quảng đường đầu (giờ) x + 10 Vì thời gian tơ hết quảng đường nên ta có phương trình 240 280 + = ⇒ x2 − 55x − 300 = x x + 10 ∆ = b2 − 4ac = (−55)2 − 4.(−300) = 4225 > ⇒ ∆ = 4225 = 65 55+ 65 55− 65 = 60(TMDK );x2 = = −5(loai) Phương trình có hai nghiệm x1 = 2 Vậy vận tốc ban đầu ô tô 60 km/h Trang Ví dụ 4: Tìm vận tốc chiều dài đồn tàu hoả biết đồn tàu chạy ngang qua văn phịng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây Giải +/ Gọi x (m/s)là vận tốc đoàn tàu vào sân ga (x>0) Gọi y (m) chiều dài đoàn tàu (y>0) +/ Tàu chạy ngang ga giây nghĩa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) giây Ta có phương trình : y=7x (1) +/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây nghĩa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) 25giây Ta có phương trình : y+378=25x (2) y = 7x +/ Kết hợp (1) với (2) ta hệ phương trình : y+378=25x +/ Giải ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc đoàn tàu 21m/s Chiều dài đoàn tàu : 147m Ví dụ 5: Một thuyền xi, ngược dịng khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dịng 4km Tính vận tốc dịng nước ? Giải +/ Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng Gọi y(km/h) vật tốc dòng nước (x,y>0) = +/ Vì thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dịng 4km nên ta có phương trình : x+ y x− y +/ Vì thuyền xi, ngược dịng khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút (= h) nên ta có phương trình : 40 40 + = x+ y x− y x + y = x − y Ta có hệ phương trình : 40 + 40 = x + y x − y +/ Giải ta có : x=18 ; y= Vậy vận tốc dòng nước km/h Ví dụ 6: Trên đường trịn chu vi 1,2 m, ta lấy điểm cố định A Hai điểm chuyển động M , N chạy đường trịn, khởi hành từ A với vận tốc khơng đổi Nếu chúng di chuyển trái chiều chúng gặp sau 15 giây Nếu chúng di chuyển chiều điểm M vượt N vịng sau 60 giây Tìm vận tốc điểm M, N? Trang Giải +/ Gọi x(m/s) vận tốc điểm M Gọi y(m/s) vận tốc điểm N (x>y>0) +/ Khi chúng di chuyển trái chiều , chúng gặp sau 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1) +/ Khi M,N di chuyển chiều điểm M vượt N vịng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x60y=1 (2) 15x+15y=1,2 Ta có hệ phương trình : 60x+60y=1 +/ Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc điểm M : 0,05m/s vận tốc điểm N : 0,03m/s Ví dụ 7: Một mơtơ ơtơ từ M đến K với vận tốc khác Vận tốc mơtơ 62 km/h cịn vận tốc ôtô 55 km/h Để xe đến đích lúc người ta cho ôtô chạy trước thời gian Nhưng lí đặc biệt nên chạy 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h Vì cịn cách K 124km mơtơ đuổi kịp ơtơ Tính khoảng cách từ M đến N Giải +/ Gọi khoảng cách MK x km Gọi thời gian dự định ôtô trước môtô y (giờ) x x 62 + y = 55 +/ Ta có : x x − 124 x − 124 + = y+ 27,5 62 65 94 (h) +/ Giải hệ ta rút : x= 514km ; y = 1705 Bài tập: Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A hướng với ô tô thứ với vận tốc 40 km/h Hỏi sau tơ gặp nhau, điểm gặp cách A km? Một ca nô xi dịng 50 km ngược dịng 30 km Biết thời gian xi dịng lâu thời gian ngược dịng 30 phút vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dòng km/h Tính vận tốc lúc xi dịng? Hai tô khởi hành lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B trước tơ thứ hai 30 phút Tính vânl tốc ô tô Một thuyền dịng sơng dài 50 km Tổng thời gian xi dịng ngược dịng 10 phút Tính vận tốc thực thuyền biết bè thả phải 10 xi hết dịng sông Một người xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tô khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe? Trang Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trôi tự từ A đến B Ca nơ đến B quay lại A ngay, thời gian xi dịng ngược dịng hết 15 Trên đường ca nơ ngược A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước? Đáp án: (giê) 20 km/h Vận tốc ô tô thứ 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h 25 km/h Vận tốc ca nơ 15 km/h Vận tốc dịng nước km/h Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm cơng việc x - Xem tồn cơng việc Ví dụ 1: Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu? Giải: Ta có 25%= Gọi thời gian người thứ hồn thành cơng việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành công việc y(y > 0; giờ) Trong người thứ làm công việc x Trong người thứ hai làm công việc y Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm cơng việc 16 1 Ta có phương trình: + = (1) x y 16 Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%= cơng việc Ta có phương trình + = (2) x y 1 1 3 3 1 1 x + y = 16 x + y = 16 x + y = 16 ⇔ ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 3+ = 3+ = 3 = x y x y y 16 x = 24 ⇔ (tho¶ m· n ®iỊu kiƯn) y = 48 Trang Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Ví dụ 2: Hai thợ đào mương sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc? Giải : Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi đội làm c«ng viƯc x c«ng viƯc Mỗi đội làm x+ 11 35 Vì hai đội sau 55 phút = = (giờ) xong 12 12 12 Trong hai đội làm công việc 35 1 12 + = ⇔ 35x + 70 + 35 = 12x2 + 24x Theo ta có phương trình x x + 35 ⇔ 12x2 − 46x − 70 = ⇔ 6x2 − 23x − 35 = Ta có ∆ = (−23)2 − 4.6.(−35) = 529 + 840 = 1369 > ⇒ ∆ = 1369 = 37 23+ 37 23 37 Vậy ph ơng trì nh có hai nghiÖm x1 = = 5(thoa m· n); x2 = = −2(lo¹i) 12 12 Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc Chú ý: + Nếu có hai đối tượng làm công việc biết thời gian đại lượng hơn, đại lượng ta nên chọn ẩn đưa phương trình bậc hai + Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải Ví dụ 3: Hai người thợ sơn cửa cho ngơi nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong cơng việc? Giải: Gọi thời gian để người thứ hồn thành cơng việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để người thứ hai hồn thành cơng việc y (x>2; ngày) Trong ngày người thứ làm công việc x Trong ngày người thứ hai làm công việc y Trang Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm 1 công việc Từ ta có pt + x 1 = (1) y Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt: + = (2) x y 1 1 1 1 x + y = + = x y x = ⇔ ⇔ (tho¶ m· n ®k) Từ (1) (2) ta có hệ pt y = 3 + =1 = x y x Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong cơng việc ngày 12 Ví dụ 4: Hai người làm chung cơng việc xong Nếu người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc? Giải 12 Gọi thời gian người thứ hồn thành xong cơng việc x (giờ), ĐK x > Thì thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x + (giờ) 1 Mỗi người thứ làm (cv), người thứ hai làm (cv) x x+ 12 12 Vì hai người làm xong công việc nên hai đội làm 1: = (cv) 5 12 Do ta có phương trình 1 + = x x + 12 x+2+ x ⇔ = x( x + 2) 12 ⇔ 5x2 – 14x – 24 = ∆’ = 49 + 120 = 169, ∆ , = 13 7− 13 −6 7+ 13 20 = = = (TMĐK) (loại) x = 5 5 Vậy người thứ làm xong công việc giờ, người thứ hai làm xong công việc 4+2 = Ví dụ 5: Cho vòi A, B, C chảy vào bể Vòi A B chảy đầy bể 71 phút Vòi A C chảy đầy bể 63 phút Vòi C B chảy đầy bể 56 phút a Mỗi vòi làm đầy bể bao lâu? Cả vịi mở lúc đầy bể ? => x = Trang 10 b Biết vịi C chảy 10lít phút so với vịi A B chảy lúc Tính sức chứa bể sức chảy vòi ? Giải a) Vòi A làm đầy bể x phút ( phút làm đầy 1/x bể ) Vòi B làm đầy bể y phút ( phút làm đầy 1/y bể ) Vòi C làm đầy bể z phút ( phút làm đầy 1/z bể ) 1 72 + = x y 1 Ta có hệ phương trình : 63 + = x z 1 56 + = z y +/ Giải hệ phương trình ta : x=168 ; y=126 ; z=504/5 5+ + 12 = Nếu vòi mở lúc sau phút đầy bể 504 504 504 = 42phút vòi làm đầy bể sau : 12 b)Gọi dung tích bể t phút phút vịi C chảy 5/504.t lít , vịi A B chảy ( có phương trình : + ).t lít Theo đề ta 504 504 5040 t + 10 = + = 2520(l) t⇒ t= 504 504 504 3.2520 = 15l / p 504 4.2520 = 20l / p Tương tự sức chảy vòi B : 504 5.2520 = 25l / p sức chảy vòi C : 504 Ví dụ 6: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ Sức chảy vịi A : • bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? GIẢI: Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4) • Trong 1h, vịi chảy được: vịi thứ hai • (bể) x Trong 1h, vòi chảy được: (bể) y Trang 11 • Vì hai vịi nước chảy 48 phút = 24 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy 5 bể, ta có pt: + = (1) y 24 x 24 • Vì vòi thứ vòi thứ hai 3 bể nước nên ta có pt: + = (2) y x 1 + = x y 24 • Từ (1) (2) ta có hệ pt: (I) 3 + = x y u + v = 1 24 • Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II) y x 3u + 4v = 1 x = 12 u = 12 ⇒ • Giải hệ (II), ta được: v = 1 = y 8 • x = 12 (thỏa ĐK) y = ⇒ Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 12h, vòi chảy riêng đầy bể 8h Ví dụ 7: Hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau sau mở thêm vịi thứ hai sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ bể nước Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? GIẢI: • Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > • Trong 1h, vịi chảy được: • • ) (bể) x Trong 1h, vòi chảy được: (bể) y Vì hai vịi nước chảy ta có pt: 24 = h đầy bể nên 1h hai vòi chảy bể, 5 24 1 + = (1) y x 24 Trang 12 • Vì lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau có pt: bể nước nên ta 61 + + ÷ = (2) 5 x y x 1 + = x y 24 • Từ (1) (2) ta có hệ pt: (I) 9 + + = x x y ÷ 5 u+ v = u+ v = 24 24 ⇔ • Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II) y x 51 9u + ( u + v ) = u+ v = 5 1 1 u = x = 12 12 ⇒ • Giải hệ (II), ta được: v = 1 = y 8 • x = 12 (thỏa ĐK) y = ⇒ Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 8h Ví dụ 8: Hai vịi nước chảy vào bể cạn chưa có nước sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể? GIẢI: • Gọi x (h) thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x > 27) • Thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h) • Mỗi vịi thứ chảy • • (bể) x Mỗi vòi thứ hai chảy (bể) x − 27 Vì hai vịi chảy sau 18 h bể đầy, nên 1h hai vòi chảy bể, nên ta có pt: 18 1 ⇔ x2 – 63x + 486 = + = x x − 27 18 • Giải pt ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = (loại) • Vậy: Vịi thứ chảy riêng đầy bể 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 27h Bài tâp: Trang 13 Hai người thợ làm cơng việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc? Để hồn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó? Hai đội công nhân đào mương Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong cơng việc? Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vịi nước chảy vào dung lượng nước chảy Người ta mở cho hai vịi chảy vào bình sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vịi thứ hai thêm 25 lít/giờ Tính xem vịi thứ chảy lít nước Kết quả: 1) Người thứ làm 54 Người thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15 3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày 4) Mỗi vịi thứ chảy 75 lít Dạng 4: Tốn có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S = x.y ( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng) n(n − 3) - Số đường chéo đa giác (n số đỉnh) Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Giải: Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0) Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1) Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = Ta có ∆ = (−13)2 − 4.40 = > ⇒ ∆ = 13+ 13− = 8;X = =5 Phương trình có hai nghiệm X = 2 Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm) Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vng m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m) Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình Trang 14 x2 + (x + 1)2 = 52 ⇔ 2x2 + 2x − 24 ⇔ x2 + x − 12 = ∆ = 12 − 4.(−12) = 49 ⇒ ∆ = Ph ¬ng tr× nh co hai nghiƯm phan biƯt −1+ −1− x1 = = 3(thoả mà n);x2 = = 4(loại) 2 Vậy kích thước cạnh góc vng tam giác vuông m m Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm 100cm2 Tình hai cạnh góc vng tam giác HD GIẢI: • Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (x > 5, y > 5) 5 x + y = 200 x + y = 45 • Theo đề ta có hệ pt: • Giải hệ pt ta • Vậy độ dài hai cạnh góc vng 20cm 25cm • Ví dụ 3: Cho tam giác vng có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm2 Tìm độ dài cạnh góc vng HD GIẢI: Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (0 < x, y < 5) • Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1) • Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: x = 20 (thỏa ĐK) y = 25 xy = ⇔ xy = 12 (2) x + y = 25 ( x + y ) − xy = 25 ⇔ • Từ (1) (2) ta có hệ pt: x y = 12 x y = 12 ( x + y ) = 49 x + y = ( x, y > 0) ⇔ x y = 12 x y = 12 ⇔ x = x = (thỏa ĐK) y = y = • Giải hệ pt ta • Vậy độ dài hai cạnh góc vng 3cm 4cm Bài tâp : Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Trang 15 Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Đáp số: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2 Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng Những kiến thức cần nhớ : x + x% = 100 + Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A x a + a 100 x x x Số dâ n năm sau lµ (a+a ) + (a+a ) 100 100 100 Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > x = 20000 (đồng) Tiền lãi suất sau năm 2000000 100 Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) x = 20000x + 200x 2(®ång) Riêng tiền lãi năm thứ hai (2000000 + 20000x ) 100 Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo ta có phương trình 200x + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x – 2100 = Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay 10 % năm Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ Giải Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm) 18 Số sản phẩm vượt mức tổ I x (sản phẩm) 100 21 Số sản phẩm vượt mức tổ II (600 − x ) (sản phẩm) 100 Trang 16 Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600 − x ) + = 120 x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) 100 100 Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu? Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm Dạng 6: Các dạng toán khác Những kiến thức cần nhớ : m - V = (V lµ thĨtich dung dich; m khối l ợ ng; D khối l ợ ng riêng) D Khối l ợ ng chất tan - Khối lượng nồng độ dung dịch = Khèi l ợ ng dung môi (m tổng) Vớ d : (Bài trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > 40 % Nồng độ muối dung dịch x + 40 40 % Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là: x + 240 Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 40 40 10 − = ⇔ x2 + 280x − 70400 = x + 40 x + 240 100 Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán) Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2 Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3) Thể tích chất lỏng thứ (cm ) x Trang 17 Thể tích chất lỏng thứ hai Thể tích hỗn hợp (cm3 ) x − 0, + (cm3 ) x x + 0, 14 + = ⇔ 14x2 − 12, 6x + 1,12 = Giải pt ta kết x x + 0, 0, x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm ) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3) Theo ta có pt Ví dụ 3: Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) dung dịch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại loại để 100lít dung dịch 50% axit nitơric? Giải +/ Gọi x,y theo thứ tự số lít dung dịch loại (Đơn vị: Lít, x,y>0) 30 55 x loại y Lượng axit nitơric chứa dung dịch loại 100 100 x + y = 100 +/ Ta có hệ phương trình : 30 55 x+ y = 50 100 100 +/ Giải hệ ta : x=20 ;y=80 Ví dụ 4: Nhân ngày 1/6 phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số kẹo chia hết chia cho đội viên Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà sau: Bạn thứ nhận kẹo 1/11 số kẹo lại Cứ tiếp tục đến bạn cuối thứ n nhận nhận n kẹo 1/11 số kẹo lại Hỏi phân đội thiếu niên nói có đội viên ? Mỗi đội viên nhận kẹo ? Giải +/ Gọi số người phân đội a Số kẹo phân đội tặng x (a,x>0) x− +/ Người thứ nhận : 1+ (kẹo ) 11 Người thứ hai nhận : x −1 x −2 +1+ 11 (kẹo 2+ 11 ) x − 1 x − + 1+ x−1 00 1+ = 2+ +/ Vì hai số kẹo có a người nên ta có : 11 11 x−1 a(1+ )= x 11 +/ Giải hệ ta x=100 ; a=10 Trang 18 Ví dụ 5: 12 người ăn 12 bánh Mỗi người đàn ông ăn chiếc, người đàn bà ăn 1/2 em bé ăn 1/4 Hỏi có người đàn ơng, đàn bà trẻ em Giải +/ Gọi số đàn ông , đàn bà trẻ em x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z số nguyên dương nhỏ 12) +/ Số bánh họ ăn hết : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh) x + y + z = 12 2x + 2y + 2z = 24( 1) ⇔ +/ Theo đề ta có hệ phương trình : y z 2x + + = 12 8x + 2y + z = 48( 2) +/ Lấy (2) trừ (1) ta : 6x-z=24 (3) Vì x, z ∈ Z+ , 6x 24 chia hết cho , ⇒ z chia hết cho Kết hợp với điều kiện 0