BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HỒNG HẠNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HỒNG HẠNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Năng Tâm HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học thầy, Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm giúp đỡ trình học tập trường Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Khoa Khoa học Trường Cao đẳng Cơng Nghiệp Hóa Chất tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả Phú Thọ, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giả luận văn Lê Thị Hồng Hạnh i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, luận văn “Bài toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert” hồn thành khơng trùng với cơng trình khoa học khác Trong q trình hồn thành luận văn, tơi thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Phú Thọ, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giả luận văn Lê Thị Hồng Hạnh ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi 1.3 Một số toán tử đặc biệt không gian Hilbert 11 1.3.1 Toán tử liên tục 11 1.3.2 Toán tử liên hợp 13 1.3.3 Toán tử chiếu 15 1.3.4 Toán tử đẳng cự 16 1.4 Bài toán tối ưu không gian Hilbert 16 iii Bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 19 2.1 Định nghĩa ví dụ 19 2.2 Một số định lý tồn nghiệm 23 2.3 Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân 33 2.3.1 Phương pháp nhân tử Lagrange 33 2.3.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov 35 2.3.3 Thuật toán điểm gần kề 43 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) đời vào năm 1960, gắn liền với cơng trình G Stampacchia, J L Lion G Fichera, xem [7, 8] tài liệu trích dẫn Hiện nay, tốn bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn: bất đẳng thức biến phân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng, Bất đẳng thức biến phân thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mơ hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực khác toán học trường hợp riêng, ví dụ: tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân Nash, cân mạng giao thông, Sau học nghiên cứu mơn Giải tích hàm, Bất đẳng thức biến phân, Lý thuyết tối ưu với mong muốn hiểu biết sâu Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert tơi lựa chọn đề tài: “Bài tốn Bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert.” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số phương pháp giải toán Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số kiến thức khơng gian Hilbert, số tốn tử đặc biệt tốn tối ưu khơng gian Hilbert Nghiên cứu Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số phương pháp giải toán Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Luận văn trình bày số khái niệm kết liên quan đến Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Luận văn nghiên cứu nội dung Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình bày kết chương Mục 1.1 trình bày khái niệm khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày kiến thức tập lồi hàm lồi Mục 1.3 trình bày số tốn tử đặc biệt khơng gian Hilbert Mục 1.4 giới thiệu toán tối ưu khơng gian Hilbert Chương trình bày số kết tồn nghiệm số thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Mục 2.1 trình bày định nghĩa ví dụ bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Mục 2.2 trình bày số định lý tồn nghiệm tốn Mục 2.3 trình bày số thuật tốn để giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert gồm: phương pháp nhân tử Lagrange, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov, thuật toán điểm gần kề Các kết chương trình bày dựa chuyên khảo [7] báo [10] Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn nghiên cứu khơng gian Hilbert tốn Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Tra cứu, tổng hợp tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc trình bày kết Chương Mục 1.1 trình bày khái niệm khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày kiến thức tập lồi hàm lồi Mục 1.3 trình bày số tốn tử đặc biệt khơng gian Hilbert Mục 1.4 giới thiệu tốn tối ưu khơng gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert Cho H không gian véctơ trường số thực R Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ ·, · : H × H → R (x, y) → x, y Nếu x, xref − x < 0, F (x), xref − x < điều có nghĩa x ∈ L< (F, xref ) ta có x ≤ γ Nếu x, x − xref ≥ x ≤ x xref Suy x ≤ xref Ta thấy rằng: x ≤ max{γ, xref }, ∀x ∈ L< (Fε , xref ) Từ tính bị chặn L< (Fε , xref ) Sol(V I(Fε , K)) = ∅ (ii) Lấy ε > ta đặt µ = ε chọn u = Dễ dàng kiểm tra Sol(V I(G, K)) = Sol(V I(Fε , K)) Ở đây: G(x) = µF (x) + x − u với ∀x ∈ K Do từ Bổ đề 2.3 với v ∈ Sol(V I(Fε , K)) ta có: v − x¯ Khi đó, v ≤ x¯ − v − v, x¯ ≤ ta v − x¯ 2 = v − v, x¯ + x¯ ≤ x¯ , Ta chứng minh bao hàm thức (2.12) Bao hàm thức thứ hai hiển nhiên (iii) Giả sử F liên tục K x(εk ) dãy hội tụ {x(εk )} Cho x(εk ) → x Ta thấy x = x¯ Với k ∈ N ta có F (x(εk )) + εk x(εk ), y − x(εk ) ≥ 0, ∀y ∈ K Cho k → ∞, ta F (x), y − x ≥ với y ∈ K Khi x ∈ Sol(V I(F, K) Do (2.12): x(εk ) ≤ x¯ , ∀k ∈ N 39 Vì vậy, ta có x ≤ x¯ Từ x¯ ∈ Sol(V I(F, K) nghiệm có chuẩn nhỏ Từ điều ta kết luận x = x¯ Nhận xét 2.5 Nếu ∈ Sol(V I(F, K) F giả đơn điệu liên tục yếu K Sol(V I(Fε , K)) = {0} với ε > Nếu H = Rn từ (ii) (iii), ta có x(ε) → x¯ Do đó, kết mở rộng kết Hao [5, Theorem 2.1, Theorem 2.2], kết phát biểu sau Định lý 2.11 [10] Giả sử K ⊂ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng, F : K → Rn toán tử liên tục, giả đơn điệu Nếu tốn V I(F, K) có nghiệm thì: (a) Sol(V I(Fε , K)) khác rỗng compact với ε > 0; (b) Dãy {x(εk )} với x(ε) vecto từ Sol(V I(Fε , K)) hội tụ phần tử có chuẩn nhỏ Sol(V I(F, K)) (c) lim+ diam Sol(V I(Fε , K)) = với diam Ω := sup{ x − y : x, y ∈ ε→0 Ω} ký hiệu đường kính tập Ω ⊂ Rn Kết sau trường hợp đặc biệt Định lý 2.10 F toán tử đơn điệu Kết mở rộng kết tương ứng [9], hàm F cần liên tục yếu K Định lý 2.12 [10] Giả sử F : K → H đơn điệu liên tục yếu Nếu tốn V I(F, K) có nghiệm x¯ nghiệm có chuẩn nhỏ {x(ε)} hội tụ x¯ ε → 0+ , x(ε) nghiệm toán (V I(Fε , K)) 40 Chứng minh Giả sử Sol(V I(F, K)) khác rỗng Do tính chất (ii) Định lý 2.10, Sol(V I(Fε , K)) = ∅ với ε > Từ F đơn điệu K, Fε đơn điệu mạnh K Bởi vậy, Sol(V I(Fε , K)) tập điểm với ε > Điều mâu thuẫn với giả thiết tồn số ρ > dãy {x(εk )} {x(ε)} cho: x(εk ) − x¯ ≥ ρ, ∀k ∈ N Từ tính chất (i) Định lý 2.10 ta có x(εk ) ∈ B(0, x¯ ) ∩ K, ∀k ∈ N Từ B(0, x¯ ) ∩ K tập compact yếu, khơng tính tổng qt ta có ω thể giả thiết x(εk ) −→ x ∈ B(0, x¯ ) ∩ K Với k ∈ N, ta có F (x(εk )) + εk x(εk ), y − x(εk ) ≥ 0, ∀y ∈ K (2.13) Đồng thời giả thiết theo Bổ đề Minty ta có F (y) + εk y, y − x(εk ) ≥ 0, ∀y ∈ K Cho k → ∞ ta F (y), y − x ≥ ∀y ∈ K Lại Bổ đề Minty tính chất cuối chứng tỏ x ∈ Sol(V I(F, K)) Do tính chất x nghiệm V I(F, K) thuộc hình cầu B(0, x¯ ) Do ω x = x¯ Theo đó, x(εk ) −→ x¯ Từ (2.13) ta có lim sup x(εk ) ≤ x¯ k→∞ Từ kết luận x(εk ) hội tụ (theo chuẩn) tới x¯ điều trái với giả sử x(εk ) − x¯ ≥ ρ với k ∈ N 41 Ví dụ trình bày sau trả lời cho câu hỏi mở [5] Trong ví dụ chúng tơi rằng, tồn toán tử giả đơn điệu, khả vi liên tục F : R2 → R2 cho Sol(V I(F, R2 )) = ∅, với ε > 0, Fε khơng tốn tử giả đơn điệu Ví dụ 2.5 (xem [10]) Cho F định nghĩa công thức F (x) = (x21 + x22 )(−x2 , x1 ), ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Rõ ràng, F khả vi liên tục toàn R2 Sol(V I(F, R2 )) = {(0, 0)} Cho x = (x1 , x2 ) ∈ R2 y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ta có: F (x), y − x = (x21 + x22 )(x1 y2 − x2 y1 ) (2.14) F (y), y − x = (y12 + y22 )(x1 y2 − x2 y1 ) (2.15) Nếu F (x), y − x ≥ ta có hai trường hợp sau: (a) x = Trong trường hợp từ (2.15) ta có F (y), y − x = (b) x = Sử dụng (2.14) ta nhận bất đẳng thức F (x), y−x ≥ hay x1 y2 − x2 y1 ≥ Kết hợp với (2.15) ta có F (y), y − x ≥ Theo đó, ta kết luận F giả đơn điệu R2 Với ε > ta có: Fε (x), y − x = (x21 + x22 )(x1 y2 − x2 y1 ) + εx1 y1 − εx21 + εx2 y2 − εx22 Fε (y), y − x = (y12 + y22 )(x1 y2 − x2 y1 ) + εy12 − εy1 x1 + εx22 − εy2 x2 42 Thay x¯ := (0, 1) y := (ε, 2) vào đẳng thức cuối ta kết Fε (¯ x), y − x¯ = Fε (y), y − x¯ = −2ε < Khi đó, với ε > 0, Fε không giả đơn điệu R2 2.3.3 Thuật tốn điểm gần kề Cho H khơng gian Hilbert thực, xét toán V I(F, K) với F : K → H, K ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng Thuật tốn điểm gần kề (PPA) để giải tốn V I(F, K) mơ tả sau: “Chọn x0 ∈ H dãy {ρk } ⊂ R+ thỏa mãn ρk ≥ ρ1 > 0, (k ∈ N) Giả sử xk−1 , (k = 1, 2, ) xác định, ta chọn αk nghiệm toán V I(F (k) , K) với F (k) (x) = ρk F (x) + x − xk−1 , x ∈ K, nghĩa xk ∈ K thỏa mãn ρk F (xk ) + x − xk−1 , y − xk ≥ 0, ∀y ∈ K (2.16) Ta dãy lặp {xk } Ta tính giới hạn lim xk theo tôpô mạnh k→∞ yếu H Nếu giới hạn tồn ta hi vọng giới hạn nghiệm toán V I(F, K) Để trình tính tốn dừng sau hữu hạn bước ta thu nghiệm xấp xỉ V I(F, K), đưa 43 tiêu chuẩn dừng Chẳng hạn, q trình tính tốn dừng xk − xk−1 ≤ θ, θ số cho trước.” Bổ đề 2.4 [10] (Sự tồn phần tử dãy lặp.) Giả sử F giả đơn điệu liên tục yếu K Nếu Sol(V I(F, K)) khác rỗng với k ∈ N, xk−1 ∈ H, tập hợp Sol(V I(F (k) , K)) khác rỗng F (k) giả đơn điệu K Hơn nữa, tập Sol(V I(F (k) , K)) bị chặn Chứng minh Theo giả thiết Bổ đề 2.2 tồn xref ∈ K γ > cho x ≤ γ với x ∈ L< (F, xref ) Với x ∈ L≤ (F (k) , xref ), ta có x ∈ K ρk F (x) + x − xk−1 , x − xref ≤ Khi F (x), xref − x ≤ x − xk−1 , xref − x ρk Nếu x − xk−1 , xref − x < F (x), xref − x < Điều có nghĩa x ∈ L< (F, xref ), ta có x ≤ γ Nếu x − xk−1 , x − xref ≥ x ≤ −xk−1 , xref − x + x, xref Nếu x = x ≤ xk−1 + xref xk−1 x + xref Cho nên x ≤ xk−1 + xk−1 44 xref + xref , x ≥ Do khẳng định x ≤ max{γ, 1, xk−1 (1 + xref ) + xref }, ∀x ∈ L≤ (F (k) , xref ) Theo Bổ đề 2.2 tính bị chặn L≤ (F, xref ), ta có Sol(V I(F (k),K )) khác rỗng bị chặn Nhận xét 2.6 [10] Từ Bổ đề 2.4 thấy F thỏa mãn điều kiện giả thiết Định lý 2.10 Sol(V I(F, K)) = ∅ ∼ Sol(V I((F )(k) , K)) = ∅ với k ∈ N zk−1 ∈ H Hơn nữa, ∼ Sol(V I((F )(k) , K, )) tập bị chặn Cần nhấn mạnh rằng, tính giả đơn điệu, tính liên tục yếu với tính khác rỗng Sol(V I(F, K)) Bổ đề 2.4 khơng suy tính ∼ nghiệm toán bổ trợ Sol(V I((F )(k) , K)) Các ví dụ sau chứng tỏ điều Ví dụ 2.6 [10] Cho K := [−2, +∞) ⊂ R giả sử F : K → R xác định F (x) = x2 + 1, ∀x ∈ K Rõ ràng, F giả đơn điệu bị chặn K Ta có Sol(V I(F (k) , K)) = {−2} Với x0 := ρ1 := ta F (1) (x) = x(x + 1) với x ∈ K Do đó, Sol(V I(F (1) , K)) = {−2, −1, 0} Ví dụ 2.7 [10] Cho a, b, µ ∈ R+ , a < b Giả sử K = [a, b] F : K → R cho cơng thức F = −µx Hiển nhiên, F giả đơn điệu liên tục K Sol(V I(F, K)) = {b} Cho x0 := ρ1 := µ−1 ta F (1) (x) = với x ∈ K Bởi Sol(V I(F (1) , K)) = K tập vô hạn 45 Bổ đề 2.5 [10] (Đánh giá khoảng cách đến nghiệm dãy lặp.) Giả sử F giả đơn điệu K, x0 ∈ H {xk } dãy lặp sinh (PPA) Khi đó, với x¯ ∈ Sol(V I(F, K)) ta có xk − x¯ ≤ xk−1 − x¯ − xk − xk−1 , ∀k ∈ N (2.17) Chứng minh Đặt µ = ρk , u = xk−1 , v = xk áp dụng Bổ đề 2.3 Hệ 2.1 [10] (Tính bị chặn dãy lặp) Giả sử F giả đơn điệu K, x0 ∈ H {xk } dãy lặp sinh (PPA) Khi đó, với x¯ ∈ Sol(V I(F, K)) ta có Sol(V I(F (k) ), K)) ⊂ B(¯ x, x0 − x¯) ), ∀k ∈ N (2.18) dist(xk , Sol(V I(F, K))) ≤ dist(x0 , Sol(V I(F, K))), ∀k ∈ N (2.19) Chứng minh Lấy x ∈ Sol(V I(K, F (k) ), k ≥ Chọn xk = x áp dụng Bổ đề 2.5 ta có xi − x¯ ≤ xi−1 − x¯ − xi − xi−1 , i = 1, , k Điều kéo theo x − x¯ = xk − x¯ ≤ xk−1 − x¯ ≤ ≤ x1 − x¯ ≤ x0 − x¯ Bởi vậy, (2.18) Bên cạnh đó, với k ∈ N, từ bất đẳng thức xk − x¯ ≤ x0 − x¯ với xk ∈ Sol(V I(F, K)), ta có inf{ xk − x¯ |¯ x ∈ Sol(V I(F, K))} ≤ inf{ x0 − x¯ |¯ x ∈ Sol(V I(F, K))} Bởi vậy, bất đẳng thức (2.19) 46 Nhận xét 2.7 [10] Nếu x0 ∈ Sol(V I(F, K)) ta có xk ∈ Sol(V I(F, K)) Ta kết luận xk = x0 với k Thật vậy, xk −x0 ≤ x0 −x0 với ∀k ∈ N, nên xk = x0 với k Định lý 2.13 [10] Giả sử F : K → H giả đơn điệu liên tục yếu K, Sol(V I(F, K)) khác rỗng, x0 ∈ H cho trước {xk } dãy lặp sinh (PPA) Khi đó, {xk } dãy bị chặn Hơn nữa, F liên tục K tồn dãy {xkj } ⊂ {xk } hội tụ x ∈ H x ∈ Sol(V I(F, K)) xk → x Chứng minh Tính bị chặn {xk } suy từ Hệ 2.1 Giả sử F liên tục K xkj → x Cố định x¯ ∈ Sol(V I(F, K)) Với k ∈ N, cộng theo vế k lần bất đẳng thức (2.17) ta nhận k xk − x¯ ≤ x0 − x¯ xi − xi−1 − i=1 Do đó, ∞ xi − xi−1 ≤ x0 − x¯ i=0 Bởi vậy, ta có lim xi − xi−1 = i→0 (2.20) Từ xkj ∈ Sol(V I(F (kj ) , K)), ta có F (xkj ) + ρ−1 k (xkj − xkj −1 , y − xkj ≥ 0, ∀y ∈ K Bởi tính liên tục F điều kiện ρk ≥ ρ > 0, ∀k ∈ N, cho kj → ∞, từ tính chất cuối ta nhận F (x), y − x , ∀y ∈ K 47 Điều chứng tỏ x ∈ Sol(V I(F, K)) Áp dụng (2.17) với x thay cho x, ta xk − x ≤ xk−1 − x ≤ ≤ x1 − x ≤ x0 − x , ∀k ∈ N (2.21) Lấy ε > 0, ta tìm l ∈ N cho xkl − x ≤ ε Bởi (2.21), ta có xk − x ≤ xkl − x ≤ ε Điều chứng tỏ limk→∞ xk − x = Định lý chứng minh Nếu H không gian hữu hạn chiều, hay H = Rn , định lý hội tụ phát biểu sau Định lý 2.14 [10] Giả sử K ⊂ Rn tâp lồi, đóng F : K → Rn giả đơn điệu liên tục K Nếu Sol(V I(F, K)) khác rỗng, x0 ∈ Rn véctơ cho trước {xk } dãy lặp cơng thức (2.16), tồn x ∈ Sol(V I(F, K)) cho limk→∞ xk = x Mệnh đề sau chứng tỏ, bước thuật toán (PPA) bắt gặp tốn khơng giả đơn điệu Mệnh đề 2.1 [10] Tồn toán tử liên tục,giả đơn điệu F : R2 → R2 cho với µ > u ∈ R2 , tốn tử G(x) = µF (x) + x − u không giả đơn điệu R2 Chứng minh Để chứng minh mệnh đề ta sử dụng Ví dụ 2.5 Đặt F (x) = (x21 + x22 )(−x2 , x1 ), ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Với µ > 48 u ∈ R2 , toán tử G(x) = µF (x) + x − u khơng giả đơn điệu R2 toán tử ∼ G(x) := F (x) + εx + ω, ε := µ ω := −( µ1 )u, không giả đơn điệu R2 Như vậy, ∼ thỏa mãn với điều đó, với ω ∈ R2 , G không giả đơn điệu Khi x¯ := (0, 1) y := (ε, 2) ta F (¯ x) + ε¯ x, y − x¯ = F (y) + εy, y − x¯ = −2ε Khi đó, với ω ∈ R2 thỏa mãn điều kiện ≤ ω, y − x¯ < 2ε, ta có ∼ G(¯ x), y − x¯ = F (¯ x) + ε¯ x + ω, y − x¯ = ω, y − x¯ ≥ ∼ G(y), y − x¯ = F (y) + εy + ω, y − x¯ = −2ε ω, y − x¯ < Điều chứng tỏ toán tử không giả đơn điệu R2 với ω thuộc dải {ω ∈ R2 : ≤ ω, y − x¯ < 2ε} Cố định t ∈ [1, +∞) Với y := x + t(y − x) = (0, 1) + t(ε, 1) = (tε, t + 1) ta có ∼ G(¯ x), y − x¯ = F (¯ x) + ε¯ x + ω, t(y − x¯) = t ω, y − x¯ ≥ ∼ G(y), y − x¯ = F (y) + εy + ω, t(y − x¯) = t (t2 ε2 + (t + 1)2 )(−t − 1, tε)+ ε(tε, t + 1), (ε, 1) + t ω, y − x¯ = −εt2 [ε2 (t − 1) + (t + 1)] + t ω, y − x¯ < 0, 49 ∼ với ≤ ω, y − x¯ < εt[ε2 (t − 1) + (t + 1)] Cho nên G không giả đơn điệu R2 với ω thuộc dải {ω ∈ R2 : ≤ ω, y − x¯ < −εt[ε2 (t − 1) + (t + 1)]} ∼ Cho t → +∞, kết luận G không giả đơn điệu R2 với ω thuộc nửa không gian {ω ∈ R2 : ≤ ω, y − x¯ ≥ 0} x = (0, −1) v := −y = (−ε, −2) Rõ Bây giờ, ta chọn u := −¯ ràng, F (u) = −F (¯ x) F (v) = −F (y) Bởi vậy, với t ≥ 1, đặt z := u + t(v − x¯) ta có ∼ G(u), z − u ≥ ∼ G(z), z − u < ∼ với ≤ ω, v − u < εt[ε2 (t − 1) + (t + 1)] Điều tức G không giả đơn điệu R2 với ω thuộc nửa không gian {ω ∈ R2 : ω, y − x¯ ≤ 0} Định lý chứng minh 50 Kết luận Luận văn trình bày số khái niệm kết liên quan đến Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert, cụ thể Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi, số tốn tử đặc biệt khơng gian Hilbert tốn tối ưu khơng gian Hilbert Chương trình bày số kết tồn nghiệm số thuật toán để giải tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Mục 2.1 trình bày định nghĩa ví dụ bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Mục 2.2 trình bày số định lý tồn nghiệm tốn Mục 2.3 trình bày số thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert gồm: phương pháp nhân tử Lagrange, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov, thuật toán điểm gần kề Một số ví dụ minh họa cho thuật tốn trình bày luận văn 51 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp: Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải: Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội, 2000 [3] Huỳnh Thế Phùng: Cơ sở Giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [4] Nguyễn Năng Tâm: Bài giảng Bất đẳng thức biến phân [B] Tài liệu tiếng Anh [5] N T Hao: Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalities, Acta Math Vietnam 31, 283–289 (2006) [6] V Konov: On quasimonotone variational inequalities, J Optim Theory Appl 99, 165-181 (1998) [7] D Kinderlehrer and G Stampacchia: An Induction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 [8] G M Lee, N N Tam, and N D Yen: Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Springer, New York, 2005 [9] R T Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algorithm, SIAM J Control Optim 14, 877–898 (1976) [10] N N Tam, J C Yao and N D Yen, Solution methods for pseudomonotone variational inequalities,J Optim Theory Appl 138: 253–273 (2008) 53 ... nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn: bất đẳng thức biến phân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân. .. hàm, Bất đẳng thức biến phân, Lý thuyết tối ưu với mong muốn hiểu biết sâu Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert tơi lựa chọn đề tài: Bài tốn Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert. ”... khơng gian Hilbert Nghiên cứu Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số phương pháp giải tốn Bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Luận văn trình bày số khái niệm kết liên quan đến Bất đẳng