www.thuvienhoclieu.com I PHƯƠNG TRÌNH Khơng có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương x + x + x + x + = x + 3x − + x + 3x Câu Giải phương trình Lời giải +Biến đổi phương trình tương đương : x = ⇔ x = x − 3x + = x + + 2 x + = ( x − 1)( x − ) Câu Giải phương trình Lời giải x ≥ −1 Điều kiện: x = −1 Nhận thấy Xét x > −1 ( nghiệm phương trình Khi phương trình cho tương đương với ) ( x+1 − + ⇔ ) x + − = x − x − x − 12 4( x − 3) x+1 + + 4( x − 3) = ( x − 3)( x + x + ) 2x + + 4   + − ( x + 1) − ÷ = 2x + +  x+1 +  ⇔ ( x − 3)  Vì x > −1 x+1 > nên x+1 + + Do phương trình x + > (1) Suy x+1 + + 2x + + < 3, − ( x + 1) − < 2x + + (1) ⇔ x − = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = −1 x = www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Câu x + + x − = 5x [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau : Lời giải x + + x − = 5x ⇔ 2x + 33 x2 − x + + x − = 5x ( ) 3 ⇒ x − 13 5x = x ⇒ 4x − 5x = ⇒ x = 0;x = Thử lại ta thấy ph ơng tr× nh cã nghiƯm: x =0; x =± Câu Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x + x + ( 1) ,với x∈R Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ x + x + − ( x + 1) ⇔ ( )( x2 + 2x + − x + x2 + 2x + + 4x − = ) x2 + 2x + − =  x2 + x + = x −1 ⇔  x + x + =  + 15 x ≥ x + 2x + = 2x −1 ⇔  ⇔ x= 3 x − x − =  Câu Giải phương trình 3x − − x + = x − x − Hướng dẫn giải 3x − − x + = x − x − ⇔ 2x − = (2 x − 3)(x + 1) 3x − + x + Tìm nghiệm x=2/3 Câu Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − 3y2 + 2xy − 2x − 10y + = Hướng dẫn giải Ta có: x2 − 3y2 + 2xy − 2x − 10y + = ( ) ⇔ x2 + 2x( y − 1) + ( y − 1) − 4y2 + 8y + == www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com ⇔ ( x + y − 1) − ( 2y + 2) = −7 2 ⇔ ( 3y + x + 1) ( y − x + 3) = Vì số ngun tố nên ta có trường hợp sau: 3y + y + 1= 3y + y + 1= −7 3y + y + 1= 3y + y + 1= −1      y − x + =  y − x + = −1  y − x + =  y − x + = −7 ; ; ; ( x; y) ∈ { ( ±3;1) ,( 1; −3) ,( 7; −3) } Giải ba hệ phương trình ta được: Câu (THPT Quảng Xương – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình: = + + x − x2 x −1 + − x Đặt t = x −1 + − x Hướng dẫn giải t2 − = 1+ ⇔ ( t − ) ( t + 2t + ) = t ta x = 1, x = t=2 Giải ta suy Dạng 2: Đặt ẩn phụ x + x + = x − + x +1 Bài Giải phương trình tập số thực: Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ −1 (1) x + x + = x − + x + ⇔ ( x − ) + ( x + 1) = ( x − ) + x + gx = −1 không nghiệm phương trình  x−2  x−2 gx > −1: pt (1) ⇔  +1 ÷ +5 = x +1  x +1  t= Đặt x−2 x +1 t + = 2t +1 Phương trình trở thành: Khi ta có: ⇔t= 20 + ⇔x= x +1 = 3x − Vậy   20 +   S =      www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com x + 3x + = ( x + ) x + Bài Giải phương trình sau tập số thực: Hướng dẫn giải Phương trình (1) Đặt t = 2x2 + ⇔ x + − ( x + 5) x + + x + = Ta có phương trình: t − ( x + ) t + 3x + = (*) ∆ =  − ( x + )  − ( x + ) = ( x − 1) 2 t = ⇔ t = x + Phương trình (*) x + > ⇔  t = ⇔ x + = ⇔ x = ±2 t = x + ⇔ x + = x +  x − 4x − = 2  x > −2 ⇔ ⇔ x = 2±  x = ± ( S = ±2; ± Vậy ) ( 2x Bài − x − ) x + x + + ( x + x + 1) x + = Giải phương trình sau tập số thực: Hướng dẫn giải  a ≥ a = x + x +   b ≥ b = x +  Đặt Điều kiện: Ta có: x − x − = 2a − 3b ; x + x + = 2a − b Thay vào phương trình ta được: b b b ⇔  ÷ +  ÷ −  ÷− = 2 2 ( 2a − 3b ) a + ( 2a − b ) b =  a   a   a  b a =1 ⇔  b  b  a ÷ + a + =   www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com +) +) b b  ÷ +4 +2=0 a a x = b = ⇔ b = a ⇔ x + = x2 + x + ⇔  a  x = −1 Vậy Bài : phương trình vơ nghiệm b ≥ a x = 1; x = −1 nghiệm phương trình Giải phương trình sau −2 x + 10 x − 17 x + = x x − x Lời giải Nhận xét Suy x≠0 x=0 khơng nghiệm phương trình cho x Chia hai vế phương trình cho t= đặt ,t ≠0 x , ta có phương trình 2 8t − 17t + 10t − = 5t − ⇔ ( 2t − 1) + ( 2t − 1) = ( 5t − 1) + 5t − Xét hàm số f ( t ) = t + 2t , ∀t ∈ ¡ Ta có hàm số Suy hàm số f ( t) f ( t) liên tục ¡ f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) f ( 2t − 1) = f Khi phương trình cho có dạng 17 ± 97 ⇔ 8t − 17t + 6t = ⇔ t = 16 (do Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Giải phương trình sau : ( x − 1) ( ( *) ) 5t − ⇔ 2t − = 5t − t≠0 ) 17 − 97 x1 = 12 x2 = 17 + 97 12 x +1 = 2x + 2x +1 2 Lời giải Đặt y = x + ≥ ⇔ y = x + ⇒ y + (1 − x ) y + x − = ⇔ y = 2x − ⇔ x = www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com x3 + x − = 5x2 − Điều kiện xác định: t= Đặt x − ≥ 5x2 − (t ≥ 0) Ta có x = 6t + Phương trình cho trở thành x + 6t + − = t ⇔ x + 6t + = (t + 1)3 ⇔ x = (t − 1)3 ⇔ x = t − ⇔ t = x +  x ≥ −1  x ≥ −1 5x2 −  ⇔ = x + ⇔  5x2 − ⇔  = ( x + 1)  x + 12 x + =   ⇔ x = −6 + 28 (tm đk) Vậy phương trình cho có nghiệm x = −6 + 28 log 2+ ( x − x − 11) = log Bài Giải phương trình:  x − x − 12 > (*)   x − x − 11 > • Điều kiện: • (2 + 5) = + log • (1) ⇔ ⇔ 9+ (2 + ) = + ( x − x − 11) = log 8+ 2+ ( x − x − 12) ( x − x − 12) 2+ = 9+4 (1) 2+ = 8+4 log 9+ ( x − x − 11) = log8+ ( x − x − 12) • Đặt: a = + > 1, t = x2 – 2x -12 Điều kiện: t > • Do đó: (1) ⇔ lna + 1(t + 1) = lnat y t = a ⇔ (I) y t + = ( a + 1) Cách 1: (1) ⇔ lna + 1(t + 1) = lnat www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com y y  a     ÷ + ÷ = (2)  a +1   a +1  • Từ (I) ta được: • y = 1: nghiệm (2) y • y < 1: y a  a    + =1  ÷ + ÷ > a +1 a +1  a +1   a +1  y , y < 1: y a  a    + =1  ÷ + ÷ < a +1 a +1  a +1   a +1  • Nên (2) có nghiệm nhất: y = Do đó: (1) t = a ⇔ x2 – 2x – 12 = + 5 ⇔ x2 – 2x – 20 - =0⇔x=2+2 x = -2 • Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = + Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1 y' = x = -2 5 ( thỏa *) 1 − 1, nên hàm số giảm (0; +∞) ta có f(t) = có nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm t = a • Vậy: (1) (1) ⇔ lna + 1(t + 1) = lnat ⇔ t = a x2 – 2x – 12 = + ( thỏa *) 5 ⇔ x2 – 2x – 20 - =0⇔x=2+2 x = -2 • Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = + Bài x = -2 3( x + x + 2) = 10 x3 + x + x + Giải phương trình: x + x + x + = ( x + 1)( x + x + 1) (1) • nên điều kiện là: x ≥ -1 a = x + b = x2 + x + • x + 2x + = (x +1) + (x + x + 1), đặt , • Với điều kiện x ≥ -1: (1) trở thành: 3(a2 + b2) = 10ab ⇔ 3a2 – 10ab + 3b2 = ⇔ (a – 3b)(3a – b) = ⇔ a = 3b hay a = b/3 • a = 3b ⇔ x +1 =3 • a = b/3 ⇔ 3a = b ⇔3 x2 + x + x +1 ⇔ x + = 9(x2 + x + 1) ⇔ 9x2 + 8x + = (vô nghiệm) x2 + x + ⇔9(x + 1) = x2 + x + ⇔ x2 - 8x - = x = 4±2 Vậy phương trình có hai nghiệm: Bài Giải phương trình : ≥ Điều kiện: x -1 = ⇔ x = 4±2 x  − 3x + = x + +) Nếu x > thì: www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com 3 x - 3x + = (x – 1) - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – > thỏa mãn Với -1 ≤ x ≤ x +1 Chứng tỏ x > không Đặt x = 2cost + (0 ≤ t ≤ π ) Khi phương trình trở thành: cos t + 2 (2cost + 1) - 3(2cost + 1) + = ⇔ ⇔ ⇔ 2(cos t + 1) 8cos t – 6cost = 2cos3t = 2cos cos3t = cos t t  kπ t =  t = k π ⇔  t  3t = + 2kπ  3t = − t + 2kπ ⇔  Bài Giải phương trình 5x − x + 5x −1 = Hướng dẫn giải x − ≥ Điều kiện xác định: 5x2 − = t (t ≥ 0) Đặt Ta có Phương trình cho trở thành x = 6t + x + 6t + − = t ⇔ x3 + 6t + = (t + 1)3 ⇔ x3 = (t − 1)3 ⇔ x = t − ⇔ t = x +  x ≥ −1  x ≥ −1 5x2 −  ⇔ = x + ⇔  5x − ⇔ ⇔ x = −6 + 28  = ( x + 1)  x + 12 x + =   x = −6 + 28 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com Bài 10 [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 3 + − x2  ( + x ) − ( − x )  = + − x2   Bài 11 2014-2015] [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình Lời giải Phương trình tương đương với t = x −1 Đặt Giải phương trình x3 + = x − x3 + x = x − + x − , ta có phương trình x3 + x = t + 2t ⇔ ( x − t ) ( x + xt + t ) + ( x − t ) = ⇔ ( x − t ) ( x + xt + t + ) = ( 1) t  3t  x + xt + t + =  x + ÷ + +2>0 2  Vì nên (1) ⇔ x = t x =1 ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = ⇔   x = −1 ± 3  ⇔ x = 2x −1 ⇔ x − 2x + = 2 Tập nghiệm Bài 12  −1 ±  S = 1;    Giải phương trình: x + x + + ( x + 1) = 3 x ,với x∈¡ Hướng dẫn giải Từ pt ta thấy x〉 ⇔ x2 + (1) Đặt: 1  + +  x + ÷= 3 x x  t = x + ,t ≥ x Pt trở thành: t2 −1 = ( − t ) www.thuvienhoclieu.com : www.thuvienhoclieu.com t ≤ ⇔ ⇔t=2 t − t + 14 =  x+ = ⇔ x =1 x x − x + 12 x − = x − x + Giải phương trình Bài 13 Giải phương trình: − x − 3x + − x = x + − x Hướng dẫn giải r r u = ( x;1) , v = Đặt r r u, v Như vậy: ( − 3x ; − − x rr r r u.v = − u v từ phương trình ta có ngược hướng − 3x − − x = x Suy ra: ) (1) x= Giải (1) thử lại ta thấy phương trình cho có nghiệm Bài 14 x = 10 + 10 + x Giải phương trình: ,với −1 − x∈R Hướng dẫn giải Đk: Đặt x≥0 u = 10 + x , u ≥ 10 Ta có: x−u−  x = 10 + u  u = 10 + x ( ) x− u =0⇔ ( x− u )( ) x + u +1 = x = u ⇔  u + x + = 0(VL)  x ≥ 10 21 + 41 x = u ⇔ x = x − 10 ⇔  ⇔x=  x − 21x + 100 = www.thuvienhoclieu.com 10 www.thuvienhoclieu.com Bài Giải hệ phương trình :  x + y − 3xy = −4  x xy = 3 +y + + 3xy  ( x ∈ R, y ∈ R ) Lời giải 3y = z Đặt : Ta có : x4 + z ≥ x2 z ,suy : ≤ t = xz ≤ x2 + z + Xét vế trái phương trình (2) t f (t ) = 2t + 1+ t f (t ) , t ∈ [1; 2] ( t = xz ) xz xz + xz ≥ xz + 1+ xz f ' (t ) = + , suy ( 1+ t ) f (t ) ≥ f (1) = hàm số đồng biến (1;2) , suy : Dấu xẩy Bài t =1 , suy : x = 1; y = 2 > 0, ∀t ∈ [1; 2] ,suy VT = x = −1 ; y = − Giải hệ phương trình sau:  x + x xy = y y   3  x + y + x x 15 x + y = x y y + x y + x x ( )( ) ( f (t ) ≥ ) ; x, y ∈ ¡ Lời giải Điều kiện: Đặt x ≥ 0, y ≥ a = x , b = y a ≥ 0, b ≥ ( ) Hệ phương trình cho trở thành a + 2a 3b = b5   6 3 ( 4a + b + 3a ) ( 15a + b ) = 3a ( b + a b + 4a ) ( 1) ( 2) ( a, b ) = ( 0, ) a =0⇒b =0 b=0⇒ a =0 Nhận xét: ; Do nghiệm hệ www.thuvienhoclieu.com 92 www.thuvienhoclieu.com Bây ta xét a > 0, b > Đặt b = ka ⇒ k > + 2k = ak ⇔ a = • • Phương trình (1) trở thành: Phương trình (2) trở thành: ( 4a Với cách đặt + 2k k5 (3) + a k + 3a ) ( 15a + k a ) = 3a ( k 3a + a 3k + 4a ) (4) Thay (3) vào (4) ta được:  3k   + 2k  + k + = k + k + 4)  ÷ + ÷ ( + 2k   3k   (5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái (5) ta được:  3k   + 2k   3k + 2k 6 + k + + ≥ + k +  ( ) + 2k 3k  ÷ ÷ + 2k   3k    = ( ( 22 + 12 ) ( + k ) + k ) ≥ ( + k3 + k ) Đẳng thức xảy k =1 Khi Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Bài Giải hệ phương trình  ÷ ÷  a=b=3 ( x; y ) hay x= y =9 ( 0; ) , ( 9;9 ) 4 x + xy + x + xy − y + y = 15(1)   6( x3 + y ) x + − 2( x + y ) = 3(2)  2 x + xy + y  Bài giải Điều kiện Nếu x=0  xy ≥  2  x + y + xy ≠ y = hệ vơ nghiệm x ≤  y ≤ Nếu (x,y khơng đồng thời 0) vế trái (2) âm, phương trình (2) khơng thoả mãn Do x > 0, y > 1.0 đ www.thuvienhoclieu.com 93 www.thuvienhoclieu.com Vì xy ≤ x + y nên từ phương trình (1) suy 15 = x + xy + x + xy − y + y ≤ (2 x + y ) + x + 3( x + y ) − y = (2 x + y) + x + y ⇒ (2 x + y ) + 2(2 x + y ) ≥ 15 ⇒ x + y ≥ xy ≤ Mặt khác, ta có Ta chứng minh rằng: (3) 1.0 đ x2 + y2 3( x + y ) 3( x3 + y ) 2( x3 + y ) ⇒ x + xy + y ≤ ⇒ ≥ 2 x + xy + y x2 + y2 2( x + y ) ≥ 2( x + y )(5) x2 + y2 (4) 1.0 đ Thật bất đẳng thức (5) tương đương 2( x3 + y ) ≥ ( x + y )3 ⇔ x + y + x y ≥ x y + 3x y (6) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x + x y + x y ≥ 3 x12 y = x y y + x3 y + x3 y ≥ 3 x y12 = x y Cộng vế với vế hai đẳng thức ta (5), từ suy (5) Từ (4) (5) suy ra: 3( x + y ) ≥ 2( x + y ) 2 x + xy + y Kết hợp với phương trình (2) lưu ý 3= x+ 2( x + y ) ≥ x + y , ta được: 6( x3 + y ) − 2( x + y ) ≥ x + 2( x + y ) ≥ x + ( x + y ) = x + y 2 x + xy + y (7) Từ (3) (7) suy 2x + y = x = y ta x = y = (thoả mãn điều kiện toán) Vậy hệ có nghiệm (1;1) Bài Giải hệ phương trình: 3 y ( x − y ) + x ( y − x ) = y    − x + y + + 2 =  x + y                  ( x, y ∈ ¡ ) Hướng dẫn giải 2 x ≤ y ≥ −1 y ( x – y ) ≥ y – x ≥ Điều kiện: , ; ; www.thuvienhoclieu.com 94 www.thuvienhoclieu.com +) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: y ( 2x − y ) y ( xy − y = x2 ( y − x2 ) ≤ ) ≤ x2 + y − x2 y ( 2x − y ) + y + xy − y 2 = y − 3x2 x ( y − 4x Suy ra: 2 ) ≤  3 xy + y − 3x 2 y − 3x 2 ⇔ 3( x – y ) ≤ ⇔ x = y y ≤ xy + 2 Vì vậy, ta phải có: Vậy phương trình đầu tương đương với x = y Thay x= y 2− x Do vào phương trình thứ hai hệ ta được: x + +2 = x + x + 2− x + x +1 > (*) x2 + x – > ⇒ x > nên ta phải có: ( x ≥ −1 ) Khi phương trình (*) tương đương với: ( ) x – x + + x – 1  –   − x + x − x + = 1   ⇔ ( x – x – 1) 1 + + ÷=  x −1+ − x x + x +1  1   do1  + +  > ÷  x −1+ − x x + x +  ⇔ x2 – x – =    1+  ( t / m )  x=   1− 1+               x= y= x =  ⇒  1+   ÷ ( x; y ) =  ÷ Vậy hệ có nghiệm Bài 10 [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau: www.thuvienhoclieu.com 95 www.thuvienhoclieu.com  x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18   x + x + y + − x + y + x + y + − y = Lời giải Điều kiện x2 + x + y +1 ≥     y + x + y +1 ≥ Cộng trừ vế tương ứng hệ phương trình ta  x + x + y + + y + x + y + = 10   x + y = Thế y=8-x vào phương trình ta x + + x − 16 x + 73 = 10 ⇔ ( x + 9)( x − 16 x + 73) = − x + x + ⇔ ( x + 32 ) ( x − 8) + 32 )  = + x(8 − x) → (1) → a ( x;3) b (8 − x;3) Trong hệ trục tọa độ xét ; → a Khi ( x + 32 )  ( x − 8) + 32 )  → b | |.| |= → → a b + x(8 − x) = → → a → → a b Pt (1) tương đương với | |.| |= (2) → → → b → b ≥a b Ta có | |.| | a → → a=0 Khi (2) xảy 8− x → =1> b ⇔ x hướng suy x=4 → → b=0 → (không xảy ra) a KL: Nghiệm hệ (4;4) Bài 11 [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình : www.thuvienhoclieu.com 96 www.thuvienhoclieu.com  x+ y + x− y ≤2  2  x + y =1 1/  x +1 + y +1 =    x + ( y − ) + = 2/ Bài 12 [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình  x + x − 10 y = xy − x y  4 x (2 y + 1) − 28 y + = x + y + − xy ( ) Lời giải 2  0 ≤ xy ≤  xy − x y ≥ ⇔ ⇔ ≤ xy ≤   2  ( ) x − y + ≥ x + ( y + ) − xy ≥   Điều kiện :  1 1 xy − x y = −  xy −  ≤ ⇐ xy − x y ≤  2 2 Ta có : Do từ (1) ⇒ x + x − 20 y ≤ ( dấu = xảy xy = ) (3) Từ (2) (3) ta suy : x y + x − 28 y + ≥ x + x − 20 y + ( x − y ) + 3 3 ⇔ 8x y + ≥ x + y + ⇔ 4x3 y + ≥ x6 + y + ( ) ⇔ ≥ x3 − y + Ta lại có (x ) − 2y + x − y = x = ⇔ ⇔ x − y = y = Thử lại ta thấy có ( x − y) + ( x − y) + (4) ( x − y) + ≥ Do (4) ( x − y) + x =    y = x =    y =  x = −1    y = − nghiệm hpt.0,5 www.thuvienhoclieu.com 97 www.thuvienhoclieu.com Bài 13 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Đặt f (t ) = 2t + 9t +12t ; g (t ) = t + 3t + 4t +15 Hệ trở thành: Ta có g ′ ( t ) = 3t + 6t + > Giả sử Hay Do ìï f ( x ) = g ( y ) ïï ïí f ( y ) = g ( x ) ïï ïïỵ f ( z ) = g ( x ) x = max ( x, y, z ) 2 x + x + 12 x = y + y + y + 15  3  y + y + 12 y = z + z + z + 15  z + z + 12 z = x + 3x + x + 15  với x ≥ y  x ≥ z t nên hàm hay g đồng biến  g ( x) ≥ g ( y )    g ( x) ≥ g ( z ) suy  g ( x ) ≥ f ( x )   f ( z ) ≥ g ( z ) ( x − 1) ( x + x + 15 ) ≤  x + x + x + 15 ≥ x + x + 12 x  ⇔ ( *)  3 2 z − z + z − 15 ≥ ( )  z + z + 12 z ≥ z + z + z + 15 ( )  x + x + 15 > ∀x, z + z − 15 > ∀z Lại theo giả sử trên, Thử lại thấy x = max ( x, y, z ) x = y = z =1 nên x = z =1 x ≤ ≤ z .Thế vào hệ phương trình ban đầu ta y = nghiệm Kết luận:Hệ cho có nghiệm Bài 14 nên từ (*)ta có Giải hệ phương trình : x = y = z = 3 x + = cos y + cos z  3 y + = cos z + cos x 3 z + = cos x + cos y  (Chưa giải) Có tham số Bài  x − y + y − 3x − = (4)  2  x + − x − 2 y − y + m = (5) Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com 98 www.thuvienhoclieu.com Điều kiện: −1 ≤ x ≤  0 ≤ y ≤ ⇔ x3 − 3x = ( y − 1) − ( y −1) Phương trình (4) Xét hàm số f (t ) = t − 3t , với f '(t ) = 3t − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ −1;1] x = y −1 f(t) hàm số nghịch biến Suy ra: [ −1;1] (vì liên tục đoạn này) Thay vào phương trình (5) ta được: x2 + − x2 + m = u = − x u ∈ [ 0;1] u2 − u −1 = m Đặt , Ta có phương trình: g(u) = g (u ) = − ; max g (u ) = −1 0;1 [ ] [ 0;1] ⇔− Suy hệ phương trình cho có nghiệm Bài Tìm m để hpt có nghiệm ≤ m ≤ −1 x2 + y2 =    x − y = m x ≥ m 2   x + y =  y = x − m ⇔ ⇔ y = ± x − m   x − y = m  x − x − (m + 4) =  x − x − (m + 4) =  • • Do hệ có nghiệm khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = có nghiệm [m;+∞) (*) −1 ± 4m + 17 -17 x= m ≥ • f(x) = có ∆ = 4m + 17 nên f(x) = có nghiệm ⇔m≤ • Do đó: (*) −1 + 4m + 17 ⇔ 2m + ≤ m + 17 www.thuvienhoclieu.com 99 www.thuvienhoclieu.com •   2m + ≤ 17 17 m>⇔ ⇔ − ≤ m ≤ − hay  ⇔− ≤m≤2 2 4 4m + 17 ≥ (2m + 1) −2 ≤ m ≤ Một số cách giải khác: 2  x + y =  y = x − m ⇔ (I)   2  x − y = m  x − x − (m + 4) = 0(*) • Cách 2: Hệ (I) có nghiệm ⇔ x2 + x – (m + 4) = có nghiệm [-2;2] Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – [-2;2], đường thẳng y = m suy kết • Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai  x + + y − = a   x + y = 2a + Bài Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm Hướng dẫn giải x ≥ −1; y ≥ Điều kiện Hệ phương trình tương đương  x +1 + y −1 = a    x + + y − (  x +1 + y −1 = a  ⇔  x + + y − =  a − ( 2a + 1)   Do x +1 y −1 ) ( ) = 2a + nghiệm phương trình T − aT +  a − ( 2a + 1)  = (*) Để hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm không âm  2 a − ( a − 2a − 1) ≥ ∆ ≥   ⇔  S ≥ ⇔ a ≥ ⇔ 1+ ≤ a ≤ + P ≥ 1   ( a − 2a − 1) ≥ 2 www.thuvienhoclieu.com 100 www.thuvienhoclieu.com Đặt u = x − ≥ ⇒ x = u +  v = y − ≥ ⇒ y = v + Bài +) Đặt Tìm m để hệ:  x + y − = m   y + x − = m u = x − ≥ ⇒ x = u +  v = y − ≥ ⇒ y = v + +) Đưa hệ: 2u + v + = m (**)  2v + u + = m +) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm Ta xét có nghiệm Hướng dẫn giải m≥2 m≥2 hệ có nghiệm hay ko Biến đổi hệ (**) trở thành:  u − v = (I )   2u + v + = m  2u + 2v − =  ( II )  2u + v + = P= 2−m ≤0 +) Xét hệ (I): u=v ta 2v +v+2-m=0 có có nghiệm u=v=v0 suy hệ ban đầu có x=y=vo2+1 với m≥2 PT ln có nghiệm v0 ≥ ⇒ hệ +) Xét hệ (II): ……… ( Bài Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm: ) a ( x − a ) x − 2 + ≤   x > a > Lời giải ( ) a ( x − a ) x − 2 + ≤ ( x − a ) ax − 2a ( x − a ) + ≤ ⇔   x > a >  x > a > www.thuvienhoclieu.com 101 www.thuvienhoclieu.com 1 1  ≤2 ≤2 2 2 ( x − a) + ( x − a) + a + x + ( x − a) a ⇔  ( x − a) a ⇔ x > a >   x > a > Do (2)nên x−a a ( 2) hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số dương ta được: 1 1 ≥ 44 = 2 ( x − a) + ( x − a) + a + 2 ( x − a) a ( 3) Do (1)chỉ dấu đẳng thức xảy (3)tức là: a= Vậy hệ có nghiệm Bài ( 1) 2  x=  1  ⇔ ( x − a) = a = 2 ( x − a ) a a =  x= nghiệm hệ là: 2 Tìm giá trị lớn tham số m hệ phương trình sau có nghiệm:  x + xy + y = m  2  y + yz + z = m ( x, y , z ∈ ¡ )  xy + yz + zx = m3  Hướng dẫn giải + Đặt: y 3 X = x + ;Y = y; Z = ( y + z ); T = ( z − y ) 2 2 x + xy + y = X + Y Ta đ ược: Do ta có hệ + Chú ý: 2 y + yz + z = Z + T ;  X +Y = m  2 Z + T = m   XZ + YT = m3  2 2 ; ( xy + yz + zx) = XZ + YT ( X + Y )( Z + T ) = ( XZ + YT ) + ( XT − YZ ) Do đó:Hệ cho có nghiệm thì:  3 4 3 m.m ≥  m ÷ ≤ m ( m − ) ≤ ⇒ ≤ m ≤ ÷ 3   www.thuvienhoclieu.com 102 www.thuvienhoclieu.com m≤ Suy ra: m= + Xét 3 4 Ta có hệ: Từ (1)có thể đặt Do ta có hệ: (1)  XT = YZ  3  m (2)  XZ + YT =   Z + T = m2 (3)  X = uZ , Y = uT u= ,thay vào (2)và (3)ta có:  2m +  mZ X =  x = 2m y    m+2  mT hay  z = y Y = m    Z + T = m2  m2 y =   3m + 4m +   m= + Từ đó:Đáp số tốn Bài a/ Tìm p ∈¥* cho hệ 3 m m= với  p ∑ xi =  i =1  p −1 ∑ x1 =  i =1  x > 0, ∀i ∈ 1, p  i  có nghiệm p b/ Với p tìm câu a/, xác định tập hợp tất giá trị tổng: p ∑a i =1 i ∑ 1− a i =1 i với > =1 Hướng dẫn giải Câu a Do:  p  p 16 =  ∑ xi ÷  ∑  i =1   i =1 xi p = 4: Khi đó:  ÷≥ p ⇒ p ≤  xi = 1, i ∈1, Vậy hệ có nghiệm www.thuvienhoclieu.com 103 www.thuvienhoclieu.com p = 3: Chọn x1 =  x1 + x2 =  p = :  x1.x2 = p = 1:  x2 + x3 =   x2 x3 = có nghiệm.Nên có nghiệm.Nên ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 , x3 ) nghiệm hệ nghiệm hệ Vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm p = 2; p = 3; p = Câu b ai2 f ( a1 , a2 , , a p ) = ∑ i =1 (1 − a1 ) p Ta có: g ( x ) = x(1 − x ), < x < 1; g '( x ) = ⇔ x = Xét hàm: f (a1 , a2 , , a p ) ≥ Do đó: p = : f ( a1 , a2 ) = 3 p 3 ∑ = i =1 ) max g ( x) = (0;1) Ta có: Dấu đẳng thức xảy khi: a1 a2 + ≥2 ≥2 2 a2 a1 a1.a2 − a12 a1 f (a1 , a2 ) = + − a12 a12 a + a =1 liên tục (0;1).Khi 2 a1 → 3 p = hay p = 3 a1 = a2 = Dấu đẳng thức xảy f (a1 , a2 ) → +∞ Vậy p=2 , ,tập giá trị là:  2; +∞  p = 3: a1 = − x ; a = x ; a = x , 0 3 Chọn a1 = − x ; a = x ; a = x , a = x 0< x< a12 + a22 + a32 + a42 = − 3x + x + x + x = f (a1 , a2 , a3 , a4 ) = lim g ( x) = x→ với 1− 2x x x x + + + = g ( x) 2x 1− x 1− x 1− x 3 ; lim g ( x) = +∞ x →0 Tập giá trị là: Bài 3  ; +∞ ÷  ÷   liên thỏa giả thiết: tục ; (0; ) ; Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực:  4x2 x + ≥5  ( x + 2)2   x + x + 16mx + 32m + 16 =  (Chưa giải) Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 3 x − m y + =   = m2 x + y + y + y +1  (Chưa giải) Bài 10 (THPT Quảng Xương – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm giá trị ( x; y ) x > 0, y > sau có nghiệm cho    ( x + y ) 1 + ÷ =   xy    x + y  +  = 2m − )  x2 y ÷ (    Đặt 1 u = x + ;v = y + x y hệ trở thành m để hệ phương trình Hướng dẫn giải u + v =  2 u + v = 2m + www.thuvienhoclieu.com 105 www.thuvienhoclieu.com Từ hệ suy uv = − m + 11 u, v nghiệm phương trình: X − X – m + 11 = 0  ( *) Do x > 0, y > nên Bài tốn trở thành tìm Đặt t = X −2 u ≥ 2, v ≥ m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn phương trình (*) trở thành: t − t − m + = ( **) Để pt (*) có hai nghiệm lớn pt (**) có hai nghiệm không âm 19 ≤m≤5 Bài 11 Giải được: Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm:  x2 + + y = a   2   y +5 + x = x +5+ 3−a www.thuvienhoclieu.com 106 ... Giải phương trình sau: 1 + =2 x − x2 Hướng dẫn giải Điều kiện Đặt x ∈ (− 2; 2) { 0} y = − x ;y>0 Từ phương trình cho ,ta có hệ phương trình: Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình: ... www.thuvienhoclieu.com x= Vậy phương trình có nghiệm: 21 + 41 81x − = x3 − x + Giải phương trình: 3x x+ Bài 15 x2 + Giải phương trình: x−2 , =1 Hướng dẫn giải Phương trình cho có điều kiện x+ Với... Thử lại ta nghiệm phương trình Bài 21 Giải phương trình x3 + = x − x=0 x =và 5- Hướng dẫn giải x + 2x = x −1 + 2x −1 Phương trình tương đương với t = 2x − Đặt , ta có phương trình x + x = t