Đang tải... (xem toàn văn)
Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)Biểu diễn tự đẳng cấu và phân tích phổ của biểu diễn chính quy của một số nhóm Lie reductive thực thấp chiều. (tt)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC Y DƯỢC BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC BIỂU DIỄN TỰ ĐẲNG CẤU VÀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CỦA MỘT SỐ NHĨM LIE REDUCTIVE THỰC THẤP CHIỀU Mã số : ĐH2015 – TN05-03 Chủ nhiệm đề tài: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh ii Mục lục Trang bìa phụ i Mục lục ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Thông tin kết nghiên cứu v Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg 1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển 1.2 Nhóm nhân số phức biến đổi Fourier-Laplace 1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 1.3.1 Công thức vết 1.3.2 Công thức vết ổn định SL(2, R) 2.1 Xây dựng nhóm SL(2, R) đại số Lie 2.1.1 Nhóm Lie 2.1.2 Đại số Lie 2.1.3 Nhóm compact cực đại 2.1.4 Nhóm Borel 2.1.5 Phân tích Iwasawa phân tích Cartan Biểu diễn SL(2, R) 2.2.1 Tương ứng Langlands hình học 2.3 Đặc trưng nhóm 2.4 Công thức nhóm nội soi 2.4.1 Tích phân quỹ đạo 2.4.2 2.4.3 Công thức nhóm nội soi Vế hình học cơng thức vết 2.4.4 Vế phổ công thức vết 2.4.5 Công thức tổng Poisson 2.2 SU(2, 1) 3.1 10 Xây dựng nhóm SU(2, 1) đại số Lie 3.1.1 Nhóm Lie 10 10 3.1.2 Đại số Lie 10 3.1.3 Nhóm compact cực đại 10 iii 3.1.4 3.2 3.3 Nhóm Borel 10 Biểu diễn SU(2, 1) 11 3.2.1 Dãy phổ Hochschild-Serre 11 3.2.2 Trường hợp chỉnh hình khơng chỉnh hình 12 Công thức vết nhóm nội soi 12 3.3.1 Công thức tổng quát 12 3.3.2 Tích phân quỹ đạo 12 3.3.3 Cơng thức nhóm nội soi 13 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 14 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 15 iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Đơn vị: Trường Đại học Y Dược THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: Tên đề tài: Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số nhóm Lie Reductive thực thấp chiều Mã số: ĐH2015 – TN05-03 Chủ nhiệm: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Cơ quan chủ trì: Đại học Y Dược Thái Nguyên Thời gian thực hiện: 2015 - 2017 Mục tiêu: Đề tài nghiên cứu giải tích điều hòa nhóm Lie thực thấp chiều SL(2, R); SU(2, 1) Chúng phân loại biểu diễn nhóm Thơng qua biểu diễn cảm sinh, lượng tử hóa trường, chúng tơi nghiên cứu cơng thức vết biểu diễn tự đẳng cấu hàm thuộc đại số Hecke, tính cơng thức vết nhóm nội soi tương ứng Dùng cơng thức vết Arthur-Selberg chúng tơi tìm cơng thức tổng Poisson nhóm Lie Tính sáng tạo Xây dựng công thức tổng Poisson nhóm Lie thực thấp chiều cơng cụ giải tích Kết nghiên cứu: • Cơng thức tường minh tích phân quỹ đạo nhóm nội soi nhóm Lie SL(2, R); SU(2, 1) • Cơng thức tính vết tường minh biểu diễn chuỗi rời rạc nhóm Lie • Định lý cơng thức tổng Poisson cho nhóm Lie kể Sản phẩm: 5.1 Sản phẩm khoa học: Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol - No 2, 2015, p.25- 37 Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy for SU(2,1)" , East West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 - 116 Do Ngoc Diep, "Do Thi Phuong Quynh, Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)" , SEAMS Bull Math Vol 40, p 837 -856, 2016 5.2 Sản phẩm đào tạo: Đào tạo 01 nghiên cứu sinh Tên đề tài: "Biểu diễn tự đẳng cấu phân tích phổ biểu diễn quy số lớp nhóm Lie Reductive thực thấp chiều" Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: Đề tài thực cụ thể hóa số lĩnh vực Chương trình Langlands cho nhóm thấp chiều tính tốn cụ thể Kết thu đề tài cho nhập môn dễ hiểu Chương trình Langlands Vì kết mà luận án thu làm tài liệu chuyên khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh, nhà nghiên cứu chun ngành Tốn giải tích, Giải tích điều hòa, Lý thuyết nhóm Lie Đề tài đưa tính tốn cụ thể tường minh cơng thức tổng Poisson cho hai nhóm vi SL(2, R); SU(2, 1) cơng cụ cần thiết cho giải tích điều hòa Đào tạo, bồi dưỡng nhân lực: Đào tạo tiến sỹ Toán học Nâng cao lực nghiên cứu người tham khảo, đặc biệt với chủ nhiệm đề tài Bổ sung 01 tài liệu tham khảo phục vụ cho việc nghiên cứu, giảng dạy học tập học viên nghiên cứu giải tích điều hòa Ngày 14 tháng năm 2017 Tổ chức chủ trì (ký, họ tên, đóng dấu) Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) vii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: Project title: Automorphic representation and decomposion spectral of regular representation of lowly dimensional real reductive Lie groups Code number: ĐH2015 – TN05-03 Coordinator: Do Thi Phuong Quynh, DA Implementing institution: Thai Nguyen university of Medicine and Pharmacy Duration: from 2015 to 2017 Objective(s): The thesis researches about lowly dimensional real SL(2,R); SU(2,1); and their Lie algebras then we given representations of Lie group Through induction representation, quantization on field we research trace formula of automorphic representations, and compute trace formula on endoscopy subgroup of those Lie groups Since Arthur-Selberg we find Poisson summation formula on each Lie group above Creativeness and innovativeness Formulated the Sum Poisson formula on the low real Lie group dimensional with analytical tools Research results: • Explicit formula for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie groups SL(2, R); SU(2, 1) • Explicit trace formula of discrete representations for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie groups over there • Theorem of Poisson summation for each Lie groups mentioned above Products: 5.1 Scientific product: Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, " Automorphic representations of SL(2, R) and quantization of fields", American research Journal of Mathematics, Vol - No 2, 2015, p.25- 37 Do Ngoc Diep, Do Thi Phuong Quynh, "Poisson summation and endoscopy for SU(2,1)" , East West Journal of Mathematics, Vol 17, No 2, 2015, p.101 - 116 Do Ngoc Diep, "Do Thi Phuong Quynh, Poisson summation and endoscopy for Sp(4, R)" , SEAMS Bull Math Vol 40, p 837 -856, 2016 5.2 Training product: Train 01 doctoral Title of dissertation: “Automorphic representations and spectral decomposion of the regular representation of some real reductive Lie groups of low dimension.” 6.Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: The thesis show clearly Langlands program for low-dimensional groups, with specific calculations The results of the research for a straightforward introduction to the Langlands program Explicit formula for orbital integrals in endoscopic subgroups of Lie groups SL(2, R); SU(2, 1) Training and retraining of human resources: To train a doctoral in Mathematics Capacity of the participants, especially the leader Additional 01 reference material for the research, teaching and learning of students, specialized students in Analysis 1 Mở đầu Tính cấp thiết vấn đề cần nghiên cứu Trong giải tích điều hòa cổ điển R, công thức Poisson cho hàm suy rộng là: +∞ +∞ e−inx , δ(x − n) = 2π n=−∞ n=−∞ δ hàm Dirac Cơng thức đóng vai trò quan trọng với hàm f ∈ C0∞ (R) viết dạng +∞ +∞ fˆ(m), f (m) = 2π m=−∞ fˆ(m) = 2π m=−∞ π f (x)e−imx dx −π biến đổi Fourier f Vế trái cơng thức xem phân tích biểu diễn quy thành tổng thành phần bất khả quy vế phải xem tổng giá trị biến đổi Fourier Chính cơng thức cho phân tích khơng gian hàm bình phương khả tích sau: ⊕ L2 (R/πZ) = Cn , n∈Z với Cn = C Mặt khác, công thức dễ dàng phát triển ngơn ngữ nhóm cho nhóm sau: R, R∗+ , C∗ Bài tốn đặt nghiên cứu để tìm công thức tổng Poisson tương tự công thức Poisson nói khn khổ giải tích điều hòa trừu tượng nhóm nửa đơn reductive Cơng thức Poisson trừu tượng tổng quát chưa tồn nên chúng tơi tiếp cận đến tốn lớp nhóm Lie có hạng nhóm SL(2, R) phủ phổ dụng SU(1, 1) cần nghiên cứu trường hợp SL(2, R) đủ Nhóm hạng SU(2, 1), trường hợp tính tốn tích phân quỹ đạo cụ thể Trong đề tài này, tơi trình bày chương với kết cấu sau : Chương 1: Là chương chuẩn bị Trong chương dẫn dắt từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg Chương 2: Nhóm SL(2, R), trình bày kết kể cho SL(2, R) Chương 3: Nhóm hạng SU(2, 1), trình bày kết kể cho SU(2, 1) Mục tiêu Đề tài có mục tiêu thể tường minh biểu diễn tự đẳng cấu thông qua lượng tử hóa áp dụng chúng vào việc phân tích phổ tốn tử Laplace phần rời rạc biểu diễn quy nhóm reductive thực thấp chiều Từ dùng nội soi để viết cơng thức Poisson cho nhóm SL(2, R) SU(2, 1) Đối tượng Các đối tượng nghiên cứu biểu diễn tự đẳng cấu việc tìm thể cụ thể không gian hàm có tính chất thích hợp Sau chúng dùng vào việc phân tích biểu diễn quy không gian L2 (Γ/G), đặc biệt phần phổ rời rạc o L2 (Γ/G) Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nội dung sau: • Biểu diễn tự đẳng cấu nhóm Lie thực thấp chiều cụ thể nhóm hạng 1: SL(2, R), nhóm hạng 2: SU(2, 1) • Nhóm nội soi cho nhóm reductive thấp chiều kể • Phân tích phổ rời rạc biểu diễn quy, cơng thức vết biểu diễn tổng Poisson Cách tiếp cận đề tài Tiếp cận đề tài theo hướng sử dụng biểu diễn tự đẳng cấu nhóm Lie reductive sử dụng cơng thức vết Arthur-Selberg, sau vế phổ vế hình học cơng thức tổng Poisson cho nhóm SL(2, R) SU(2, 1) Phương pháp nghiên cứu Do đặc thù việc nghiên cứu ví dụ cụ thể phải vận dụng lý thuyết trừu tượng để tính tốn kết cụ thể nên phương pháp nghiên cứu luận án bao gồm: • Biểu diễn cảm sinh • Lượng tử hóa hình học • Phân tích phổ toán tử Laplace suy rộng diện Riemann Nội dung kết nghiên cứu Chương Từ công thức Poisson cổ điển đến công thức vết Arthur-Selberg 1.1 Công thức tổng Poisson cổ điển Định lý 1.1.1 Giả sử hàm f khả tích tuyệt đối [−π; π] thỏa mãn điều kiện Dini Khi chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối đến nửa tổng hai giá trị giới hạn +∞ cn (f )einx = −∞ f (x+ ) + f (x− ) Đặc biệt hàm liên tục có cơng thức nghịch đảo khai triển Fourier +∞ cn (f )einx f (x) = n=−∞ Định lý 1.1.2 (Tổng Poisson ) Với hàm ϕ ∈ C0∞ (R) trơn có giá compact ta có +∞ +∞ ϕ(n) = n=−∞ ϕ(m) ˆ m=−∞ Công thức tương đương với dạng phân bố sau: +∞ +∞ e−inx δ(x − n) = n=−∞ n=−∞ Trong δ hàm Dirac ϕ(m) ˆ biến đổi Fourier Định lý 1.1.3 Ta có phân tích sau: L2 (R/2πZ, dθ) = 2π ⊕ Cn , n∈Z Cn khơng gian chiều với tác động x ∈ R phép nhân lên e2πinx Định lý 1.1.4 ⊕ L2 (R) = C1ξ dξ, R 1.2 Nhóm nhân số phức biến đổi Fourier-Laplace Định lý 1.2.1 Ta có phân tích sau: L2 (C∗ /2πZ × {1}, d|z| d arg(z)) = 2π |z| ⊕ ⊕ C1λ dλ, Cn ⊕ n∈Z R Cn khơng gian chiều C1 với tác động z ∈ C∗ phép nhân với e−2πin arg z , Cλ không gian chiều C1 với tác động z ∈ C∗ phép nhân với |z|−iλ−1 1.3 Công thức vết Arthur-Selberg 1.3.1 Cơng thức vết Tốn tử R(f ) xác định cách tự nhiên tích phân: R(f )ϕ = f (x−1 γy) ϕ(y)dy Γ\G γ∈Γ Vì vậy, tác động biểu diễn toán tử với hạch Kf (x, y) dạng [R(f )ϕ](x) = Kf (x, y)ϕ(y)dy, Γ\G f (x−1 γy) Kf (x, y) = γ∈Γ Vì hàm f hàm có giá compact nên tổng hội tụ, theo hữu hạn Cho x bất kỳ, cố định Kf thuộc lớp L2 (Γ\G × Γ\G) vết tốn tử xác định sau: tr R(f ) = Kf (x, x)dx Γ\G Theo giả thiết, nhóm rời rạc Γ hữu hạn sinh Ký hiệu {Γ} tập phần tử đại diện lớp liên hợp Cho γ ∈ Γ ký hiệu nhóm tâm γ ∈ Ω ⊂ G Ωγ , trường hợp đặc biệt, Gγ ⊂ G Theo định lý Fubini cho tích phân kép, đổi thứ tự tích phân để có tr R(f ) Vol(Γγ \Gγ )f (x−1 γx)dx = γ∈{Γ} 1.3.2 Gγ \G Công thức vết ổn định Nhóm Galois Gal(C/R) = Z2 trường phức C tác động biểu diễn chuỗi rời rạc đặc trưng κ(σ) = ±1 Vì tổng đặc trưng viết lại tổng lớp ổn định đặc trưng ∞ ε(σ)Θεn (f ), tr R(f ) = n=1 σ∈Z2 ε(σ) = 1 σ −1 σ phần tử đơn vị liên hợp phức 5 Chương SL(2, R) Xây dựng nhóm SL(2, R) đại số Lie 2.1 2.1.1 Nhóm Lie Nhóm G = SL(2, R) nhóm ma trận thỏa mãn: SL(2, R) = 2.1.2 g= a b c d a, b, c, d ∈ R, det g = Đại số Lie Đại số Lie G = SL(2, R) g = sl(2, R) = H, X, Y H= 0 −1 ,X = 0 R ,Y = 0 , thỏa mãn hệ thức giao hoán tử Cartan: [H, X] = 2X; [H, Y ] = −2Y ; [X, Y ] = H Đại số Lie A a = H 2.1.3 R, đại số Lie N n = X R b = a ⊕ n = H, X R Đại số Lie B Nhóm compact cực đại Nhóm G = SL(2, R) có tâm hữu hạn đẳng cấu với Z/2Z, có nhóm compact cực đại K (với độ xác đến liên hợp) K= 2.1.4 k(θ) = ± cos θ sin θ − sin θ cos θ θ ∈ [0, 2π) , Nhóm Borel Nhóm SL(2, R) có nhóm Borel B= a b d a, b, d ∈ R, ad = Nhóm Borel phân tích thành tích nửa trực tiếp lũy đơn N ∼ R∗ nhóm compact M = {±1} Phân tích phân xuyến chẻ cực đại T = + tích Cartan G = BK, B = M A N Định nghĩa 2.1.1 Một nhóm nội soi G = SL(2, R) thành phần liên thông phần tử đơn vị tâm hóa phần tử quy nửa đơn G Mệnh đề 2.1.1 Nhóm nội soi G = SL(2, R) SO(2) Nhận xét: Nhóm nội soi SL(2, R) hay tâm {±1} nhóm tầm thường có nhóm nội soi khơng tầm thường SO(2) 2.1.5 Phân tích Iwasawa phân tích Cartan Trong mục chúng tơi tính tốn phép dựng biểu diễn tự đẳng cấu dựa vào bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Tồn tương ứng - biểu diễn 2n − chiều bất khả quy SO(3) biểu diễn n chiều SO(2) Phân tích Iwasawa AN K biết đến sau: phần tử a b g= có phân tích dạng sau: c d a c 2.2 b d = y 1/2 0 y −1/2 y −1/2 x cos θ − sin θ sin θ cos θ , (2.1) Biểu diễn SL(2, R) Định lý 2.2.1 Tập toán tử bện SL(2, R) từ biểu diễn chuỗi rời rạc đến tập biểu diễn tự đẳng cấu o L2 (Γ\ SL(2, R)) SL(2, R) đẳng cấu với tập Sk (Γ) dạng modular, tức HomSL(2,R) (Dk , o L2 (Γ\ SL(2, R)) ∼ = Sk (Γ) 2.2.1 Tương ứng Langlands hình học Định lý 2.2.2 (Tương ứng Langlands hình học) Tồn song ánh [π1 (Σ), SO(3)] ←→ A(SL(2, R)) tập lớp tương đương biểu diễn nhóm π1 (Σ) diện Riemann Σ = Γ\ SL(2, R)/ SO(2) tập A(SL(2, R)) lớp tương đương biểu diễn tự đẳng cấu SL(2, R) 2.3 Đặc trưng nhóm Chú ý 2.3.1 Cơng thức vết ổn định xác định hạn chế nhóm compact cực đại K = SO(2) SΘn = − Θ+ sin nθ n − Θn = iθ −iθ e −e sin θ 2.4 Cơng thức nhóm nội soi Định lý 2.4.1 (Phân tích phổ) Trong khơng gian biểu diễn cảm sinh IndG B χλ,ε , chọn Hn = f ∈ H|π( cos θ sin θ − sin θ cos θ )f = einθ f không gian chiều Hn H= n∈Z Phần rời rạc R|o L2 (Γ\ SL(2,R)) biểu diễn quy phân tích thành tổng biểu diễn rời rạc πn± không gian + Ds+1 = Hn n≡ε mod 2,n≥m hay − Ds+1 = Hn , n≡ε mod 2,n≤−m s ∈ Z, s > s + ≡ ε mod tồn m ∈ Z, m = s + 1, m > 0, cảm sinh từ χiλ,ε = |a|iλ (sign a)ε giới hạn biểu diễn chuỗi π0± D1+ hay D1− hai thành phần biểu diễn π 0,1 = IndG B χ0,1 , cảm sinh từ đặc trưng χ0,1 Chú ý 2.4.1 Trong không gian −m c Bốn nửa mặt phẳng tương ứng với trường hợp xy = x = y Ωx>0 = {(t, x, 0, 0) ∈ R4 |x > 0}, Ωx0 = {(t, 0, y, 0) ∈ R4 |y > 0}, Ωy