SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ I Chức máy tính Khi giải phương trình vơ tỷ, mục đích tìm cách giải logic để tìm tất nghiệm phương trình khơng phải tìm nghiệm, máy tính sử dụng cơng cụ hỗ trợ tính tốn phức tạp dự đốn khơng phải máy tính thực giải toán đưa Tuy nhiên biết khai thác triệt để tính máy tính ta khơng tìm lời giải cho tốn mà tìm nhiều cách giải khác nhau, đồng thời mở rộng làm tốn Một số tính máy tính: Phím CALC: Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC hỏi giá trị biến tính giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức cho phép ta tính biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác với lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi SOLVE: Nguyên tắc hoạt động chức ta nhập giá trị hình hiển thị ”X=?” xử lý quay hình tròn có tâm điểm ta vừa nhập trục hồnh, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần thỏa mãn máy dừng lại hiển thị giá trị dạng phân số tối giản số thập phân Nếu thời gian định mà máy chưa tìm nghiệm máy hiển thị giá trị gần máy tìm thỏa mãn phương trình với sai số hai vế thấp L-R hàng thứ hai hình sai số hai vế (thông 6 thường sai số bé khoảng 10 trở xuống) Chức TABLE: (MODE 7) Chức cho phép hiển thị đồng thời kết biểu thức giá trị biến ta gán cấp số cộng Chức cho phép ta nhìn tổng thể giá trị biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục dấu biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm cách tiết kiệm thời gian II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ: 2 Dạng: ax  bx  c  (dx  e) Ax  Bx  C(*) ( a, b, c, d , e, A, B C số biết ) Cơ sở toán học: Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định Với điều kiện trên, bình phương vế (*) ta được: (ax  bx  c)  � (dx  e) Ax  Bx  C � 0(**) � � Giả sử: phương trình (**) có nghiệm x 1, x2và x1.x2=P1, x1+x2=S1 theo định lý Viete ta có x x2 nghiệm phương trình X2– S1X+P1=0 Vế trái (**) đa thức bậc nên phân tích thành tích tam thức bậc nên (**) trở thành: (X2 –S1X+P1 )( X2 - S2X +P2) =0 Khi việc giải phương trình (*) đưa giải hai phương trình bậc Tìm nghiệm hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta nghiệm phương trình (*) Máy tính CASIO giúp ta dễ dàng tìm nghiệm x 1, x2 hệ số tam thức bậc giải phương trình bậc nói Ví dụ áp dụng: 2 Giải phương trình sau: 10x  3x   2(3x  1) 2x   0(1) � 2x  �0 � � 3  249  � � � � x �� ; � ��� ; �� 10x  3x  � �2 �0 � 20 � � � 3x  Điều kiện phương trình: Ta chia cho 3x  x 1 khơng nghiệm phương trình ban đầu Phần 1: Tìm nghiệm Bước 1: Đốn khoảng nghiệm 2 2 Với điều kiện (1) tương đương với (10x  3x  6)  [2(3x  1) 2x  1]  0(1') Bấm MODE (chọn TABLE) Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức Vào nhấn dấu = Chú ý chữ x biểu thức f(x) nhập tổ hợp phím ALPHA X Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn = hình chữ End? Nhấn Tiếp theo nhấn - = hình chữ Step? Nhấn nhấn Tiếp theo nhấnmàn 0 = Khi máy bảng gồm giá trị x từ -10 đến 10 Cần ý tới hai giá trị x liên tiếp giả sử x x2 (giả sử x1 a suy f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vơ nghiệm Vậy pt f(x) = k có nhiều nghiệm Chú ý: * Từ định lí trên, ta áp dụng vào giảiphương trình sau: Bài tốn u cầu giảiphương trình:F(x) = Ta thực phép biến đổi tươngđương đưa phương trình dạng f(x) = k f(u) = f(v) ( u = u(x), v = v(x)) tachứng minh f(x) hàm ln đồng biến (nghịch biến) Nếu phương trình: f(x) = k ta tìm nghiệm, chứng minh nghiệm Nếu phương trình: f(u) = f(v) ta có u = v giải phương trình ta tìm nghiệm * Ta áp dụng định lí cho tốn chứng minh phương trình có nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) ln đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến ) liên tục D số nghiệm D phương trình: f(x) = g(x) khơng nhiều Chứng minh: Giả sử x = a nghiệm pt: f(x) = g(x), tức f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến g(x) nghịch biến 15 *Nếu x > a suy f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vơ nghiệm x > a *Nếu x < a suy f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vơ nghiệm x < a Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nghiệm Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 ta biến đổi dạng f(x)=g(x), f(x) g(x) khác tính đơn điệu Khi ta tìm nghiệm phương trình chứng minh nghiệm Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) ln đồng biến ( nghịch biến) liên tục D f(x) > f(y) x > y (hoặc x < y ) Ví dụ: Giải phương trình: x  3x    3x (1) 2 6 �x � Bước 1: Đặt điều kiện phương trình 3 Bước 2: Viết lại phương trình dạng x  3x    3x  (1’) Bước 3: Nhập vế trái (1’) vào hình máy tính Bước 4: Dùng chức có sẵn máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm gần SHIFT Nhấn số khác ), nhấn “=” CALC hình máy tính “Solve for X”, nhấn“ ” ( chọn Màn hình kết X1=1.618033989 16 Gán kết vào phím A SHIFT STO A cách nhấn Rồi tiếp tục nhập vế trái (1’) vào hình máy tính, nhấn SHIFT CALC 3 hình “solve for X”, nhấn “ ”( chọn số khác ) , nhấn “=” Màn hình thị kết X2=-0.618033988 Gán kết vào phím B cách nhấn SHIFT STO B Bây ta thử tìm tam thức bậc tạo từ hai nghiệm Nghĩa ta cần tính A+B AB 17 Thu A+B=1, AB= -1 Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phương trình X2 – X- 1=0 Ta viết phương trình cho lại thành x  3x    3x  � x  3x   (px  q)  (px  q)   3x  � x  3x   (px  q)  � x  (3  p)x   q  (px  q)  (8  3x ) px  q   3x 0 (p  3)x  2pqx  q  px  q   3x 0 2 2 Đến để xuất nhân tử (x – x -1) (p  3)x  2pqx  q   a(x  x  1) với a hệ số Chọn a=4 ta cặp (p,q) thỏa mãn (p,q)=(-1,2) Lời giải: x  3x   x2  x  0  x   x2 4(x  x  1) � (x  x  1)(x  1)  0  x   x2 � (x  x  1)(x   )0  x   x2 �x  x   � �� (I) x    �  x   x2 � Xét f (x)   x   3x Ta có: 18 3x f '(x)  1   3x 3x f '(x)  � 1   �  3x  3x  3x �2 6 x � �  3x  3 � � � � �3x  � �x  �x � �  3x  9x � �x  � � Ta có bảng biến thiên sau (để đơn giản ta dùng chức phím CALC tính giá trị bảng này): x 2  f’(x) f(x) + + 6 - - 64 62 62 64  f (x) � Suy Như vậy: x 1  x   3x  x 1 2 12 � 1 0 f (x) 64 Vậy 19 �x  x    I � � �  0(vô nghiêm) �x    x   x2 � � x2  x   �x 1� (nhân) Kết luận nghiệm phương trình x 1� Nhận xét: Phương pháp khảo sát hàm số cho phép đánh giá tập giá trị biểu thức cách chặt chẽ Tuy nhiên phương pháp đòi hỏi tính tốn cồng kềnh số vơ tỷ chứa mà khơng có máy tính khó mà tính tốn dễ dàng Như với tổ hợp phím SHIFT CALC vàphím CALC máy tính giúp đỡ nhiều trình tìm nghiệm, tính giá trị bảng biến thiên cách xác nhanh DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA Lượng giác hóa phương trình theo số dấu hiệu chủ yếu sau Nếu phương trình xuất x2+ y2=a đặt �x  asint � �y =acost Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện phương trình đặc thù phương trình (đặc ẩn phụ để áp dụng cơng thức lượng giác)   � � t �� ; � x �a �2 �hoặc x=acost, t � 0;  Nếu đặt x=asint, Nếu x �a đặt x   � � a t � ; � ,t �2 � sin t , x a  t � 0;  , t � cost , Ta xét ví dụ sau: x  3x  x  Lời giải 20 Điều kiện: x �2 +Nếu x  x  3x  x  x  3  x  2x  x  x  x  Vậy x  không thỏa mãn phương trình Do để giải ta cần xét 2 �x �2 Sử dụng chức TABLE SHIFT SLOVE máy ta thu nghiệm x=2 ta hai nghiệm vơ tỷ khác x=-1,618033989 x= -0,445041867 Sử dụng chức SHIFT STO để gán nghiệm phương trình vào A,B tính A+B, AB ta thu hai số vơ tỷ Như ý định dùng phương pháp tách khơng khả quan Ta tìm phương pháp khác Để ý x � 2,2 lấy x chia ta nghĩ đến lượng giác t � 0, Khi đó, ta đặt x  2cos t , điều kiện Thay vào phương trình cho ta 8cos3 t  6cos t    cos t  � 4cos t  3cos t  cos � � t t 3t   k2  � � t � cos3t  cos � � �� t � � 3t    k2 t � � Do t � 0,  nên lấy nghiệm Phương trình cho có ba nghiệm k4  k4  t  0, t  t (k ��) 4 4 ,t  x  2, x  2cos 4 4 , x  2cos Ví dụ 2: Giải phương trình sau  x2  x 16x  12x  Lời giải 21 Từ điều kiện túi ta suy Ta đặt x �1 x �1 16x  12x  �0 sử dụng chức giải phương trình máy tính bỏ x �� 3� x  cos t, t � 0;   , x �� 3� Thay vào phương trình cho ta  cos2 t  cos t 16cos t  12cos2 t  � sin t  16cos4 t  12cos2 t   cos t � sin t � 16  sin t   12   sin t   1� cos t � � � 16sin5 t  20sin t  5sin t  cos t � sin 5t  cos t � � � sin 5t  sin �  t � �2 � �  k t  � 12 ��  k ��  k � t  � Do t � 0,  Vậy x  cos nên lấy nghiệm   5 3 5 , x  cos , x  cos , x  cos , x  cos 12 12 Nhận xét: Tuy máy tính bỏ túi không áp dụng phần lớn phương pháp trên, đóng vai trò quan trọng việc đoán nghiệm, xử lý nghiệm thử lại Phương pháp lượng giác hóa cho ta biến đổiàiđơn giản đồng thời toán giải 22 phương pháp khó giải phương pháp khác (do đặc thù hàm số lượng giác) Bài tập áp dụng Giải phương trình sau 3x+1   x  3x  14x-8=0 4x+1  3x-2  x 3 5 3 x  x   3x   2  x  x   x  x  2 (x  3) 2x   x  x  x3  x 5 2x 2 (x  3) x  x   x  3x+4 x2    x  (x  1)  2x 2x(1-x ) 23 ... phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta nghiệm phương trình (*) Máy tính CASIO giúp ta dễ dàng tìm nghiệm x 1, x2 hệ số tam thức bậc giải phương trình bậc nói Ví dụ áp dụng: 2 Giải. .. sẵn máy tính để giải Đợi vài giây máy hiển thị kết nghiệm gần phương trình Đối với ta nghiệm Bước 5: Giải Biết phương trình có nghiệm nhân tử:  sẵn nhân tử 2x  1 x biết nghiệm x Ta tính. .. điều kiện phương trình 3 Bước 2: Viết lại phương trình dạng x  3x    3x  (1’) Bước 3: Nhập vế trái (1’) vào hình máy tính Bước 4: Dùng chức có sẵn máy tính để giải phương trình trên, tìm