Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2016 ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 NỘI DUNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 NỘI DUNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 NỘI DUNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 NỘI DUNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN THỰC HÀNH MATL AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 Đạo hàm hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x, y), x = x(t), y = y(t)(t ∈ (a, b)) HÀM SỐ z = f (x, y),x = x(t), y = y(t)(t ∈ (a, b)) ĐỊNH LÝ 1.1 Cho hàm số z = f (x, y) khả vi D, x = x(t), y = y(t) (t ∈ (a, b)) hàm khả vi cho (x(t), y(t)) ∈ D Khi đạo hàm hàm số z theo t tính theo cơng thức dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 (1) / 39 Đạo hàm hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x, y), x = x(t), y = y(t)(t ∈ (a, b)) VÍ DỤ 1.1 Cho z = f (x, y) = x2y + 3xy x = sin 2t, y = cos t Tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dz t = dt ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 Đạo hàm hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x, y), x = x(t), y = y(t)(t ∈ (a, b)) VÍ DỤ 1.1 Cho z = f (x, y) = x2y + 3xy x = sin 2t, y = cos t Tính dz t = dt dz ∂z dx ∂z dy = + = (2xy + 3y )(2 cos 2t)+ dt ∂x dt ∂y dt +(x2 + 12xy )(− sin t) Khi t = x = sin = y = cos = Vậy dz dt = (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)(− sin 0) = t=0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 Đạo hàm hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x, y), x = x(t), y = y(t)(t ∈ (a, b)) HÌNH: Đường cong x = sin 2t, y = cos t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 Đạo hàm hàm hợp Trường hợp: hàm số z = f (x, y), x = x(t), y = y(t)(t ∈ (a, b)) VÍ DỤ 1.2 Cho f (x, y) = exy y = sin x Tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂f df , · ∂x dx ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm riêng hàm ẩn xác định F(x, y, z) = ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM ẨN XÁC ĐỊNH BỞI F(x, y, z) = ĐỊNH LÝ 3.1 Cho hàm số z = f (x, y) xác định phương trình F(x, y, z) = Nếu f , F hàm khả vi Fz = ta có F ∂z = − x; ∂x Fz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Fy ∂z =− ∂y Fz ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 (7) 29 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm riêng hàm ẩn xác định F(x, y, z) = VÍ DỤ 3.2 Tính ∂z ∂z , x3 + y + z3 + 6xyz = ∂x ∂y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 30 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm riêng hàm ẩn xác định F(x, y, z) = VÍ DỤ 3.2 Tính ∂z ∂z , x3 + y + z3 + 6xyz = ∂x ∂y Cho F(x, y, z) = x3 + y + z3 + 6xyz − 1, ta Fx ∂z 3x2 + 6yz x2 + 2yz =− =− =− ; ∂x Fz 3z + 6xy z + 2xy Fy ∂z 3y + 6xz y + 2xz =− =− =− · ∂y Fz 3z + 6xy z + 2xy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 30 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến HÌNH: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f (x, y) xác định F(x, y, z) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 31 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến Vì C thuộc S nên F(x(t), y(t), z(t)) = ⇒ ∂F dx ∂F dy ∂F dz · + · + · =0 ∂x dt ∂y dt ∂z dt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 32 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến Vì C thuộc S nên F(x(t), y(t), z(t)) = ⇒ ∂F dx ∂F dy ∂F dz · + · + · =0 ∂x dt ∂y dt ∂z dt r (t) = (x (t), y (t), z (t)) ⇒< ∇F, r (t) >= Khi t = t0 ta < ∇F(x0, y0, z0), r (t0) >= Vì ∇F(x0, y0, z0) vng góc tiếp tuyến nên vng góc với mặt phẳng tiếp diện với mặt cong S điểm P Do đó, ∇F(x0, y0, z0) gọi pháp véc tơ mặt phẳng tiếp diện TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 32 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến ĐỊNH LÝ 3.2 Cho mặt cong S xác định F(x, y, z) = 0, P(x0 , y0 , z0 ) Khi phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong S điểm P Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 )+ +Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = (8) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 33 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến ĐỊNH LÝ 3.3 Pháp tuyến với mặt cong S điểm P đường thẳng vng góc với mặt phẳng tiếp diện xác định sau x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 ) (9) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 34 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến VÍ DỤ 3.3 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện, phương trình pháp tuyến điểm (−2, 1, −3) với ellipsoid x2 z2 + y + = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 35 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến VÍ DỤ 3.3 Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện, phương trình pháp tuyến điểm (−2, 1, −3) với ellipsoid x2 z2 + y + = x2 z2 F(x, y, z) = + y + − = ⇒ Fx (−2, 1, −3) = −1, Fy (−2, 1, −3) = 2, Fz (−2, 1, −3) = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 35 / 39 Đạo hàm hàm ẩn Mặt phẳng tiếp diện phương trình pháp tuyến Phương trình mặt phẳng tiếp diện Fx (−2, 1, −3)(x + 2) + Fy (−2, 1, −3)(y − 1)+ +Fz (−2, 1, −3)(z + 3) = ⇔ 3x − 6y + 2z + 18 = Phương trình pháp tuyến x+2 y−1 z+3 = = −1 −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 36 / 39 Thực hành MatLab Tính véc tơ gradient MATL AB: TÍNH VÉC TƠ GRADIENT Muốn tính tốn hình thức với biến hình thức ta phải khai báo syms x y (đối với hàm hai biến) syms x y z (đối với hàm ba biến) Nếu z = f (x, y) véc tơ gradient f nabla = gradient(f , [x, y]), véc tơ gradient f điểm (x0 , y0 ) subs(nabla, [x, y], [x0 , y0 ]) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 37 / 39 Thực hành MatLab Tính véc tơ gradient MATL AB: TÍNH VÉC TƠ GRADIENT Muốn tính tốn hình thức với biến hình thức ta phải khai báo syms x y (đối với hàm hai biến) syms x y z (đối với hàm ba biến) Nếu z = f (x, y) véc tơ gradient f nabla = gradient(f , [x, y]), véc tơ gradient f điểm (x0 , y0 ) subs(nabla, [x, y], [x0 , y0 ]) Nếu u = f (x, y, z) véc tơ gradient f nabla = gradient(f , [x, y, z]) véc tơ gradient f điểm (x0 , y0 , z0 ) subs(nabla, [x, y, z], [x0 , y0 , z0 ]) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 37 / 39 Thực hành MatLab Tính véc tơ gradient Ví dụ: syms x y » f = xˆ2 + yˆ3 » nabla=gradient(f,[x,y]) nabla = 2∗x ∗ yˆ2 » subs(nabla,[x,y],[1,2]) ans = 12 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 38 / 39 Thực hành MatLab Tính véc tơ gradient CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG TP HCM — 2016 39 / 39