TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - NGÔ THỊ CH ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀ NGUYÊN LÍ LÂN KHỐ LUẬN TỐT NG Chun ngành: Hình học HÀ NỘI 20 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - NGÔ THỊ CH ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀ NGUYÊN LÍ LÂN KHOÁ LUẬN TỐT NG Chuyên ngành: Người hướng dẫn Th.S - GVC PHAN HỒ HÀ NỘI 20 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy, giáo giáo bạn sinh viên khoa Tốn trường đại học sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt suốt q trình thực khố luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường định hướng chọn đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thành tốt khoá luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khố luận khơng tránh khỏi hạn chế có thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn tiếp thu ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Ngơ Thị Châu LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành với bảo tận tình thầy giáo khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Phan Hồng Trường Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Châu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VỚI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP NGUYÊN LÍ 1.1 Nội dung nguyên lí .2 1.1.1 Nguyên lí 1.1.2 Nguyên lí 1.2 Ứng dụng 1.2.1 Tổng quát 1.2.2 Ứng dụng giải tốn hình học tổ hợp 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP 2.1 Bài toán lời giải 2.2 Một số toán tham khảo 21 CHƯƠNG : NGUYÊN LÍ LÂN CẬN GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP 23 NGUYÊN LÍ 23 1.1 Các khái niệm 23 1.1.1 Định nghĩa 23 1.1.2 Định nghĩa 23 1.2 Nguyên lí 25 1.2.1 Nguyên lí 25 1.2.2 Nguyên lí 25 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ LÂN CẬN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP 25 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận hai nguyên lí hữu ích thường vận dụng cho nhiều lớp toán khác nhau, đặc biệt có ích giải tốn tổ hợp nói chung hình học tổ hợp nói riêng Vận dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận vào giải toán tố hợp khiến cho toán trở nên đơn giản hơn, đặc biệt việc giảm bớt số lượng đối tượng khổng lồ tốn tổ hợp Nhờ tính chất riêng mà nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận đặc biệt hữu ích áp dụng giải tốn hình học tổ hợp, mà đặc biệt lại nhóm kiến thức quan trọng trương trình tốn bậc trung học phổ thơng Để tiếp cận với kiến thức này, định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “Ứng dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận vào giải tốn hình học tổ hợp” để hồn thành khố luận Tốt nghiệp Đại học chun ngành Hình học Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu ngun lí cực hạn nguyên lí lân cận - Làm rõ tính ưu việt việc ứng dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận giải số tốn hình học tổ hợp Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận - Phạm vi nghiên cứu: số tốn hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày khái niệm ngun lí cực hạn nguyên lí lân cận - Đề xuất số phương pháp giải tốn hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lí luận, cơng cụ tốn học - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VỚI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP NGUN LÍ 1.1 Nội dung ngun lí 1.1.1 Nguyên lí Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực ln ln chọn số bé số lớn 1.1.2 Nguyên lí Trong tập khác rỗng số tự nhiên ln ln chọn số bé 1.2 Ứng dụng 1.2.1 Tổng quát Sử dụng nguyên lí cực hạn phương pháp vận dụng nhiều lớp tốn khác nhau, đặc biệt có ích giải tốn tổ hợp nói chung Hình học tổ hợp nói riêng Ngun tắc dùng để giải toán mà tập hợp đối tượng phải xét tồn đối tượng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ theo nghĩa Ngun lí cực hạn thường sử dụng kết hơp với phương pháp khác, đặc biệt phương pháp phản chứng Nguyên lí vận dụng trường hợp tập giá trị cần khảo sát tập hợp hữu hạn (nguyên lí 1) vơ hạn tồn phần tử lớn nhỏ (nguyên lí 2) 1.2.2 Ứng dụng giải tốn hình học tổ hợp Lược đồ giải - Đưa toán xét dạng sử dụng ngun lí 1(hoặc nguyên lí 2) để chứng tỏ tất giá trị cần khảo sát toán phải có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) - Xét tốn tương ứng nhận giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) - Chỉ mâu thuẫn, đưa giá trị nhỏ (hoặc lớn hơn) giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) mà ta khảo sát Theo nguyên lí phương pháp phản chứng ta suy điều phải chứng minh ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP Áp dụng ngun lí cực hạn vào giải tốn hình học tổ hợp 2.1 Bài toán lời giải Bài1: Chứng minh bốn đường tròn có bốn đường kính bốn cạnh tứ giác lồi phủ kín tứ giác cho Giải Lấy M điểm tuỳ ý tứ giác lồi ABCD Có hai khả xảy ra: Nếu M nằm biên đa giác (tức M nằm cạnh tứ giác ABCD) Khi M phải nằm hình tròn có đường kính cạnh Trong trường hợp kết luận toán hiển nhiên C D B M A Nếu M nằm bên tứ giác lồi ABCD Khi ta có: □AMB + B□MC + C□MD + D□MA = 3600 Theo nguyên lí cực hạn, tồn max { □AMB, B□MC,C□MD, D□MA} = B□MC Khi : B□MC ≥ 90 (1) Từ (1) suy M nằm (hoặc nằm trên) đường tròn đường kính BC Vậy đương nhiên M bị phủ đường tròn Như M điểm tuỳ ý tứ giác ABCD, ta suy bốn hình tròn nói phủ kín tứ giác lồi cho Đó điều phải chứng minh Bài2: Cho đa giác lồi A1A2 An Chứng minh tồn ba đỉnh liên tiếp cho hình tròn qua ba đỉnh chứa toàn đa giác cho Giải Theo nguyên lý cực hạn tồn cạnh đa giác AiAj cho : Ai Aj = Ak+Ak 1≤k ≤n (ở quy ước n+1 1, tức AnAn+1 ≡ AnA1) Khi đó, với j ≠ i, j ≠ i+1, □Ai A j ≤ (nói riêng □Ai A j > 00 ) Ai+1 60 Ai+1 Như tập hợp ba đỉnh có hai đỉnh kề nhau, đoạn thẳng nối hai đỉnh nhìn từ đỉnh thứ ba góc khơng q 90 tập hợp không rỗng Rõ ràng tập hợp hữu hạn, lại theo ngun lí cực hạn, tồn đường tròn (Ω) cho qua tập hợp ba đỉnh có bán kính lớn R Giả sử (Ω) đường tròn qua ba đỉnh kề A1, A2 đỉnh A đa giác mà □A1 AA2 ≤ 90 Ta chứng minh đỉnh đa giác lồi nằm hình tròn (Ω) Chú ý từ tính lồi đa giác suy tồn đa giác nằm phía A1 A2 (về phía có đỉnh A) Giải Lấy hình vng đơn vị làm chuẩn (chẳng hạn hình vuông bên trái) ta thực phép “tịnh tiến” tất hình vng đơn vị khác hình vng Như ta có sấp hình vng đơn vị Giả sử có n hình vng đơn vị S1, S2 , , Sn tương ứng diện tích vết mực hình vng đơn vị thứ 1,2,…,n Theo giả thiết S + S + + S > 1 n Theo nguyên lí suy tồn hai hình vng đơn vị i, j ( i ≠ j) cho Ωi ∩ Ω j ≠ ∅, Ωi ,Ω hình j tương ứng phần dây mực nằm vng đơn vị thứ i j sau tịnh tiến hình vng chuẩn.Giả sử A ∈Ωi ∩ Ω j Điều có nghĩa trả hình vng vị trí ban đầu, điểm A tương ứng với Ai, Aj hình vng đơn vị tứ i j Aj ≡ B A i A≡ Ai M 69 j MAi2  MA2j Dễ dàng thấy rằng, đặt A ≡ Ai , B ≡ A j 70 AB = Rõ ràng MAi = n1, MA j = n2 , n1, n2 số nguyên dương 2 n n2 n1 + ≠ , từ A B = ,với n nguyên dương Đó điều phải chứng minh Bài 10 : Tô màu đỏ cung đường tròn bán kính R cách tuỳ ý Biết tổng độ dài cung bị tô màu nhỏ nửa chu vi đường tròn Chứng minh ln ln vẽ dây cung đường tròn có độ dài a cho trước (với a < 2R), mà hai đầu dây cung không bị tô màu Giải Giả sử a < 2R độ dài cho trước Ta gọi tô màu xanh (thực chất khơng tơ màu) cung đường tròn cách sau đây: Giả sử □AB cung tô màu đỏ đường tròn, ta lấy đường tròn theo chiều kim đồng hồ hai ' ' điểm A , B cho A’ A AA' = a ,và □ ' A B ' = □AB • B a • B ’ N xanh có tổng độ dài bé tổng độ dài N □’ cung màu đỏ BTa tô màu xanh (tức không tô màu) phần chưa tô màu đỏ cung Như ứng với, cột cung đỏ ta có cung (và gọi cung xanh) có độ dài với cung đỏ Dĩ nhiên theo quy tắc tô màu xanh, phần cung xanh tơ màu xanh có độ dài cung đỏ Như cung tơ màu Vì lẽ đó, tổng cung xanh cung đỏ nhỏ chu vi đường tròn Theo ngun lí (về mặt hình thức, thay từ diện tích chu vi) tồn điểm N ' không tô màu (kể đỏ xanh) Lấy điểm N đường tròn phía ngược chiều kim đồng hồ ' N cho ' NN = a Khi rõ ràng N khơng thuộc cung có màu đỏ (vì trái lại, theo quy tắc tơ màu xanh Dây cung ' N có màu xanh trái với giả thiết) ' NN = a hai đầu mút khơng bị tơ màu Đó điều phải chứng minh Bài 11: Một số cung nằm đường tròn với bán kính bơi màu xanh Tổng độ dài cung màu xanh lớn π Cho d đường kính tuỳ ý đường tròn Chứng minh tồn dây cung song song với d mà hai đầu mút dây cung bôi xanh Giải Rõ ràng khơng tính tổng cho cung bơi xanh khơng có điểm chung Gọi ' d đường kính đường tròn vng góc với đường kính d cho trước Giả sử □AB cung tô màu xanh ' Gọi cung đối xứng với □AB qua đường kính d □ ' ' AB □ ' ' Ta có A B = □AB Như đường tròn cho ta nhận hệ cung (gồm cung bơi xanh, cung đối xứng với qua ’ Q CN • d P’ M• A d ’ ' d ) B P B’ D Q A’ Vì tổng độ dài cung màu xanh lớn π, nên tổng độ dài cung hệ lớn 2π Hệ cung cung đường tròn cho (với chu vi 2π) Vì theo ngun lí (về mặt hình thức, thay từ diện tích độ dài) có hai cung hệ có điểm chung Do ta giả sử cung bơi xanh khơng có điểm chung, nên cung đối xứng khơng có điểm chung Như tồn cung M□ N bôi xanh cung xanh) mà : □' ' □' ' P Q ( P Q cung đối xứng cảu cung P□Q bơi □' ' M□ N ∩ P Q ≠ ∅ Giả sử C ∈ M□ N □' ' ∩ P Q □' ' Như C ∈ M□ N C ∈ P Q Gọi D điểm đối xứng C qua d, D ∈ P□Q Dễ thấy CD // d, hai đầu mút C, D tơ xanh CD dây cung cần tìm Đó điều phải chứng minh Bài 12: Trong hình tròn bán kính 1, người ta bơi màu số dây cung Chứng minh đường kính cắt tối đa k dây cung tơ màu, tổng độ dài tất dây cung bôi màu nhỏ k π Giải Giả sử AB dây cung tuỳ ý hình tròn bôi màu Dây cung tạo hai cung, giả sử γ cung nhỏ AB tạo Kí ' γ cung đối xứng hệu với cung γ qua tâm hình tròn Rõ ràng đường kính đường tròn cắt dây cung □AB có hai đầu mút thuộc γ γ' γ M P A B O γ ' M’ Ta làm điều với dây cung hình tròn bôi màu Giả thiết phản chứng kết luận tốn khơng đúng, tức tổng độ dài tất dây cung tô mà lớn k π Vì γ cung nhỏ, nên dĩ nhiên tổng độ dài cung dạng ' γ k π Suy tổng độ dài cung dạng γ γ' lớn lớn 2k π , tức lớn k chu vi đường tròn Vì theo ngun lí 2, tồn điểm P thuộc đường tròn, cho P nằm k + cung dạng γ ' γ Vẽ đường kính đường tròn qua P Từ lập luận trên, đường kính cắt k + dây cung bôi màu Điều trái với giả thiết, giả thiết phản chứng sai, tức kết luận toán đúng: tổng độ dài tất dây cung bơi màu bé k π Đó điều phải chứng minh Bài 13: Cho khối đa diện lồi P1 có đỉnh P1,P2 , , P9 A1, A2 , A3 , , A9 Kí hiệu đa diện tạo thành phép tịnh tiến T theo  véctơ   A1 A2 , A1 A3 , , A1 A9 Chứng minh số đa diện có điểm chung Giải Xét phép vị tự H H ( A1, ) tâm A1, tỉ số vị tự Khi ( A1 ,2) ' ' ' ' A1 A2 A3 A9 → A1 A2 A3 A9 A1 A6 A2 A5 A A3 ’ A4 ’’ A A ’’ A ’ A3 ’’ A’4 A’ Gọi ảnh P1 qua phép vị tự P Kí hiệu X thể tích khối đa diện X, ta có : P = P1 (1) Mỗi hình chiếu có độ dài nằm đoạn AD = 1, nên từ (1) theo nguyên lí 2, suy tồn điểm P ∈ AD cho P hình chiếu 501 khúc AD Đường vng góc với AD (tức song song với cạnh AB) lại cắt L 501 điểm Đó điều phải chứng minh Bài 14: Cho (K) hình phẳng mặt cầu có diện tích lớn nửa diện tích mặt cầu Chứng minh (K) chứa cặp điểm mà hai đầu đường kính hình cầu Giải Thực phép đối xứng (K) qua tâm O hình cầu (ở R0 phép đối xứng tâm qua tâm O) Giả sử ( K ) R  → 0 (K ) ' Kí hiệu K K = K ' K> nên ' K tương ứng diện tích hình phẳng (K) (K’) Do S K + ' K > S S diện tích mặt cầu Theo nguyên lí 2, suy ' K∩ K ≠ ∅ ( ) Giả sử A ∈ K ∩ K ' A∈( K ) , A∈ K Như ' ( ) suy Từ A∈ K ' B ∈( K )( B ≠ A) cho tồn ( R0 B  ) → A (tức A ảnh B qua phép đối xứng tâm O) Điều có nghĩa A AB đường kính hình cầu , cho Đó điều phải chứng B ∈ ( K ) mi nh KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khố luận tơt nghiệp “ Ứng dụng ngun lí cực hạn nguyên lí lân cận vào giải số tốn hình hoạc tổ hợp” Với mong muốn giúp đỡ học sinh thầy cô thấy rõ ứng dụng quan trọng nguyên lí cực hạn ngun lí lân cận giải tốn hình học tổ hợp Trong nội dung khố luận tơi cung cấp hệ thống tập có liên quan, phần thiếu kiến thức toán THPT Giúp em học sinh ham học hỏi, say mê hơn, tư chặt chẽ giải tốn hình học tổ hợp Nội dung khố luận tơi giải hai vấn đề sau đây: Trước hết nêu nội dung nguyên lí: nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận Hướng dẫn học sinh ứng dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận vào giải tốn hình học tổ hợp Do bước đầu làm quen cơng tác nghiên cứu khoa học nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu xót Rất mong ghóp ý thầy cô bạn độc giả để khố luận hồn thiện Một lần tơi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy Phan Hồng Trường, quan tâm, bảo thầy khoa tốn giúp đỡ tơi hồn thành khố luận TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Khải (2007), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trung học phổ thơng - tốn hình học tổ hợp, NXB giáo dục Nguyễn Hữu Điền (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB giáo dục ... Theo nguyên lí phương pháp phản chứng ta suy điều phải chứng minh ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP Áp dụng ngun lí cực hạn vào giải tốn hình học tổ hợp 2.1 Bài toán. .. 1.2.1 Tổng quát 1.2.2 Ứng dụng giải tốn hình học tổ hợp 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP 2.1 Bài toán lời giải 2.2 Một số toán. .. lân cận - Phạm vi nghiên cứu: số tốn hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày khái niệm nguyên lí cực hạn nguyên lí lân cận