LèI CÁM ƠN Em xin chân thành cám ơn TS Nguyen Văn Hào t¾n tình hưóng dan, giúp đõ em suot thòi gian thnc hi¾n khố lu¾n Xin chân thành cám ơn thay, cô to giái tích-khoa Tốn trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i tao moi đieu ki¾n giúp đõ em hồn thành khố lu¾n Xin chân thành cám ơn gia đình ban bè tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho em q trình thnc hi¾n khố lu¾n Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Th% Hanh i LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào khóa lu¾n tot nghi¾p "Phương pháp tích phân tNng phan khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace áp dnng vỏi mđt so tớch phõn ắc biắt" oc hon thành khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình hồn thành khóa lu¾n, tơi thùa ke nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Th% Hanh ii Mnc lnc Má đau 1 M®T SO KIEN THÚC VE GIÁI TCH TIfiM CắN 1.1 Mđt so khỏi niắm ve b¾c 1.2 Khái ni¾m ve khai trien ti¾m c¾n 1.3 M®t so ví du ve khai trien ti¾m c¾n 1.4 Các tính chat cna khai trien ti¾m c¾n 10 TÍCH PHÂN LOAI LAPLACE 19 2.1 Ý tưóng cna phương pháp khai trien ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace .19 2.2 Trưòng hop f (t) đn trơn 20 2.3 Trưòng hop f (t) khơng đn trơn 24 M®T SO TÍCH PHÂN Đ¾C BIfiT 28 3.1 Hàm Gamma khơng hồn 28 3.2 Tích phân Fresnel 30 3.3 Bài toán cna Stieltjes 31 Ket lu¾n 33 Tài li¾u tham kháo 34 iii Mé ĐAU Lý chon đe tài Khi giái quyet nhieu toán thnc te thưòng xáy rang, nhung chuoi phân kỳ có the đưoc sú dung cho sn tính tốn giá tr% so cna m®t đai lưong mà theo nghĩa có the đưoc xem "tong" cna chuoi Trưòng hop đien hình đoi vói chuoi hàm, bang sn xap xí bói m®t so so hang đau tiên cna chuoi thnc sn đem lai hi¾u mong muon Trong hau het trưòng hop so hang đau tiên cna chuoi giỏm nhanh (khi bien so đc lắp tien nhanh tói giá tr% giói han cna nó), nhung so hang sau bat đau tăng tró lai Các chuoi nh vắy oc goi l chuoi bỏn hđi tu v vi¾c tính tốn giá tr% so thưòng đưoc thnc hi¾n bói m®t so so hang đau cna chuoi Đe minh hoa cho đieu này, ta xét m®t tốn đưoc xét đen lan đau tiên vào năm 1754 bói L Euler Chuoi hàm ∞ S(x) = − 1!x + 2!x − 3!x + = (−1)nn! xn (0.1) n=0 m®t chuoi phân kì vói moi x ƒ= The vói nhung giá tr% đn nhó cna x, so hang đau cna chuoi giám rat nhanh có the tính tốn đ%nh lưong giá tr% so xap xí cna chuoi M®t van đe đưoc đ¾t hàm cna bien x có giá tr% so bieu dien sn xap xí Euler xét hàm φ(x) = xS(x) bang tính toán đơn gián ta thay rang φr(x) = 1! 2!x1 + 3!x2 − y = x2φr(x) + φ(x) = x x − φ(x) x2 Đieu cho thay rang hm (x) nhắn oc tự nghiắm cna mđt phương trình vi phân M¾t khác, sú dung tích phân Euler loai hai ¸ ∞ e−ttndt n! = ta thu đưoc ¸ S(x) = ¸ ∞ ∞ −t e dt − x ¸ = n=0 ∞ ∞ ¸ −t e tdt + x2 ∞ e−tt2dt − (−1)ne−t(xt)ndt Giá thiet rang neu có the lay tong m®t cách hình thúc qua dau tích phân S(x) tró thành ¸ Bây giò ta có the thay rang ∞ e−t dt (0.2) 1+ xt f (x) = ¸ ∞ e−t dt (0.3) 1+ xt m®t hàm hồn tồn đưoc xác đ%nh theo bien x, giái tích m¾t phang phúc x cat doc theo núa truc khơng âm M®t van đe náy sinh ó chuoi phân kỳ (0.1) bieu dien hàm (0.3) Đe trá lòi cho van đe trưóc het ta lưu ý rang m = (−xt)n + (−xt) + xt m+ ; ∀m = 0, 1, + xt n= Do đó, ta có the viet f (x) = Sm(x) + Rm(x); vói m (0.4) Sm(x) = (−1)nn!xn (0.5) n=0 ¸ tong riêng thú m ∞ Rm(x) = (−x)m+1 e−ttm+1 dt + xt (0.6) phan dư cna chuoi (0.1) Ta xét hai trưòng hop sau −1 (i) Neu Re x “ ta có |1 + xt| ≤ ¸ ∞ m+1 e−ttm+1dt = (m + 1)! |x| |Rm(x)| ≤ |x| m+1 π (ii) Neu Re x < 0, φ = arg x −1 < ±φ < π |1 + xt| m+1 |Rm(x)| ≤ (m + 1)! |x| |cosec φ| (0.7) < |cosec φ| (0.8) Trong cá hai trưòng hop, phan dư có b¾c vói so hang đau tiên cna phan dư cna S(x) tien nhanh đen x → Giói han h®i tu đeu bat kỳ hình quat mà |arg x| < π − ε, ε > Neu Re x > phan dư nhó so hang dư đau tiên neu x > phan dư dau vói so hang đau tiên cna phan dư Có m®t so phương pháp đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna tích phân phương pháp pha dùng, phương pháp đưòng giám nhanh, phương pháp điem yên ngna Tuy nhiên, m®t nhung phương pháp đưoc quan tâm trưóc het lý thuyet xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân phương pháp tích phân tùng phan Đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chương trình b¾c đào tao cú nhân khoa hoc Tốn hoc em chon đe tài "Phương pháp tích phân tNng phan khai trien ti¾m c¾n cúa tích phân loai Laplace áp dnng vái m®t so tích phân đ¾c bi¾t" Lu¾n văn gom 03 chương Chương 1, đưoc giành đe đưa m®t so kien thúc bán ve lý thuyet ti¾m c¾n Chương cna lu¾n vn, chỳng tụi trỡnh by mđt cỏch hắ thong mđt so phương pháp ưóc lưong xap xí tích phân loai Laplace Cuoi cùng, chúng tơi sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe thu đưoc khai trien cna m®t so tích phân đ¾c bi¾t Mnc đích, đoi tưang v pham vi nghiờn cNu Luắn trỡnh by mđt cách h¾ thong ve lý thuyet xap xí ti¾m c¾n, trỡnh by mđt so phng phỏp xap xớ tiắm cắn đoi vói tích phân loai Laplace Úng dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí m®t so tích phân đ¾c bi¾t Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp cúa đe tài H¾ thong hóa chi tiet, bán ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n Trình bày phương pháp tích phân tùng phan xap xí tích phân loai Laplace Sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xớ mđt so tớch phõn ắc biắt Chng MđT SO KIEN THC VE GII TCH TIfiM CắN Trưóc giói thi¾u khái ni¾m bán ve giái tích ti¾m c¾n, xét vi¾c tính giá tr% cna tích phân sau I(ε) = ¸ ∞ e−t dt; ε > 1+ εt é sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí giá tr% cna tích phân Tích phân tùng phan lan thú nhat ta đưoc ¸ ∞ e−t dt I(ε) = − ε (1 + εt) L¾p lai q trình N lan ta nh¾n đưoc I(ε) = − 1!ε + 2!ε2 − 3!ε3 + + (−1)N N !εN ¸ ∞ N +1 e−t dt (1.1) + (−1) (N + 1)! (1 + εt)N +2 Phương trình (1.1) dan đen m®t so khái ni¾m quan mang tính trnc giác sau (i) −ε b¾c vói ε, 2!ε2 b¾c vói ε2, ký hi¾u −ε = O(ε); 2!ε2 = O(ε2) (ii) 2!ε2 có b¾c nhó ε đưoc ký hi¾u bói 2!ε2 = o(ε) (iii) Neu xap xí cna tích phân I(ε) − 1!ε + 2!ε2 xap xí có đ® xác tói b¾c cna ε2 Trong vi¾c tính tốn tích phân trên, tham so ε so thnc Chúng ta se phát bieu xác khái ni¾m có tính trnc giác cho bien phúc ó múc đ tong quỏt 1.1 Mđt so khỏi niắm ve bắc Đ%nh nghĩa 1.1 Cho f (z) g(z) hai hàm xác đ%nh mien D m¾t phang phúc C z0 m®t điem giói han cna mien đó, ta nói (i) Hàm f (z) có b¾c "O lón" đoi vói g(z) z → z0 ký hi¾u f (z) = O(g(z)); z → z0 neu ton tai mđt hang so M v mđt lõn cắn U cna z0 cho |f (z)| ≤ M |g(z)| ; ∀z ∈ U ∩ D (ii) Hàm f (z) có b¾c "o nhó" g(z) z → z0 ký hi¾u f (z) = o(g(z)); z → z0 f (z) z→z lim0 g(z) = (iii) Hàm f (z) tương đương vói hàm g(z) z → z0 ký hi¾u neu f (z) ∼ g(z); z → z0 neu f li (z) = m z→z0 g(z) (iv) Hàm f (z) xap xí bang I(z) tói b¾c δ(z) z → z0, neu I ( z ) − f (z ) lim = δ(z z→z0 ) R hang so dương, R < b Bieu thúc tích phân thú hai có so mũ nhó nhat z → ∞ Vói b huu han, f (t) có giói han vói t > nên ton tai hang so dương A cho f ≤ A vói t ≤ R; vắy b zt A zR I2(z) A e dt − (e R = e−zb) z Theo đ%nh nghĩa 1.1 ta có −zR , z → ∞ I2(z) = O e z Ta hieu rang moi so ngun dương N ó phương trình (2.7) ¸ R N I1(z) e−ztdt, z → ∞ antα+βn + = O(tα+β(N +1)) n=0 Do ¸ ¸ R tα+βne−zt dt = = ¸ ∞ t α+βn −zt − e Γ(α + βn + 1) zα+βn+1 ∞ R tα+βne−zt ; z→∞ e−zR +O z ó đây, ta dùng đ%nh nghĩa cna hàm gamma đe tính tích phân thú nhat sú dung cơng thúc tích phân tùng phan đe tìm tích phân thú hai.Tiep theo ta có ¸ ¸ R O(tα+β(N +1))e−ztdt ≤ R tα+β(N +1)e−ztdt AN V¾y ≤ AN Γ(α + β(N + 1) + 1) zα+β(N N I(z) = an n=0 Γ(α + βn + + O α+β(N 1) z zα+βn+ +1)+1 +1)+1 , z → ∞ Lưu ý rang ta giá sú α > −1, β > hien nhiên se h®i tu tai t = Cũng tương tn trên, neu b = ∞ ta can có f (t) ≤ Mect , ó M, c nhung hang so đe h®i tu t → +∞ Trong trưòng hop ta se đánh giá tích phân I2 sau I2(z) ≤ e−(z−c)R = O e−zR ; z → ∞ M z−c z Ví dn 2.6 Ưóc tính khai trien ti¾m c¾n cna tích phân ¸ ∞ I(z) = (t2 + 2t)− e−ztdt; z → ∞ Trong trưòng hop này, áp dung.khai trien nh% thúc ta có 1 − ∞ n t2 t − (t2 + 2t)− = (2t)− = (2t) cˆn 1+ n=0 ó cˆn h¾ so cna khai trien Taylor đoi vói (1 + z)α vói z < α = − Thơng thưòng h¾ so nh% thúc khai trien Taylor cna (1 + z)2α đưoc xác đ%nh bói cn(α) = c0 = 1, nghĩa α(α − 1)(α − 2) (α − n + 1) n! α! n! = (α − n)! Γ(α + 1) ; n≥1 = Γ(n + 1)Γ(α − n + 1) β= suy cˆn = cn ta − V¾y theo bo đe Watson vói α = ∞ I(z) ∼ − , cˆ Γ(n + , z → ∞ n ) n=0 (n+ ) 2(n+ ) z Chương M®T SO TÍCH PHÂN Đ¾C BIfiT Trong chương này, minh hoa nhung phương pháp trình bày chương e úc long mđt so tớch phõn ắc biắt 3.1 Hàm Gamma khơng hồn Đe minh hoa cho vi¾c xap xí tích phân bang phương pháp tích phân tùng phan, trưóc het xét hàm Gamma khơng hồn đưoc xác đ%nh bói cơng thúc ¸ x γ(a, x) = e−tta−tdt vói x a cỏc so dng Mđt chuoi thớch hop cho viắc tớnh tốn giá tr% cna tích phân giá tr% cna x đn nhó, ta có the khai trien chuoi lũy thùa cna hàm mũ dưói dau tích phân sau lay tích phân tùng so hang cna chuoi hàm đe nh¾n đưoc chuoi ∞ γ(a, x) = (−1) n xn+a a + n n! h®i tu vói moi so dương x đn nhó Tuy nhiên, cơng thúc đưoc sú dung cho phương pháp tính toán giá tr% so Ví du, neu x = 10, a = , √ 1, so hang lón nhat tương úng vói n = = π vói sai so 10 923, γ có b¾c 10−5 Khi x dương đn lón, cách tot ta xét hàm ¸ ∞ x Γ(a, x) = Γ(a) − γ(a, x) = n=0 e−tta−tdt 29 ó tích phân h®i tu vói moi giá tr% tham so a Lay tích phân tùng phan, ta nh¾n đưoc Γ(a, x) = e−xxa−1 + (a − 1)Γ(a − 1, x) Neu l¾p lai q trình trên, thay rang Γ(a, x) tích cna e−x vói m®t đa thúc cna x có b¾c (a − 1) (vói a m®t hang so nguyên dương) The nhưng, trưòng hop tong qt nh¾n đưoc sau n lan lay tích phân tùng phan n Γ(a) Γ(a) −x a−r Γ(a, x) = + Γ(a − r + e x Γ(a − n, x) 1) Γ(a − r=1 n) ¸ ¸ ∞ Bây giò ta Γ(a) có đánh ∞ giá Γ(a) −t −t a−n−1 e dt e t dt a−n−1 x Γ(a − n) ≤ Γ(a − n) x Γ(a) −x a−n−1 = .e x Γ(a − n) neu n > a − Vì v¾y x → +∞, ta có ∞ Γ(a) Γ(a − r + e−xxa−x Γ(a, x) ∼ 1) x r=1 vói sai so dùng ó so hang thú n nhó giá tr% tuy¾t đoi cna so hang đau tiên phan dư M®t trưòng hop riêng cna ket q khai trien ti¾m c¾n cna hàm loi = Erfc T T → +∞, nghĩa ¸ ∞ e = du T 1√ Erfc T ∼ −u2 πe − ∞ T r= 1 Γ ,T 2 Γ − r T 2r−1 30 dna vào ket biet cna bien đoi Laplace ta có ∞ (−1)r−1 T Γ Erfc T 2√π e− r− T 2r−1 r=1 ∼ 3.2 Tích phân Fresnel Tích phân Fresnel tích phân có dang ¸ ∞ ¸ ∞ cos(θ )dθ, sin(θ2)dθ, u ho¾c có the đưoc viet ¸lai dưói dang ∞ cos t √ dt, ¸ u ∞ sin t √ dt t t u2 Các tích phân lan lưot phan thnc phan áo cna tích phân sau ¸ ∞ it e dt F (x, a) = a x t Tích phân h®i tu vói moi so dương x neu a dương Neu sú dung u2 phương pháp tích phân tùng phan ta nh¾n đưoc a ix F (x, a) =ie − iaF (x, a + 1) x L¾p lai trình ta đưoc n ieix Γ(a + Γ(a + n + 1) r) F (x, a) F (x, a + n + 1), Γ(a = in+ + ) xa Γ(a)(ix)r r=0 tù đieu ta suy ix ie n Γ(a + r) F (x, a) ∼ r= Γ(a)(ix)r xa ¸ ∞ vói giá tr% tuy¾t đoi cna phan dư sau (n +¸ 1) x → +∞, so hang Γ(a + n + 1) Γ(a + n + 1) ∞ dt tei dt Γ(a) Γ(a + n) Γ(a)xn+a ≤ Γ(a t t a+n+1 ) x = a+n+1 x giá tr% tuy¾t đoi cna so hang thú (n + 1) Vì v¾y phan dư sau n so hang không vưot ve giá tr% tuy¾t đoi cna so hang thú (n + 1), ket rat quan Khai trien ti¾m c¾n a m®t hang so phúc vói phan thnc dương 3.3 Bài tốn cúa Stieltjes Trong [6] Stieltjes đưa phương pháp tích phân tùng phan cho hàm F (z) = ¸ ∞ dt e−t t + z Tù tính h®i tu đeu cna tích phân mien |z| ≥ ε > 0, |ph z| ≤ π − δ < π ta suy F (z) m®t hàm giái tích, quy m¾t phang phúc cat doc theo truc thnc âm Nó hàm siêu b®i suy bien Ψ(1, 1; z), hàm chí quy ó m®t nhánh gan goc toa đ®, có hình dáng giong Neu lay tích phân tùng phan n lan, ta z nhánh cna hàm log nh¾n đưoc n F (z) = 1)! r=1 ¸ r−1 (−1) r z (−1) + n ∞ (r − n! e dt (t + z)n+1 −t Chuoi phân kỳ n (−1)r−1(r − 1)! zr r=1 m®t khai trien chuoi lũy thùa ti¾m c¾n cna hàm F (z) |z| → ∞ mien |ph z| ≤ π − δ Đe chúng minh đieu này, ta thay rang t ≥ |ph z| ≤ π − δ |z + t| ≥ |z| sin δ Giá tr% tuy¾t đoi cna phan dư Rn(z) sau n so hang dt ¸ ∞ n −t |Rn(z)| = (−1) n! e (t + ¸ n! ∞ −t e dt ≤ n+1 n+1 |z| sin δ0 n! ≤ n+1 |z| sinn+1 δ b¾c vói so hang thú (n + 1) |z| → ∞ Vì v¾y ∞ F (z) ∼ r−1 (−1) (r − 1)! zr r=1 Khi z = x > 0, ta có ¸ ∞ n < (−1) Rn(x) = n! dt e n! −t < (t + x)n+1 xn+1 bói v¾y phan dư sau n so hang dau vói so hang thú (n + 1) nhó ve giá tr% tuy¾t đoi Khai trien ti¾m c¾n m®t chuoi đan dau chuoi huu han, tong riêng liên tiep nam đan xen dưói so vói giá tr% cna F (x) Xap xí tot nhat búi mđt tong riờng nhắn oc bang cỏch dùng cho so so hang nhó nhat T J Stieltjes chí rang, m®t xap xí tot hn cú the nhắn oc bang cỏch thờm vo mđt núa so hang nhó nhat Neu x = N + η, vói N m®t so ngun dương ≤ η ≤ so hang nhó nhat so hang thú (N + 1) Phan dư sau N so hang ¸ ∞ d N RN (N + η) = (−1) N ! e−t (t + Nt + η)N +1 dt (−1)N N ¸ ∞ −t t e ! −N−1 = + (N + η)N N+η +1 Hàm dưói dau tích phân nhó e−t Bang đ%nh lý ve tính h®i tu làm tr®i ta có RN (N + η).(N + η)N +1 ¸ (−1)N N ! ∞ e−2tdt = −→ N → ∞ Vì v¾y, neu x = N + η, vói N so nguyên đn lón ≤ η < 1, phan dư sau N xap xí m®t núa cna so hang thú (N + 1), nghĩa bang m®t núa so hang nhó nhat KET LU¾N Trên ton bđ nđi dung cna khúa luắn tot nghiắp Nđi dung cna lu¾n văn giái quyet van đe sau õy Trỡnh by hắ thong mđt so cỏc van đe bán ve lý thuyet ti¾m c¾n Phân tích đưoc ý tưóng xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân loai Laplace Tù đưa m®t so phương pháp xap xí ti¾m c¾n đoi vói tích phân trưòng hop cu the Trình bày úng dung cna phương pháp tích phân tùng phan e xap xớ tiắm cắn mđt so tớch phõn ắc bi¾t Do thòi gian nghiên cúu lnc han che nên đe tài mói chí đat đưoc m®t so ket q nhat đ%nh Trưóc ket thúc khố luắn ny, mđt lan nua em xin by tú lũng biet ơn sâu sac đen thay cô giáo trưòng, đ¾c bi¾t TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em hồn thành khố lu¾n Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [1] M J Ablowitz and A S Fokas, "Complex Variables Introduction and Applications", second edition, Cambrigde University Press, 2003 [2] E T Copson, "Asymptotic Expansions", Cambridge at the university press, 1965 [3] I Avramidi, "Lecture Notes on Asymptotic Expansions", New Mex- ico Institute of Mining and Technology, 2000 [4] A Erdélyi, "Asymptotic Expansions", Dover publications, Inc New York, 1956 [5] H Poincaré, "Asymptotic Expansions", Acta Math 8, 295-344, 1886 [6] Th Stieltjes, "Asymptotic Expansions", Ann.de l’Éc Norm Sup (3) 3, 201-258, 1886 ... phan dư Có m®t so phương pháp đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna tích phân phương pháp pha dùng, phương pháp đưòng giám nhanh, phương pháp điem yên ngna Tuy nhiên, m®t nhung phương pháp đưoc quan tâm... thong hóa chi tiet, bán ve lý thuyet khai trien ti¾m c¾n Trình bày phương pháp tích phân tùng phan xap xí tích phân loai Laplace Sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe xap xí mđt so tớch... cỏch hắ thong mđt so phng pháp ưóc lưong xap xí tích phân loai Laplace Cuoi cùng, chúng tơi sú dung phương pháp tích phân tùng phan đe thu đưoc khai trien cna m®t so tích phân đ¾c bi¾t Mnc đích,