Đang tải... (xem toàn văn)
SKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thứcSKKN Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT A MỞ ĐẦU Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức đề cập nhiều tài liệu tham khảo với nhiều phương pháp giải đa dạng phong phú Trong trình học tập giảng dạy, ta bắt gặp nhiều toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức mà việc giải chúng không đơn giản, buộc ta phải sử dụng phương pháp đặc biệt Vì vậy, phạm vi viết này, với mong muốn giúp em học sinh có thêm công cụ hữu hiệu giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức kỳ thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học, cao đẳng toàn quốc nên chọn đề tài “Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức” Nội dung đề tài trình bày thành ba phần chính, phần tác giả trình bày theo trình tự: Kiến thức sở, số ví dụ có lời giải cụ thể tập đề nghị Phần I Sử dụng tính đơn diệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Ở phần này, tác giả dẫn ví dụ tương tự chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 ví dụ mức độ cao Các ví dụ tác giả tâm trình bày cụ thể, gọn, rõ ràng bước theo sở lý thuyết nhằm giúp học sinh dể hiểu, đặc biệt sau ví dụ có tập tự luyện Phần II Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình hệ phương trình có nghiệm Tương tự phần trên, ngồi ví dụ làm quen, tác giả trình bày đề thi đại học năm gần cách công phu, rõ ràng để minh họa, nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ trình bày dạng tốn Phần III Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để chứng minh bất đẳng thức Bài toán bất đẳng thức toán khó chịu học sinh, ngồi phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển để chứng minh, ta dùng Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT phương pháp hàm số Vì vậy, phần tác giả trình bày cụ thể quy trình chứng minh bất đẳng thức phương pháp dùng hàm số thơng qua ví dụ điển hình tập đề nghị Mặc dù thân cố gắng nhiều viết thiếu sót, mong q thầy bạn bè đồng nghiệp góp ý để viết sửa chữa hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà tĩnh, ngày 06 tháng 01 năm 2012 Tác giả Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I- Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Kiến thức sở - Nếu hàm số f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) D +) Phương trình f ( x ) = k có khơng q nghiệm D +) Với x, y ∈ D, f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y - Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến hàm số y = g ( x ) nghịch biến D phương trình f ( x ) = g ( x ) có không nghiệm D - Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) lồi (lõm) khoảng ( a; b ) phương trình f ( x ) = k có khơng q hai nghiệm khoảng ( a; b ) Một số ví dụ tập đề nghị Ví dụ Giải phương trình 3x = − x Giải - Tập xác định ¡ - Ta có 3x = − x ⇔ 3x + x − = x - Xét hàm số f ( x ) = + x − Tập xác định ¡ f ' ( x ) = 3x ln + > ∀x ∈ ¡ Do đó, hàm số f ( x ) đồng biến ¡ Mặt khác f ( 1) = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập đề nghị Giải phương trình log x = 11 − x 2 Giải phương trình x − (13 − x ).3x − 9x2 + 36 = x2 + x + log = x + 3x + Ví dụ Giải phương trình ÷ 2x + 4x + Giải - Tập xác định ¡ Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn PT, HPT, BPT, BĐT - Ta có, x2 + x + log ÷ = x + 3x + x + x + ⇔ log ( x + x + 3) + ( x + x + 3) = log (2 x2 + x + 5) + (2 x2 + x + 5) ( *) - Xét hàm số f ( t ) = log3 t + t Tập xác định ( 0; +∞ ) f '( t ) = + > ∀t > t ln Suy ra, hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) 2 2 - Do đó, ( *) ⇔ f ( x + x + 3) = f (2x + 4x + 5) ⇔ x + x + = 2x + 4x + x = −1 ⇔ x + 3x + = ⇔ x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = −1, x = −2 Bài tập đề nghị 3 x − y = y − 3x Giải hệ phương trình 2 2x − y = 3 x + y = y + 3x Giải hệ phương trình 2 3x + y = x + + 10 − y = Giải hệ phương trình y + + 10 − x = x − y + y − 3x − = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2 x + − x − y − y + m = Ví dụ Giải phương trình 3x = x + Giải - Tập xác định ¡ - Ta có, 3x = x + ⇔ 3x − x − = ( *) x - Xét hàm số f ( t ) = − x − Tập xác định ¡ Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT f ' ( x ) = 3x ln − ∀x ∈ ¡ f '' ( x ) = 3x ln > ∀x ∈ ¡ - Mặt khác, x = x = hai nghiệm phương trình ( *) - Vậy phương trình có nghiệm x = , x = Bài tập đề nghị Giải phương trình 2011x + 2012 x = 4019 x + Giải phương trình 3x = + x + log (1 + 2x) Giải phương trình ( + cos x ) ( + 4cos x ) = 3.4cos x Ví dụ Giải hệ phương trình x = y + y + y − ( 1) y = z + z + z − ( 2) z = x + x + x − ( 3) Giải Xét hàm số f ( t ) = t + t + t − Tập xác định ¡ f ' ( t ) = 3t + 2t + ∀x ∈ ¡ Do đó, hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Giả sử x = max { x; y; z} , suy x = f ( y ) ≥ f ( z ) = y x = f ( y ) ≥ f ( x ) = z Từ ta có y ≥ z y ≥ x , suy f ( y ) ≥ f ( z ) hay z ≥ x Do x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z Với y = x, vào phương trình ( 1) ta có, x + x − = ⇔ x = Vậy x = y = z = Ví dụ Giải hệ phương trình x + x − x + = y −1 + ( 1) y + y − y + = 3x −1 + ( ) ( x, y ∈ ¡ ) Giải - Từ hệ phương trình ta có x + x − x + + 3x −1 = y + y − y + + y −1 ( *) - Xét hàm số f ( t ) = t + t − 2t + + 3t −1 , +) Txđ: ¡ Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT +) f ' ( t ) = + t −1 t − 2t + 2 + 3t −1 ln = t − 2t + + t − t − 2t + 2 + 3t −1 ln > ∀t ∈ ¡ Do đó, ( *) ⇔ x = y - Với x = y vào phương trình ( 1) hệ ta có, x + x − x + = 3x −1 + ⇔ x − + x − x + = 3x −1 ( ) ( ) x −1 - Từ phương trình ( 3) suy x − − x − x + = −1 ( ) x −1 1− x x −1 1− x - Từ ( 3) ( ) suy ra: − x + = x − + ⇔ − − ( x − 1) = ( ) x −1 1− x - Xét hàm số f ( x ) = − − ( x − 1) = +) Txđ: ¡ x −1 1− x x −1 1− x +) f ' ( x ) = ln + ln − = ln ( + ) − ≥ ( ln − 1) > ∀x ∈ ¡ +) f ( 1) = Do đó, x = nghiệm phương trình ( ) Với x = ⇒ y = Thử lại, ta có x = y = nghiệm hệ cho Bài tập đề nghị x + 3x − + ln( x − x + 1) = y Giải hệ phương trình y + y − + ln( y − y + 1) = z z + 3z − + ln( z − z + 1) = x 2x3 + 2x2 − 18 = y + y 3 Giải hệ phương trình 2 y + y − 18 = z + z 2z3 + 3z2 − 18 = x3 + x x + x + 2x = y + 3 Giải hệ phương trình y + y + y = 2z + z + z + 2z = 2x2 + Ví dụ Giải bất phương trình x + − − x ≥ Giải Tập xác định D = [ −6;7 ] Xét hàm số f ( x ) = x + − − x Tập xác định D = [ −6;7 ] Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT f’(x) = f ( x ) = 1 + > ∀x ∈ ( −6;7 ) x+6 7−x Vậy hàm số f ( x ) đồng biến đoạn [ −6;7 ] Mặt khác f ( 3) = 1, x + − − x ≥ ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm [ 3;7 ] Bài tập đề nghị Giải bất phương trình x + 3x2 + 6x + 16 < + − x Giải bất phương trình + < 3− x 2− x II - Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục đoạn [ a; b] Kiến thức sở - Phương trình f ( x ) = m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] f ( x) ≤ m ≤ max f ( x ) [ a ;b ] [ a ;b ] - Bất phương trình f ( x ) ≥ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] max f ( x ) ≥ m [ a ;b] - Bất phương trình f ( x ) ≤ m có nghiệm x thuộc đoạn [ a; b] f ( x ) ≤ m [ a ;b] - Bất phương trình f ( x ) ≥ m nghiệm với x thuộc đoạn [ a; b] f ( x ) ≥ m [ a ;b] - Bất phương trình f ( x ) ≤ m nghiệm với x thuộc đoạn [ a; b] max f ( x ) ≤ m [ a ;b] Một số ví dụ tập đề nghị Ví dụ Tìm m để phương trình sau x − + 21 − x − x = m a) Có nghiệm Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT b) Có nghiệm c) Có hai nghiệm phân biệt Giải Tập xác định D = [ −7;3] Xét hàm số f ( x ) = x − + 21 − x − x Hàm số liên tục D = [ −7;3] f '( x ) = − 3(2 + x) 21 − x − x = ∀x ∈ ( −7;3) f ' ( x ) = ⇔ 21 − x − x = 3(2 + x) x ≥ −2 ⇔ 2 16 ( 21 − x − x ) = ( + x ) x ≥ −2 ⇔ x = −6 x = ⇔ x = ∈ ( −7;3) Ta có bảng biến thiên hàm số f(x) x -7 f '( x) + 15 10 f ( x) 10 -30 Từ bảng biến thiên ta có, a) Phương trình có nghiệm −30 ≤ m ≤ 15 b) Phương trình có nghiệm −30 ≤ m < 10 m = 15 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 10 ≤ m < 15 Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x + 4x − m − x − 4x − + m + = ( m tham số thực) Giải Điều kiện: −3 ≤ x ≤ −1, đặt − x − x − = t Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn PT, HPT, BPT, BĐT Ta có, t ∈ [ 0;1] phương trình x + 4x − m − x − 4x − + m + = ( 1) trở thành: t + mt − m + = ⇔ t + = m ( −t + 1) ⇔ t2 +1 = m ( 2) −t + ( t = khơng nghiệm phương trình với tham số thực m ) Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t ∈ [ 0;1) Xét hàm số f ( t ) = t2 +1 nửa khoảng [ 0;1) −t + +) Hàm số liên tục nửa khoảng [ 0;1) f ( t ) = +∞ +) xlim →1 − +) f ' ( t ) = 2t ( −t + 1) + ( t + 1) ( −t + 1) = −t + 2t + ( −t + 1) > 0∀t ∈ ( 0;1) +) Bảng biến thiên x f '( x) + +∞ 10 f ( x) Từ bảng biến thiên phương trình có nghiệm ∀m ∈ [ 1; +∞ ) Bài tập đề nghị Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x − + m x + = x2 − Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x − + 4 x − 3x + + ( m + 3) x − = Tìm m để phương trình sau có nghiệm 91+ 1− x − ( m + 2)31+ 1− x + 2m + = Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( sin x + cos x ) + ( − 2m ) cos x + − 3m Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn PT, HPT, BPT, BĐT Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 2x + 2x + − x + − x = m Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực thuộc đoạn − ;1 − x − x + x2 + = m Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn π π − ; sin x + cos x + cos 4x = m Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x+2 + + x − x − 14 − m = 4− x x − x + m.( x − 4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực + x − x − 3x = m ( ) x + + 3− x 10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực m ( ) 1+ x − 1− x − = 1− x + 1+ x − 1− x 2 2 Ví dụ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ≥ − x + 3mx − < −13 ( *) x Giải Ta có − x + 3mx − < −13 ⇔ 3mx < x − 13 + ⇔ 3m < x − 14 + x x x x Xét hàm số f ( x ) = x − 14 + , x x nửa khoảng [ 1; +∞ ) Hàm số liên tục nửa khoảng [ 1; +∞ ) f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 ÷ − 22 = 22− > x x x x x Suy f ( x) ∀ x ≠ đồng biến khoảng (1; + ∞) Do f ( x ) > 3m ∀x ≥ ⇔ f ( x ) = f ( 1) = > 3m ⇔ > m x ≥1 Bài tập đề nghị Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 10 Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn PT, HPT, BPT, BĐT Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với giá trị x ∈ 2; + x (4 − x ) + m( x − 4x + + 2) ≤ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [ −4,6] ( + x) ( − x) ≤ x − 2x + m Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ [ −3,6] + x + − x − 18 + x − x ≤ m − m + Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x + x + 12 = m ( − x + − x ) có nghiệm Giải Chú ý: Nếu tính f ′ ( x) xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn Thủ thuật: Đặt g ( x ) = x x + x + 12 > ⇒ g ′ ( x ) = x + >0 2 x + 12 h ( x ) = − x + − x > ⇒ h′ ( x ) = −1 − tăng; h ( x ) > giảm hay h ( x ) Do f ( x) = g ( x) h ( x) tăng Suy f ( x) = m >0 tăng có nghiệm m ∈ f ( x ) ;max f ( x ) = [ f ( ) ; f ( ) ] = ( 15 − 12 ) ;12 [ 0;4] [ 0;4] Bài tập đề nghị Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx + ≤ x − + 2m Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Ví dụ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x + 3x − ≤ m ( x − x − ) x + + y + = x y x + 13 + y + 13 = 15m − 10 x y Giải - Đặt u = x + ;v = y + x y - Ta có, ( x + 13 = x + x x ) ( ) − 3x ×1 x + = u − 3u; x x Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 11 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT u = x + = x + ≥ x = 2; x x x v = y + ≥ y = y y - Khi hệ trở thành -) u, v u + v = u + v = ⇔ 3 uv = − m u + v − ( u + v ) = 15m − 10 có nghiệm phương trình f ( t ) = t − 5t + = m - Do đó, hệ có nghiệm phương trình t1 , t f ( t) = m có nghiệm t1 ≥ 2; t ≥ thỏa mãn - Bảng biến thiên hàm số f ( t ) với t −∞ f ′( t) –2 t ≥2 – – 5/2 +∞ f ( t) +∞ + +∞ 22 Nhìn bảng biến thiên ta có 7/4 ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 Bài tập đề nghị Chứng minh rằngvới số thực dương m hệ phương trình sau có nghiệm y − x = m ( m tham số thực) x y e − e = ln(1 + x ) − ln(1 + y ) x + y = Tìm m để hệ ( m tham số thực) có nghiệm x + + y + ≤ m ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x ≥ III - Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để chứng minh bất đẳng thức Kiến thức sở - Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến đoạn [ a; b] 1) f ( a ) < f ( x ) < f ( b ) ∀x ∈ ( a, b ) 2) f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ∀x ∈ [ a; b ] Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 12 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT - Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến đoạn [ a; b] 1) f ( a ) > f ( x ) > f ( b ) ∀x ∈ ( a, b ) 2) f ( a ) ≥ f ( x ) ≥ f ( b ) ∀x ∈ [ a; b ] Một số ví dụ tập đề nghị Ví dụ Chứng minh cos x < π sin x với x ∈ 0; ÷ 2 x Giải Xét hàm số f ( x ) = π 0; ÷ sin x − x , khoảng nửa khoảng cos x π +) f ( x ) liên tục khoảng nửa khoảng 0; ÷ +) f '( x ) = π + cos2 x − cos x cos x (1 − cos x ) > > ∀ x ∈ 0; ÷ 2 cos x cos x cos x cos x π Do hàm số f ( x ) đồng biến khoảng 0; ÷ sin x π > x ∀x ∈ 0; ÷ (đpcm) Từ f(x) > f(0) ⇔ f ( x ) > f ( ) ⇔ cos x 2 Bài tập đề nghị Chứng minh a) - x2 < cos x ∀x ≠ 2! x3 b) x − < sin x ∀x > 3! c) cos x < − x2 x4 ∀x ≠ + 2! 4! d) sin x < x − x3 x5 ∀x > + 3! 5! e) e x ≥ + x ∀x ∈ ¡ f) ln x < g) x ∀x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} e x ln x ∀x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} < x2 − Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 13 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT π sin x h) ÷ > cos x ∀x ∈ 0; ÷ x Chứng minh π a) sin x + tan x > x ∀x ∈(0; ) b) π tan x + sin x > x ∀x ∈ 0; ÷ 2 c) x (2 + cos x ) > 3sin x ∀x > d) sin x ≥ π x ∀x ∈ 0; π 2 e) π x(1 − x ) < sin x ≤ x(1 − x ) ∀x ∈ ( 0;1) Chứng minh rằng: ∀x > a) e x < + xe x b) e x − − x < x e x ∀x > x c) x.e < e x − ∀x > d) e x < (1 + x )1+ x ∀x > Chứng minh ) ( x a) ln + + x < + ln x ∀x > b) ln ( + x ) < x 1+ x ∀x > c) ( − x ) ≥ x ln x d) ln ( + cos x ) < ln − ∀x > x2 ∀x ∈ ( 0; π ) Chứng minh rằng: π a) sin ( tan x ) ≥ x ∀x ∈ 0; 4 π b) tan ( sin x ) ≥ x ∀x ∈ 0; 4 Ví dụ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình 12x2 − 6mx + m − + 12 = ( 1) m2 Tìm m để A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 14 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT Giải - Phương trình 12x2 − 6mx + m − + 12 = ( 1) , có hai nghiệm phân biệt m2 12 ∆ = 9m − 12 m − + ÷ ≥ m −2 ≤ m ≤ −2 3m + 48m − 144 ≥ ⇔ ⇔ m ≠ ≤ m ≤ Theo định thức Viét ta có A = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 3 12 m m = ÷ − m2 − + ÷ m 2 12 1 3 = m− ÷ 2 m Xét hàm số f ( m ) = m − f '( m) = 1+ D = −2 3; −2 ∪ 2; m ( ) ( ) > ∀m ∈ −2 3; −2 ∪ 2; m2 Bảng biến thiên m −2 −2 f '( m) + - f ( m) - 3 4 3 Dựa vào bảng biến thiên ta max A = 3 đạt m = A = − 3 đạt m = −2 Bài tập đề nghị Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 15 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT 1 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + ax + = Tìm m để a P = x14 + x24 đạt giá trị nhỏ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − ( a + 1) x + a = Tìm giá 1 trị nhỏ P = x + x × x2 y2 x y Ví dụ Tìm giá trị nhỏ f ( x; y ) = + ÷ − + ÷ ( x, y ≠ ) x y x y Giải x y Đặt t = y + x × Ta có, +) t = x y x y + = + ≥ y x y x +) Hàm số cho trở thành f ( t ) = ( t − ) − 8t ⇒ f ( t ) = 3t − 8t − t ∈ ( −∞; 2] ∪ [ 2; +∞ ) f ( t ) liên tục tập ( −∞; 2] , [ 2; +∞ ) f ' ( t ) = 6t − ∀t ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) f '( t ) = ⇔ t = ∉ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) Bảng biến thiên t −∞ f '( t ) -2 + +∞ 3 - +∞ f ( t) +∞ 22 20 Bài tập đề nghị Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = sin x + 2sin x + × sin x + 3sin x + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = 2sin x + 21+cos x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 16 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT x4 y4 x2 y x y P = + ÷ − + ÷ + + ÷ ( x; y ≠ ) x x y x y y Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P = cos2 x + 1 + cos x + −4 cos x cos x Ví dụ 4: Cho số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = y + xy − × xy − x + Giải Nếu x = từ giả thiết x + y = ta có y = , suy P = 2 Nếu x ≠ đặt y = tx ( t ≥ ) Từ giả thiết ta có x2 + y = ⇔ x2 + t x2 = ⇔ x2 = Ta có, P = + t2 4t x + 2tx − 3t + 2t − = 2tx − x + 3t + 2t + Xét hàm số f ( t ) = 3t + 2t − nửa khoảng [ 0; +∞ ) 3t + 2t + 12t + 4t f '( t ) = ∀t ∈ ( 0; +∞ ) (3t + 2t + 1) t = ∈ ( 0; +∞ ) f '( t ) = ⇔ t = − ∉ ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên t f '( t ) +∞ + f ( t) -1 Từ bảng biến thiên ta có, P = −1 đạt t = ⇔ x = y = max P = đạt t = ⇔ x = y = Bài tập đề nghị Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 17 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = 2( x + 6xy ) + 2xy + y 2 Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − x2 y3 + × y2 x3 Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = trị nhỏ biểu thức A = x − xy + y Giải x − xy + y × Ta có, A = x − xy + y = x + xy + y Nếu y = x = ±1 A = 2 x x y ÷ − y ữ+ ì Nu y ≠ A = x x y ÷ + y ÷+ x t2 − t +1 t = A = f t = × Đặt , ta ( ) y t + t +1 ( t − 1) f '( t ) = ∀t ∈ ¡ , f ' ( t ) = ⇔ t = ±1 2 t + t + ( ) Bảng biến thiên t −∞ f '( t ) f ( t) -1 1 +∞ 1 Từ bảng biến thiên ta có, max A = đạt t = −1 hay ( x; y ) = ( 1; −1) , ( −1;1) 1 ; ;− P = −1 đạt t = hay ( x; y ) = ÷, − ÷ 3 3 Bài tập đề nghị Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + xy + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = x + y − x y Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 18 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ 1 2 biểu thức P = x + x + y + y × Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, 2 giá trị nhỏ biểu thức P = ( 4x + y ) ( y + 3x) + 25xy Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( x + y ) + 4xy ≥ Tìm giá trị 4 2 2 nhỏ biểu thức A = ( x + y + x y ) − ( x + y ) + Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 19 Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT C KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ KẾT LUẬN CHUNG I Kết thực nghiệm sư phạm Đây mảng kiến thức đòi hỏi tư cao, nên nội dung đề tài tác giả thực nghiệm sư phạm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi Kết cho thấy: 1) Sau giảng dạy chuyên đề học sinh nắm sâu kiến thức hàm số như: tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, tính liên tục, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… 2) Cách phân dạng tập giúp học sinh dể hiểu, định hướng vấn đề, giải vấn đề cách lôgic Học sinh vận dụng làm tốt số đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi phần II Kết luận chung Các toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức loại tốn khó, đòi hỏi tư cao Vì vậy, trình giảng dạy, giáo viên cần phải phân dạng tập cách có hệ thống trình bày rõ ràng Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân Rất mong đóng góp đồng nghiệp D KIÉN NGHỊ ĐỀ XUẤT Trong khuôn khổ đề tài, tác giả dừng lại mức phân dạng đưa ví dụ, tập đề nghị cụ thể Xét thấy, phạm vi đề tài mở rộng, phát triển cách phân tích ví dụ, tập để đưa tập tương tự tập mức độ cao Ví dụ, vận dụng tốn Chứng minh cos x < π sin x với x ∈ 0; ÷, giáo viên định hướng 2 x cho học sinh đến toán Cho tam giác ABC nhọn với góc tương ứng A, B, C Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A sin B sin C + + × A2 B2 C2 Phan Thị Thanh Tâm-THPT Phan Đình Phùng 20 .. .Sử dụng phương pháp hàm số giải toán PT, HPT, BPT, BĐT phương pháp hàm số Vì vậy, phần tác giả trình bày cụ thể quy trình chứng minh bất đẳng thức phương pháp dùng hàm số thơng qua... NỘI DUNG ĐỀ TÀI I- Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Kiến thức sở - Nếu hàm số f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) D +) Phương trình f ( x... lôgic Học sinh vận dụng làm tốt số đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi phần II Kết luận chung Các toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức loại tốn khó, đòi