TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TO TRẦN THỊ MAI YÊN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy Người hướng dẫn khoa học ThS DƯƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo – Th.S Dương Thị Hà người tận tình bảo hướng dẫn tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Phương pháp dạy học khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy, cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Ban giám hiệu nhà trường tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu trường Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu riêng hướng dẫn cô giáo - Th.S Dương Thị Hà Khóa luận với đề tài “Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu Nếu có sai phạm người viết chịu hình thức kỉ luật theo quy định việc nghiên cứu khoa học Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU……………………………………………………… 1 Lí chọn đề tài……………………………………………………………1 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….1 Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………2 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… Cấu trúc khóa luận………………………………………………………….3 PHẦN 2: NỘI DUNG……………………………………………………… CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………3 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……3 1.2 Các dạng tập chủ đề hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp……………….5 1.3 Một số khó khăn, sai lầm thường gặp giải toán chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp…………………………………………………………… 11 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP………………………………………………… 17 2.1 Dạng 1: Thực toán đếm…………………………………………17 2.2 Dạng 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức……………………………… 29 2.3 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức………………………… 37 2.4 Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình, hệ bất phương trình………………………………………………………………… 45 PHẦN 3: KẾT LUẬN……………………………………………………… 58 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho tốn học mang tính thực tiễn phổ dụng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ sản xuất đời sống xã hội đại Trong chương trình tốn trung học phổ thơng “Tổ hợp xác suất” mảng kiến thức cần thiết Trong đó, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp nội dung quan trọng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác tốn học như: đại số, lí thuyết xác suất, hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vào vật lí, thống kê Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp ba quy tắc đếm cụ thể nhằm để đếm phần tử tập hữu hạn theo quy luật thứ tự Song song với học sinh làm quen với dạng tập có liên quan chẳng hạn: thực tốn đếm; rút gọn tính giá trị biểu thức; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; giải phương trình, bất phương trình hệ có chứa đại lượng số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Với lí nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ biết phân biệt, áp dụng cơng thức, tính chất vào làm tập có liên quan đến phần hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận chủ đề hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp SGK, sở xây dựng khai thác hệ thống tập liên quan chủ đề góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn trường phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận chủ đề hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Xây dựng khai thác hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Bao gồm chương là: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phần 3: Kết luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Hoán vị a) Hoán vị Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A) b) Số hốn vị - Kí hiệu Pn số hốn vị tập hợp có n phần tử - Định lí: Số hốn vị tập hợp có n phần tử là: Pn = n! = n(n  1)(n  2) 1.1.2 Chỉnh hợp a) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với  k  n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) b) Số chỉnh hợp - Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử kí hiệu Ank là: - Định lí: Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k  n) k An  n(n 1)(n  2) (n  k 1) Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy hoán vị tập hợp n phần tử chỉnh hợp chập n tập hợp nên An  P  n! n 1.1.3 Tổ hợp a) Tổ hợp Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với 1 k  n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) Như lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A (không quan tâm đến thứ tự) b) Số tổ hợp - Kí hiệu k Cn (hoặc   ) số tổ hợp chập k tập hợp có n kn phần tử - Định lí: Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k  n) là: Ank n(n  1)(n  2) (n  k  1) k! k!  Cnk  (3)  Chú ý:  Với  k  n, ta viết cơng thức (3) dạng: Cnk  n! k !(n  k )! (4)  Ta quy ước C n  (coi  tổ hợp chập tập hợp có n phần tử) Với quy ước công thức (4) với k = Vậy công thức (4) với số nguyên k thỏa mãn  k  n 1.1.4 Một số tính chất số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp k k  A n k!C n Cn  C   Cho số nguyên dương n số nguyên k với  k  n k Khi đó: C n  C n k  Cho số nguyên n k với 1 k  n k Khi đó: C n1 k k 1 C C n (5) (5) gọi số Pa-xcan  Để phân biệt chỉnh hợp tổ hợp ta cần lưu ý đến nhận xét sau: - Chỉnh hợp cách chọn k phần tử n phần tử mà “quan tâm” đến thứ tự xếp - Tổ hợp cách chọn k phần tử n phần tử mà “không quan tâm” đến thứ tự xếp - Việc phân biệt lúc dùng công thức tổ hợp lúc dùng công thức chỉnh hợp quan trọng Nếu chọn nhầm cách sử dụng, kết phép tính sai hồn tồn 1.2 Các dạng tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Trong chương trình sách giáo khoa ta làm quen với số dạng tập sau: Thực toán đếm Ví dụ: (SGK – ĐS>NC11, trang 63) Một thi có 15 người tham dự, giả thiết khơng có hai người có điểm a) Nếu kết thi việc chọn người điểm cao có kết có thể? b) Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể? Giải a) Chọn người điểm cao số kết là: C 15 1365 b) Chọn người thứ tự nhất, nhì, ba chỉnh hợp Do số kết là: A15 2730 Chứng minh đẳng thức Ví dụ: (SBT – ĐS>CB11, trang 63) Chứng minh với số nguyên k, n không âm, 1 k  n Ta có: 1 C kn1 k k k k  C n  C n1   C k 1  C k Giải Ta có: C k 1  C  C k 1 k n 1 C n k 1  C k n  C k 1 n 1 n n 1 k 1 C k   C kk1  C kk11 C  C   C  C k 1  k k k C n 1 n k 1  C  C k k n 1 n  C k 1 n 1 k 1   C k n 1 k 1 k C k 1 k  Trong chương trình mơn Tốn nói chung ngồi dạng ta thấy số dạng tập sau: Rút gọn tính giá trị biểu thức Ví dụ: Rút gọn biểu thức: T Ta có: n!   n  3! An2 n ! Pn1  n  2 !  n   ! A2 m n ... quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp …3 1.2 Các dạng tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp …………….5 1.3 Một số khó khăn, sai lầm thường gặp giải toán chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp …………………………………………………………... hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp tơi lựa chọn nghiên cứu đề tài: Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận chủ đề hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp SGK,... 2: Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phần 3: Kết luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Hoán