TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẪN XUÂN DŨNG TÌM HIỂU SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG VÀ MA TRẬN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN MINH TƯỚC HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Minh Tước Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời tồn thầy giáo khoa Tốn giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Minh Tước, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hồn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cơng tác Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn lớp K35 Cử Nhân Tốn nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Hà Nội, Ngày 17 tháng năm 2013 Sinh viên TRẦN XUÂN DŨNG Lời cam đoan Tên em là: Trần Xuân Dũng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35CN Tốn, Khoa Tốn – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Tìm liên hệ đồ thị vô hướng ma trận”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, khơng trùng với tác giả khác Nếu có khơng trung thực luận văn em xin hồn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, Ngày 17 tháng năm 2013 Sinh viên TRẦN XUÂN DŨNG Mục lục Mở đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm lí thuyết đồ thị 1.1.1 Đồ thị vô hướng .3 1.1.2 Bậc đỉnh 1.1.3 Tính liên thông .4 1.1.4 Sự đẳng cấu 1.2 Một số khái niệm ma trận 1.2.1 Ma trận Chương 2: Mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề 10 2.1 Cách biểu diễn đồ thị vô hướng ma trận 10 2.2 Hành trình, đường, chu trình, vết, mạch tính liên thơng 12 2.2.1 Hành trình, đường, chu trình, vết mạch 12 2.2.2 Tính liên thơng đồ thị vô hướng 16 2.3 Sự đẳng cấu đồ thị .21 2.3.1 Đồ thị đẳng cấu 21 Chương 3: Đồ thị Euler đồ thị vòng 24 3.1 Đồ thị Euler 24 3.2 Đồ thị vòng 30 Kết luận .32 Tài liệu tham khảo 33 Mở đầu Lý chọn đề tài Việc sử dụng phương pháp đại số việc khảo sát đồ thị quan tâm Như biết cách biểu diễn đồ thị qua ma trận kề ma trận liên thuộc Riêng đặc tính đồ thị biểu diễn ma trận kề tương ứng người nói tới Từ nhận thức với tên đề tài: "Tìm liên hệ đồ thị vô hướng ma trận" em nghiên cứu ứng dụng đại số tuyến tính lí thuyết ma trận để khảo sát đồ thị vơ hướng Đối tượng, phạm vi phương pháp nghiên cứu • Đối tượng: Đồ thị vơ hướng ma trận kề • Phạm vi: Sự liên hệ đồ thị vô hướng ma trận Phương pháp nghiên cứu: • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách Mục đích, u cầu nhiệm vụ nghiên cứu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, tốn đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Em xin bắt đầu nhắc lại kiến thức lí thuyết đồ thị ma trận đồ thị vô hướng sỏ nghiên cứu mối liên hệ chúng Trong khoá luận em tập trung việc chuyển thể đặc tính đồ thị sang đặc tính đại số (ma trận kề), sau sử dụng phương pháp đại số để đưa tính chất đồ thị Cấu trúc khóa luận Khóa luận em gồm chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm đồ thị ma trận Chương Mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề Chương tìm hiểu mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề Biểu diễn đặc tính đồ thị qua ma trận kề Từ chuyển thể đặc tính đồ thị sang đặc tính ma trận kề Chương Đồ thị Euler đồ thị vòng Chương nhắc lại khái niệm vết mạch Euler cách biểu diễn chúng ma trận kề Áp dụng thuật tốn Fleury tìm mạch Euler ma trận kề tương ứng Chương nói đến cách biểu diễn đồ thị vòng ma trạn kề Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số khái niệm lí thuyết đồ thị Đồ thị vơ hướng Định nghĩa 1.1 Một đồ thị vô hướng G cặp G = (V, E), gồm hai tập hữu hạn V E thoả mãn điều kiện E ⊆ {{a, b}|a, b ∈ V ; a ƒ= b} Phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {a, b} cạnh G a b gọi đỉnh đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Ta thường kí hiệu cạnh {a, b} cách đơn giản ab Ví dụ 1.1 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} E = {{a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, d}} Khi G đồ thị vơ hướng biểu diễn sau: a b d c Hình 1.1 Ví dụ đồ thị vơ hướng Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Như vậy, khoá luận này, đề cập tới đồ thị vơ hướng, hữu hạn, khơng có khun khơng có cạnh bội Trần Xn Dũng - Tốn K35-CN 1.1.2 CHƯƠNG BỊ Bậc đỉnh CÁC KIẾN THỨC CHUẨN Định nghĩa 1.2 Bậc v, kí hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với v, nghĩa deg(v) = |E(v)| Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Bậc nhỏ G số δ(G) = min{deg(v)|v ∈ V }; Bậc lớn G số ∆(G) = max{deg(v)|v ∈ V } Ví dụ 1.2 Cho đồ thị sau: g a f e c d b Hình 1.2 Bậc đỉnh bậc đồ thị Ta có: deg(a) = 2; deg(b) = 4; deg(c) = 3; deg(d) = 0; deg(e) = 1; deg(f ) = 4; deg(g) = 4, δ(G) = 0, ∆(G) = Có thể kiểm chứng kết luận sau Định lý 1.1 [2, 3] Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng m cạnh Khi deg(v) = 2m v∈V Hệ 1.2 [3] Trong đồ thị G = (V, E), ta có số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn 1.1.3 Tính liên thơng Định nghĩa 1.3 Cho G = (V, E) đồ thị vơ hướng Một hành trình vơ hướng G dãy đỉnh v0v1v2 cho với i = 0, 1, , n − 1, {vi, vi+1} cạnh G Các cạnh {vi, vi+1}, i = 0, 1, , n − 1, gọi cạnh hành trình Khi n gọi độ dài, đỉnh gọi đỉnh CHƯƠNG BỊ đỉnh v0 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN gọi đỉnh đầu, Nhận xét: Vì T [i, j] ≥ nên có đường từ đỉnh i đến đỉnh j hay đồ thị liên thông Ví dụ 2.6 Xét tính liên thơng đồ thị sau: A B E C D Hình 2.6 Xét tính liên thơng đồ thị Ta tính An−1 với n = 0 1 2 1 0 A = 1 ; A2 = 1 0 2 0 0 0 0 15 14 5 A3 = 5 ; A = 10 10 5 14 15 5 10 10 0 0 0 0 Tính ma trận bao đóng bắc cầu T = A + A2 + A3 + A4 Ta có: 22 16 26 16 16 14 16 14 T = 22 16 22 16 16 14 16 14 0 0 Nhận xét: Vì T [5, j] = T [i, 5] = ≤ nên đồ thị không liên thơng 20 Trần Xn Dũng - Tốn K35-CN 2.3 2.3.1 Sự đẳng cấu đồ thị Đồ thị đẳng cấu Tính chất: • Hai đồ thị đẳng cấu có số đỉnh số cạnh • Đẳng cấu ϕ hai đồ thị bảo toàn bậc tất đỉnh Ta xét tính đẳng cấu đồ thị ma trân kề tương ứng thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 2.7 Xét tính đẳng cấu đồ thị sau: U3 U2 V2 U4 V3 V5 V4 U5 V1 U1 Hình 2.7 Ví dụ xét tính đẳng cấu đồ thị Bước 1: Tìm đỉnh có bậc đồ thị: - Các đỉnh có bậc tương ứng U2, V2 - Các đỉnh có bậc tương ứng U2, U4 với V3, V5 - Các đỉnh có bậc tương ứng U1, U5 với V1, V4 Bước 2: Định nghĩa hàm ϕ Căn vào bước ta định nghĩa hàm ϕ tạm thời sau: Ta có: ϕ(U3) = V2 Vì đỉnh U3 nối với đỉnh bậc U2 U4, đỉnh V2 nối với đỉnh bậc V3 V5 nên ta chọn tiếp: ϕ(U2) = V3 ϕ(U4) = V5 Căn vào tính chất liền kề đỉnh tương ứng vừa chọn, ta thấy đỉnh U2 nối với đỉnh U1 U5 nhau, đồng thời đỉnh V3 nối với đỉnh V1 V4 nhau, nên ta chọn tiếp hàm ϕ sau: ϕ(U1) = V1 ϕ(U5) = V4 Như ta lập phép tương ứng -1 đồ thị G1 G2 Bước 3: Lập ma trận kề đối chứng song ánh Ta có:     U U U U U V V V V V 4 5    U3   1 1 V     1 1 1 U V 1 AG = ; AG2 =  U5  V4 1  1      1 1  U2 1  V3 1  U   V  1 1 1 1 Vì AG1 = AG2 ta suy f bảo tồn cạnh Vậy ta kết luận ϕ phép đẳng cấu hay G1 G2 đẳng cấu Như để chứng minh hai đồ thị đẳng cấu ta phải chứng minh: • Điều kiện cần hai đồ thị: + Phải có số cạnh số đỉnh + Cùng số đỉnh bậc k số thành phần • Điều kiện đủ: Tồn song ánh bảo toàn quan hệ liền kề hai đồ thị Xét hai đồ thị vô hướng đẳng cấu G1 = (V1, E1) G2 = (V2, E2) Thì tồn hai song ánh ϕ ν cho: ϕ : V1 → V2 ν : E1 → E2 Nếu cạnh e1 ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh v1, v2 ⊆ V1 xét đồ thị G1 cạnh ν(e1) liên kết với cặp đỉnh ϕ(v1), ϕ(v2) xét đồ thị G2 Tương tự cạnh en−1 ∈ E1 liên kết với cặp đỉnh vn−1, ⊆ V1 xét đồ thị G1 cạnh ν(en−1) liên kết với cặp đỉnh ϕ(vn−1), ϕ(vn) xét đồ thị G2 (điều gọi tương ứng đỉnh) Nên theo thứ tự đỉnh ma trận kề tương ứng Do hai đồ thị có ma trận kề (theo thứ tự đỉnh đó) chúng đẳng cấu với hay nói cánh khác (0, 1) - ma trận đối xứng cấp n tương ứng, xác đến cách đánh số đỉnh (còn nói là: xác đến đẳng cấu) với đơn đồ thị vơ hướng n đỉnh ma trận kề đồ thị vô hướng ma trận đối xứng A[i, j] = A[j, i]; i, j = 1, 2, n Chương Đồ thị Euler đồ thị vòng 3.1 Đồ thị Euler Một vết đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi Vết Euler chứa tất cạnh G Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị nửa Euler có vết Euler Một mạch đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi mạch Euler chứa tất cạnh đồ thị G Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị Euler có mạch Euler Nếu đồ thị vơ hướng đồ thị Euler hiển nhiên đồ thị nửa Euler Ví dụ 3.1 Cho đồ thị vô hướng C B D A Hình 3.1 Ví dụ vết Euler Đồ thị sau có vết Euler là: 24 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN E d1 d2 CHƯƠNG ĐỒ THỊ EULER VÀ ĐỒ THỊ VÒNG : ABCDBEDAE : ABDCBEADE Vết Euler d1 biểu diễn ma trận kề tương  ứng là: A B C D E  A (1) 1     1 (1) (1) A= B C (1) (1)      D (1) 1 (1) E (1)  Trong cạnh d1 qua kí hiệu (1) Ví dụ 3.2 Cho đồ thị vơ hướng C B A D E F Hình 3.2 Ví dụ mach Euler Đồ thị sau có mạch Euler là: C1 : ABCDBEDAEF A C2 : ABDCBEADEF A Mạch Euler C1 biểu diễn ma trận kề tương ứng là:  A B C D E F   (1)  (1) 1 A     (1) (1) B  A = C   (1) (1)     D (1) 1 (1)  (1)  E (1) 1  F 1 Trong cạnh C1 qua kí hiệu (1) Để tìm mạch Euler đồ thị có tất đỉnh bậc chẵn, ta sử dụng thuật tốn Fleury sau: Xuất phát từ đỉnh đồ thị G tuân theo hai qui tắc sau: • Qui tắc 1: Mỗi qua cạnh xóa cạnh đi, sau xóa đỉnh lập (nếu có) • Qui tắc 2: Khơng qua cầu, trừ khơng cách khác để di chuyển Áp dụng thuật toán Fleury tìm mạch Euler ma trân kề Ví dụ 3.3 Cho đồ thị vô hướng: A B C D H G F E Hình 3.31 Ví dụ tìm mạch Euler Ma trận kề tương ứng là:   A B C D E  A   B 1   1 C A1 =   D   E   F 1   G 1 H  F G H    1           1 Ta tuân theo quy tắc đường ma trận kề hàng cột hàng cột Nếu xuất phát từ đỉnh A theo hàng gặp vị trí (i, j) = qua B qua G, giả sử ta qua B xố vị trí (A, B) vừa qua Vì ma trận kề có tính chất đối xứng nên ta xố vị trí (B, A) Từ vị trí (A, B) vừa xố theo cột qua C, G H, giả sử ta qua C xố vị trí (C, B); (B, C) Tương tự ta qua F theo hàng xố vị trí (C, F ); (F, C) Khi xố vị trí qua ma trận kề tương ứng là:   A B C D E F G H      A B 1    C 1  A2 =  D 1    E 1      F 1    1  G 1    H 1 Đến đây, ta chọn (G, F ) (G, F ) cầu xố vị trí (G, F ); (F, G) ma trận kề tương ứng là:   A B C D E F G H      A B 1    C 1  A3 =  D 1    E 1      F 1    1  G 1    H 1 Từ vị trí (G, F ) theo hàng ta qua B H Giả sử ta qua B xố vị trí (G, B); (B, G) Tương tự ta qua H G xóa vị trí (H, B); (B, H) (H, G); (G, H) Từ vị trí (H, G) ta vị trí ban đầu A Ta chu trình ABCF GBHGA khơng chu trình Euler không qua tất cạnh Như ta chọn qua vị trí (D, F ), (D, C), (E, C), (E, F ) Sau xoá vị trí qua ta ma trận kề tương ứng là:   A B C D E F G H     A  B 1     C A4 =  D        E  F     G 1 1   H 1 Từ vị trí (E, F ) ta khơng cách khác qua vị trí (G, F ), (G, H), (B, H), (B, G)v(G, A) Khi ta thu chu trình Euler qua tất cạnh A, B, C, F , D, C, E, F, G, H, B, G, A Định lí 3.1 [2] Đồ thị vơ hướng, liên thông G đồ thị Euler đỉnh có bậc chẵn Hệ 3.3 [2] Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị nửa Euler có khơng q hai đỉnh bậc lẻ Như muốn kiểm tra đồ thị Euler hay nửa Euler mà biết ma trận kề tương ứng đồ thị dựa vào tính chất ma trận kề ta có nhận xét sau: • Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị Euler tổng phần tử theo hàng cột số chẵn Ví dụ 3.4 Cho đồ thị vơ hướng C B D A E F Hình 3.3 Ví dụ đồ thị Euler Ma trận kề tương ứng đồ thị là:    A B C D E F    1 1  A   1 1 B A =    C  1      D 1    1 1  E  F Xét hành trình H1 : ABCDEF A mạch Dựa vào ma trận kề tương ứng đồ thị theo dòng cột ta có: deg(A) = deg(B) = deg(D) = deg(E) = deg(C) = deg(F ) = Vì bậc đỉnh đồ thị số chẵn nên suy đồ thị đồ thị Euler • Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị nửa Euler có khơng q hai hàng hai cột có tổng phần tử số lẻ 3.2 Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn (n ≥ 3) đồ thị có n đỉnh v1, v2, , có n cạnh (v1, v2), (v2, v3), , (vn−1, vn), (vn, v1) Ví dụ 3.5 C3 C4 C5 Hình 3.4 Đồ thị vòng Cn có: n đỉnh, deg(v) = 2, n cạnh Biểu diễn đồ thị C4 ma trận kề tương ứng:   1    1  1 A=   1 Nhận xét: Ma trận kề tương ứng đồ thị vòng có xếp vị trí {i, j} = tập hợp gồm vị trí hàng cột (vì bậc tất đỉnh đồ thị vòng ln nên theo tính chất ma trận kề tương ứng tổng dòng cột ma trận kề phải 2) 30 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Xét dây chuyền kép kín n đỉnh đồ thị vòng tồn thứ tự xếp đỉnh cho ma trận kề đồ thị vòng có dạng: 0 0     1 0    1 0 A = 0   0    0  0    0  Ta dễ dàng chứng minh tồn thứ tự xếp đỉnh qua phép sau: Nói cách khác phép đổi chỗ phần tử tập đỉnh V = 1, 2, , n Phép δ: Vn −→ Vn biểu diễn sau: Phép δ = n δ(1) δ(2) δ(3) δ(n) Trong δ(i) ảnh phần tử i ∈ Vn viết dòng cột với i Ảnh phần tử tập Vn qua phép cho ta hoán vị tập Vn Ngược lại hoán vị lại xác định phép Phép hốn vị kí hiệu tập hợp chu trình Do nếu: δ(1) = 1, δ(2) = 2, , δ(n) = n ta có chu trình (‘1, 2, ,n) Thứ tự phần tử chu trình thay đổi theo phép xoay vòng chu trình Do hốn vị viết là: (2, 3, 4, , n, 1); (3, 4, 5, , n, 1, 2); ( , , , , ); (n, 1, 2, , n − 1) Khi viết ma trận kề đồ thị có hướng Cn theo thứ tự xếp đỉnh ta nhận ma trận A Kết luận Khóa luận với đề tài: “Tìm liên hệ đồ thị vơ hướng ma trận”, em nghiên cứu nội dung liên hệ qua ma trận kề chủ yếu là: • Bậc đỉnh đồ thị vô hướng • Hành trình, đường, vết, mạch tính liên thơng đồ thị vơ hướng • Sự đẳng cấu đồ thị • Đồ thị Euler đồ thị vòng Ngồi nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy Trần Minh Tước ý kiến đóng góp thầy khoa Tốn bạn sinh viên Theo em, đề tài thực tập đạt mục đích đề ra, mang lại cần thiết lợi ích thực tập chuyên ngành nói chung việc đào tạo Cử nhân ngành Tốn nói riêng, góp phần phát triển Tốn học Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô độc giả Em xin chân thành cảm ơn! 32 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN Tài liệu tham khảo [1] Norman Biggs (1974), Algebraic Graph Theory Cambridge Tracts in Mathematics ,VOL 67 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (1997),Tốn rời rạc, NXB Giáo dục [4] Ngô Đắc Tân(2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội [5] http://giaoan.violet.vn/present/show?entry/_id=367548 33 Trần Xuân Dũng - Toán K35-CN ... CHƯƠNG KỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG VÀ MA TRẬN Dễ thấy ma trận kề A đồ thị vơ hướng G hồn tồn xác định G Vì vậy, ma trận kề A gọi biểu diễn G Ví dụ 2.1 Cho đồ thị G vô hướng B D A F E C... Chương tìm hiểu mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề Biểu diễn đặc tính đồ thị qua ma trận kề Từ chuyển thể đặc tính đồ thị sang đặc tính ma trận kề Chương Đồ thị Euler đồ thị vòng Chương nhắc... Tính liên thông .4 1.1.4 Sự đẳng cấu 1.2 Một số khái niệm ma trận 1.2.1 Ma trận Chương 2: Mối liên hệ đồ thị vô hướng ma trận kề 10 2.1 Cách biểu diễn đồ thị vô hướng