Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng ánh xạ tuyến tính các dạng bài tập về ánh xạ bài tập tập hợp và ánh xạ có lời giải tìm biểu thức của ánh xạ tuyến tính hướng dẫn giải bài tập về ánh xạ bài tập ánh xạ đơn ánh song ánh toàn ánh bài tập chứng minh ánh xạ chuyên đề ánh xạ nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Giảng viên: Phan Đức Tuấn Khoa Toán - ĐHSP - ĐHĐN Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1 Cho U , V không gian vector trường K Ánh xạ T : U → V gọi ánh xạ tuyến tính nếu: i T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ U ii T (ku) = kT (u), ∀k ∈ K , ∀u ∈ U Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Chú ý 1.1 Hai điều kiện i,ii thay điều kiện: T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Chú ý 1.1 Hai điều kiện i,ii thay điều kiện: T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U Trong trường hợp U = V ánh xạ tuyến tính gọi phép biến đổi tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Chú ý 1.1 Hai điều kiện i,ii thay điều kiện: T (au + bv) = aT (u) + bT (v), ∀a, b ∈ K , ∀u, v ∈ U Trong trường hợp U = V ánh xạ tuyến tính gọi phép biến đổi tuyến tính Để đơn giản ta viết T(u)=Tu Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Thật vậy: Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ 1.1 Cho T : R → R xác định Tx = ax, với a số cho trước ánh xạ tuyến tính Thật vậy: T (x + y) = a(x + y) = ax + ay = Tx + Ty T (kx) = a(kx) = k(ax) = kTx Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Ví dụ 1.2 Cho T : P2 [t] → P1 [t] xác định Tp(t) = p (t), ánh xạ tuyến tính Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Định lý 4.2 Giả sử A, B ma trận phép biến đổi tuyến tính T hai sở khác Khi đó, λ trị riêng ma trận A λ trị riêng ma trận B ngược lại Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 61 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Định lý 4.2 Giả sử A, B ma trận phép biến đổi tuyến tính T hai sở khác Khi đó, λ trị riêng ma trận A λ trị riêng ma trận B ngược lại Thật vậy, A, B ma trận phép biến đổi nên A, B hai ma trận đồng dạng (nghĩa tồn ma trận P : B = P−1 AP) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 61 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Định lý 4.2 Giả sử A, B ma trận phép biến đổi tuyến tính T hai sở khác Khi đó, λ trị riêng ma trận A λ trị riêng ma trận B ngược lại Thật vậy, A, B ma trận phép biến đổi nên A, B hai ma trận đồng dạng (nghĩa tồn ma trận P : B = P−1 AP).Ta có PB (t) = det(B − λI ) = det(P−1 AP − λP−1 P) −1 Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) −1 Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 61 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Nhận xét 4.7 Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng phép biến đổi tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc chọn sở Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Nhận xét 4.7 Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng phép biến đổi tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc chọn sở Cho ma trận chéo 0 n ;A = A= 0 Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Nhận xét 4.7 Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng phép biến đổi tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc chọn sở Cho ma trận chéo 0 n ;A = A= 0 n 0 3n n 0 Ta tìm sở F để MTT /F = B ma trận chéo Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Nhận xét 4.7 Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng phép biến đổi tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc chọn sở Cho ma trận chéo 0 n ;A = A= 0 n 0 3n n 0 Ta tìm sở F để MTT /F = B ma trận chéo Khi đó, MTT /E = A = PBP−1 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Nhận xét 4.7 Từ Định lý 4.2, ta có trị riêng phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn sở Cho ma trận chéo 0 n ;A = A= 0 n 0 3n n 0 Ta tìm sở F để MTT /F = B ma trận chéo Khi đó, MTT /E = A = PBP−1 suy An = (PBP−1 )n = PBn P−1 Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 62 / 66 Bài 4: Trị riêng vector riêng Bài tập Cho phép biến đổi T : R3 → R3 ; T (x, y, z) = (x + y − 2z, −2x + 2y + 2z, y − z) Chứng minh T ánh xạ tuyến tính Tìm ma trận T sở tắc Tìm sở, số chiều ImT KerT Tìm trị riêng vector riêng T Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 63 / 66 Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận Định lý 5.1 Nếu v1 , v2 , , n vector riêng ứng với n trị riêng phân biệt λ1 , λ2 , , λn Axtt T v1 , v2 , , đltt Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 64 / 66 Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận Định lý 5.1 Nếu v1 , v2 , , n vector riêng ứng với n trị riêng phân biệt λ1 , λ2 , , λn Axtt T v1 , v2 , , đltt Định lý 5.2 Cho dim(V ) = n Axtt T : V → V Khi đó, Nếu T có n trị riêng phân biệt n vector riêng ứng với n trị riêng sở R V MTT /R ma trận chéo Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 64 / 66 Chéo hóa ma trận Bài tập Cho Axtt T : R3 → R3 có MTT /CT −3 = 3 −5 3 −6 Tìm sở E để MTT /E ma trận chéo Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 65 / 66 Chéo hóa ma trận Bài tập Cho Axtt T : R3 → R3 có MTT /CT −3 = 3 −5 3 −6 Tìm sở E để MTT /E ma trận chéo Đáp số: PA (t) = (λ + 2)2 (4 − λ); Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 65 / 66 Chéo hóa ma trận Bài tập Cho Axtt T : R3 → R3 có MTT /CT −3 = 3 −5 3 −6 Tìm sở E để MTT /E ma trận chéo Đáp số: PA (t) = (λ + 2)2 (4 − λ); v1 = (1, 1, 0); v2 = (1, 0, −1); v3 = (1, 1, 2) Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 65 / 66 Chéo hóa ma trận tập Tính An , biết Phan Đức Tuấn (Khoa Toán - ĐHSP- ĐHĐN) −1 A= 1 1 Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 66 / 66 ... ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có ánh xạ tuyến tính khơng? sao? Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính. .. 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có ánh xạ tuyến tính khơng? sao? T : R2 → R xác định Tu = T (x, y) = 2x + 5y Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà... Phan Đức Tuấn (Khoa Tốn - ĐHSP- ĐHĐN) Ánh xạ tuyến tính Đà Nẵng, tháng 12 năm 2011 / 66 Bài 1: Định nghĩa tính chất Bài tập Các ánh xạ sau có ánh xạ tuyến tính khơng? sao? T : R2 → R xác định