B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I TRAN TH± PHƯƠNG M®T SO MOI LIÊN QUAN GIUA BIEN ĐOI LAPLACE VéI HÀM GAMMA KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS NGUYEN VĂN HÀO Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Nhân d%p lu¾n văn đưoc hồn thành tác giá xin bày tó lịng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, thay khoa Tốn Trưịng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i đng viờn giỳp v tao ieu kiắn thuắn loi đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài nghiên cúu khoa hoc Do thịi gian kien thúc có han nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che thieu sót nhat đ%nh Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cúa thay giáo, giáo ban hoc viên đe lu¾n hon thnh nh hiắn H Nđi, thỏng 05 năm 2013 Tác giá Tran Th% Phương LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cúa TS Nguyen Vn Ho khúa luắn tot nghiắp Mđt so moi liên quan giÑa bien đoi Laplace véi hàm Gamma” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cúa bán thân tác giá khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình làm khóa lu¾n tơi ke thùa nhung thành tnu cúa nhà khoa hoc vói sn tơn biet ơn Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Tác giá Tran Th% Phương Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phúc m¾t pháng phúc 1.2 Hàm hình 1.3 Lý thuyet tích phân phúc .8 Chương Bien đoi Laplace 11 2.1 Đ%nh nghĩa ví dn 11 2.2 Tính chat bán cúa bien đoi Laplace 18 2.3 Bien đoi Laplace ngưoc .20 2.3.1 Mđt so khỏi niắm 20 2.3.2 M®t so phương pháp tìm hàm goc 21 2.4 Tích ch¾p cúa bien đoi Laplace .25 2.4.1 Đ%nh nghĩa ví dn 25 2.4.2 Ãnh cúa tích ch¾p qua bien đoi Laplace 26 iii Chương M®t so moi liên quan giÑa bien đoi Laplace véi hàm Gamma 30 3.1 Khỏi niắm ve hm Gamma v mđt so tính chat bán 30 3.2 M®t so moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma 35 3.2.1 Bien oi Laplace cỳa mđt so hm nhắn oc qua hàm Gamma 35 3.2.2 Moi liên quan cúa hàm gamma vói bien đoi Laplace ve chuoi 37 Ket lu¾n .41 Tài li¾u tham kháo 42 Me ĐAU Lý chon đe tài Bien đoi Laplace m®t bien đoi tích phân vói bien đoi Fourier hai bien đoi rat huu ích thưịng đưoc sú dnng vi¾c giái tốn lĩnh vnc v¾t lý Qua bien đoi Laplace, phép tốn giái tích phúc tap đao hàm, tích phân đưoc đơn gián hóa thành phép tốn đai so (giong cách mà hàm logarit chuyen m®t phép tốn nhân so thành phép c®ng logarit cúa chúng) Hàm Gamma m®t hàm có nhieu tính chat đăc bi¾t đem lai nhieu úng dnng nghành khoa hoc khác Qua tiep c¾n vói lý thuyet bien đoi Laplace hàm Gamma, đưoc sn đ%nh hưóng cúa ngưịi hưóng dan tơi chon đe tài “M®t so moi liên quan giÑa bien đoi Laplace véi hàm Gamma” đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Khóa lu¾n đưoc cau trúc thành chương Chương Chúng tơi trình bày m®t so kien thúc bán nhat ve lý thuyet hàm bien phúc, can thiet cho mnc đích nghiên cúu ve bien đoi Laplace nghiên cúu moi quan h¾ cúa phép bien đoi vói hàm Gamma Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t cách h¾ thong ve khái ni¾m bien đoi Laplace, tính chat bán cúa phép bien đoi m®t so phép tốn giái tích liên quan đen bien đoi Chương Đây phan cúa khóa lu¾n, ó chúng tơi trình bày lý thuyet ve hàm Gamma moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma, cn the bien đoi Laplace cúa m®t so hàm nh¾n đưoc qua hàm Gamma moi liên qua cúa hàm Gamma vói bien đoi Laplace cúa chuoi Mnc đích, đoi tưeng pham vi nghiên cNu Lu¾n văn nghiên cúu ve moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma 3.Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u Tong hop kien thúc, v¾n dnng cho mnc đích nghiên cúu DN kien úng gúp cỳa e ti Trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve phép bien đoi Laplace, hàm Gamma moi liên quan giua chúng Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phNc m¾t pháng phNc So phúc so có dang z = x + iy; vói x, y ∈ R i đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x phan thnc y phan áo, đưoc ký hi¾u lan lưot bói x = Rez, y = Imz T¾p hop so phúc đưoc ký hi¾u bói C T¾p hop so phúc C đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng C→R z = x + iy ›→ (x, y) M®t cách tn nhiên ngưịi ta goi Ox trnc thnc, Oy trnc áo Phép c®ng v phộp nhõn cỏc so phỳc oc thnc hiắn mđt cách thơng thưịng phép tốn t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) z1.z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2) = (x1x2 − y1 y2 ) + i (x1y2 + x2y1) Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cúa so phúc z so đưoc xác đ%nh bói , |z| = x2 + y2 So phúc liên hop cúa so phúc z = x + iy đưoc ký hi¾u z¯ = x − iy Khơng khó khăn ta kiem tra đưoc Rez = z + z¯ , Imz = z− z¯ 2i z2 = z.z¯, z¯ ; vói z ƒ= z = z2 So phúc khác đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r > θ ∈ R đưoc goi argument cúa so phúc z (argument cúa so phúc z đưoc xác đ %nh m®t cách nhat vói sn sai khác m®t b®i ngun cúa 2π) eiθ = cosθ + isinθ Bói eiθ = nên r = |z| θ góc hop bói chieu dương cúa trnc Ox núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® qua điem z Cuoi ta lưu ý rang neu z = r.eiθ ω = s.eiϕ e s − − a as s − L−1 s − = ua(t) bs L (uab (t)) = Ví dn 2.3.4 Vói 0 t < a ≤ a < b ta s(b −a ) (ii) Kha i trien hàm chuoi lũy  thNa  đoi véi  hàm u b a ≤ ( ánh = a t b< b (ua(t) − Giá sú − ub (t) − hàm ánh )= a   cúa bien đoi  Laplace K có khai trien chuoi lũy thùa xác đ%nh k h i t ≥ b a1 F(s) = a0 + s a2 + s2 Khi hàm goc cúa đưoc xác đ%nh bói an + + sn + a2 t2 ant n a1t f (t) = L−1 (F(s)) = a0 + + 1! 2! + + n! + Ví dn 2.3.5 Tìm hàm goc cúa hàm F(s) = s−1.e− s x Sú dnng khai trien Taylor cúa hàm e ta đưoc ( + 1)n −1 − 1 1s e + s + − = − 2!s2 n!n − s s1 s n 1 = − + − + + s 1!s2 2!s3 3!s4 (−1) n!sn+1 + Khi hàm goc cúa  11  f (t) = L−1  e− s  s t2 = −t + (−1) (2!) √ = 1− t 22 + √ = J0 t t3 − (3!) √ t 22 42 (−1) Hàm J0 (ã) l hm Bessel bắc tn n + + (n!) n − + + √ 2n 2 24 + (iii) Bien đoi Laplace ngưec cúa m®t phân thNc hĐu tý Nhieu úng dnng cúa phép bien đoi Laplace can đen vi¾c tìm bien đoi ngưoc P(s) F(s) cúa phân thúc huu tý có dang F(s) Q(s , ó b¾c cúa Q(s) = lón ) b¾c cúa P(s) h¾ so cúa lũy thùa lón nhat cúa Q(s) bang Ta viet Q(s) = (s − a)m (s2 + ps + q)n tích cúa thùa so có dang (s − a)m (s2 + ps + q)n; vói p2 − 4p < Khi đó, ta có P(s) Q(s) A1 = + s−a A2 (s − a) + Am (s − a) + m B s + C Bn s + Cn + s2 + ps + q + (s2 + ps + + q) + (s + ps n + q) Các hang so Ak, Bk, Ck tìm đưoc theo phương pháp h¾ so bat đ%nh Do bien đoi Laplace có tính chat tuyen tính nên đe đơn gián ta có the coi h¾ so Ak, Bk, Ck đeu bang Vi¾c cịn lai xác đ%nh hai bien đoi Laplace ngưoc sau Loai thN nhat Xác đ%nh hàm goc cúa hàm F(s) = Ta ( có s a ) m Ta vie t − s + a) K h i qt − đ h ó ì p ,2 t a n4 e c u ó + f (= )tm = e− L −at ( Fs ( )+ s =1 L(s2 p2 > đ ¾ p t ω = F p ( s + ) p = n Loai q) thN hai Xác đ%nh hàm goc cúa hàm F(s) = , 4q sq + ps + ω s − + (ps đưo c − hàm ánh ve m® t tron g hai dan − g n sau ( n m − h a) o2 ¾ c − + + ω −p ω ( s ++ s + s+ + ω Như the ta chuyen 2 2 2 2.4 Tích ch¾p cúa bien đoi Laplace 2.4.1 Đ%nh nghĩa ví dn Đ%nh nghĩa 2.4.1 Cho hai hàm f (t) g(t) hai hàm xác đ%nh t > Ta goi tích ch¾p cúa chúng hàm ( f ∗ g)(t) xác đ%nh bói cơng thúc ( f ∗ g)(t) = ¸t f (τ) g (t − τ) dτ Tích ch¾p có tính chat bán sau i) c ( f ∗ g) = c f ∗g = f ∗ c.g; vói c hang so ii) f ∗ (g ∗ h) = ( f ∗ g) ∗ h iii) f ∗ (g + h) = f ∗g + f ∗ h Th¾t v¾y, tính chat i) iii) hien nhiên Tính chat ii) đưoc chúng minh sau ¸t f (τ).(g ∗ h)(t − τ).dτ  [ f ∗ (g ∗ h)] (t) = t−τ  ¸ t ¸ f (τ)  g(χ).h(t −τ − χ).dχ dτ   t t ¸ ¸ f (τ).g(u − τ).h(t − u).du dτ, χ = u − t  = = τ ¸t  ¸u  =  f (τ).g(−τ).dτ h(t − u).du = [( f ∗ g) ∗ h] (t) Ví dn 2.4.1 Neu f (t) = et , g(t) = t ¸ t τ τ τ t τ ( f ∗ g)(t) = e (t − τ).dτ = t e |0 − (τ.e − e )|0 = et −t − Ví dn 2.4.2 Neu f (t) = cos t, g(t) = sin t ¸t t cos t sin(t − τ).dτ = ( f ∗ g)(t) = = + sin t cos(2τ − t) ¸ [sin t − sin(2τ −t)] dτ 20 t = t sin t 2.4.2 Ãnh cúa tích ch¾p qua bien đoi Laplace Đ%nh lý 2.4.1 Giá sú f (t) g(t) hàm liên tnc tùng khúc [0; +∞) có b¾c mũ α L( f (t)) = F(s), L(g(t)) = G(s) Khi ta có L{( f ∗ g)} = F(s).G(s) ChNng minh Ta có    ¸ ∞ ∞ ¸ −sτ −su L( f (t)).L(g(t)) =  e f (τ).dτ  e g(u).du  ∞ ¸∞ ¸  = 0  e−s.(τ+u) f (τ).g(u).du.dτ Đ¾t t = u + τ coi τ tham so ta đưoc dt = du, ta có ¸  ¸∞ L( f (t)).L(g(t)) =  ∞ e−s.t f (τ).g(t − τ).dt .dτ (2.12) Neu g(t) = vói t < g(t − τ) = vói t < τ có the viet (2.12) L( f (t)).L(g(t)) = ¸∞ ¸∞ 0 e−s.t f (τ).g(t − τ).dt.dτ Do ton tai L−1 (s − a) (s − b) nên ¸∞ e−st f (τ).g(t − τ).dt = V ỡ v ắ y á L( f (t)) L(g( t)) = e−s.t f (τ).g(t − τ).dt.dτ 0  ∞ ¸ ∞  ¸  = e−st f (τ).g(t − τ).dτ .dt ¸ = 0 ¸ e−st  ∞ ∞ f (τ).g(t − τ).dτ  dt   L−1 = L {( (t) Ví d n Tì m B ó i v ì (s − a).(s − b) L(eat ebt ) = nên ta đưoc (s − a) (s − b) L−11 ( s − a ) ( s − b ) = eat ebt at bt ¸∞ −e = e a−b ; a =ƒ b Ví dn 2.4.4 Tìm L−1 s (s − 1) Ta viet 1 s2.(s − = s2 s− 1) Như biet 1 t ; L(e ) = − s2 s Theo cơng thúc bien đoi Laplace cúa tích ch¾p ta có L(t) = 1 = L( s2 s− Và ta thu đưoc L−1 = t ∗ et = et −t − s2.(s − 1) Ví dn 2.4.5 Ta có ω2 (s2 + V¾y nên t).L(et ) = L(t ∗ et ) ω2) L−1 = ω s2 + s2 + = (sin ωt ∗ sin ωt) ω2 ω2 ω ω =(sin ωt ∗ sin ωt) (s2 + ω2) t ¸ sin ωt sin ω(t − τ).dτ = = 2ω (sin ωt − ω.t cos ωt) Hồn tồn tương tn ta có s −1 L (s + ω ) = = = cos ωt ∗ sin ωt ω t ¸ ω 2ω cos ωt sin ω(t − τ).dτ t sin ωt Chương M®t so moi liên quan giÑa bien đoi Laplace véi hàm Gamma 3.1 Khỏi niắm ve hm Gamma v mđt so tớnh chat bán Đ%nh nghĩa 3.1.1 Hàm Gamma đưoc đ%nh nghĩa bói cơng thúc τ ¸ γ(z, τ) = e−t t z−1 dt; z > 0; τ > (3.1) Hàm Gamma khơng hồn đưoc viet bói τ ¸ γ(z, τ) = e−t t z−1 dt; z > 0; τ > (3.2) Bieu thúc tích phân cúa Γ(z) Neu đ¾t u = e−t (3.2) u t −1 du = dt u = t, = e , loge u loge z−1 = tz−1 u Đoi c¾n t = 0, u = t = ∞, u = ta nh¾n đưoc ∞ −t z−1 Γ(z) = ¸ e t dt ¸1 loge =− z−1 u u du u ¸ loge = du (3.3) z−1 u Bat đau tù đ%nh nghĩa cách đ¾t t = m2, dt = 2mdm thu đưoc Γ(z) = = ... Laplace véi hàm Gamma 30 3.1 Khỏi niắm ve hm Gamma v mđt so tớnh chat bán 30 3.2 M®t so moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma 35 3.2.1 Bien oi Laplace cỳa mđt so hm nhắn oc qua hàm. .. Gamma moi liên quan giua bien đoi Laplace vói hàm Gamma, cn the bien đoi Laplace cúa m®t so hàm nh¾n đưoc qua hàm Gamma moi liên qua cúa hàm Gamma vói bien đoi Laplace cúa chuoi Mnc đích, đoi tưeng... tiep c¾n vói lý thuyet bien đoi Laplace hàm Gamma, đưoc sn đ%nh hưóng cúa ngưịi hưóng dan tơi chon đe tài “M®t so moi liên quan giÑa bien đoi Laplace véi hàm Gamma? ?? đe hồn thành khóa lu¾n tot