ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ***** NGUYỄN HỌC THỨC TÍNH CHẤT EGODIC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC VÀ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội – 2014 Lý thuyết hệ động lực khai sinh nhà toán học tiếng người Pháp, Henri Poincaré cách kỷ ông công bố tác phẩm tiếng cuả trình bày nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân Ngày nay, từ kết đạt nhiều nghiên cứu gần đây, lý thuyết hệ động lực trở thành nhánh nghiên cứu tốn học nhiều nhà khoa học quan tâm Điều quan trọng lý thuyết hệ động lực có mối liên quan chặt chẽ với nhiều ngành tốn học khác có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa Mục đích luận văn trình bày tính chất egodic hệ động lực trình ngẫu nhiên hệ tính chất thơng qua khái niệm định lý liên quan đến trung bình theo thời gian trung bình theo tập hợp Luận văn chia làm ba chương với nội dung sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày mơ hình tốn học q trình ngẫu nhiên đưa số khái niệm hệ động lực ngẫu nhiên Định nghĩa: Không gian xác suất ba (, B, m) , bao gồm không gian mẫu ,  - trường B tập  độ đo xác suất m xác định σ - trường; nghĩa m( F ) gán cho số thực với phần tử F B thỏa mãn điều kiện sau:  Không âm: m( F )  0, F B  Chuẩn hóa: m()   Cộng tính đếm được: Nếu Fi  B, i  1, 2, tập rời    m   Fi    m( Fi )  i 1  i 1 Định nghĩa: Cho (, B) ( A, BA ) hai không gian đo Một biến ngẫu nhiên hay hàm đo xác định (, B) lấy giá trị ( A, BA ) ánh xạ hàm f :   A với tính chất Nếu F BA f 1 ( F )  {x : f ( x)  F}B Trong trường hợp A khơng rõ ta coi f biến ngẫu nhiên A giá trị Nếu σ - trường không cho cách rõ ràng ta nói f B / BA - đo Định nghĩa: Một trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, đơn giản trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên { X n }nI , với I tập số, xác định không gian xác suất ( , B, m ) Định nghĩa: Hệ động lực trừu tượng bao gồm không gian xác suất (, B, m) với phép biến đổi đo T :    Tính đo theo nghĩa F B ta có T 1F B Bộ bốn (, B, m, T ) gọi hệ động lực lý thuyết egodic Mơ hình q trình ngẫu nhiên dãy họ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất thông thường xem biến ngẫu nhiên với phép biến đổi xác định không gian xác suất Nghĩa qua phép biến đổi định trước từ biến ngẫu nhiên ban đầu sinh biến ngẫu nhiên tạo thành dãy biến ngẫu nhiên không gian ta xét Chương Trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian Trình bày khái niệm trung bình theo tập hợp trung bình theo thời gian, từ phát triển tính chất liên quan đến hai loại trung bình Định nghĩa 2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc hàm đo f :   R, biến ngẫu nhiên rời rạc biểu diễn dạng M f ( x)   bi 1Fi ( x) i 1 Với bi  R, Fi B tạo thành phân hoạch Ω 1F hàm tiêu i Fi , i  1, , M Định nghĩa 2.2 Trung bình theo tập hợp biến ngẫu nhiên f :   R, xác định công thức độ đo xác suất m xác định công thức: M Em f   bi m( Fi ) i 0 Bổ đề sau trung bình theo tập hợp biến ngẫu nhiên rời rạc định nghĩa tốt Bổ đề 2.1 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc f :   R, xác định không gian xác suất (, B, m) , trung bình theo tập hợp định nghĩa tốt Tiếp theo tính chất trung bình theo tập hợp biến ngẫu nhiên rời rạc Bổ đề 2.2 (a) Nếu f  với xác suất Em f  (b) Em1  (c) Trung bình theo tập hợp có tính chất tuyến tính, tức với số thực  ,  f, g biến ngẫu nhiên rời rạc Em ( f   g )   Em f   Em g (d) Nếu f biến ngẫu nhiên rời rạc | Em f | Em | f | (e) Nếu f, g hai biến ngẫu nhiên rời rạc f  g với xác suất Em f  Em g Định nghĩa 2.3 Cho biến ngẫu nhiên f hệ động lực (, B, m, T ) , trung bình theo thời gian cấp n,  f n định nghĩa trung bình số học biến ngẫu nhiên thời điểm 0, 1, …, n-1, tức n 1  f n ( x)  n1  f (T i x) i 0 Bổ đề 2.3 Trung bình theo thời gian có tính chất sau với n: (a) Nếu fT i  với xác suất 1, i = 0,1,2,…,n-1  f n  (b)  n  (c) Với số thực  ,  biến ngẫu nhiên f, g ta có   f   g n    f n    g  n (d)  f n  f n (e) Cho hai biến ngẫu nhiên f g mà f  g với xác suất 1,  f n  g n Chứng minh Tất tính chất suy từ tính chất phép lấy tổng Chú ý rằng, (a) ta phải yêu cầu thêm điều kiện f không âm hầu khắp nơi để fT i không âm hầu khắp nơi Ngoài ra, trường hợp đặc biệt bổ đề 2.4.1 cho x cụ thể ta định nghĩa độ đo xác suất biến ngẫu nhiên lấy giá trị f (T k x) với xác suất 1/ n với k  0,1, , n  Định nghĩa 2.4 Cho biến ngẫu nhiên f hệ động lực (, B, m, T ) , gọi Ff tập tất giá trị x  để giới hạn lim n  n 1  f (T k x) tồn Với giá trị x ta n k 0 định nghĩa trung bình theo thời gian giới hạn trung bình theo thời gian giới hạn trên, tức  f  lim  f n n  Bổ đề 2.4 Trung bình theo thời gian có tính chất sau chúng định nghĩa tốt; tức giới hạn tồn tại: (a) Nếu fT i  với xác suất 1, i  0,1,  f  (b)   (c) Với  ,  số thực bất kỳ, f g biến ngẫu nhiên ta có   f   g    f     g  (d)  f   f  (e) Cho hai biến ngẫu nhiên f g mà f  g với xác suất 1, ta có  f  g  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Cơng (2002), Lý thuyết hệ động lực, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] ĐặngHùng Thắng (2001), Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất bảnĐại học Quốc gia Hà Nội [3] ĐặngHùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bảnĐại học quốc gia Hà Nội [4] P Billingsley (1965), Ergodic Theory and Information, Wiley, New York [5] Michael Brin and Garrett Stuck (2002), Introduction to Dynamical Sys-tems, Cambridge University Press [6] L A Bunimovich, S G Dani, R L Dobrushin, M V Jakobson, I P Kornfeld, N B Maslova, Ya B Pesin, Ya G Sinai, J Smillie, Yu M Sukhov, A M Vershik (1999), Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications, Springer [7] N A Friedman (1970), Introduction to Ergodic Theory, Van Nostrand Reinhold Company, New York [8] R M Gray (1987), Probability, Random Processes and Ergodic Proper-ties, Springer-Verlag [9] R M Gray and J C Kieffer (1980), Asymptotically mean stationary measures, Ann Probab [10] P R Halmos (1956), Lectures on Ergodic Theory, Chelsea, New York [11] D Ornstein (1975), Ergodic Theory, Randomness, and Dynamical Sys-tems, Yale University Press, New Haven TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 [12] K Petersen (1983), Ergodic Theory, Cambridge University Press, Cam-bridge [13] Omri Sarig (2008), Lecture Notes on Ergodic Theory, Penn State, Fall [14] Ya G Sinai (1989), Ergodic Theory with Applications toDynamical Sys-tems and Statistical Mechanics, Springer-Verlag [15] Peter Walters (1982), An Introduction to Ergodic Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York-Berlin ... có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa Mục đích luận văn trình bày tính chất egodic hệ động lực trình ngẫu nhiên hệ tính chất thơng qua khái niệm định lý liên quan đến trung bình theo thời... nghĩa: Một trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, đơn giản trình ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên { X n }nI , với I tập số, xác định không gian xác suất ( , B, m ) Định nghĩa: Hệ động lực trừu tượng... phép biến đổi đo T :    Tính đo theo nghĩa F B ta có T 1F B Bộ bốn (, B, m, T ) gọi hệ động lực lý thuyết egodic Mơ hình q trình ngẫu nhiên dãy họ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác