GIỚI THIỆU BỘ CƠNG PHÁ TỐN (LỚP 11) BAO GỒM: QUÝ THẦY CÔ MUỐN SỞ HỮU TRỌN BỘ CÔNG PHÁ TOÁN CHỈ CẦN MUA THẺ CÀO VT 200 NGHÌN RỒI NHẮN TIN: Mà THẺ+SERI+MAIL CHO SĐT SAU ĐÂY TÔI XIN GIỚI THIỆU TRONG CÁC CHUYÊN ĐỀ CỦA BỘ CƠNG PHÁ TỐN CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI: GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT α Giá trị lượng giác cung Ð Ð Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung Gọi M ( x; y ) Các giá trị có sđ AM = α : Hình 1.1 với tung độ sin α = OK tan α = AM M sin α ; ( cos α ≠ ) cos α y = OK x = OH , hoành độ ta có: cos α = OH cot α = cos α ; ( sin α ≠ ) sin α sin α cos α tan α cot α α , , , gọi giá trị lượng giác cung Các hệ cần nắm vững sin α cos α α ∈¡ Các giá trị ; xác định với Và ta có: sin ( α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ ¢; cos ( α + k 2π ) = cos α , ∀k ∈ ¢ −1 ≤ sin α ≤ −1 ≤ cos α ≤ ; tan α cot α α≠ xác định với xác định với π + kπ , ( k ∈ ¢ ) α ≠ kπ , ( k ∈ ¢ ) Dấu giá trị lượng giác cung α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung Ð AM = α đường tròn lượng giác (hình 1.2) 10 37 Hình 1.2 Ta có bảng xác định dấu giá trị lượng giác sau 11 Góc phần 13 I 14 15 16 tư II III I 12 Giá trị lượng giác cos α 18 + 19 20 21 17 + sin α 23 + 24 25 26 22 + tan α 28 + 29 30 31 27 + cot α 33 + 34 35 36 32 + Ở hình 1.3 cách nhớ khác để xác định dấu giá trị lượng giác 38 39 Công thức lượng giác 40 Công thức 41 sin x + cos x = Cung đối sin ( − x ) = − sin x tan x + = cos x cos ( − x ) = cos x cot x + = sin x tan ( − x ) = − tan x 42 43 44 45 46 Công thức cộng sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y Cung bù sin x = sin ( π − x ) cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y cos x = − cos ( x − π ) tan ( x ± y ) = 47 48 49 50 51 52 tan x ± tan y mtan x tan y Công thức đặc biệt π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   Góc nhân đơi 55 Góc chia đơi sin x = ( − cos x ) sin x = 2sin x cos x cos x = cos x − = − 2sin x = cos x − sin x 53 54 tan x = tan ( x − π ) 2 Góc nhân ba sin x = 3sin x − sin x cos3 x = cos x = cos x − 3cos x tan 3x = 57 ( + cos x ) Góc chia ba sin x = ( 3sin x − sin x ) 56 cos x = ( 3cos x + cos x ) 3tan x − tan x − tan x 58 STUDY TIP 59 Ở từ cơng thức góc nhân đơi, góc nhân ba ta suy cơng thức góc chia đơi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức 61 62 60 Biến đổi tích thành tổng cos x cos y = cos ( x − y ) + cos ( x + y )  cos x + cos y = cos x+ y x− y cos 2 Biến đổi tổng thành tích sin x sin y = 63 cos x − cos y = −2sin x+ y x−y sin 2 sin x cos y = 64 sin x + sin y = 2sin cos ( x − y ) − cos ( x + y )  2 sin ( x − y ) + sin ( x + y )  2 x+ y x− y cos 2 65 sin x − sin y = cos x+ y x− y sin 2 66 Giá trị lượng giác cung đặc biệt 67 68 69 α 70 ( đ ộ ) 75 76 α 77 ( r a d i a n ) 82 sin α 83 84 89 cos α 90 91 96 tan α 97 98 30o 71 π 78 85 45o π 2 2 92 99 3 72 79 86 93 60o π 73 80 90o π 87 1 94 100 101 74 81 π 88 95 −1 102 Không xác định 180o 103 STUDY TIP 105 Từ bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt bên ta thấy quy luật sau để độc giả nhớ giá trị lượng giác cung đặc biệt: α 30o 45o 60o 106 104 107 108 109 110 90o 111 sin α 112 113 Các giá trị tử số tăng dần từ 116 giảm dần từ 2 đến 114 Ngược lại giá trị 115 cos , tử số 117 118 BÀI: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 119 A LÝ THUYẾT y = sinx y = cosx 121 Hàm số hàm số sin x x 122 Quy tắc đặt tương ứng số thực với góc lượng giác có số đo rađian y = sinx sin gọi hàm số , kí hiệu cosin ( cos) x 123 Quy tắc đặt tương ứng số thực với góc lượng giác có số đo rađian y = cosx x cos gọi hàm số , kí hiệu y = sinx;y = cosx ¡ 124 Tập xác định hàm số y = sinx a) Hàm số y = sinx D=¡ 125 Nhận xét: Hàm số hàm số lẻ hà số có tập xác định đối xứng − sinx = sin( − x) 120 126 127 y = sinx 2π Hàm số tuần hồn với chu kì Sự biến thiên: 128 Sự biến thiên hàm số phía dưới: 129 130 y = sinx đoạn −  π ;π  biểu thị sơ đồ (hình 1.4) 131 132 Bảng biến thiên: 133 Từ ta có bảng biến thiên hàm số y = sinx đoạn −  π ;π  sau: 134 135 136 137 Khái niệm: Hàm số 138 140 141 x thuộc D f ( x) xác định D STUTY TIP gọi hàm tuần hoàn tồn số  x − T ∈ D;x + T ∈ D   f(x + T ) = f ( x) T ≠0 cho với ta có T 139 Số dương nhỏ (nếu có) thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm tuần hoàn Đồ thị hàm số: 142 143 Nhận xét: Do hàm số vẽ đồ thị hàm số y = sinx y = sinx ¡ hàm số lẻ ¡ tuần hồn với chu kì ta cần vẽ đồ thị hàm số đoạn y = sinx O 0;π  2π nên , sau lấy đối −  π ;π  xứng đồ thị qua gốc tọa , ta đồ thị hàm số đoạn , cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái sang phải theo trục hoành ta đoạn có độ dài 2π ;4π , 144 145 STUDY TIP  π π  − ; 2÷ y = sinx   2π Hàm số đồng biến khoảng Do tính chất tuần hồn với chu kì , hàm số 146 y = sinx đồng biến khoảng  π π   − + k2π ; + k2π ÷,k∈ Z   Tương tự ta suy hàm số y = sinx nghịch biến khoảng π 3π   + k2π ; + k2π ÷,k∈ Z   147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 GHI NHỚ y = sinx : Hàm số - Có tập xác định ¡ −  1;1 - Có tập giá trị - Là hàm số lẻ - Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng - Có đồ thị đường hình sin 2π - Tuần hồn với chu kì  π π   − + k2 ; + k2 ữ,k  - Đồng biến khoảng π 3π  + k2 ; + k2 ữ,k    - Nghịch biến khoảng b) Hàm số 157 y = cosx Ta thấy đoạn có độ dài 158  π cosx = sin x + ÷ 2  π nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số , ta đồ thị hàm số Bảng biến thiên hàm số 159 160 Đồ thị hàm số y = cosx y = sinx sang trái y = cosx y = cosx −  π ;π  : 161 STUTY TIP ( −π ;0) y = cosx 163 Hàm số đồng biến khoảng Do tính chất tuần hồn với chu ( −π + k2π ;k2π ) ,k∈ ¢ y = cosx 2π kì , hàm số đồng biến khoảng y = cosx 164 Tương tự ta suy hàm số nghịch biến khoảng ( k2π ;π + k2π ) ,k∈ ¢ 162 165 166 167 GHI NHỚ y = cosx Hàm số : 168 169 170 ¡ - Có tập xác định - Là hàm số chẵn - Là đường hình sin 171 - Đồng biến khoảng ( −π + k2π ;k2π ) ,k∈ ¢ 172 173 174 ( k2π ;π + k2π ) ,k∈ ¢ - Nghịch biến khoảng Đọc thêm y = a.sin( ω x + b) + c,( a,b,c,ω ∈ ¡ ,aω ≠ 0) Hàm số hàm tuần hồn với chu kì 2π ω sở vì: ( ) a.sin ω ( x + T ) + b + c = a.sin( ω x + b) + c,∀x ∈ ¡ ⇔ a.sin( ω x + b+ ωT ) = a.sin( ω x + b) ,∀x ∈ ¡ ⇔ ωT = k2π ,( k∈ ¢ ) ⇔ T = k 175 176 177 2π ,( k ∈ ¢ ) ω Và đồ thị đường hình sin y = a.cos( ω x + b) + c,( a,b,c,ω ∈ ¡ ,aω ≠ 0) Tương tự hàm số hàm tuần hoàn 2π ω với chu kì sở đồ thị đường hình sin 178 Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa mơn Vật lý chương trình 12 y = tan x y = cot x 179 Hàm số hàm số 180 Hình 1.7 π  D1 = ¡ \  + kπ k ∈ ¢  2  181 182 Với tan x = với số thực tập xác định D1 sin x cos x , quy tắc đặt tương ứng số gọi hàm số tang, kí hiệu y = tan x Hàm số x ∈ D1 y = tan x có 2265 30 2266 Đáp án C π π   ⇔ sin  x − ÷ = sin  −2 x − ÷ 3 6   π π 2π  π   x − = −2 x − + k 2π  x = 18 + k ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π π 3π  x − = π + x + + k 2π x = − − k 2π   ( sin x + cos x.sin x + cos3 x = cos x + sin x 2267 ( ) ) ⇔ − 2sin x sin x + cos x.sin x + cos3 x = 2cos x 2268 2269 2270 ⇔ sin x.cos x + cos x.sin x + cos3 x = 2cos x ⇔ sin 3x + cos3x = 2cos x ⇔ 2271 sin x + cos x = cos x 2 ⇔ sin 2272 2273 2274 π π sin x + cos cos3 x = cos x 6 π  ⇔ cos  3x − ÷ = cos x 6  π π    x = x − + k 2π  x = − + k 2π ⇔ ⇔ k ∈¢) π π 2π (  x = −3 x + + k 2π x = +k 42   x1 = 31 2275 Hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ Đáp án C π 13π π , x2 = ⇒ x1 + x2 = 42 42 2276 2277 2278 2279 2280 x x   sin + cos ÷ + cos x =   x x ⇔ + 2sin cos + cos x = 2 π  ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin  x + ÷ = 3  π π π    x + = + k 2π  x = − + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π 5π π x + =  x = + k 2π + k 2π   Nghiệm dương nhỏ π − , nghiệm âm lớn π a +b = π 2281 Vậy 2282 Phương trình đẳng cấp bậc Đáp án D 32 cos x − sin x = + sin x ( 1) 2283 ⇔ sin x + sin x.cos x − cos x = −1 - Với Với cos x = ⇒ sin x = ⇒ ( 1) ⇔ = −1 cos x ≠ chia hai vế cho cos x ta được: ( ( 1) ⇔ tan x + tan x − = − + tan x 2284 ) ⇔ tan x + t =  x = kπ  tan x = π ⇔ ⇔ ( k ∈¢)  x = − + kπ  tan x = − 3  2285 33 vơ lí 2286 2287 Vậy số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Đáp án C 2288 2cos x + 5sin x.cos x + cos x − m − = ⇔ 2cos x − + 5sin x.cos x + 2289 2290 − cos x =m 5 ⇔ cos x + sin x + − 3cos x = m ⇔ sin x − 2cos x = m − 2 2291 Phương trình có nghiệm ⇔ ( m − 3) ≤ 2292 ⇔− 2293 2294 34 Mà 41 41 ⇔ m−3 ≤ 41 41 41 41 ≤ m −3≤ ⇔− +3≤m ≤ +3 2 2 m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 0;1;2;3;4;5;6} 2295 Vậy có giá trị Đáp án B 2296 Phương trình 2297 -Với 2298 2299 2300 2301 2 5 ⇔  ÷ + ( −2 ) ≥ ( m − )   -Với m thỏa mãn sin x + cos x − 4sin x = ( *) cos x = ⇒ sin x = ±1 cos x ≠ khơng thỏa mãn phương trình , chia hai vế phương trình cho ( *) ⇔ tan x ( + tan ) x + + tan x − tan x = ⇔ 3tan x − tan x − tan x − = ⇔ tan x = ⇔ sin x − cos x = cos x ta 35 Chọn đáp án B 2302 2303 2304 2305 36 2306 Đáp án C 2307 2308 2309 2310 2311 Điều kiện cos x ≠ Phương trình ⇔ tan x + = + tan x ⇔ tan x − tan x =  x = kπ  tan x = π ⇔ ⇔ ( k ∈¢)  x = + kπ  tan x = 3  Vây só nghiệm ( 0; 2π ) 2sin x − sin x.cos x − m cos x = 1( 1) Trên  π π − ;    ⇒ cos x ≠ ( 1) ⇔ tan x − tan x − m = tan x + ⇔ m = tan x − tan x − Đặt  π π tan x = t ⇒ t ∈ [ −1;1] ∀x ∈  − ;   4 u cầu tốn tìm m để phương trình m = f ( t ) = t − t −1 có nghiệm [ −1;1] 2312 2313 37 ⇒ Phương trình ( 1) có nghiệm   ⇔ m ∈  − ;1   m 2314 Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn 2315 Phương trình đối xứng phương trình lượng giác khơng mẫu mực Đáp án C 2316 2317 2318 2319 sin x + cos x + sin x = ( 1) ⇔ sin x + cos x + 2 sin x.cos x = Đặt π  t = sin x + cos x = sin  x + ÷⇒ t ∈  − 2;  4  ( ) t = + 2sin x.cos x ⇒ 2sin x.cos x = t − ⇒ ( 1) ⇔ t + t − =  t=  ⇔ 2t + t − = ⇔  t = −  2320 t= 2321 + Với π π π    x + = + k 2π  x = − 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π 5π 7π x + = + k 2π x = + k 2π 6   2322 2323 π π   ⇒ sin  x + ÷ = ⇔ sin  x + ÷ = 4 4 2   + Với π π π π   ⇒ sin  x + ÷ = − ⇔ sin  x + ÷ = −1 ⇔ x + = − + k 2π 4 4 t=−   ⇔ x=− 38 3π + k 2π ( k ∈ ¢ ) 2324 2325 Vậy có điểm biểu diễn nghiệm Đáp án D π  2326 2327 sin x + sin  x − ÷− m − = 4  ⇔ 2sin x.cos x + sin x − cos x − m − = Đặt π  t = sin x − cos x = sin  x − ÷⇒ t ∈  − 2;  4  2sin x.cos x = −t + 2328 2329 2330 Phương trình Xét hàm số ⇔ m = −t + t ( *) f ( t ) = −t + t có nghiệm  − 2;     − 2;    2331 2332 39 Phương trình ( *) 2333 Vậy giá trị Đáp án A 2334 2335 2336 Điều kiện { có nghiệm 1  ⇔ m ∈  − − 2;  4  m ∈ { −3; −2; −1;0} thỏa mãn π sin x ≠ ⇔ x ≠ k ( k ∈¢) cos x ≠ Phương trình cos x sin x ⇔ − = sin x + cos x sin x cos x ⇔ cos x − sin x = sin x.cos x ( sin x + cos x ) 2337 2338 2339 2340 ⇔ ( sin x + cos x ) ( sin x.cos x + sin x − cos x ) = sin x + cos x = ( 1) ⇔ sin x.cos x + sin x − cos x = ( ) Giải Giải π π  ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) 4  ( 1) ( 2) Đặt π  t = sin x − cos x = sin  x − ÷⇒ t ∈  − 2;  4  t = − ( tm ) 1− t + t = ⇔ t − 2t − = ⇔  ( 2) ⇔ t = + ( l ) sin x.cos x = , 2341 π  1−  sin  x − ÷ = 4  40 t= 2342 Chọn đáp án B 2343 2344 Vậy tan x + cot x = t Cách 1: Điều kiện để phương tình Cách 2: Phương trình ⇔ tan x − t tan x + = = t ( tan x ≠ ) tan x 2346 41 2347 Đáp án C 2348 có nghiệm ∆ ≥ ⇔ ⇔ t2 − ≥ ⇔ t ≥ 0 − t.0 + ≠ 3tan x + tan x + 4cot x + 3cot x + = ( ) ⇔ ( tan x + cot x ) + tan x + cot x + = 2349 ( ) ⇔ 4t + t − + = ⇔ 3t + 4t − = 42 2350 Đáp án A 2351 2352 2353 cos x + cos3x + 2cos5 x = ⇔ ( cos5 x + cos x ) + ( cos5 x + cos3 x ) = ⇔ 2cos3 x.cos x + 2cos x.cos x = ( ) ⇔ 4cos3 x − 3cos x cos x + cos x.cos x = 2354 2355 2356 ( ) ⇔ cos x  4cos2 x − 3cos x cos x + cos x  = ⇔ cos x ( 2cos x − 1) cos x + 2cos 2 x − 1 = ( ) ⇔ cos x 4cos2 x − cos x − = 2357 có nghiệm: t = tan x + cot x = tan x + cot x ≥ tan x.cot x = ⇒ t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) tan x + 2345 1− 2 có nghiệm 1− t2 2358 2359 cos x = ⇔ ± 17 cos x =  π   x = + kπ ⇔ ( k ∈¢)  x = ± arccos ± 17 + k 2π  m= 43 2360 Vậy Đáp án C 2361 2362 ± 17 sin x − sin x + sin x = ⇔ 2cos x.sin x + 2sin x.cos x = ( ) ⇔ sin x 2cos x + cos x − = 2363    x = kπ sin x = ⇔ cos x = −1 ⇔  x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )   π  x = ± + k 2π cos x =   44 2364 2365 Vậy có điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác Đáp án A 2366  π   + cos  x + ÷÷  π ÷   − cos x    sin x + cos  x + ÷ = ⇔  + = ÷ 4 2 ÷      ÷   2367  π  ⇔ ( − cos x ) + 1 + cos  − ( −2 x ) ÷ = 2   ⇔ ( − cos x ) + ( − sin x ) = 2368 2369 2370 2371 2372 45 ⇔ − 2cos x + cos 2 x + − 2sin x + sin 2 x = ⇔ − 2cos x − 2sin x = π π π   ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ sin  x + ÷ = sin 4 4 ⇔ sin x + cos x =    x = kπ π ⇔ ( k ∈¢)  x = + kπ  2373 Vậy phương trình có nghiệm thuộc Đáp án B 2374 cos3 x.sin 3x + sin x.cos3 x = sin x ( 2π ;3π ) ⇔ cos3x + 3cos x 3sin x − sin x sin x + cos3x = sin x 4 ⇔ ( sin 3x.cos x + sin x.cos3 x ) = sin x 2375 2376 2377 2378 46 π ⇔ sin x = sin x ⇔ sin12 x = ⇔ x = k ( k ∈¢ ) 12 2379 Vậy phương trình có 24 nghiệm Đáp án B 2380 2382 2383 1 ( cos x + cos x ) − sin x ( cos x − cos x ) = 2 ⇔ cos x ( cos x + cos x ) + − sin x − sin x.cos x = ⇔ cos x ( sin x + cos x ) − sin x ( sin x + cos x ) = ( 2386 ) ⇔ ( sin x + cos x ) − 2sin x − sin x = 2384 2385 x 3x x 3x cos x.cos cos − sin x.sin sin = 2 2 ⇔ cos x 2381 [ 0;2π ] π   x = − + kπ  π  x = − + k 2π  ⇔ ( k ∈¢)  tan x = −1  x = π + k 2π  ⇔ sin x = −1   5π sin x + cos x = sin x = ⇔ + k 2π x =   2sin x + sin x − =  Suy có hai nghiệm thuộc π ( −π ;0 ) − π − π 47 2387 Vậy tích hai nghiệm Đáp án A 2388 48 2389 Đáp án D 2390 2391 sin x.cos3 x = sin x.cos5 x ⇔ sin x + sin x = sin12 x + sin x  x = 12 x = x + k π ⇔ sin x = sin12 x ⇔  ⇔ 12 x = π − x + k 2π x =  Điều kiện Ta có sin x ≠  sin  x − 3π   kπ k ∈¢) π π ( +k 20 `10  x ≠ kπ 3π  ⇔ ( k ∈¢) x≠ + kπ ÷≠    2392 2393 2394 2395 2396 49 3π  sin  x −  π π    π  ÷ = sin  x − π − ÷ = − sin  x − ÷ = sin  − x ÷ = cos x 2 2    2  π  7π    π  sin  − x ÷ = sin  2π − − x ÷ = − sin  + x ÷ = − ( sin x + cos x )     4  Phương trình   ⇔ ( sin x + cos x )  + 2 ÷=  sin x.cos x  π   x = − + kπ  π   sin  x + ÷ = ⇔  x = − π + kπ ( k ∈ ¢ )  sin x + cos x =    ⇔  ⇔ 5π   x= + kπ sin x.cos x = − sin x = −  2  2397 Vậy tổng nghiệm âm liên tiếp lớn Đáp án A sin x ≤ ∀x ∈ ¡  − cos x ≤ ⇒ sin x − cos8 x ≤ 50 2398 Ta có 2399 Vậy phương tình cho vơ nghiệm Đáp án A 2400 2401 π π 3π 3π − − − =− 8 , mà tan x + 2sin x − tan x − 2 sin x + = ) ( ( ) ⇔ tan x − tan x + + 2sin x − 2 sin x + = ⇔ ( tan x − 1) + 2402 2403 51 ( ) 2 sin x − =  tan x = π  ⇔ ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) sin x =  ( 0;2π ) 2404 Vậy phương trình có nghiệm Đáp án C 3π x x 3π 3x 9π t= 2405 2406 2407 1 ⇔ + = −2 ( sin x + cos x ) sin x cos x Đặt 10 − Phương trình ⇒ = 10 −t ⇔ = 10 − 3t ⇔ sin t = sin ( π − 3t ) ⇔ 2sin t = sin 3t ⇔ 2sin t = 3sin t − 4sin t ⇔ sin t ( 2cos 2t − 1) = >1 2408 52 3π   x = − k 2π t = k π sin t =  14π π ⇔ ⇔ ⇔ x = + k 2π ( k ∈ ¢ ) t = ± + k 2π  cos 2t =     x = 4π + k 2π  2409 Vậy phương trình có nghiệm thuộc Đáp án B 2410 2411 53 2413 Đáp án B 2414 ⇔ sin x − 2 cos x = − 2sin x.cos x ( sin x − )( 2416 Điều kiện 54 2419 Đáp án B 2420 2421 2422 2423 sin x ≠ cos x ≠  tan x ≠ −1 Phương trình cos x − sin x cos x − sin x = + sin x ( sin x − cos x ) cos x + sin x sin x cos x ⇔ cos x − sin x = sin x.cos x ( cos x − sin x ) + sin x ( cos x − sin x ) ( ) ⇔ ( cos x − sin x ) − sin x cos x + sin x = 2417 2418 ) cos x + = sin x = ( ) 3π ⇔ ⇔ x=± + k 2π ( k ∈ ¢ ) cos x = −  ⇔ 2415 ( sin x − 2cos x ) = − sin x ⇔ 2412 ( 0; 2π ) sin x − cos x = − cos x ⇔ =0 1 − sin x +   tan x = 1( tm ) π ⇔ ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) sin x + cos x = ( ) Điều kiện { sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 cos x ≠ Phương trình cos x sin x ⇔ − + 4sin x = sin x cos x sin x ⇔ 2cos x + 4sin 2 x = ⇔ 2cos 2 x − cos x − =  cos x = 1( l ) ⇔  cos x = −  ⇔ 2x = ± 2424 Vậy phương trình có nghiệm 2425 Câu 55 2sin 2 x + sin x − = sin x ⇔ 2sin 2 x − + sin x − sin x = 2427 ⇔ cos x + cos x.sin 3x = 2428 ⇔ cos x ( + sin x ) = 2429 cos x = ⇔ 1 + sin 3x = 2430 2431 Vậy ta chọn đáp án C Đáp án D 2sin x ( + cos x ) + sin x = + cos x 2432 ⇔ 2sin x ( + cos x − 1) + sin x = + cos x 2433 ⇔ 4sin x.cos x + sin x = + cos x 2434 ⇔ 2sin x.cos x + sin x = + cos x 2435 ⇔ ( cos x + 1) ( sin x − 1) = 2436  cos x + = ⇔ sin x − = 2437 2438 Câu 57 ( 0; 2π ) Đáp án C 2426 Câu 56 2π π + k 2π ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 Vậy ta chọn đáp án D Đáp án A cos 2x ≠ ⇔ x ≠ 2439 2440 Điều kiện: Phương π π +k 2448 trình ⇔ 6sin x − cos x = 5sin 2x.cos x 2441 2442 ⇔ 3sin x − cos3 x − 5sin x.cos x = ( *) - Với phương trình - Với ta được: 2443 cos x = : Không thỏa mãn ( *) cos x ≠ : Chia hai vế cho cos3 x 2449 2450 2451 2444 2445 ( *) ⇔ tan x ( + tan x ) − − tan x = ⇔ tan x − tan x − = ⇔ tan x = ⇔ x = 2446 Kết hợp với điều kiện vô nghiệm Đáp án A 2447 Câu 58 π + kπ ⇒ cos x ≠ ⇔ x = Phương trình π + kπ ; k ∈ ¢ 2452 Điều kiện: 2453 ⇔ sin x.cos x = sin x Phương trình ⇔ 2sin x.cos x.cos x − sin x = 2454 2455 2456 2457 ⇔ 4sin x.cos x.cos x − sin x = ⇔ ( cos x.cos x − 1) sin x = sin x = ⇔  cos x + cos x − =  sin x =  −1 + ⇔ cos x =  cos x = −1 − VN ( )  2458  x = kπ ⇔ k ∈ Z)  x = ± arccos −1 + + kπ (  2 ⇒ m+n = 2459 Câu 59 −1 + 3 + = 2 Đáp án B cos x ≠ ⇔ x ≠ 2461 Điều kiện: 2462 PT: π + kπ ; k ∈ Z ⇔ cos 2x − tan x = − cos x − ( + tan x ) 2460 cos x = −1 ⇔ cos x + cos x − = ⇔  cos x =  2 2463  x = π + k 2π π 2π ⇔ ⇔ x= +k ( k ∈ Z) π  x = ± + k 2π 3  2464 π 2π +k ≤ 70 3 x ∈ [ 1;70] ⇔ ≤ Mà 2465 ⇔ 2466 ⇒ k ∈ { 0;1; 2; ;32} 2467 [ 1;70] Vậy PT có 33 nghiệm Phương trình lượng giác chứa tham số 2468 2469 Câu 60 105 − ≤k≤ − 2π π Đáp án C 2470 thuộc 2471 ( 2sin x + 1) ( sin x − m ) = ( *) 2481 có nghiệm ( 0; π )  sin x = − ( 1)  ⇔  sin x = m ( ) π ÷  6 ( 1) ⇒ sin x = sin  − 2472 2473 2474 Giải 2483 2484 π  x = − + k 2π  ⇔ ( k ∈ Z)  x = 7π + k 2π  ⇒ 2485 PT (1) nghiệm thuộc ( 0; π ) 2475 2476 ⇒ (*) có nghiệm ⇔ sin x = m ∈ ( 0; π ) ⇔ m ∈ ( 0;1] 2477 sau: 2482 ∈ ( 0; π ) có nghiệm Chú ý: Độc giả giải cách khác 2478 2479 2480 Câu 61 sin x ∈ ( 0;1] ∀x ∈ ( 0; π ) Có ⇒ sin x = m ⇔ m ∈ ( 0;1] Đáp án A 2486 PT ( cos x − 1) ( cos 2x + cos x − m ) = − 4sin x  π π ∈ − ;   2 ⇔ ( cos x − 1) ( cos x − + cos x − m ) = ( cos x − 1) ( cos x + 1) ⇔ ( cos x − 1) ( cos x − − m ) = 2487  cos x = (1)   cos x − = ⇔ ⇔  cos x = m + (2)  cos x − −3 − m =  cos x = 2488 2489 2490 2491 2492 2493 Câu 62 Giải (1): có hai nghiệm thuộc => Phương trình có hai nghiệm thuộc  π π  − ;  ⇔ cos x = ± ⇔ (2) vô nghiệm (2)  m+3 − > m >  m + ⇔ < ⇔  m < −3   m = m +  =  4  π π  − ;  Vậy có giá trị m thỏa mãn cos x ∈ [ 0;1] ∀x ∈ R Chú ý: Đáp án C cos x + sin x + 3cos x − m = 5(*) ⇔ cos x − + − cos x + 3cos x − m − = 2494 2495 2496 ⇔ cos x + 3cos x = m + cos x = t ∈ [ −1;1] Đặt Bảng biến thiên: , phương trình ⇔ t + 3t = m + có hai nghiệm 2497 2498 => Phương trình (*) có nghiệm ⇔ −2 ≤ m + ≤ 2499 2500 Câu 63 ⇔ −7 ≤ m ≤ −1 Vậy a + b = -8 Đáp án B m sin x + ( m + 1) cos x = 2501 2502 m (*) cos x cos x ≠ Điều kiện: ( *) ⇔ m sin x cos x + ( m + 1) cos x = m m m +1 sin x + ( + cos x ) = m 2 ⇔ m sin x + ( m + 1) cos x = m − 1(1) ⇔ 2503 2504 + Từ m = ( *) ⇔ cos x = loại điều kiện ⇒m=0 nghiệm 2505 2506 m≠0 + Với => (*) có nghiệm (1) ⇔ m + ( m + 1) ≥ ( m − 1) 2 2507 2508 2509 Câu 64 Đáp án B  m ≤ −4 ⇔ m + 4m ≥ ⇔  m ≥ Vậy có giá trị m thỏa mãn cos x + ( 2m + 1) s in − m − = ⇔ − 2sin x + 2m sin x + sin x − m − = ⇔ 2sin x ( m − s inx ) − ( m − s inx ) = 2510  s inx = (1)  ⇔ ( s inx-m ) ( 2sin x − 1) = ⇔  s inx = m(2) s inx = 2511 2512 Câu 65 Đáp án D Giải (1): ln có nghiệm ⇒ ∀m phương trình có nghiệm  π  ∈  − ;π ÷   phương trình (*) vơ + tan x + tanx + cot x = m sin x ⇔ ( + cot x ) + 3tan x + tan x + cot x + − m = 2513 ⇔ ( tan x + cot x ) + tan x + cot x + − m = Đặt t = tan x + cot x ⇒ t − = tan x + cot x 2514 t ≥ ⇒ t ≤ −2 => Yêu cầu tốn trở thành tìm m để phương trình ( t − 2) + t + − m = 2515 2516 t ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) ⇔ m = 3t + t − có nghiệm t ∈ ( −∞; −2 ] ∪ [ 2; +∞ ) có nghiệm Bảng biến thiên: 2517 2518 2519 2520 2521 ⇔m≥7 => Phương trình có nghiệm Vậy có 2011 giá trị m nhỏ 2018 sin x = 2sin x cos x = cos x = ⇒  ( 1) ⇒ −m − = m − ⇔ m = cos x = cos x − = −1 + Với