ĐỀ THI chän Häc Sinh giái vßng 3 hun ThiƯu ho¸ MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài : 150 phút C©u 1: (3 ®iĨm) Cho x = 3 3 1 2 1 2 1 − − − . TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P = x 3 + 3x + 2008. C©u 2: ( 2,5 ®iĨm) H·y x¸c ®Þnh d¹ng cđa tam gi¸c ABC nÕu c¸c c¹nh x, y, z cđa nã lu«n tháa m·n ®¼ng thøc : xyzxy z zx y yz x 4 1 111 = + + + + + (vµ xy + yz + zx=1) C©u3(2.5 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC vµ hai ®iĨm M, N thø tù chun ®éng trªn hai tia BA, CA sao cho BM= CN. Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cđa MN lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh. C©u 4: ( 4 ® iĨm)Cho ∆ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ H lµ trùc t©m cđa ∆ABC. Gäi M lµ mét ®iĨm trªn cung BC kh«ng chøa A (M kh¸c B, C). Gäi N, P lÇn lỵt lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua c¸c ®êng th¼ng AB, AC. a) Chøng minh tø gi¸c AHCP néi tiÕp. b) Chøng minh 3 ®iĨm N, H, P th¼ng hµng. c) T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ ®o¹n NP lín nhÊt. C©u 5: (2,5 ®iĨm) Tính giá trò của biểu thức: M = x + y, biết: ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = C©u 6:(3 ®iĨm) T×m x; y; z tho¶ m·n hƯ sau:      −=−− −=−− −=−− xzz zyy yxx 3623 2423 223 3 3 3 C©u 7: (2,5 ®iĨm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = 9 1227 2 + − x x §¸p ¸n N I C B A M Câu 1 Đặt vu = = 3 3 12 1 ;12 . ta có: ( ) ( ) = = 2 1 1. xvu vu ( ) ( ) ( ) 200620083 323 12 1 12.3 3 33 3 3 =++ = === xx xxvuuvvuvux Vậy giá trị cần tìm của P là 2006 1,5 1 0,25 0,25 Câu 2 Tacó: Ap dụng BĐT 1 1 4 A B A B + + với mọi A, B > 0 Và c/m CĐT này 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y yz zx xy xy yz zx yz xy zx yz zx + + = + + + + + + + + + + ( ) ( ) z xy yz zx xy + + + + 1 1 1 4 4 4 x x y y z z xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy + + + + + = ữ ữ ữ + + + + + + 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 x z x y y z xy yz zx xy yz zx yz xy zx x y z xyz xyz + + + + + = + + = + + = = ữ ữ + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. 1 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3 Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I Dễ thấy IMB = INC (c-c-c) vậy ã MBI = ã NCI Xét tứ giác ABCI có ã MBI = ã NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định. 0,5 1 1 Câu 4 a) Gọi giao điểm của CH với AB là I AH với BC là K ta có tứ giác BIHK nội tiếp 1 ã ã 0 180IBK KHI+ = mà ã ã KHI AHC= ã ã 0 180IBK AHC+ = (1) P N I H K O B A C M lại có ã ã IBK AMC= (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) ã ã AMC APC= (t/c đối xứng) ã ã IBK APC= (2) từ (1), (2) ã ã 0 180APC AHC+ = tứ giác AHCP nội tiếp 0,5 b), Tứ giác AHCP nội tiếp ã ã AHP ACP= = ã ACM lại có ã ã 0 180ACM ABM+ = ã ã 0 180AHP ABM+ = mà ã ã ABM ABN= ã ã 0 180AHP ABN+ = (3) 1 Chứng minh tơng tự câu a) ta có tứ giác AHBN nội tiếp ã ã ABN AHN= (4) từ (3), (4) ã ã 0 180AHP AHN+ = N, H, P thẳng hàng 0,25 0,25 c) ã ã ã ã 2 ; 2MAN BAM MAP MAC= = ã ã ã ã 2( ) 2NAP BAM MAC BAC= + = (<180 0 ) không đổi 0,25 Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP = 2.AP.sin ã BAC NP lớn nhất AP lớn nhất mà AP = AM AM lớn nhất AM là đờng kính của đờng tròn (O) Vậy NP lớn nhất AM là đờng kính của đờng tròn 0,25 0,25 0,25 Câu 5 a) Ta coự: ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + + = + \ ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008 2008y y x x + + = + y = x + 2 2 2008 2008x y+ + Tửụng tửù ta cuừng coự: x = y + 2 2 2008 2008y x+ + Vaọy: x + y = x + 2 2 2008 2008x y+ + y + 2 2 2008 2008y x+ + x + y = x y x + y = (x + y) x + y = 0 Vaọy: vụựi ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = thỡ M = x + y = 0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Câu 6 Biến đổi tơng đơng hệ ta có =+ =+ =+ )2(3)1)(2( )2(2)1)(2( 2)1)(2( 2 2 2 xzz zyy yxx Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc: 0,5 (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1) 2 (y+1) 2 (z+1) 2 = - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2) [ ] 6)1()1()1( 222 ++++ zyx = 0 (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2 Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho 0,5 0,5 1 Câu 7 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 12 36 9 6 27 12 1 1 9 9 9 x x x x x A x x x + + = = = + + + A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 ( ) 2 6 0x = hay x = 6 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 36 4 12 9 2 3 27 12 4 4 9 9 9 x x x x x x x x + + + + = = + + + . A đạt GTLN là 4 ( ) 2 3 2 3 0 2 x x+ = = 1,25 1,25 . ĐỀ THI chän Häc Sinh giái vßng 3 hun Thi u ho¸ MƠN THI : TỐN Thời gian làm bài : 150 phút C©u 1: (3 ®iĨm). ữ ữ + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. 1 0,5 0,5 0,25 0,25 Câu 3 Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN