Đề thi chọn HSG Quốc gia Lớp 12 THPT năm 2009- Môn Toán Đề chính thức (Đây là lời giải của cá nhân tôi, mong được trao đổi góp ý của đồng nghiệp.Xin cám ơn) Gửi về: quyenmc62@yahoo.com.vn Câu 2 ( 5 điểm).Cho dãy số thực ( ) n x xác định bởi 1 1 2 x = và 2 1 1 1 4 2 n n n n x x x x − − − + + = với mọi 2n ≥ Với mỗi số nguyên dương n , đặt 2 1 1 n n i i y x = = ∑ Chứng minh rằng dãy số có giới hạn khi .Hãy tìm giới hạn đó. Giải: 1.Dễ thấy từ định nghĩa dãy số ta có dãy ( ) n x là dãy số dương và đơn điệu tăng. Và 1 2 3 1 1 . lim 2 n n x x x x x= < = < < < < ⇒ = +∞ 2.Ta có: 2 1 1 1 2 1 2 1 1 4 1 1 1 1 ( 1) ; 2 2 ( 1) n n n n n n n n n n n n x x x x x x x n x x x x x − − − − − − + + = ⇔ = + ⇔ = = − ≥ + 3.Từ đó có: 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . n n i i n n n y x x x x x x x x x x x = − = = + + + = + − + − + + − ∑ 2 1 1 1 1 1 1 6 lim & lim 6 n n n n n y y y x x x x = + − = − ⇒ ∃ = . Lớp 12 THPT năm 20 09- Môn Toán Đề chính thức (Đây là lời giải của cá nhân tôi, mong được trao đổi góp ý của đồng nghiệp.Xin cám ơn) Gửi về: quyenmc 62@ yahoo.com.vn. 3.Từ đó có: 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . n n i i n n n y x x x x x x x x x x x = − = = + + + = + − + − + + − ∑ 2 1 1 1 1 1