Tích Phân Luyện Thi I Đỗ Văn Tho 01683297530 Phương pháp đổi biến số: t  v  x  b Để sử dụng phương pháp đổi biến số ta cần chuyển tích phân f  x  dx � a b g� v x � v '  x  dx Khi ta đặt t  v  x  , đổi cận giải tích phân thành � � � a d g  t  dt � c theo biến số t Ví dụ 1: Tính tích phân e2 dx � x ln x e Nhận xét:  ln x  '  Ta thấy x Đặt t  ln x � dt  dx x �x  e � t  Đổi cận � �x  e � t  e2 e 1 dx  ln x ' dx   � � ln x e x ln x e dt  ln t � t Ví dụ 2: Tính tích phân x2 dx � x  1  ln Tích Phân Luyện Thi  x  1 ' x Nhận xét  x3   x3  1 Đỗ Văn Tho 01683297530 Đặt t  x  � dt  3x dx � dt  x dx �x  � t  Đổi cận � �x  � t  2 x2 1 dx  dt  ln t � � x  t Bài tập tự luyện: 1 �  x  1 dx x dx �4 x  2 1  ln  1 dx � x  x    � dx  sin x 4 � x 1  x  dx * Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ thường gặp: Dấu hiệu Cách chọn   x  a sin t với  �t � 2 Hoặc x  a cos t với �t � �  � a t ��  ; �\  0 x �2 2� sin t ; với a2  x2 x2  a2 Hoặc x  � � ; với t � 0;  \ � � �2 cos t a   t  2 Hoặc x  a cot t với  t   x  a tan t với  a2  x2 Tích Phân Luyện Thi ax ax ax ax  x  a  b  x Đỗ Văn Tho 01683297530 x  a.cos2t x  a   b  a  sin t Ví dụ: Tính tích phân 2 �1  x Đặt x  sin t với  dx   �t � 2 dx  cos tdt �x  � t  � Đổi cận �  �t  �x  � 2    cos t dx  cos tdt  dt  � dt  t � � � 2 cos t 1 x 0  sin t 0 Ví dụ: Tính tích phân �x x 1 dx cos t �� 0; � , t �� Suy dx   dt sin t sin t � 2�  � x  � t  � � Đổi cận: � �x  � t   � 3 Đặt x     Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530   cos t � cos t � dx   dt   dt � � � � � 2 1 � sin t �    sin t x x 1  6 sin t sin t   6 cos t      � dt  � dt     6  cos t  Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tích phân: a I  2 �1  x c I  �  x b I  dx �4  x dx 1  dx x  x dx d I  � Bài 2: a I  2 dx �1  x  d I  � b I  2 x �1  x 1 x  1  x2 g I � x dx 2 dx e I  � 2 dx x2  a I  � dx x 1 2 x2 dx dx f I  � 4 x 4 x  x  xdx h I  � �1  x dx Bài 3: c x3 x2 dx b I  � x 4 Tích Phân Luyện Thi I � dx c x x 4 Đỗ Văn Tho 01683297530 2x dx d I  � x  x 1 Bài 4: a I  x 1 x � x  x dx b I  � 33 dx x2  e I  � dx x 1 dx d I  � 2 x x 1 Bài 5: 2 x dx � 2 x 2  3x dx c I  � x f �x 1  x 1 dx 1 x dx �  x 1 * Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ thường gặp: a I  b I  Dấu hiệu Hàm f   '  x  ,  x   Hàm có mẫu số  Hàm f x,   x  Hàm f  x   Hàm f  x   Có thể đặt Đặt t    x  Đặt t mẫu số Đặt t    x   * Với x  a  x  b  Đặt t  x  a  x  b * Với x  a  x  b  , đặt t  x  a  x  b x x Đặt t  tan với cos �0 2  x  a  x  b a.sinx  b.cos x c.sinx  d cos x  e Ví dụ: Tính tích phân cos x.sin x I � dx  sin x Đặt t   sin x � dt  2sin x cos x Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 �x  � t  � Đổi cận: �  x  �t  � �  t  1 dt  �1  �dt cos x.sin x sin x.cos x.sin x dx  dx  Ta có � �  sin x  sin x 2t 2� t � � 1� 1  dt  t  ln t    ln    Khi I  � � � 1� t � 2 Ví dụ: Tính tích phân xdx I � x  x2  Đặt t  x  x  , ta t  x  x  �  t  x   x  � t  2tx  x  x  t2 1 t2 1 � x � dx  dt 2t 2t t2 1 t2 1 dt t  1 dt � �  xdx Khi ta có I  t t � �  � 1 � dt � � t t t � � x  x 1 1� � 1  � t  � C  x  x   C � 3t � 2 x  x 1     Ví dụ: Tính tích phân I �x * Cách 1:  � � Đặt x  tan t với t ��0; � � 2� Suy dx  dt    tan t  dt    t  dt cos t dx x2  Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530  � x 1� t  � � Đổi cận: � �x  � t   � Khi I �x  dx x2    tan t  dt    tan t  dt 2 � � tan t  tan t  tan t       4 4 d  cos t  cos t  cos t dt sin t � dt  �  � dt  �  ln cos t    sint.cos t  sin t  sin t  cos t  1� 2 � 1� 1 �  � ln  ln ln  ln � � � 2� 2 � 2� 1� * Cách 2: Viết lại I  �2 x xdx x2  Khi ta đặt u  x  � du  xdx x2  * Cách 3: Đặt u  x  x  Suy u  x  x  �  u  x   x  � u  2ux  x  x  � x  � du  � 1 �  � dx  x  x  � x 1 � x  dx x2  � dx x2  Ví dụ: Tính tích phân I  3x dx � x Sử dụng tích phân phần 3x � du  dx � u   3x � � �  3x �� Đặt � 1 dv  dx � � v x � � x  du u u2 1 2u Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 3 �  3x �  3� dx Khi I   � � � x �  x � � dx Giải M  �  3x �  � Đặt x  tan t với t �� ; �� dx  dt cos t �2 2� Giải tiếp tục Bài tập tự luyện: Bài 1: x   x  dx a I  � 19 x   x  dx b �   3x    x  3x d I  � x   x  dx c I  �  10 10 dx Bài 2: Tính nguyên hàm tích phân sau: x 3dx x dx x  1 dx  I  �x8  a �2 b c I  �x4  x    Bài 3: Tính nguyên hàm sau: dx  x  dx  a I  � b I  � x  x  1 x   x4  x d I  �  1 dx x4  dx I  c � x  x  1  x  1 dx d I  �4 x  x3  3x  x  Bài 4: Tính nguyên hàm tích phân sau: x  xdx a I  � b I  � x   2x 53  2 dx x dx c I  � 1 x Bài 5: Tính nguyên hàm tích phân sau: xdx dx I  I  a b � � 2x 2x  1  x   x2 dx dx I � I  c d � 3 x 1 � x  1  1�  x  x  2x    � � � � xdx d I  � x 1 Tích Phân Luyện Thi x  x  1 dx  e I  �  3x   x  Đỗ Văn Tho 01683297530  8x3  24 x2  15 x  dx f I  �  8x  16 x  1 x2  x Bài 6: Tính nguyên hàm tích phân sau tan x dx dx a I  � b I  � cos2 x sin x  2sin x  dx d I  � sinx.cos3 x e I  sin x dx �  sin x Bài 7: Tính nguyên hàm tích phân sau  t anx dx a I  � c os x  sin x cos x   sin x c I  � dx cos x  sin x cos x f I  dx �  cos x  cos x b I  dx � 11  7sin x  c os x  dx cos x c I  d I  dx � � sinx  cos x   5sin x  sin x 0 2dx cos x  sinx.cos x dx dx e I  � f I  � 2sin x  cos x   sinx Bài 8: Tính nguyên hàm tích phân sau 2 sin xdx a I  � cos x sinx dx b I  �  sin x  sinx cot xdx c I  � sin x  dx sinx dx e I  � dx d I  � sin x cos x cos x sin x  Bài 9: Tính nguyên hàm tích phân sau: e dx  ln x dx dx dx b I  � x c I  �2 x I  a I  � d � 2x  ex e x  4e  x 1 e e ln 2x x dx e  e dx e x dx e I  � x f I  �2 x g I  � x  3e  e ex  e e x e x  2e x  2dx h I  � Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 * MỘT VÀI THỦ THUẬT ĐỔI BIẾN KHÁC: a Với I  �f  x  dx lựa chọn việc đặt x  t a  2 Với I  f  x  dx lựa chọn việc đặt t  �   x f  x  dx lựa chọn việc đặt t    x Với I  � Với I  2 �f  x  dx lựa chọn việc đặt t  2  x b x f  x  dx lựa chọn việc đặt x  a  b  t Với I  � a Ví dụ: tính tích phân I� x 2004 sinxdx 1 x sin xdx  � x 2004 sin xdx Viết lại I  � 2004 1 (1) 0 x 2004 sin xdx Đặt x  t � dx  dt Xét tích phân J  � 1 �x  1 � t  Đổi cận � �x  � t  0  t  Khi J   � 2004 1 sin  t  dt   � t sin tdt   � x 2004 sin xdx Thay (2) vào (1) ta I  2004 0 Ví dụ: Tính tích phân 10 (2) Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 Chú ý: S phần giới hạn đường thẳng y   x phần đối xứng phía trục hồnh ứng với f  x   phần y   x  x  phá trị tuyệt đối 2 là: y  x  x     x  x     � S3  �x  x     x  dx  �  x  x  3   x �  � �dx 2 � x3 � �   x  5x  6 dx  �  x  6x �32  16 � � Tương tự ta có S3 phá trị tuyệt đối giống S 13 � S  S1  S  S3     (đvdt) 6 6 * Lưu ý: Đối với toán tính diện tích hình phẳng đơn giản ta �b � f  x  dx �bằng cách xét dấu f  x  Nhưng phá trị tuyệt đối �� �a � toán phức tạp ta cần vẽ hình để giải nhìn hình để phá trị tuyệt đối �b � f x dx   �� �bằng cách đồ thị nằm phía ta lấy đồ trừ cho �a � đồ thị phần phía Giả sử toán phần tính diện tích S1 ta thấy đường thẳng y   x nằm phía đường cong y  x  x  nên ta có 3 x  x �   x  dx ta khỏi phải đặt 3 x  x �  x  dx Ngược lại ta thấy phần S3 phần y  x  x  lại nằm phía y   x   S3  �x  x     x  dx * Bài toán 4: Yêu cầu tốn: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ba hàm số y  f  x ; y  g  x ; y  h  x ” - Bước 1: Giải phương trình f  x   g  x   f  x   h  x   g  x  h  x  28 Tích Phân Luyện Thi - Bước 2: Thiết lập cơng thức tính diện tính Đỗ Văn Tho 01683297530 x2 27 Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ; y  ; y  x Diện tích S ta cần xác định diện tích hình SOAB Ta tìm cận: � 27 � �x  x � O   0;0  �2 � 27 �x � � �A   3,9  �  x �8 � 9� �2 x �B  � 6; � � �x  � � 2� � � � x � �27 x � S� dx  � dx  27 ln (đvdt) �x  � �  � x � 3� � 0� * Bài toán 5: Tính diện tích hình tròn – Elip – Parabol Ví dụ: Cho parabol y  x chia hình phẳng giới hạn đường tròn x  y  29 Tích Phân Luyện Thi thành hai phần Tính diện tích phần Đỗ Văn Tho 01683297530 Trước giải toán ta thử xem xét tính chất đường tròn parabol - Đường tròn x  y  có tâm gốc tọa độ O   0;0  , bán kính R2 - Parabol y  x có đỉnh gốc tọa độ O   0;0  phần lõm nằm hoàn toàn bên phải trục tung đối xứng qua trục hoành Ta xem hình vẽ sau: Diện tích S cần xác định S  S1  S2  S3 , ta để ý thấy S3  S1  S Như ta viết lại S   S1  S    S1  S2  � x  dx  2 0 �  x 2 2 S1  �2 xdx  � x dx    dx  �2 xdx  2 S2  �8  x Đặt x  2 sin t � dt  2 cos tdt  � x  � t  � � Đổi cận � �x  2 � t   � 30 2 �8  x 2 dx Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530  � S2  � 2 cos t.2 cos tdt     4 �8 � S   S1  S   �    � 2  (đvdt) �3 � Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay: * Bài tốn 1: u cầu tốn: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn y  f  x  , x  a, x  b, y  quay quanh trục Ox ” Ta áp dụng công thức: b b V � y dx   � f  x  dx a a Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e x , trục hoành hai đường thẳng x  0; x  Thể tích vật thể tính bởi: 3   V � y dx   � e x dx  e x 30   e6  1 (đvtt) 2 0 * Bài toán 2: u cầu tốn: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn x  f  y  ; y  a; y  b; x  , quay quanh trục Oy ” b b x dy   � f  y  dy Ta áp dụng công thức: V   � a a Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quanh quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x , trục tung đường thẳng y  y Ta biến đổi hàm dạng y   x   y với � Thể tích vật thể tính : 3 V � x dy   �   y  dy  2 (đvtt) 1 31 y Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 * Bài toán 3: u cầu tốn: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b quay quanh trục Ox ” Ta áp b f  x   g  x  dx dụng công thức: V   � a Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quanh quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  x y   x Phương trình hồnh độ giao điểm x   x � x  �1 Thể tích vật thể tròn xoay tính 16 (đvtt) 1 1 1 * Bài toán 4: Yêu cầu tốn: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn x  f  y  ; x  g  y  ; y  a; y  b quanh quanh trục Oy ” Ta áp V  � x  2 x  2 1 dx   � x  dx  4 �   x2  dx  b f  y   g  y  dy dụng cơng thức V   � a Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quanh quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  x y   x x 1� y 1 � 2 x   x � x  x   � Phương trình hồnh độ giao điểm � x 2� y 2 � Thể tích vật thể cho bởi: 2 1 V � y    y  dy   � y  dy  4 �  y  1 dy  10 (đvtt) 2 * Bài tốn 5: u cầu tốn: “Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền (D) giới hạn đường cong (C) khép kín”  Trường hợp 1: Khi quanh quanh trục Ox , ta thực sau: - Bước 1: Phân đường cong kín (C) thành hai cung:  C1  : y  f1  x  y1  C2  : y  f  x   y2 với a �x �b f1  x  ; f  x  khơng âm 32 Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 b y12  y22 dx hay - Bước 2: Thể tích cần xác định cho V   � a b V � y dx a  Trường hợp 2: Khi quanh quanh Oy, ta thực sau: - Bước 1: Phân đường cong kín (C) thành hai cung  C1  : x  f1  y   x1  C2  : x  f2  y  x2 với a �y �b f1  y  ; f  y  dấu b x12  x22 dy hay - Bước 2: Thể tích cần xác định cho V   � a b V � x dy a Ví dụ: Cho đường trìn (C) tâm I  0;  , bán kính R  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi: a Quay (C) quanh trục Ox b Quay (C) quanh trục Oy Đường tròn (C) có dạng x   y    a Quay (C) quanh trục Ox Ta phân đường tròn (C) thành phần y  f1  x     x với x � 1;1 phần y  f  x     x với x � 1;1 33 Tích Phân Luyện Thi Khi thể tích vật thể cần tính � V  �  1 x    x2 � 1 � Đặt x  sin t � dx  cos tdt  � x   � t   � � Đổi cận � �x  � t   �    � V  8  cos t cos tdt  4 �   2 Đỗ Văn Tho 01683297530  � dx  8 �1  x dx � � 1 (đvtt) b Quay quanh trục Oy Nhận xét: Nếu ta quay quanh đường tròn (C) quanh trục Oy tạo thành 4 hình cầu tâm I   0;  bán kính R  Khi V   R   (đvtt) 3 Nếu ta tính phương pháp tích phân: 3 4 2 V � x dy   �   y   dy  (đvtt) 1   x2 Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh elip  y  quanh trục hoành � y   x � Chia elip thành phần � với x � 2; 2 � y2    x2 � 2  8 2 y dx  �  x dx  Thể tích cần tìm V   �   (đvtt) 2 2 Bài tập tự luyện 34 Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường x  x   0; x  y   Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường y  x ; y   x; y  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường y   x   ; y  Tính thể tích khối tròn xoay tọa nên quay D quanh: a Trục Ox b Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường y   x ; y  x  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên quay D quanh trục Ox x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn đường y  ; y  Tính thể tích khối x 1 tròn xoay tạo nên quay D quanh trục Ox Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  x  3; y  x  x  1 x Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  0; y  x 1 Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ; y   x Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  2; y  x; x  1; x  Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x; y  x  cos x; x  0; x   Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y   x  x; y  x Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a y   x  1 ; y  e x ; x  0; x  b y  x  x  3; y  2 x  6; x  0; x  Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 a y  ; x  0; y  2; y  2 b y  x; y  x; y  0; y  Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a y  x  x; y  x 35 Tích Phân Luyện Thi b y  x  x  ; y  Đỗ Văn Tho 01683297530 c y  x  x  2; y  x  d y   x ; y   x  Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a y   x ; y  x  x b y  x3  x  x  6; y  c y  x3 ; y   x d y  x ; y   y Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 a y  ;y   x2 2 b x  x  y  0; x  y  ; x2  y c y  x 4 d x  y  0; y    x Bài 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a y  x   0; x  y   b y  x  1; y  x  Bài 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 a y  x ; y  ; y  x b y  x  x  2; y  x  x  5; y  Bài 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y  x  x  , tiếp tuyến với điểm M  5,3 trục tung Bài 20: Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y  ; y  0; x  1; x  quay quanh trục Ox x Bài 21: Cho hình phẳng (H) giới hạn y  x  x; y  0; x  1; x  a tính diện tích (H) b Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh (H) quay quanh Ox Bài 22: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 36 Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 ; x2  y a y  x 4 b x  y  0; y    x Bài 23: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  x.e x ; x  0; x  quay quanh trục Ox BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tính tích phân sau:   2 1) cos3 x sin xdx ĐS: 2) cos5 xdx ĐS: � � 15 15  sin x dx ĐS: �  cos x 3)  4) sin x   sin x  dx ĐS: �  12ln  6ln e e 5)  ln x dx � x ĐS: 2ln  ln 9) �  12) e  1 dx ln  tan x  dx � sin x  1  ln x dx x 7) 1 x � � x  dx 8)  sin x �   sin x   2ln 3 ex x 6) 15 10)   x e  x  dx 11) � 1 2x e  3ln x ln x dx 14) 13) � x x dx (ĐS: ) 15) � 2x  1 x  11 dx (ĐS: ln ) 17) �2 x  5x  2 �x 18) x2  x �  x  1 dx x  xdx (ĐS: 16) � dx ) 15 2x  1 dx ln  ) (ĐS: � x  x  4 37 dx Tích Phân Luyện Thi x3 dx (ĐS: 3ln  ) 19) �2 x  2x   23) cos 2xdx (ĐS: �  3 ) 18 24)  sin x  cos2 x dx (ĐS: 1) � sin x  cos x  dx  ln (ĐS: ) x � e  e  26) 28) 30) �x  3x  dx (ĐS: ) 32) x  dx 33) � x  34) )  dx � x 39) dx 36) �2 1 x  x  ln x  x   x   dx (ĐS: � cos x dx ĐS: 35) �  cos x e sin xdx 41) � 2  x �x  dx (ĐS: 12) dx ln (ĐS: ) � x  x  2 3 1  x dx ) 3 x � dx  29) �2 (ĐS: ) 1 x  x  38)  cos x  sin x  dx (ĐS: �  sin x ln ) 27) (ĐS: dx � 2cos3 x  5 3  64 48 22)  sin x dx (ĐS:  ln ) � cos x  31) 25)  sin x  cos x  dx ĐS: �  4sin x 21) dx (ĐS: 2) �  cos x  20) Đỗ Văn Tho 01683297530  �e  x 2 37) x x 1 dx � x 5 x x  1dx 40) � dx 2 sin xdx ĐS: 2 42) � 38 43) ln   x  �x dx Tích Phân Luyện Thi x ln   x  dx 44) � e 45) ln x dx � x 46) Đỗ Văn Tho 01683297530   x  cos x  sin xdx ĐS: �  sin x  cos x  dx DS: � sin x  2cos x   3x  1 dx 3 �1 � ln  arctan � � ln  49) � 5 10 �2 �  x  3  x  1 e x x dx 48) 47) �  x2  dx 50) �4 x 1 1 e x sin xdx (DS:   e 2 51) � 8 52) dx � x   x 1  53) dx � x  4x  54) 2 tan x  cot x  2dx (DS:  ln  2ln ) �   56)  dx 55) � �  � (DS: 2ln  2ln )  sin x sin �x  � � 6� sin xdx �sin x  cos x  cos x 59) dx 4 � cos x  sin x  62) sin x cos 2 xdx � 65) �x  dx  3x   57) x  x dx �  sin x 60) � dx  cos x  63) x  sin x dx � cos x 58) x 1 dx � 3x   sin x cos x 61) dx �  cos x 64) � x x 1 x3  x  10 x  dx 67) 66) � x  2x  39 x3 dx x  3x  10 dx � x  2x  Tích Phân Luyện Thi x 1 x 68) �  ln dx  ex 69) � x dx 1 e e 71) dx � x2   x  72) dx 74) � x  x  1 dx 77) �2 x e  ex ln3 80) x 2 x2 �1  x dx xe dx 81) � 84) x  sin x dx 86) � x  1 x  x dx 89) �  dx 92) � sin x  cos x x dx 95) � 4 x 87) 73) e x cos xdx � 76) 3dx � 1 x x   x  dx 85) �  x  1 cos xdx � dx �  sin x  cos x x sin xdx 88) �  x sin xdx 91) � dx � x 1 94)  sin xdx �  cos x  dx 96) �x e 1  19 0  99) 4sin x dx �  cos x x2 dx 79) �2 x  x  12  xdx 90) �2 x 2 1 93)  2 82) x  x dx 98) �  2x dx 83) �2 x 3 e dx  1  1 �  1 x tan xdx 78) � dx �e 75) ln x Đỗ Văn Tho 01683297530 ln dx 70) �x e 5 sin xdx 97) � cos x cos x dx � sin x  cos x 40 100)  sin x dx � sin x  cos x Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 5 cos x dx 101) � cos x  sin x 3  102) 5e x sin xdx � 3x  dx 104) � x  1  107) sin x  2cos x dx � 3sin x  cos x 110) � x 1 1 113) 116) dx  x �    x  dx x2  dx �  tan x 2 119) sin � xdx x x  1dx 122) � 128)  sin xdx � sin x  cos x  sin xdx � cos x  e x ln xdx 131) � dx 105) � x4 x2 1  2cos xdx �  2sin x x  x dx 106) �  109) ln �1  sin x � dx � � �  cos x � � sin x cos xdx 108) � 1  x2 dx e sin x  e x dx 112) � 111) �  x 1  x x   sin x cos3 xdx 114) � 115) 117)  sin x dx 6 � sin x  cos x e 125) x 103)   ln x dx 120) � x  4 sin xdx 123) � sin x  cos x 118) 129) x2  dx 121) � x   cos xdx 124) � sin x  cos x 127) 130) x  x dx 132) � 41  1 sin xdx x sin x dx �  4cos x  x � 0   xdx �  x  1 x 1 dx � 3 x  e ln xdx 126) � x  ln x  1 x dx � x 1 1 133) x sin xdx �  cos x Tích Phân Luyện Thi 134) 137)  sin xdx � sin x  cos x  sin xdx �  sin x e x sin   x  dx 140) � Đỗ Văn Tho 01683297530 135) 138) e dx 143) � sin xdx �  cos x �1 x�  e dx 141) � � �  x � � 144) �1  x x  x   dx 146) � 20 136) 147) dx 1 e  � x ex 42 dx x4 dx � x   139) sin x cos3 xdx �  x x  11 dx � x  5x  142) x  dx � e  ln x dx 145) � x ln e x  3e dx 148) �2 x x  3e  e ... Tính tích phân  I � x.sin x cos xdx Đặt t    x Giải ta I   Ví dụ: Tính tích phân: 11 Tích Phân Luyện Thi Đỗ Văn Tho 01683297530 I 2 x cos � xdx Đặt t  2  x Giải ta I  Bài tập tự luyện. .. dv  e dx � Ví dụ: Tính tích phân  I � e2 x sin xdx 13 Tích Phân Luyện Thi u  sin x �  e Đặt � Giải I  2x dv  e dx 13 � Đỗ Văn Tho 01683297530 Bài tập tự luyện Bài 1: e ln xdx a I  �...  x � � Bài 3: Tính tích phân sau: a I  2 x cos � xdx b I  ln   t anx  dx � Bài 4: Tính tích phân a I   x  sinx dx b I  � x  1  x  cos x dx �  sin x   Bài 5: Tính tích phân sau