BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi rr r i, j , k vecto đơn vị tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đecac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz Tọa độ vecto r r r r r a Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk r r a = a ; a ; a ; b b Tính chất: Cho ( ) = ( b1; b2 ; b3 ) ; k ∈ R r r • a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r • ka = ( ka1; ka2 ; ka3 ) a = b r r  1 • a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r r r • = ( 0;0;0 ) ; i = ( 1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) a1 = kb1 r r r r r r a a a  • a phương b, b ≠ ⇔ a = kb; ( k ∈ R ) ⇔ a2 = kb2 ⇔ = = b1 b2 b3 a = kb  rr • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r2 • a = a12 + a22 + a32 r r rr • a ⊥ b ⇔ a.b = r • a = a12 + a22 + a32 rr r r r r a.b a1b1 + a2b2 + a3b3 cos a , b = = r r a • với , b ≠ a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 ( ) ( ) ( Tọa độ điểm Tính chất: Cho A ( x A ; y A ; z A ) ; B ( xB ; yB ; z B ) uuu r • AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) • • AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) 2 Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k, ( k ≠ 1) :  x − kxB y A − ky B z A − kz B  M A ; ; ÷ − k − k 1− k   ) Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ  x + xB y A + y B z A + z B  ; ; Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A ÷ 2    x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  ; ; • Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: G ữ 3 Ta trọng tâm tứ diện ABCD:  x + xB + xC + xD y A + y B + yC + yD z A + z B + zC + z D  G A ; ; ÷ 4   Tích có hướng củar hai véctơ r a Định nghĩa: Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) r r r r  a a3 a3 a1 a1 a2   a, b  = a ∧ b =  ; ; ÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )   b b b b b b 3 1   Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b Tính chất r r r r r r •  a, b  ⊥ a ;  a, b  ⊥ b r r r r r r •  a, b  = a b sin a, b r r r r r • a, b phương ⇔  a, b  = c Ứng dụng tích có hướng r r r rr r uuu • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = uuu r uuur • Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD =  AB, AD  r uuur uuu • Diện tích tam giác ABC: SVABC =  AB, AC  uuu r uuur uuur • Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  AA ' r uuur uuur uuu • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD =  AB, AC  AD Chú ý: - Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng - Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác, tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp, chứng minh vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng, r chứng r rminh r vectơ phương a ⊥ b ⇔ a.b = r r r r r   ⇔ a , b = phương a b   r r r r rr a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = • ( ) Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ Phương trình mặt cầu - Phương trình mặt cầu (S) tâm I ( a; b; c ) , bán kính R ( x − a) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 2 - Phương trình x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b + c − d > phương trình mặt cầu tâm I ( −a; −b; −c ) bán kính R = a + b + c − d Bài tập: r r r r Bài 1: Cho a = ( 2; −5;3) , b = ( 0;2; −1) , c = ( 1;7;2 ) Tìm tọa độ vectơ u với: r r 2r r r 1r r r r r r u = − b + c a u = 4a − b + 3c b u = a − 4b − 2c c r r r r r r r r r r 3r 2r u = a − b − c u = a − b− c d u = 3a − b + 5c e f r Bài 2: Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: r r r r r r r r a a + x = với a = ( 1; −2;1) b a + x = 4a với a = ( 0; −2;1) r r r r r a = 5;4; − , b c a + x = b với ( ) = ( 2; −5;3) r r r Bài 3: Cho ba vectơ a = ( 1; −1;1) , b = ( 4;0; −1) , c = ( 3;2; −1) Tìm rr r r rr r r r2 r r2 r a a .b c b a bc c a b + b c + c a r r r r r2 r rr r r d 3a − ab b + c b e 4ac + b − 5c r r Bài 4: Tính góc hai vectơ a, b : r r r r a a = ( 4;3;1) , b = ( −1;2;3) b a = ( 2;5;4 ) , b = ( 6;0; −3) r r r r c a = ( 2;1; −2 ) , b = 0; − 2; d a = 3;2;2 , b = 3;2 3; −1 r r r r a = − 4;2;4 , b = 2; − 2;0 ( ) a = 3; − 2;1 , b e f ( ) = ( 2;1; −1) r Bài 5: Tìm vectơ u biết r r r a = ( 2; −1;3) , b = ( 1; −3;2 ) , c = ( 3;2; −4 ) a  r r rr rr a u = 5, ub = − 11, u c = 20  r r r a = ( 2;3; −1) , b = ( 1; −2;3) , c = ( 2; −1;1) b  r r r r r r u ⊥ a, u ⊥ b, u.c = −6 r r r a = ( 2;3;1) , b = ( 1; −2; −1) , c = ( −2;4;3 ) c  r r rr rr a.u = 3, b.u = 4, c.u = r r r a = ( 5; −3;2 ) , b = ( 1;4; −3) , c = ( −3;2;4 ) d  r r rr rr a.u = 16, b.u = 9, c.u = −4 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Hệ tọar độ rkhông gianr Đỗ Văn Thọ a = ( 7;2;3) , b = ( 4;3; −5 ) , c = ( 1;1; −1) e  r r rr r r a.u = −5, b.u = −7, c ⊥ u r r Bài 6: Cho hai vectơ a, b Tìm m để: r r a = ( 2;1; −2 ) , b = 0; − 2;  a  r r rr r r r r u = 2a + 3mb, v = ma − b, u ⊥ v r r a = ( 3; −2;1) , b = ( 2;1; −1) b  r r rr r r r r u = ma − 3b, v = 3a + 2mb, u ⊥ v r r a = ( 3; −2;1) , b = ( 2;1; −1) c  r r rr r r r r u = ma − 3b, v = 3a + 2mb, u cung phuong v r r r r rr c Bài 7: Cho ba vectơ a, b, c Tìm m để =  a, b  r r r a a = ( 3; −1; −2 ) , b = ( 1;2; m ) , c = ( 5;1;7 ) r r r a = 6; − 2; m , b = 5; n ; − , c b ( ) ( ) = ( 6;33;10 ) r r r c a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1) r rr Bài 8: Xét đồng phẳng ba vectơ a, b, c trường hợp sau r r r r r r a a = ( 1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3 ) b a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = ( 1;2;1) r r r r r r c a = ( −3;1; −2 ) , b = ( 1;1;1) , c = ( −2;2;1) d a = ( 4;2;5 ) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1) r r r e a = ( 2;3;1) , b = ( 1; −2;0 ) , c = ( 3; −2;4 ) r r r a = 5;4; − , b = − 2;3;0 , c f ( ) ( ) = ( 1;7; −7 ) r r r g a = ( 2; −4;3) , b = ( 1;2; −2 ) , c = ( 3; −2;1) r r r h a = ( 2; −4;3) , b = ( −1;3; −2 ) , c = ( 3; −2;1) r rr Bài 9: Tìm m để ba vectơ a, b, c đồng phẳng r r r a a = ( 1; m;2 ) , b = ( m + 1;2;1) , c = ( 0; m − 2;2 ) r r r b a = ( 2m + 1;1;2m − 1) , b = ( m + 1;2; m + ) , c = ( 2m; m + 1;2 ) r r r a = m + 1; m ; m − , b = m − 1; m + 2; m , c c ( ) ( ) = ( 1;2;2 ) r r r d a = ( 1; −3;2 ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2;2 ) r rr r r rr Bài 10: Cho vectơ a, b, c, u Chứng minh ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Biểu diễn r rr r vectơ u theo vectơ a, b, c r r r a = ( 2;1;0 ) , b = ( 1; −1;2 ) , c = ( 2;2; −1) a  r u = ( 3;7; −7 ) ( ) Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ r r r a = ( a; −7;9 ) , b = ( 3; −6;1) , c = ( 2;1; −7 ) b  r u = ( −4;13; −6 ) r r r a = ( 2; −3;1) , b = ( −1;2;5 ) , c = ( 2; −2;6 ) c  r u = ( 3;1;2 ) r r r a = ( 1;0;1) , b = ( 0; −1;1) , c = ( 1;1;0 ) d  r u = ( 8;9; −1) r r r a = ( 1;0;2 ) , b = ( 2; −3;0 ) , c = ( 0; −3;4 ) e  r u = ( −1; −6;22 ) r r r a = ( 2; −1;1) , b = ( 1; −3;2 ) , c = ( −3;2; −2 ) f  r u = ( 4;3; −5 ) r r r ur Bài 11: Chứng tỏ bốn vectơ a, b, c, d đồng phẳng r r r ur a a = ( −2; −6;1) , b = ( 4; −3; −2 ) , c = ( −4; −2;2 ) , d = ( −2; −11;1) r r r ur b a = ( 2;6; −1) , b = ( 2;1; −1) , c = ( −4;3;2 ) , d = ( 2;11; −1) r rr ur Bài 12: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng vectơ d Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng rru r r r r r ur r r a b, c, d = ma + nb (với m, n ≠ ) b a, c, d = ma + nb (với m, n ≠ ) r r ur r r r c a, b, d = ma + nb + pc (với m, n, p ≠ ) r r ur r r r d b, c, d = ma + nb + pc (với m, n, p ≠ ) r r ur r r r e a, c, d = ma + nb + pc (với m, n, p ≠ ) * Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diệ tích – thể tích uuu r uuur uuu r uuur r uuuruuur - A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC phương ⇔ AB = k AC ⇔  AB, AC  = uuu r uuur - ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC Cho ∆ABC có chân E, F đường phân giác ngồi góc A ∆ABC uuu r uuu r AB uuur AB uuur EC FB = FC BC Ta có EB = − AC AC uuu r uuur uuur - A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng uuu r uuur uuur ⇔  AB, AC  AD ≠ Bài 1: Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: a A ( 1;3;1) B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;1) b A ( 1;1;1) , B ( −4;3;1) , C ( −9;5;1) c A ( 10;9;12 ) , B ( −20;3;4 ) , C ( −50; −3; −4 ) Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ d A ( −1;5; −10 ) , B ( 5; −7;8 ) , C ( 2;2; −7 ) Bài 2: Cho ba điểm A, B, C - Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác - Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC - Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành - Xác định tọa độ chân E, F đường phân giác ngồi góc A ∆ABC BC Tính độ dài đoạn phân giác - Tính số đo góc ∆ABC - Tính diện tích ∆ABC Từ suy độ dài đường cao AH ∆ABC a A ( 2;5;; −3) , B ( 1;0;0 ) , C ( 3;0; −2 ) , D ( −3; −1;2 ) b A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1) c A ( 1;1;0 ) , B ( 0;2;1) , C ( 1;0;2 ) , D ( 1;1;1) d A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , C ( 0;0;6 ) , D ( 2;4;6 ) e A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3;7 ) , D ( −5; −4;8 ) f A ( 5;7; −2 ) , B ( 3;1; −1) , C ( 9;4; −4 ) , D ( 1;5;0 ) g A ( 2;4;1) , B ( −1;0;1) , C ( −1;4;2 ) , D ( 1; −2;1) h A ( −3;2;4 ) , B ( 2;5; −2 ) , C ( 1; −2;2 ) , D ( 4;2;3 ) i A ( 3;4;8 ) , B ( −1;2;1) , C ( 5;2;6 ) , D ( −7;4;3 ) j A ( −3; −2;6 ) , B ( −2;4;4 ) , C ( 9;9; −1) , D ( 0;0;1) Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ - Tìm tọa độ đỉnh lại - Tính thể tích khối hộp a A ( 1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , D ( 1; −1;1) , C ' ( 4;5; −5 ) b A ( 2;5; −3) , B ( 1;0;0 ) , C ( 3;0; −2 ) , A ' ( −3; −1;2 ) c A ( 0;2;1) , B ( 1; −1;1) , D ( 0;0;0 ) , A ' ( −1;1;0 ) d A ( 0;2;2 ) , B ( 0;1;2 ) , C ( −1;1;1) , C ' ( 1; −2; −1) Bài 4: Cho điểm S ( 3;1; −2 ) , A ( 5;3;1) , B ( 2;3; −4 ) , C ( 1;2;0 ) a Chứng minh SA ⊥ ( SBC ) ; SB ⊥ ( SAC ) ; SC ⊥ ( SAB ) b Chứng minh S.ABC hình chóp c Xác định tọa độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Bài 5: Cho điểm S ( 1;2;3) , A ( 2;2;3) , B ( 1;3;3 ) , C ( 1;2;4 ) a Chứng minh SA ⊥ ( SBC ) , SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB ) b Gọi M, N, P trung điểm BC, AC, AB Chứng minh SMNP tứ diện c Vẽ SH ⊥ ( ABC ) Gọi S’ điểm đối xứng H qua S Chứng minh S’.ABC tứ diện * Phương trình mặt cầu Hệ tọa độ khơng gian Đỗ Văn Thọ Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R ( S ) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 Dạng 2: ( S ) có tâm I ( a; b; c ) qua điểm A: Khi bán kính Dạng 3: ( S ) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính 2 R = IA - Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: x + xB y + yB z +z xI = A ; yI = A ; zI = A B 2 AB - Bán kính R = IA = Dạng 4: ( S ) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) 2 - Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( *) - Thay tọa độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình - Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước - Xác định tâm J bán kính R’ mặt cầu (T) - Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b + c − d > ( S ) có tâm I ( −a; −b; −c ) có bán kính R = a + b + c − d Bài 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu sau a x + y + z − x + y + = b x + y + z + x + y + −2 z − = c x + y + z − x − y + z = d x + y + z − x + y − z − 86 = e x + y + z − 12 x + y − z + 24 = f x + y + z − x − 12 y + 12 z + 72 = g x + y + z − x + y + z − = h x + y + z − 3x + y = i x + y + z + x − y + 15 z − = j x + y + z − x + y − z + 10 = Bài 2: Xác định m, t ,α , để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu đó: 2 2 a x + y + z − ( m + ) x + 4my − 2mz + 5m + = 2 2 b x + y + z − ( − m ) x − ( m + 1) y − 2mz + 2m + = Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R a I ( 1; −3;5 ) , R = b I ( 5; −3;7 ) , R = c I ( 1; −3;2 ) , R = d I ( 2;4; −3) , R = Bài 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ a I ( 2;4; −1) , A ( 5;2;3) b I ( 0;3; −2 ) , A ( 0;0;0 ) c I ( 3; −2;1) , A ( 2;1; −3) d I ( 4; −4; −2 ) , A ( 0;0;0 ) e I ( 4; −1;2 ) , A ( 1; −2; −4 ) Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB: a A ( 2;3; −1) ; B ( 5;2;3) b A ( 0;3; −2 ) , B ( 2;4; −1) c A ( 3; −2;1) , B ( 2;1; −3 ) d A ( 4; −3; −3) , B ( 2;1;5 ) e A ( 2; −3;5 ) , B ( 4;1; −3) f A ( 6;2; −5 ) , B ( −4;0;7 ) Bài 6: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD a A ( 1;1;0 ) , B ( 0;2;1) , C ( 1;0;2 ) , D ( 1;1;1) b A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , C ( 0;0;6 ) , D ( 2;4;6 ) c A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3;7 ) , D ( −5; −4;8 ) d A ( 5;7; −2 ) , B ( 3;1; −1) , C ( 9;4; −4 ) , D ( 1;5;0 ) e A ( 6; −2;3) , B ( 0;1;6 ) , C ( 2;0; −1) , D ( 4;1;0 ) f A ( 0;1;0 ) , B ( 2;3;1) , C ( −2;2;2 ) , D ( 1; −1;2 ) Bài 7: Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm tròn mặt phẳng (P) cho trước  A ( 1;2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 2;0; −1)  A ( 2;0;1) , B ( 1;3;2 ) , C ( 3;2;0 ) a  b  ( P ) ≡ ( Oxz ) ( P ) ≡ ( Oxy ) Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) với  I ( −5;1;1) a  2 ( T ) : x + y + z − x + y − z + =  I ( −3;2;2 ) b  2 ( T ) : x + y + z − x + y − z + = PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG vectơ pháp tuyến – cặp vectơ phương mặt phẳng r r r • vectơ n ≠ VTPT ( α ) giá n vng góc với ( α ) r r • hai vectơ a, b khơng phương cặp VTCP ( α ) giá chúng song song nằm ( α ) Chú ý: r r • n VTPT ( α ) kn với ( k ≠ ) VTPT ( α ) r r r r r   α n = a • Nếu a, b cặp VTCP ( )  , b  VTPT ( α ) Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > r • Nếu ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = n = ( A, B, C ) VTPT ( α ) r • Phương trình mặt phẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z + + = ( α ) cắt trục tọa độ điểm ( a;0;0 ) , ( 0; b;0 ) , ( 0;0; c ) a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình: ( α ) : A1x + B1 y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = • ( α ) , ( β ) cắt ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D • ( α ) P( β ) ⇔ = = ≠ A2 B2 C2 D2 • ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = A B C D • (α) ≡ ( β ) ⇔ = = = A2 B2 C2 D2 Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M 0,( α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Vấn đề 1: Viết phương trình mặt phẳng r • Dạng 1: ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r r • Dạng 2: ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp VTCP a, b Khi VTPT ( α ) r r r  n =  a, b  • Dạng 3: ( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = ⇒ ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • Dạng 4: ( α ) qua điểm A, B, C không thẳng hàng r uuu r uuur  Khi ta xác định VTPT ( α ) n =  AB, AC  • Dạng 5: ( α ) qua điểm M đường thẳng ( d ) không chứa M: r - Trên ( d ) lấy điểm A VTCP u r uuuu r r - Một VTPT ( α ) n =  AM , u  • Dạng 6: ( α ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ( d ) : r VTCP u đường thẳng ( d ) VTPT ( α ) • Dạng 7: ( α ) qua đường thẳng cắt d1; d 10 Hệ tọa độ khôngrgian r Đỗ Văn Thọ - Xác định VTCP a, b đường thẳng ( d1 ) , ( d ) r r r  - Một VTPT ( α ) n =  a, b  - Lấy điểm M thuộc ( d1 ) ( d ) ⇒ M ∈ ( α ) • Dạng 8: ( α ) chứa đường thẳng ( d1 ) song song với đường thẳng ( d ) , ( d1 , d chéo nhau) r r - Xác định VTCP a, b đường thẳng d1; d r r r   α n = a ( ) - Một VTPT  , b - Lấy điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ ( α ) • Dạng 9: ( α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1 , d r r - xác định VTCP a, b đường thẳng d1; d r r r  - VTPT ( α ) n =  a, b  • Dạng 10: ( α ) qua đường thẳng ( d ) vng góc với mặt phẳng ( β ) uur r d n ( ) - xác định VTCP u VTPT β ( β ) r r uur  - VTPT ( α ) n = u, nβ  - lấy điểm M thuộc ( d ) ⇒ M ∈ ( α ) • Dạng 11: ( α ) qua đường thẳng ( d ) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước 2 - Giả sử ( α ) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0; ( A + B + C ≠ ) - Lấy điểm A, B ∈ ( d ) ⇒ A, B ∈ ( α ) (ta hai phương trình (1), (2)) - Từ điều kiện khoảng cách d ( M , ( α ) ) = k ta phương trình (3) - Giải hệ phương trình (1), (2), (3) cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại • Dạng 12: ( α ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( β ) , ( γ ) uur uu r - Xác định VTPT nβ , nγ ( β ) ( γ ) r uur uu r   α n = u , n - Một VTPT ( )  β γ • Dạng 13: ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H - Giả sử mặt cầu (S) có tâm I bán kính R r uuu r - Một VTPT ( α ) n = IH r Bài 1: viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có VTPT n cho trước r r a M ( 3;1;1) , n = ( −1;1;2 ) b M ( −2;7;0 ) , n = ( 3;0;1) r r c M ( 4; −1; −2 ) , n = ( 0;1;3) d M ( 2;1; −2 ) , n = ( 1;0;0 ) r r e M ( 3;4;5 ) , n = ( 1; −3; −7 ) f M ( 10;1;9 ) , n = ( −7;10;1) Bài 2: Viết PT mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước với 11 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ a A ( 2;1;1) , B ( 2; −1; −1) b A ( 1; −1; −4 ) , B ( 2;0;5 )  1   c A ( 2;3; −4 ) , B ( 4; −1;0 ) d A  ; −1;0 ÷, B 1; − ;5 ÷  2     1  e A  1; ; ÷, B  −3; ;1÷ f A ( 2; −5;6 ) , B ( −1; −3;2 )   2  r r Bài 3: Viết PT mặt phẳng qua điểm M có cặp VTCP a, b cho trước với: r r r r a M ( 1;2; −3) , a = ( 2;1;2 ) , b = ( 3;2; −1) b M ( 1; −2;3) , a = ( 3; −1; −2 ) , b = ( 0;3;4 ) r r r r c M ( −1;3;4 ) , a = ( 2;7;2 ) , b = ( 3;2;4 ) d M ( −4;0;5 ) , a = ( 6; −1;3) , b = ( 3;2;1) Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M song song với mặt phẳng ( β ) cho trước với a M ( 2;1;5 ) , ( β ) : ( Oxy ) b M ( 1; −2;1) , ( β ) : x − y + = c M ( −1;1;0 ) , ( β ) : x − y + z − 10 = d M ( 3;6; −5 ) , ( β ) : − x + z − = e M ( 2; −3;5 ) , ( β ) : x + y − z + = f M ( 1;1;1) , ( β ) :10 x − 10 y + 20 z − 40 = Giải uu r uur ( a ) P( β ) ⇔ nα = nβ uu r uur a na = nβ = ( 0,0,1) ( x − ) + ( y − 1) + 1( z − ) = ⇔ z − = uu r uur n b a = nβ = ( 2, −1,0 ) ⇒ ( x − 1) − 1( y + ) + ( z − 1) = ⇔ x − y − = uu r uur n c a = nβ = ( 1, −2,1) ⇒ 1( x + 1) − ( y − 1) + 1( z − ) = ⇔ x − y + z + = Bài 5: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua điểm M song song với mặt phẳng tọa độ, với a M ( 2;1;5 ) b M ( 1; −2;1) c M ( −1;1;0 ) d M ( 3;6; −5 ) e M ( 2; −3;5 ) f M ( 1;1;1) g M ( −1;1;0 ) h M ( 3;6; −5 ) Bài 6: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với a A ( 1; −2;4 ) , B ( 3;2; −1) , C ( −2;1; −3 ) b A ( 0;0;0 ) , B ( −2; −1;3) , C ( 4; −2;1) 12 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ c A ( −1;2;3) , B ( 2; −4;3) , C ( 4;5;6 ) d A ( 3; −5;2 ) , B ( 1; −2;0 ) , C ( 0; −3;7 ) e A ( 2; −4;0 ) , B ( 5;1;7 ) , C ( −1; −1; −1) f A ( 3;0;0 ) , B ( 0; −5;0 ) , C ( 0;0; −7 ) Bài 7: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua điểm A vng góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với a A ( 1; −2;4 ) , B ( 3;2; −1) , C ( −2;1; −3 ) b A ( 0;0;0 ) , B ( −2; −1;3) , C ( 4; −2;1) c A ( −1;2;3) , B ( 2; −4;3) , C ( 4;5;6 ) d A ( 3; −5;2 ) , B ( 1; −2;0 ) , C ( 0; −3;7 ) e A ( 2; −4;0 ) , B ( 5;1;7 ) , C ( −1; −1; −1) f A ( 3;0;0 ) , B ( 0; −5;0 ) , C ( 0;0; −7 ) Bài 8: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng ( β ) cho trước với:  A ( 3;1; −1) , B ( 2; −1;4 )  A ( −2; −1;3) , B ( 4; −2;1) a  b  ( β ) : x − y + 3z − = ( β ) : x + y − z + =  A ( 2; −1;3) , B ( −4;7; −9 )  A ( 3; −1; −2 ) , B ( −3;1;2 ) c  d  ( β ) : 3x + y − z − = ( β ) : x − y − z + = Bài 9: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) , ( γ ) cho trước với: a M ( −1; −2;5 ) , ( β ) : x + y − z + = 0, ( γ ) : x − y + z + = b M ( 1;0; −2 ) , ( β ) : x + y − z − = 0, ( γ ) : x − y − z − = c M ( 2; −4;0 ) , ( β ) : x + y − z + = 0, ( γ ) : 3x + y − z − = d M ( 5;1;7 ) , ( β ) : x − y + z + = 0, ( γ ) : x − y + z − = Bài 10: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với a M ( 1;2; −3) , ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z − = b M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z − = c M ( 3;4;1) , ( P ) :19 x − y − z + 27 = 0, ( Q ) : 42 x − y + z + 11 = d M ( 0;0;1) , ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : x − y − z − = Bài 11: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với a ( P ) : y + z − = 0, ( Q ) : x + y − z − = 0, ( R ) : x + y + z − = b ( P ) : x − y + z − = 0, ( Q ) : y + z − = 0, ( R ) : x − y + 19 = c ( P ) : 3x − y + z − = 0, ( Q ) : x + y − = 0, ( R ) : x − z + = Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng (R) cho trước với a ( P ) : x + y − = 0, ( Q ) : y − z − = 0, ( R ) : x + y − z − = 13 Hệ tọa độ không gian b ( P ) : y + z − = 0, ( Q ) : x + y − z + = 0, ( R ) : x + y + z − = c ( P ) : x + y − z − = 0, ( Q ) : x + y + z + = 0, ( R ) : x − y − z + = d ( P ) : 3x − y + z − = 0, ( Q ) : x + y − = 0, ( R ) : x − z + = Bài 13: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau: 2 x + y − z + = 3 x − y + 3z + = 5 x + y − z − = a  b  c  3 x + y − z − = 3 x − y + z − = 3 x + y − 3z + = Đỗ Văn Thọ 2 x − y − z + = 3 x − y − z − 23 =  e  d  25 x − y − 10 z + = 3 x − y − z + 33 =  Bài 14: Xác định m, n để cặp mặt phẳng sau: Song song, cắt nhau, trùng 3 x + my − z − = 5 x − y + mz − 11 = 2 x + my + 3z − = a  b  c  nx + y − z + = 3 x + ny + z − = nx − y − z + = 6 x − y − z + = d  12 x − y − 12 z − = 3 x − y + mz − = 2 x + y + 3z − = 3 x − y + mz − = d  e  f  2 x + ny + z − = mx − y − z − = 2 x + y − 3z + = 3 x − ( m − 3) y + z − =  x + my − z + = 2 x − ny + z − = g  h  i  2 x + y + 4nz − = 3 x − y + mz − = ( m + ) x − y + mz − 10 = Bài 15: Xác định m để cặp mặt phẳng sau vng góc với ( 2m − 1) x − 3my + z + = 2 x − y + mz + = a  b  3 x + y − z + 15 = mx + ( m − 1) y + z − = 3 x − ( m − 3) y + z − = mx + y + mz − 12 = c  d   x + my + z + = ( m + ) x − y + mz − 10 = 4 x − y − 3z = 3 x − y + mz − = e  f  mx + y − z − = x + 3y + 2z + = * Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song • Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M 0,( α ) ) = A2 + B + C • Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng uuuu r r  MH , n cung phuong • Điểm H hình chiếu điểm M (P) ⇔   H ∈ ( P ) uuuuur u uuu r • Điểm M’ đối xứng với M qua (P) ⇔ MM ' = MH 14 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ Bài 1: Cho mặt phẳng (P) điểm M - Tính khoảng cách từ điểm M đến (P) - Tìm tọa độ hình chiếu H M (P) - Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P) a ( P ) : x − y + z − = 0, M ( 2; −3;5 ) b ( P ) : x + y + z − 14 = 0, M ( 1; −4; −2 ) c ( P ) : x − y + 3z + 12 = 0, M ( 3;1; −2 ) d ( P ) : x − y + z + = 0, M ( 2; −3;4 ) e ( P ) : x − y + z − = 0, M ( 2;1; −1) f ( P ) : 3x − y + z − = 0, M ( 1;2;4 ) Bài 2: Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng:  x − y + 3z + = 6 x − y + z + = 2 x − y + z + = a  b  c  2 x − y + 3z + = 6 x − y + z − = 3 x + y − z − = 4 x − y + z + = 2 x − y + z + = d  e  4 x − y + z + = 3 x + y − z − = Bài 3: Tìm khoảng cách hai mặt phẳng  x − y + 3z + = 6 x − y + z + = a  b  2 x − y + 3z + = 6 x − y + z − = 3 x + y − z + = f  x + y − z + = 2 x − y + z + = c  3 x + y − z − = 4 x − y + z + = 2 x − y + z + = 3 x + y − z + = d  e  f  4 x − y + z + = 3 x + y − z − = x + y − z + = Bài 4: Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước a x − y + z − = 0; k = b x − y − z + = 0; k = c x − y + 3z + 12 = 0; k = d x − y + z − 14 = 0; k = Bài 5: Viết PTTQ mặt phẳng (P) qua điểm A song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) (Q): a A ( 1;2; −3) , ( Q ) : x − y − z + = b A ( 3;1; −2 ) , ( Q ) : x − y + z + 12 = Bài 6: Viết PTTQ cỉa mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) cách điểm A khoảng k cho trước a ( Q ) : x + y − z + = 0, A ( 2; −1;4 ) , k = b ( Q ) : x − y + z + = 0, A ( 2; −3;4 ) ; k = Bài 7: Viết PTTQ mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k: a ( Q ) : 3x − y + z − = 0, k = 14 b ( Q ) : x + y − z + = 0, k = 29 * Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình: ( α ) : A1x + B1 y + C1z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ur uu r Góc ( α ) , ( β ) bù với góc hai VTPT n1 , n2 cos ( ( α ) , ( β ) ) uu r uu r n2 n2 = ur uu r = n1 n2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 15 Hệ tọa độ không gian ( ) 0 · Chú ý: ≤ ( α ) , ( β ) ≤ 90 ; Đỗ Văn Thọ ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Bài 1: Tính góc hai mặt phẳng x + y − z + = x + y − 2z + = a  b  x − y + z − = 2 x + y + z − = 2 x − y + z + = c  4 x + y − z + −1 = 2 x − y − z + =  3x − y + 3z + = 4 x + y − z + = d  e  f   y + z + 12 = 4 x + y + z − = 2 x + z − = Bài 2: Tìm m để góc hai mặt phẳng sau α cho trước ( 2m − 1) x − 3my + z + = mx + y + mz − 12 =   a mx + ( m − 1) y + z − = b  x + my + z + =  α = 450  α = 90 ( m + ) x + 2my − mz + = mx − y + mz + =   c mx + ( m − 3) y + z − = d ( 2m + 1) x + ( m − 1) y + ( m − 1) z − =   0 α = 30 α = 90 * Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 2 Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R • (α) (α) ( S ) khơng có điểm chung ⇔ d ( I , ( α ) ) > R • tiếp xúc với ( S ) ⇔ d ( I , ( α ) ) = R Để tìm tọa độ tiếp điểm ta thực sau: - Viết PT đường thẳng (d) qua tâm I (S) vng góc với ( α ) - Tìm tọa độ giao điểm H (d) ( α ) H tiếp điểm (S) với ( α ) • ( α ) cắt (S) theo đường tròn ⇔ d ( I , ( α ) ) < R Để xác định tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến ta thực sau: - Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với ( α ) - Tìm tọa độ giao điểm H (d) ( α ) - H tâm đường tròn giao tuyến (S) với ( α ) - Bán kinh r đường tròn giao tuyến r = R − IH Bài 1: Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) ( P ) : x − y + z − = ( P ) : x + y + z − = a  b  2 2 2 ( S ) : x + y + z − x − y + z + = ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + ) = 16 16 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ ( P ) : x + y − z − 11 = ( P ) : x − y + z + = c  d  2 2 2 S : x + y + z + x − y − z + = ( )  ( S ) : x + y + z − x − y − z + 13 = ( P ) : x + y + z = ( P ) : z − = e  f  2 2 2 ( S ) : x + y + z − x + y − z + 10 = ( S ) : x + y + z − x + y − 16 z + 22 = Bài 2: Viể phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a I ( 3; −5; −2 ) , ( P ) : x − y − z + = b I ( 1;4;7 ) , ( P ) : x + y − z + 42 = c I ( 1;1;2 ) , ( P ) : x + y + z + = d I ( −2;1;1) , ( P ) : x + y − z + = Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước 2 a ( S ) : ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + ) = 24 M ( −1;3;0 ) 2 b ( S ) : x + y + z − x − y + z + = M ( 4;3;0 ) 2 c ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − ) = 49 M ( 7; −1;5 ) 2 d ( S ) : x + y + z − x − y − z − 22 = song song với mặt phẳng x − y + z + 14 = 2 e ( S ) : x + y + z − x + y + z − 11 = song song với mặt phẳng x + 3z − 17 = 2 f ( S ) : x + y + z − x − y + z = song song với mặt phẳng x + y + z + =  x = 4t +  2 g ( S ) : x + y + z − x + y + z + = chứa đường thẳng ( d ) :  y = 3t + z = t +1  PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng • Phương trình tham số đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP r a = ( a1; a2 ; a3 )  x = x0 + a1t ( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R z = z + a t  x − x0 y − y0 z − z0 = = • Nếu a1a2 a3 ≠ ( d ) : gọi phương trình tắc a1 a2 a3 (d) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d), (d’) có phương trình tham số là:  x = x0 + a1t  x = x '0 + a '1 t '  ( d ) :  y = y0 + a2t ( d ') :  y = y '0 + a '2 t ' z = z + a t z = z ' + a ' t ' 3   17 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ r ur r   a , a ' =   • d Pd ' ⇔  r uuuuuuur r   a.M M '0  ≠  x0 + a1t = x '0 + a '1 t '  • d ≡ d ' ⇔  y0 + a2t = y '0 + a '2 t ' (ẩn t , t ' ) có vơ số nghiệm z + a t = z ' + a ' t ' 3  r ur r ur r uuuuuuur r a, a ' cung phuong ⇔ ⇔  a, a ' =  a, M M '0  =  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( d ')  x0 + a1t = x '0 + a '1 t '  • d , d ' cắt ⇔  y0 + a2t = y '0 + a '2 t ' (ẩn t , t ' ) có nghiệm z + a t = z ' + a ' t ' 3  r ur r   a, a ' ≠   ⇔  r ur uuuuuuur   a, a ' M M '0 = r ur uuuuuuur • d , d ' chéo ⇔  a, a ' M M '0 ≠ r ur r ur • d ⊥ d ' ⇔ a ⊥ a ' ⇔ a.a ' = Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x = x0 + a1t  Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = đường thẳng ( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R z = z + a t  Xét phương trình A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = (ẩn t) (*) • ( d ) P( α ) ⇔ ( *) vơ nghiệm • • ( d ) cắt ( α ) ⇔ ( *) có nghiệm ( d ) ⊂ ( α ) ⇔ ( *) có vơ số nghiệm Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu  x = x0 + a1t  2 Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R (1) mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R z = z + a t  (2) Để xét VTTĐ (d) (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*) • ( d ) ( S ) khơng có điểm chung ⇔ ( *) vơ nghiệm ⇔ d ( I , d ) > R • • ( d) ( d) tiếp xúc với ( S ) ⇔ ( *) có nghiệm ⇔ d ( I , d ) = R cắt ( S ) hai điểm phân biệt ⇔ ( *) có hai nghiệm phân biệt ⇔ d ( I , d ) < R 18 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ Khoảng cách từ điểm đến đường r thẳng Cho đường thẳng (d) qua M có VTCP a điểm M uuuuur r M 0M , a   d ( M ,d ) = r a Khoảng cách hai đường thẳng chéo Ho hai đường thẳng chéo ( d1 ) , ( d ) ur uu r ( d1 ) qua điểm M có VTCP a1 , ( d ) qua điểm M có VTCP a2 ur uu r uuuuuur  a1 , a2  M 1M   d ( d1 , d ) = ur uu r  a1 , a2    Chú ý: Khoảnh cách hai đường thẳng chéo d1 , d khoảng cách ( d1 ) với mặt phẳng ( α ) chứa ( d ) song sogn với ( d1 ) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng (d) với mặt phẳng ( α ) song song với khoảng cách từ điểm M (d) đến mặt phẳng ( α ) Góc hai đường thẳng ur uu r Cho hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) có TVCP a1 , a2 ur uu r Góc ( d1 ) , ( d ) bù với góc a1 , a2 ur uu r a1 , a2 ur uu r cos a1 , a2 = ur uu r a1 a2 ( ) Góc đường thẳngrvà mặt phẳng r Cho đường thẳng (d) có VTCP a = ( a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng ( α ) có VTPT n = ( A; B; C ) Góc đường thẳng (d) mặt phẳng ( α ) góc đường thẳng ( d ) với hình chiếu ( d ; ) ( α ) ( ) sin d· , ( α ) = Aa1 + Ba2 + Ca3 A2 + B + C a12 + a22 + a32 * Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng (d) ta cần xác định r điểm thuộc (d) VTCP * Dạng 1: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = ( a1; a2 ; a3 )  x = x0 + a1t ( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R z = z + a t  uuu r * Dạng 2: (d) qua hai điểm A, B: Một VTCP (d) AB 19 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ * Dạng 3: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng ( ∆ ) cho trước Vì d P∆ nên VTCP ( ∆ ) VTCP ( d ) * Dạng 4: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d ⊥ ( P ) nên VTPT ( P ) VTCP (d) * Dạng 5: (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) • Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P ) A ∈ d ( ) cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá - Tìm tọa độ điểm ( Q ) trị cho ẩn) r uur uur  - Tìm VTCP (d): a =  nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc (d) viết phương trình đường thẳng qua hai điểm * Dạng 6: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) r uur uur Vì d ⊥ d1; d ⊥ d nên VTCP (d) a =  ad1 , ad2  * Dạng 7: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc cắt đường thẳng ( ∆ ) • Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng ( ∆ )  H ∈ ( ∆ ) r  uuuuur uu M H ⊥ u  ∆ Khi đường thẳng (d) đường thẳng qua M ; H • Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với (d); (Q) mặt phẳng qua A chứa (d) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) * Dạng 8: (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d ) • Cách 1: Gọi M ∈ d1; M ∈ d Từ điều kiện M ; M 1; M thẳng hàng ta tìm M 1; M Từ suy phương trình đường thẳng (d) • Cách 2: Gọi ( P ) = ( M , d1 ) ; ( Q ) = ( M , d ) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) Do đó, VTCP r uur uur (d) chọn a =  nP , nQ  * Dạng 9: (d) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) : Tìm giao điểm A = d1 ∩ ( P ) ; B = d ∩ ( P ) Khi (d) đường thẳng AB * Dạng 10: (d) song song với ( ∆ ) cắt hai đường thẳng d1; d : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ( ∆ ) ( d1 ) , mặt phẳng (Q) chứa ( ∆ ) ( d ) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) * Dạng 11: (d) đường vng góc chung hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d ) chéo 20 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ  MN ⊥ d1 Cách 1: Gọi M ∈ d1; N ∈ d Từ điều kiện  ta tìm M, N Khi đó, d  MN ⊥ d đường thẳng MN • Cách 2: r uur uur  - Vì d ⊥ d1 d ⊥ d nên VTCP (d) a =  ad1 , ad2  - Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) ( d1 ) , cách + Lấy điểm A ∈ d1 uu r r uur  n = a + Một VTPT (P) P  , ad1  + Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) ( d ) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) * Dạng 12: (d) hình chiếu đường thẳng (Q) chứa ( ∆ ) lên mặt phẳng (P) • Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ( ∆ ) vng góc với mặt phẳng (P) cách: - Lấy M ∈ ∆ uur uu r uu r - Vì (Q) chứa ∆ vng góc với (P) nên nQ =  a∆ , nP  Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) * Dạng 13: (d) qua điểm M, vng góc với ( d1 ) cắt ( d ) • Cách 1: Gọi N giao điểm ( d ) ( d ) Từ điều kiện MN ⊥ d1 , ta tìm N Khi đó, ( d ) đường thẳng MN • Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với ( d1 ) - Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M ( d ) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) r Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP a cho trước r r r M 1;2; − , a = − 1;3;5 M 0; − 2;5 , a = 0;1;4 M 1;3; − , a a ( b ( c ( ) ( ) ) ( ) ) = ( 1;2; −1) r r d M ( 3; −1; −3) , a = ( 1; −2;0 ) e M ( 3; −2;5 ) , a = ( −2;0;4 ) r f M ( 4;3; −2 ) , a = ( −3;0;0 ) Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước a A ( 2;3; −1) , B ( 1;2;4 ) b A ( 1; −1;0 ) , B ( 0;1;2 ) c A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1) d A ( 2;1;0 ) , B ( 0;1;2 ) e A ( 1;2; −7 ) , B ( 1;2;4 ) f A ( −2;1;3) , B ( 4;2; −2 ) Bài 3: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng ∆ cho trước a A ( 3;2; −4 ) , ∆ ≡ Ox b A ( 2; −5;3) , ( ∆ ) qua M ( 5;3;2 ) , N ( 2;1; −2 ) • 21 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ  x = − 3t x+2 y −5 z −2  = = c A ( 2; −5;3) , ( ∆ ) :  y = + 4t d A ( 4; −2;2 ) , ( ∆ ) :  z = − 2t   x = + 4t x + y −1 z +  = = e A ( 1; −3;2 ) , ( ∆ ) :  y = − 2t f A ( 5;2; −3) , ( ∆ ) :  z = 3t −  Bài 4: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: a A ( −2;4;3) , ( P ) : x − y + z + 19 = b A ( 1; −1;00 ) , ( P ) mặt phẳng tọa độ c A ( 3;2;1) , ( P ) : x − y + = d A ( 2; −3;6 ) , ( P ) : x − y + z + 19 = Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: ( P ) : x + y + z + = ( P ) : x − y + 3z − = a  b  ( Q ) : 3x − y − z − = ( Q ) : x + y − z + = ( P ) : x + y − z + = ( P ) : x + y − z + = c  d  ( Q ) : x + y + z − = ( Q ) : x + y + z − = ( P ) : x + z − = ( P ) : x + y + z − = e  f  ( Q ) : y − = ( Q ) : x + z − = Bài 6: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) cho trước  x = + 2t x = − t   a A ( 1;0;5 ) , ( d1 ) :  y = − 2t , ( d ) :  y = + t z = 1+ t  z = − 3t   x = + t  x = + 3t   b A ( 2; −1;1) , ( d1 ) :  y = −2 + t ; ( d ) :  y = −2 + t z = z = + t   x = − t x =   c A ( 1; −2;3) , ( d1 ) :  y = −2 − 2t , ( d ) :  y = −2 + t  z = − 3t z = + t    x = −7 + 3t x = + t   d A ( 4;1;4 ) , ( d1 ) :  y = − 2t , ( d ) :  y = −9 + 2t  z = + 3t  z = −12 − t   22 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ  x = + 3t  x = 2t   e A ( 2; −1; −3) , ( d1 ) :  y = + t , ( d ) :  y = −3 + 4t  z = −2 + 2t z = − t   x = t x = t   f A ( 3;1; −4 ) , ( d1 ) :  y = − t , ( d ) :  y = − 2t  z = −2t z =   Bài 7: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng ∆ cho trước x = t  x = −3 + 2t   a A ( 1;2; −2 ) , ( ∆ ) :  y = − t b A ( −4; −2;4 ) , ( ∆ ) :  y = − t  z = 2t  z = −1 + 4t    x = + 3t x = t   c A ( 2; −1; −3) , ( ∆ ) :  y = + t d A ( 3;1; −4 ) , ( ∆ ) :  y = − t  z = −2 + 2t  z = −2t   x = − t x = + t   e A ( 1; −2;3) , ( ∆ ) :  y = −2 − 2t f A ( 2; −1;1) , ( ∆ ) :  y = −2 + t  z = − 3t z =   Bài 8: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) cho trước:  x = + 2t x = − t   a A ( 1;0;5 ) , ( d1 ) :  y = − 2t , ( d ) :  y = + t z = 1+ t  z = − 3t   x = + t  x = + 3t   b A ( 2; −1;1) , ( d1 ) :  y = −2 + t , ( d ) :  y = −2 + t z = z = + t    x = −1 + 3t  x = + 2t   c A ( −4; −5;3) , ( d1 ) :  y = −3 − 2t , ( d ) :  y = −1 + 3t z = − t  z = − 5t    x = + 3t  x = −t   d A ( 2;1; −1) , ( d1 ) :  y = −2 + 4t , ( d ) :  y = t  z = −3 + 5t  z = 2t   23 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ x = + t  x = −4 + 3t   e A ( 2;3; −1) , ( d1 ) :  y = − 2t , ( d ) :  y = + t  z = + 3t  z = −2 + 3t    x = −3 + 3t  x = + 2t   f A ( 3; −2;5 ) , ( d1 ) :  y = + 4t , ( d ) :  y = − t  z = + 2t  z = − 3t   Bài 9: Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) cho trước: ( P ) : y + z = ( P ) : x + y + z + =    x = − t   x = + 2t x = 1− t a  b  x −1 y z    ( d1 ) : −1 = = , ( d ) :  y = + 2t ( d1 ) :  y = − 2t , ( d ) :  y = + t z = z = + t  z = − 3t        ( P ) : x − y + 3z − = ( P ) : x + y − z + =     x = −7 + 3t x = + t  x = − t x = c  d      ( d1 ) :  y = − 2t , ( d ) :  y = −9 + 2t ( d1 ) :  y = −2 − 2t , ( d ) :  y = −2 + t  z = + 3t  z = −12 − t  z = − 3t z = + t         Bài 10: Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng ( ∆ ) cắt hai đường thẳng ( d1 ) , ( d ) cho trước: x y −1 z − x y −1 z −1   ( ∆ ) : = −1 = ( ∆ ) : = −1 =   x +1 y z −1 x −1 y + z −   = = = = a ( d1 ) : b ( d1 ) : − 1   x − y +1 z + x+4 y+7 z   d : = = d : = = ( ) ( ) 2    24 ...Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm... qua (P) ⇔ MM ' = MH 14 Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ Bài 1: Cho mặt phẳng (P) điểm M - Tính khoảng cách từ điểm M đến (P) - Tìm tọa độ hình chiếu H M (P) - Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M... k   ) Hệ tọa độ không gian Đỗ Văn Thọ  x + xB y A + y B z A + z B  ; ; Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A ÷ 2    x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  ; ; • Tọa độ trọng tâm