Bài tập (Đại số tuyến tính – PGS.TS Đinh Ngọc Thanh) Trong ánh xạ sau đây, ánh xạ ánh xạ tuyến tính a) f : ℝ → ℝ , f ( x1 , x2 , x ) = ( x1 , 0, ) b) f : ℝ → ℝ2 , f ( x1 , x2 , x ) = ( x1 , − x3 ) c) f : ℝ → ℝ , f ( x1 , x2 , x , x4 ) = ( x1 + x2 , x3 − x4 ) d) f : ℝ → ℝ , f ( x1 , x2 , x ) = ( x1 x2 , x3 ) e) f : ℝ → ℝ , f ( x1 , x2 , x ) = ( x1 + 3, x , x3 ) Cho f : V → W laø ánh xạ tuyến tính hai không gian vectơ vaø S = {u1 , u , , u r } hệ vectơ V Chứng minh hệ vectơ f ( u1 ) , f ( u ) , , f ( u r ) độc lập tuyến tính (trong W ) hệ vectơ S độc lập tuyến tính (trong V ) Cho ánh xạ f : ℝ2 → ℝ xác đònh f ( x, y ) = ( x + 2y, 2x + y ) a) Chứng minh f toán tử tuyến tính ℝ b) Tìm ma trận f sở B = {u1 = ( 2,1) , u = ( 3, 2)} Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ xác đònh f ( x1 , x , x3 ) = ( 2x1 , x − x ) a) Tìm ma trận f sở B : e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, ) , e3 = ( 0, 0,1) ℝ sở C : f1 = (1, ) , f = ( 0,1) ℝ b) Tìm ma trận f sở B ℝ sở C ′ : f1′ = (1, ) , f 2′ = (1,1) ℝ c) Tìm ma trận f sở B ′ : e1′ = (1,1,1) , e′2 = ( 0,1, ) , e′3 = ( 0, 0,1) ℝ sở C ′ ℝ Cho ánh xạ f : ℝ4 → ℝ3 xác đònh f ( x1 , x , x3 , x4 ) = ( x1 − 2x , x2 − 2x , x − 2x4 ) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở (B,C ) , với B = {e1 = (1, −1, 0, ) , e2 = ( 0,1, −1, ) , , e3 = ( 0, 0,1, −1) , e4 = ( 0, 0, 0,1)} , C = {f1 = (1,1,1) , f2 = (1,1, ) , f3 = (1, 0, )} Cho pheùp biến đổi tuyến tính f : ℝ3 → ℝ xác đònh f ( x1 , x , x3 ) = ( x2 − 2x3 , x1 + x2 , x1 ) Tìm ma trận f sở B : e1 = (1,1, ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) Xác đònh ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ B : e1 = (1,1, ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) có ma trận sở 1    A =  −2  1    Với u = ( 3, −2, 0) , tìm tọa độ f ( u ) sở B Cho phép biến đổi tuyến tính f : ℝ4 → ℝ4 với ma trận sở tắc 1  −1 A= 2  0 0 2 1  1 1  1 Xác đònh Ker f tìm sở Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ4 → ℝ3 xác đònh f ( x1 , x2 , x , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x + 6x + 7x4 , 3x1 + x + x3 + 4x4 , ) Tìm sở Ker f sở Im f 10 Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ xác đònh f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 2x2 + x3 , x2 + x3 , x1 + x2 − 2x3 ) Xác đònh số chiều tìm sở cho Ker f , Im f 11 Trong ma trận sau đây, ma trận chéo hóa ? Nếu chéo hóa được, xác đònh ma trận chéo hóa ma trận chéo nhận  −1   3 a)  1 2 1 b)    3  0 c)  −1   1   5 6 d)    −4 −4 −5     −4 −8  e)  −4 −4   −8 −4     0 1 f)  1   −1    12 Cho B = {e1 , e2 , e3 } sở không gian vectơ V Phép biến đổi tuyến tính f : V → V có ma trận sở A Hãy tìm sở V cho sở ma trận f ma trận cheùo  −2  a) A =  −2 −2   −2     −6  b) A =  −7   −6    ... 4 → 4 với ma trận sở tắc 1  −1 A= 2  0 0 2 1  1 1  1 Xác đònh Ker f tìm sở Cho ánh xạ tuyến tính f : 4 → ℝ3 xác đònh f ( x1 , x2 , x , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x... 3 a)  1 2 1 b)    3  0 c)  −1   1   5 6 d)    4 4 −5     4 −8  e)  4 4   −8 4     0 1 f)  1   −1    12 Cho B = {e1 , e2 , e3 } sở không... 4 → ℝ3 xác đònh f ( x1 , x2 , x , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x + 6x + 7x4 , 3x1 + x + x3 + 4x4 , ) Tìm sở Ker f sở Im f 10 Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ xác đònh f ( x1 , x2