Bài tập (Đại số tuyến tính – PGS.TS Đinh Ngọc Thanh) Hỏi tập có không gian ℝ hay không ? a) W1 = {( a, 0, 0) a ∈ ℝ} b) W2 = {( a,1,1) a ∈ ℝ} Cho không gian vectơ V a vectơ cố đònh thuộc V Chứng minh tập hợp W = {ka k ∈ ℝ} không gian vectơ V Trong ℝ , cho vectơ u1 = (1, −2, 3) , u = ( 0,1, −3) Xét xem vectơ u = ( 2, −3, 3) có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u hay không ? Trong ℝ , xét xem vectơ u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u khoâng a) u1 = (1, 0,1) , u = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = (1, 2,1) b) u1 = ( −2,1, ) , u = ( 3, −1,1) , u = ( 2, 0, −2 ) , u = ( 0, 0, ) Trong không gian vectơ ma trận vuông cấp hai M2 ( ℝ ) , cho bốn vectô  3 1  1 1  1 u=  , u1 =   , u2 =   , u3 =    2 1   0  1 Hỏi vectơ u có phải tổ hợp tuyến tính u1 , u2 , u không ? Trong ℝ , cho vectơ u1 = (1, −2, 3) , u = ( 0,1, −3) Tìm m để vectơ u = (1, m, −3) tổ hợp tuyến tính u1 , u Trong ℝ , hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a) u1 = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = (1, 0,1) b) u1 = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = ( 2, 3,1) c) u1 = (1,1,1) , u = (1,1, ) , u = (1, 2, 3) d) u1 = (1,1, ) , u = (1, 2, ) , u = ( 0,1, 3) Chứng minh hệ vectơ v1 , v2 , , vr phụ thuộc tuyến tính có vectơ v i , i ∈ {1, 2, , r} tổ hợp tuyến tính vectơ lại Trong không gian vectơ ma trận vuông cấp hai M2 ( ℝ ) , cho bốn vectơ  0 1 1 1  1  e1 =   , e2 =   , e3 =   , e4 =    0  0 1 0 1  Chứng minh hệ {e1 , e2 , e3 , e4 } độc lập tuyến tính 10 Mỗi hệ vectơ sau có sinh ℝ khoâng ? a) v1 = (1,1,1) , v2 = ( 2, 2, ) , v3 = ( 3, 0, ) b) v1 = ( 2, −1, 3) , v2 = ( 4,1, ) , v = ( 8, −1, ) 11 Heä vectơ hệ vectơ sau sở ℝ a) B1 = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3)} b) B = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, 5)} c) B = {(1,1, 2) , (1, 2, 5) , ( 0,1, 3)} d) B = {( −1, 0,1) , ( −1,1, 0) , (1, −1,1) , ( 2, 0, 5)} 12 Tìm hạng hệ vectơ sau (trong không gian vectô ℝ ) a) u1 = ( −1, 2, 0,1) , u = (1, 2, 3, −1) , u = ( 0, 4, 3, ) b) v1 = ( −1, 4, 8,12 ) , v2 = ( 2,1, 3,1) , v3 = ( −2, 8,16, 24 ) , v4 = (1,1, 2, 3) 13 Tìm số chiều sở cho không gian vectơ ℝ sinh vectơ v1 = (1, 2, 0, −1) , v2 = ( 0,1, 3, −2) , v3 = ( −1, 0, 2, ) , v4 = ( 3,1, −11, ) 14 Xác đònh số chiều tìm sở cho không gian nghiệm hệ sau 2x1  a)  x1   + x2 + 2x2 x2 + x3 = = =  x1  b) 2x1 3x  − 3x2 − 6x − 9x + x3 + 2x3 + 3x3 = = =  x1 2x  c)  3x1 2x1 − 2x2 + x2 − 2x2 − 5x2 + − − + 3x1 6x  d)  9x1 3x1 + + + + + x3 + 3x3 + 5x + 4x 2x 4x2 6x 2x + 3x3 x3 x3 x3 x3 − x4 + 2x + x4 − 2x + + + + 3x4 5x4 7x4 4x4 + x5 − 3x5 − 2x5 + 2x5 + + + + 5x5 7x5 9x5 8x5 = = = = 0 0 = = = = 0 0 15 Tìm tọa độ vectơ u sở tắc B sở B ′ = {f1 , f , f } , với f1 = (1, 0, ) , f = (1,1, ) , f = (1,1,1) a) u = ( 3,1, −4 ) b) u = (1, 3,1) 16 Trong ℝ , xét tập W = {( a1 , a , a , a ) : a1 + a + a + a = 0} a) Kiểm chứng W không gian vectơ ℝ b) Kiểm chứng vectơ sau naèm W v1 = (1, 0, 0, −1) , v2 = ( 0,1, 0, −1) , v3 = ( 0, 0,1, −1) , v4 = (1,1, −1, −1) c) Xác đònh số chiều tìm sở cho W 17 Trong ℝ , cho sở tắc B = {e1 = (1, 0, 0) ,e2 = ( 0,1, 0) ,e3 = ( 0, 0,1)} vaø sở B′ = {f1 = ( 2,1,1) ,f2 = (1, 2,1) ,f3 = (1,1, 2)} Tìm ma trận đổi sở từ B qua B ′ ma trận đổi sở từ B ′ qua B 18 Trong ℝ , cho hai sở B = {u1 = (1,1, 0) ,u2 = ( 0,1,1) ,u3 = (1, 0,1)} vaø B′ = {v1 = ( 2,1,1) ,v2 = (1, 2,1) ,v3 = (1,1, 2)} Tìm ma trận đổi sở từ B qua B ′ ma trận đổi sở từ B ′ qua B 19 Trong ℝ , cho hai cô sở B = {u1 = (1, 2, 0) ,u2 = (1, 3, 2) ,u = ( 0,1, 3)} B′ = {v1 = (1, 2,1) ,v2 = ( 0,1, 2) ,v3 = (1, 4, 6)} vectơ u = ( a, b, c ) ∈ ℝ3 a) Tìm tọa độ vectơ u sở B sở B ′ b) Tìm ma trận đổi sở từ B qua B ′ ma trận đổi sở từ B ′ qua B c) Kiểm chứng [ u ]B = PB →B′ [ u ]B′ vaø [ u ]B′ = PB′→B [ u ]B 20 Trong ℝ , cho hệ vectơ B1 = {u1 = (1,1,1) ,u = (1,1, 2) ,u = (1, 2, 3)} vaø B2 = {v1 = ( 2,1, −1) ,v2 = ( 3, 2, 5) ,v3 = (1, −1, m )} a) Chứng minh B1 sở ℝ b) Tìm tọa độ vectơ u = ( a, b, c ) sở B1 c) Tìm m để B2 sở ℝ d) Với m = , tìm ma trận đổi sở PB1 →B2 PB2 →B1 21 Cho hai hệ vectơ không gian ℝ B: a1 = ( 0,1, 0, ) , a = (1,1, 0,1) , a = (1, 2, 0,1) , a = ( −1, 0, 2,1) , B′ : b1 = (1, 0, 2, −1) , b2 = ( 0, 3, 0, ) , b3 = ( 0,1, 3,1) , b4 = ( 0, −1, 0,1) a) Chứng minh chúng hai sở ℝ b) Tìm ma trận đổi sở từ B qua B ′ c) Tìm tọa độ v = ( 2, 0, 4, ) sở B ′ d) Tìm tọa v sở B 22 Xác đònh số chiều tìm sở không gian W sinh hệ vectơ sau a) u1 = (1, 0, 0, −1) , u = ( 2,1,1, ) , u = (1,1,1,1) , u = (1, 2, 3, ) , u5 = ( 0,1, 2, 3) ℝ b) u1 = (1,1,1,1, 0) , u = (1,1, −1, −1, −1) , u = ( 2, 2, 0, 0, −1) , u = (1,1, 5, 5, ) , u5 = (1, −1, −1, 0, ) ℝ5 ... 2x2 x2 + x3 = = =  x1  b) 2x1 3x  − 3x2 − 6x − 9x + x3 + 2x3 + 3x3 = = =  x1 2x  c)  3x1 2x1 − 2x2 + x2 − 2x2 − 5x2 + − − + 3x1 6x  d)  9x1 3x1 + + + + + x3 + 3x3 + 5x + 4x...  d)  9x1 3x1 + + + + + x3 + 3x3 + 5x + 4x 2x 4x2 6x 2x + 3x3 x3 x3 x3 x3 − x4 + 2x + x4 − 2x + + + + 3x4 5x4 7x4 4x4 + x5 − 3x5 − 2x5 + 2x5 + + + + 5x5 7x5 9x5 8x5 = = = = 0 0 = = = = 0... = ( 2, 2, ) , v3 = ( 3, 0, ) b) v1 = ( 2, −1, 3) , v2 = ( 4,1, ) , v = ( 8, −1, ) 11 Heä vectơ hệ vectơ sau sở ℝ a) B1 = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) } b) B = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, 5)}